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第22章 二次函数章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·江苏·九年级专题练习）一次函数y=cx-b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先假设c<0，根据二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；
再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx-b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=ax2+bx+c的开口
方向及对称轴位置确定B，D是否成立．
【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx-b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象
与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；
若c>0，b<0，则一次函数y=cx-b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二
b
次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=- >0，故B错；若
2a
b
a<0，则对称轴x=- <0，则D可能成立．
2a
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析
二次函数的图象是否符合即可．1
2．（3分）（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+(m+1)x- m2-1（m为整数）与x
4
轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）
A．2+√5 B．2-√5 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】当x=0时，可求得B为 ( 0，- 1 m2-1 ) ，由OA=OB可得A为 ( - 1 m2-1，0 ) 或
4 4
(1 m2+1，0 ) ，将A的坐标代入y=x2+(m+1)x- 1 m2-1，进行计算即可得到答案．
4 4
1
【详解】解：当x=0时，y=- m2-1，
4
∴抛物线与y轴的交点B为 ( 0，- 1 m2-1 ) ，
4
∵ OA=OB，
∴抛物线与x轴的交点A为 ( - 1 m2-1，0 ) 或 (1 m2+1，0 ) ，
4 4
∴ ( - 1 m2-1 ) 2 +(m+1) ( - 1 m2-1 ) - 1 m2-1=0或 (1 m2+1 ) 2 +(m+1) (1 m2+1 ) - 1 m2-1=0，
4 4 4 4 4 4
∴ ( - 1 m2-1 )( - 1 m2-1+m+1+1 ) =0或 (1 m2+1 )(1 m2+1+m+1-1 ) =0，
4 4 4 4
1 1 1 1
∴- m2-1=0或- m2-1+m+1+1=0或 m2+1=0或 m2+1+m+1-1=0，
4 4 4 4
解得：m=2√2+2或m=-2√2+2或m=-2，
∵ m为整数，
∴m=-2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的
图象与性质是解题的关键．
3．（3分）（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数y=mx2-2mx+2（m≠0）在-2≤x<2
时有最小值-2，则m=（ ）
1 1 1 1
A．-4或- B．4或- C．-4或 D．4或
2 2 2 2
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2-2mx+2=m(x-1) 2-m+2，
∴对称轴为直线x=1，
①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=-m+2=-2，解得：m=4；
②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在-2≤x<2时有最小值-2，
1
∴x=-2时，有最小值y=9m-m+2=-2，解得：m=- ．
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
4．（3分）（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）四位同学在研究二次函数y=ax2+bx-6(a≠0)时，甲
同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现当x=3时，y=-6；丙同学发现函数的最小值为-8；
丁同学发现x=3是一元二次方程ax2+bx-6=0(a≠0)的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的
结论是错误的，则该同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成
立．
b
【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线x=1时，- =1，即b=-2a．
2a
当乙同学的结论正确，即当x=3时，y=-6时，9a+3b-6=-6，可得b=-3a．
4ac-b2 -24a-b2
当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为-8时， = =-8，可得b2=8a．
4a 4a
当丁同学的结论正确，即当x=3是一元二次方程ax2+bx-6=0(a≠0)的一个根时，9a+3b-6=0，可得
b=2-3a．
根据b=-3a和b=2-3a不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立b=-2a和b=-3a，得a=0，b=0，不满足a≠0，故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立b=-2a和b=2-3a，得a=2，b=-4，此时满足b2=8a，故假设成立；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关
系是解题的关键．
5．（3分）（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数y=-(x+m-1)(x-m)+1，点是图象上两点，下列说法正确的是( )
A(x ,y ),B(x ,y )(x 1，则y >y B．若x +x <1，则y >y
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x +x >-1，则y >y D．若x +x <-1，则y 1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此
1 2
时y >y ；
1 2
当x +x <1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，
1 2
此时y 0，- <0，即可得出
2a
00，- <0，
2a
∴b>0，
∴b=3-a>0，
∴a<3，
∴00，
所以-4ac>0，
( 1) 2
所以Δ= b- -4ac>0，
2
所以一元二次方程ax2+ ( b- 1) x+c=0有两个不相等的实数根．
2
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，
解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（3分）（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C ，C ，…，都在
1 2
y轴正半轴上，点A 在二次函数y=x2(x>0)图象上，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OA B C ，且
1 1 1 1 1 1
，延长 与二次函数 图象交于点 ；以， 为邻边作平行四边形
OC =√2OA C B y=x2(x>0) A C C
1 1 1 1 2 1 2，且 ，延长 与二次函数 图象交于点 ；…；按此规律进行
C A B C C C =√2C A C B y=x2(x>0) A
1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3
下去，若A 的横坐标为1，则A 的坐标为（ ）
1 2022
A．(2021,20212) B．(2021,20222) C．(2022,20222) D．(2023,20232)
【答案】C
【分析】由题已得A (1,1)，OA =√2可计算出OC 的长度，得C (0,2)，利用平行四边形的性质及两直线
1 1 1 1
平行，其解析式的系数k相等的特性，可知直线C B 解析式，联立y=x2(x>0)，可求得A (2,4)，同理，
1 1 2
依此类推，可求得A (3,9)，寻找规律，类比可得A 的坐标．
3 2022
【详解】解：∵A 的横坐标为1，且在y=x2(x>0)图象上
1
∴A (1,1)，则：OA =√2，
1 1
易得OA 的解析式为：y=x，
1
又∵OC =√2OA
1 1
∴OC =√2×√2=2，即：C (0,2)
1 1
又∵OA B C 为平行四边形，
1 1 1
∴直线C B 解析式为：y=x+2（两直线平行，其解析式的系数k相等）
1 1
联立¿，
解得：¿或¿（舍去），
即A (2,4)，
2
则：C A =√(2-0) 2+(4-2) 2=2√2，C C =√2C A =4，
1 2 1 2 1 2∴C (0,6)，
2
又∵C A B C 为平行四边形，
1 2 2 2
∴直线C B 解析式为：y=x+6，
2 2
联立¿，
解得：¿或¿（舍去），
即A (3,9)，
3
由A (1,1)，A (2,4)，A (3,9)，得A (1,12)，A (2,22)，A (3,32)，
1 2 3 1 2 3
依此类推，A (2022,20222)
2022
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，能够利用两直线平行，其解析式的系数k相等这一特征求解
析式是解决问题的关键．
10．（3分）（2023春·福建福州·八年级校考期末）对于二次函数y=ax2+bx+c，规定函数y=¿是它的相
( 1 ) (9 )
关函数．已知点M，N的坐标分别为 - ,1 ， ,1 ，连接MN，若线段MN与二次函数
2 2
y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．-3h的解集为
．
【答案】x<2或x>4
【分析】根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+h时，则ax2+(b-k)x+c>h，进而结合函数图象得出x的取
值范围．
【详解】解：根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+h时，则ax2+(b-k)x+c>h，
由图象可得：关于x的不等式ax2+(b-k)x+c>h的解集为：x<2或x>4，
故答案为：x<2或x>4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
12．（3分）（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ的端点坐标分别
为P(1，2)，Q(1，3)，抛物线y=x2-2mx+3m2（m为常数，m>0）和线段PQ有公共点时，m的取
值范围是 ，
1+√7
【答案】10）和线段PQ有公共点，P(1，2)，Q(1，3)，
∴20，
1+√7
∴m的取值范围是12三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
2 2 2
【详解】（1）解：当b=-2，c=3时，y=-x2-2x+3=-(x+1) 2+4，
∴此时该函数图象的顶点坐标为(-1,4)；
（2）解：∵该函数图象经过点(1,-3)，
∴-1+b+c=-3，则c=-2-b，
∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，
b b 4×(-1)×c-b2 4c+b2 b2
∴m=- = ，n= = =c+ ，
2×(-1) 2 4×(-1) 4 4
∴b=2m，c=-2-2m，
4m2
∴n=-2-2m+ ，即n=m2-2m-2；
4
2c+1 1
（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=-x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线x= =c+ ，开口向下，
2 2
∵0≤x≤2，
1 1 3 4×(-1)×c-(2c+1) 2 (2c+1) 2
∴当0≤c+ ≤2即- ≤c≤ 时，该函数的最大值为 =c+ =8，即
2 2 2 4×(-1) 4
4c2+8c-31=0，
√35 √35
解得c =-1+ （不合题意，舍去），c =-1- （不合题意，舍去）；
1 2 2 21 1
当c+ <0即c<- 时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
2 2
∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；
1 3
当c+ >2即c> 时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
2 2
∴当x=2时，y有最大值为-22+2(2c+1)+c=8，
解得c=2，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第
（3）问是解答的关键．
18．（6分）（2023春·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不
断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边
由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)y=-2x2+36x(10≤x<18)
(2)x=10
(3)x=10，y有最大值，最大值是160
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0<36-2x≤16求出自变量x的取
值范围即可；
（2）若矩形空地的面积为160m2，则由y=160可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即
可；
（3）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：y=x(36-2x)=-2x2+36x,
∵0<36-2x≤16，
∴10≤x<18，∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2+36x(10≤x<18)；
（2）解：由题意得：-2x2+36x=160，
即x2-18x+80=0，
(x-8)(x-10)=0
解得x =8，x =10，
1 2
∵10≤x<18，
∴x =8不符合题意，故舍去，
1
∴x=10；
（3）解：由（1）知y=-2x2+36x(10≤x<18)，
化成顶点式：y=-2x2+36x=-2(x-9) 2+162，
因为y=-2(x-9) 2+162开口向下，x值越靠近对称轴x=9，y值最大，且10≤x<18，
∴当x=10时，y有最大值，且为y=-2×(10-9) 2+162=-2+162=160，
此时AD=36-2x=36-20=16(m)，符合题意．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
19．（8分）（2023春·山西运城·九年级统考期末）画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线，小明想
在下面的平面直角坐标系中画函数y＝kx＋b与函数y=x2-x-c的图象，他已经画出函数y＝kx＋b的
图象，它的图象经过A(-1,0)B(2,-3)两点．在画二次函数y=x2-x-c的图象时，他根据x，y的对应关
系列出了下面表格．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 5 …根据以上信息完成下面任务：
(1)请你根据表格提供的对应值，在平面直角坐标系中画出函数y=x2-x-c的图象．
(2)函数y=x2-x-c中c的值为 ；
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>x2-x-c的解集；
(4)若二次函数y=x2-x-c的图象的顶点为C，则△ABC的面积为 ．
【答案】(1)详情见详解；
(2)c=-3
(3)-1x2-x-c 的解为 -14时，x= ，y有最小值- ，
2 2 4 2 4
x=m，y有最大值m2-3m-4；即可得到答案．
【详解】（1）解：令x=0，则y=-4，
∴ C(0，-4)，
∴ OC=4，
∵ OA=OC，
∴ AO=4，
∴ A(4，0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴ ¿，
解得¿，
∴ y=x-4；
（2）解：∵ OC=4OB，
∴ OB=1，
∴ B(-1，0)，
将A(4，0)，B(-1，0)代入y=ax2+bx-4，
∴¿，
解得¿，
∴ y=x2-3x-4，
∵y=x2-3x-4= ( x- 3) 2 - 25 ，a=1>0，
2 4
3
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x= ，
2
3
∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x< ；
2
（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，∵点P的横坐标为n，
∴ P(n，n2-3n-4)，则Q(n，n-4)，
∴ PQ=n-4-(n2-3n-4)=-n2+4n，
由（1）得A(4，0)，C(0，-4)，
∴ S ❑ =S +S
△ PCA △PCQ △PAQ
1 1
= QP(x -x )+ QP(x -x )
2 P C 2 A P
1
= QP(x -x +x -x )
2 P C A P
1
= QP(x -x )
2 A C
1
= ×4×(-n2+4n)
2
=-2(n-2) 2+8，
∵ 04时，x= ，y有最小值- ，x=m，y有最大值m2-3m-4，
2 4
25 9
∴ m2-4m-4+ =m2-3m+ ，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；
4 4
3
综上所述： ≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
2
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的
图象与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思
想解题，是解此题的关键．
