第22章 二次函数章末拔尖卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023春·江苏·九年级专题练习）一次函数y=cx-b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先假设c<0，根据二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交点的位置可判断A，C是否成立；
再假设c>0，b<0，判断一次函数y=cx-b的图象位置及增减性，再根据二次函数y=ax2+bx+c的开口
方向及对称轴位置确定B，D是否成立．
【详解】解：若c<0，则一次函数y=cx-b图象y随x的增大而减小，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象
与y轴的交点在y轴负半轴，故A，C错；
若c>0，b<0，则一次函数y=cx-b图象y随x的增大而增大，且图象与y的交点在y轴正半轴上，此时二
b
次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点也在y轴正半轴，若a>0，则对称轴x=- >0，故B错；若
2a
b
a<0，则对称轴x=- <0，则D可能成立．
2a
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析
二次函数的图象是否符合即可．1
2．（3分）（2023春·安徽滁州·九年级校考期末）已知抛物线y=x2+(m+1)x- m2-1（m为整数）与x
4
轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=OB，则m等于（ ）
A．2+√5 B．2-√5 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】当x=0时，可求得B为 ( 0，- 1 m2-1 ) ，由OA=OB可得A为 ( - 1 m2-1，0 ) 或
4 4
(1 m2+1，0 ) ，将A的坐标代入y=x2+(m+1)x- 1 m2-1，进行计算即可得到答案．
4 4
1
【详解】解：当x=0时，y=- m2-1，
4
∴抛物线与y轴的交点B为 ( 0，- 1 m2-1 ) ，
4
∵ OA=OB，
∴抛物线与x轴的交点A为 ( - 1 m2-1，0 ) 或 (1 m2+1，0 ) ，
4 4
∴ ( - 1 m2-1 ) 2 +(m+1) ( - 1 m2-1 ) - 1 m2-1=0或 (1 m2+1 ) 2 +(m+1) (1 m2+1 ) - 1 m2-1=0，
4 4 4 4 4 4
∴ ( - 1 m2-1 )( - 1 m2-1+m+1+1 ) =0或 (1 m2+1 )(1 m2+1+m+1-1 ) =0，
4 4 4 4
1 1 1 1
∴- m2-1=0或- m2-1+m+1+1=0或 m2+1=0或 m2+1+m+1-1=0，
4 4 4 4
解得：m=2√2+2或m=-2√2+2或m=-2，
∵ m为整数，
∴m=-2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的
图象与性质是解题的关键．
3．（3分）（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）已知二次函数y=mx2-2mx+2（m≠0）在-2≤x<2
时有最小值-2，则m=（ ）
1 1 1 1
A．-4或- B．4或- C．-4或 D．4或
2 2 2 2
【答案】B
【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2-2mx+2=m(x-1) 2-m+2，
∴对称轴为直线x=1，
①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=-m+2=-2，解得：m=4；
②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在-2≤x<2时有最小值-2，
1
∴x=-2时，有最小值y=9m-m+2=-2，解得：m=- ．
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
4．（3分）（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）四位同学在研究二次函数y=ax2+bx-6(a≠0)时，甲
同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现当x=3时，y=-6；丙同学发现函数的最小值为-8；
丁同学发现x=3是一元二次方程ax2+bx-6=0(a≠0)的一个根，已知这四位同学中只有一位同学发现的
结论是错误的，则该同学是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，假设其中一个不对时，判断其它三个条件是否同时成
立．
b
【详解】解：当甲同学的结论正确，即当函数的对称轴是直线x=1时，- =1，即b=-2a．
2a
当乙同学的结论正确，即当x=3时，y=-6时，9a+3b-6=-6，可得b=-3a．
4ac-b2 -24a-b2
当丙同学的结论正确，即当函数的最小值为-8时， = =-8，可得b2=8a．
4a 4a
当丁同学的结论正确，即当x=3是一元二次方程ax2+bx-6=0(a≠0)的一个根时，9a+3b-6=0，可得
b=2-3a．
根据b=-3a和b=2-3a不能同时成立，可知乙同学和丁同学中有一位的结论是错误的，
假设丁同学的结论错误，联立b=-2a和b=-3a，得a=0，b=0，不满足a≠0，故假设不成立；
假设乙同学的结论错误，联立b=-2a和b=2-3a，得a=2，b=-4，此时满足b2=8a，故假设成立；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数抛物线的对称轴、顶点坐标与系数的关
系是解题的关键．
5．（3分）（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数y=-(x+m-1)(x-m)+1，点是图象上两点，下列说法正确的是( )
A(x ,y ),B(x ,y )(x <x )
1 1 2 2 1 2
A．若x +x >1，则y >y B．若x +x <1，则y >y
1 2 1 2 1 2 1 2
C．若x +x >-1，则y >y D．若x +x <-1，则y <y
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】A
1
【分析】将函数化为二次函数的一般形式，可以求得对称轴为x= ，然后根据函数图像上点的坐标与对称
2
轴的关系即可得到答案；
【详解】解：∵y=-(x+m-1)(x-m)+1=-x2+x+m2-m+1
1
∴函数图像开口向下，对称轴为x=
2
当x +x =1时，A、B两点关于对称轴对称，此时y = y ；
1 2 1 2
当x +x >1时，A、B在对称轴右侧或分别在对称轴两侧且A到对称轴的距离小于B到对称轴的距离，此
1 2
时y >y ；
1 2
当x +x <1时，A、B在对称轴左侧或分别在对称轴两侧，且A到对称轴的距离大于B到对称轴的距离，
1 2
此时y <y ；
1 2
由此可判断选项，只有A选项符合，故选A；
【点睛】本题考查了二次函数的图像，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的
解题关键．
6．（3分）（2023春·浙江温州·九年级期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）经
过点A(1，0)和点B(0，-3)，若该抛物线的顶点在第三象限，记m=2a-b+c，则m的取值范围是（
）
A．0<m<3 B．-6<m<3 C．-3<m<6 D．-3<m<0
【答案】B
b
【分析】由顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，-3)，可得出： a>0，- <0，即可得出
2a
0<a<3，又由于m=2a-b+c=2a-(3-a)+(-3)=3a-6，求出3a-6的范围即可．
【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c过点(1,0)和点(0,-3)，
∴c=-3，a+b+c=0，
即b=3-a，
∵顶点在第三象限，经过点A(1，0)和点B(0，-3)，b
∴a>0，- <0，
2a
∴b>0，
∴b=3-a>0，
∴a<3，
∴0<a<3
∵m=2a-b+c=2a-(3-a)+(-3)=3a-6，
∵0<a<3，
∴0<3a<9
∴-6<3a-6<3，
∴-6<m<3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当
b
a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=- ；抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)．
2a
7．（3分）（2023春·江苏扬州·九年级校考期末）在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为8，当
△ABC面积最大时，则其周长的最小值为（ ）
A．4√5+2 B．4√5+4 C．2√5+2 D．2√5+4
【答案】B
1
【分析】设BC=x，则高为(8-x)，设△ABC面积为S，则S= x(8-x)，找到面积最大时的x值，过A
2
作直线l∥BC，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，△ABC的周长最小，计算
可以解题．
【详解】设BC=x，则高为(8-x)，设△ABC面积为S
1 1
∴S= x(8-x)=- (x-4) 2+8，
2 2
∵ △ABC的面积最大，
∴x=4，
即BC=4，
过A作直线l∥BC，作B关于l的对称点E，连接BE交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，
△ABC的周长最小，
∴BG=GE=AD=4，∴BE=8，
∴CE=√42+82=4√5，
∴ △ABC的周长最小值为：4√5+4．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解
题的关键．
8．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校考期中）如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶
点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，则下列结论：①b=2a；②c-a=n；
③抛物线另一个交点(m，0)在-2到-1之间；④当x<0时，ax2+(b+2)x≥0；⑤一元二次方程
ax2+ ( b- 1) x+c=0有两个不相等的实数根；其中正确的是（ ）
2
A．①②③ B．①④⑤ C．②④⑤ D．②③⑤
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；
③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解．
【详解】解：①因为抛物线的顶点坐标为(1，n)，则其对称轴为x=1，b
即- =1，所以b=-2a，所以①错误；
2a
②当x=1时，y=n，
所以a+b+c=n，因为b=-2a，
所以c-a=n，所以②正确；
③因为抛物线的对称轴为x=1，
且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，
所以抛物线另一个交点(m，0)在-2到-1之间；所以③正确；
④因为ax2+(b+2)x≥0，即ax2+bx≥-2x，
根据图象可知：
把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象向下平移c个单位后图象过原点，
即可得抛物线y=ax2+bx(a≠0)的图象，
所以当x<0时，ax2+bx<-2x，
即ax2+(b+2)x<0．所以④错误；
⑤一元二次方程ax2+ ( b- 1) x+c=0，
2
( 1) 2
Δ= b- -4ac，
2
因为根据图象可知：a<0，c>0，
所以-4ac>0，
( 1) 2
所以Δ= b- -4ac>0，
2
所以一元二次方程ax2+ ( b- 1) x+c=0有两个不相等的实数根．
2
所以⑤正确．
综上，正确的有②③⑤，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，
解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（3分）（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点C ，C ，…，都在
1 2
y轴正半轴上，点A 在二次函数y=x2(x>0)图象上，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OA B C ，且
1 1 1 1 1 1
，延长 与二次函数 图象交于点 ；以， 为邻边作平行四边形
OC =√2OA C B y=x2(x>0) A C C
1 1 1 1 2 1 2，且 ，延长 与二次函数 图象交于点 ；…；按此规律进行
C A B C C C =√2C A C B y=x2(x>0) A
1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3
下去，若A 的横坐标为1，则A 的坐标为（ ）
1 2022
A．(2021,20212) B．(2021,20222) C．(2022,20222) D．(2023,20232)
【答案】C
【分析】由题已得A (1,1)，OA =√2可计算出OC 的长度，得C (0,2)，利用平行四边形的性质及两直线
1 1 1 1
平行，其解析式的系数k相等的特性，可知直线C B 解析式，联立y=x2(x>0)，可求得A (2,4)，同理，
1 1 2
依此类推，可求得A (3,9)，寻找规律，类比可得A 的坐标．
3 2022
【详解】解：∵A 的横坐标为1，且在y=x2(x>0)图象上
1
∴A (1,1)，则：OA =√2，
1 1
易得OA 的解析式为：y=x，
1
又∵OC =√2OA
1 1
∴OC =√2×√2=2，即：C (0,2)
1 1
又∵OA B C 为平行四边形，
1 1 1
∴直线C B 解析式为：y=x+2（两直线平行，其解析式的系数k相等）
1 1
联立¿，
解得：¿或¿（舍去），
即A (2,4)，
2
则：C A =√(2-0) 2+(4-2) 2=2√2，C C =√2C A =4，
1 2 1 2 1 2∴C (0,6)，
2
又∵C A B C 为平行四边形，
1 2 2 2
∴直线C B 解析式为：y=x+6，
2 2
联立¿，
解得：¿或¿（舍去），
即A (3,9)，
3
由A (1,1)，A (2,4)，A (3,9)，得A (1,12)，A (2,22)，A (3,32)，
1 2 3 1 2 3
依此类推，A (2022,20222)
2022
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，能够利用两直线平行，其解析式的系数k相等这一特征求解
析式是解决问题的关键．
10．（3分）（2023春·福建福州·八年级校考期末）对于二次函数y=ax2+bx+c，规定函数y=¿是它的相
( 1 ) (9 )
关函数．已知点M，N的坐标分别为 - ,1 ， ,1 ，连接MN，若线段MN与二次函数
2 2
y=-x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
5 5
A．-3<n≤-1或1<n≤ B．-3<n<-1或1≤n≤
4 4
5
C．n≤-1或1<n≤ D．-3<n<-1或n≥1
4
【答案】A
【分析】首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点
时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【详解】解：如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3<n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点(0,1)，
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．( 1 )
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M - ,1 ，
2
1 5
∴ +2-n=1，解得：n= ．
4 4
5
∴1<n≤ 时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
4
5
综上所述，n的取值范围是-3<n≤-1或1<n≤ ，
4
故选A．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，涉及二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函
数解析式的关系等，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个
交点时n的值是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线
y=ax2+bx+c与直线y=kx+h交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+(b-k)x+c>h的解集为
．
【答案】x<2或x>4
【分析】根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+h时，则ax2+(b-k)x+c>h，进而结合函数图象得出x的取
值范围．
【详解】解：根据题意得出：当ax2+bx+c>kx+h时，则ax2+(b-k)x+c>h，
由图象可得：关于x的不等式ax2+(b-k)x+c>h的解集为：x<2或x>4，
故答案为：x<2或x>4．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，采用数形结合的思想解题，是解答此题的关键．
12．（3分）（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，线段PQ的端点坐标分别
为P(1，2)，Q(1，3)，抛物线y=x2-2mx+3m2（m为常数，m>0）和线段PQ有公共点时，m的取
值范围是 ，
1+√7
【答案】1<m<
3
【分析】抛物线和线段PQ有公共点可知2<y<3，当点P(1，2)在抛物线上时，可算出此时的m的值，当
点Q(1，3)在抛物线上时，算出此时的m的值，由此即可求解．
【详解】解：抛物线y=x2-2mx+3m2（m为常数，m>0）和线段PQ有公共点，P(1，2)，Q(1，3)，
∴2<y<3，
1
∴当点P(1，2)在抛物线上时，1-2m+3m2=2，解得，m =1，m =- ；
1 2 3
1-√7 1+√7
当点Q(1，3)在抛物线上时，1-2m+3m2=3，解得，m = ，m = ；
3 3 4 3
∵当2<y<3时，有公共点，且m>0，
1+√7
∴m的取值范围是1<m< ，
3
1+√7
故答案为：1<m< ．
3
【点睛】本题主要考查二次函数图像与线段的交点问题，掌握二次函数图像的性质，线段与图像的位置关
系，数形结合分析是解题的关键．
1
13．（3分）（2023春·天津津南·九年级统考期末）抛物线y=- x2+x+4与x轴交于A，B两点(点A在点
2
B的左侧)，点C(2,y)在在这条抛物线上．
(1)则点C的坐标为 ；(2)若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
1
【答案】 (2,4) (0,2)，(0, )
2
【分析】（1）将点C(2,y)代入函数解析式即可得出结论；
（2）令y=0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解
答即可得出结论．
1
【详解】解：（1）∵点C(2,y)在抛物线y=- x2+x+4上，
2
∴y=4，
∴C(2,4)，
故答案为：(2,4)；
1
（2）令y=0，则- x2+x+4=0，
2
解得：x=4或x=-2．
1
∵抛物线y=- x2+x+4与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，
2
∴B(4,0)．
∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP=BC时，如图，
过点C作CD⊥OB于点D，
∵C(2,4)，B(4,0)，
∴CD=4，OB=4，OD=2，
∴CD=OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
¿，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD(HL)，
∴OP=BD．∵OB=4，OD=2，
∴BD=OB-OD=2，
∴OP=BD=2，
∴P(0,2)；
②当BP=PC时，如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵C(2,4)，B(4,0)，
∴CE=2，OE=4，OB=4，
设点P(0,a)，
∵点P为y轴的正半轴上的一点，
∴OP=a,EP=4-a，
∵BP=PC，
∴ BP2=PC2，
∴ EP2+CE2=OP2+OB2，
∴ (4-a) 2+22=a2+42，
1
解得：a= ，
2
1
∴P(0, )．
2
1
综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为(0,2)或(0, )．
2
1
故答案为：(0,2)或(0, )．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，
等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．14．（3分）（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，
与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE∥AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作
1
菱形DPEQ，点P在x轴上，若PQ= DE时，则菱形对角线DE的长为 ．
2
1+√65 -1+√65
【答案】 或
2 2
1
【分析】设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM= PQ，设点D的横坐标为t，由此表
2
1
示出DE的长，PM的长，进而可得PQ的长，根据PQ= DE建立方程，求解即可．
2
【详解】解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1，
1
设菱形DPEQ对角线的交点为M，则PQ⊥DE，PM= PQ，
2
∵点D是抛物线上的一个点，且DE∥AB，设点D的横坐标为t，
∴D(t，t2-2t-3)，
∵DE∥AB，
∴点D，点E关于对称轴对称，
∴点P和点Q在对称轴上，∴E(2-t，t2-2t-3)，
∴DE=(2-2t)，PM=|t2-2t-3|，
∴PQ=2PM=2|t2-2t-3|，
1
∵PQ= DE，
2
1
∴2|t2-2t-3|= (2-2t)，
2
5-√65 5+√65 3-√65 3+√65
解得t = ，t = (舍去)，t = ，t = (舍去)，
1 4 2 4 3 4 4 4
1+√65 -1+√65
∴DE=2-2t= 或 ．
2 2
1+√65 -1+√65
故答案为： 或 ．
2 2
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性
质由点D的坐标表示出PQ的长是解题关键．
15．（3分）（2023春·湖北孝感·九年级统考期中）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时
从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A-D-C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A-B-C的方向运动，
两点相遇时停止运动．设运动时间为xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点
(3，m),(n，m)，则n的值为 ．
【答案】3+√6/√6+3
【分析】分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点E在AD上时；当点F在AB上，且点E在CD上时；
当点F在BC上，且点E在CD上时．图2中的最高点是当点F与点B重合时，y的值为2.5；当点E和点F相
遇时，即到达点C时，用时6秒．由此可求出AB=5，AD=1，由此可求出当点E运动3秒后y的值，即可求出m的值，进而可求出n的取值．
【详解】解：由图2可知，当点F运动到点B时，
1
y= •AB•AD=2.5，即AB•AD=5，
2
当点E和点F相遇时，即到达点C时，运动了6秒，即AB+AD=6cm，
AB(6-AB)=5，
∴AB=5或AB=1，
∵AD＜AB，
∴AB=5，
∴AB=5cm，AD=1cm，
当x=3时，如图，AF=xcm，
1 1 3
m= •AF•EM= ×3×1= cm2 ；
2 2 2
当x=n时，点E在CD上，点F在BC上，如图，
此时，EC=(6﹣n)cm，CF=(6﹣n)cm，BF=(n﹣5)cm，
1 1 1 3
∴y= ×(6-n+5)×1- ×5(n-5)- ×(6-n) 2= ，
2 2 2 2
解得n=3+√6或n=3-√6（舍去）．
故答案为：3+√6．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然
后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键．
16．（3分）（2023春·江苏南京·九年级统考期末）将二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿
与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将x轴截出长为2√2的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为
．【答案】-8
m n
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x ，x ，则x +x =- ,x x = ,再进行变形
1 2 1 2 4 1 2 4
m2-16
得出(x +x ) 2-4x x =8,再代入可得 =8,进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
1 2 1 2 16
【详解】∵二次函数y=4x2+mx+n（m，n为常数）的图像沿与x轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将
x轴截出长为2√2的线段，
∴翻折前两交点间的距离不变，
设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为x ，x ，
1 2
m n
则x +x =- ,x x = ,
1 2 4 1 2 4
∴|x -x |=2√2,
1 2
∴(x -x ) 2=8,
1 2
∴(x +x ) 2-4x x =8,
1 2 1 2
( m) 2 n
∴ - -4× =8,
4 4
m2-16
∴ =8,
16
4×4n-m2 16n-m2
又∵y=4x2+mx+n的纵坐标为 = ，
4×4 16
16-m2
∴ =-8,
16
即该二次函数图像顶点纵坐标为-8
故答案为：-8
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与x轴交点之间的距离
是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2023春·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c
（b，c是常数）．
(1)当b=-2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．
(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．
【答案】(1)(-1,4)
(2)n=m2-2m-2
(3)2
【分析】（1）将二次函数化为顶点式求解即可；
b b2
（2）根据二次函数的性质和已知条件得到m= ，n=c+ ，b=2m，c=-2-2m，进而求解即可；
2 4
2c+1 1
（3）当b=2c+1时，二次函数y=-x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线x= =c+ ，开口向下，分
2 2
1 1 1
0≤c+ ≤2 、c+ <0、c+ >2三种情况，利用二次函数的性质求解即可．
2 2 2
【详解】（1）解：当b=-2，c=3时，y=-x2-2x+3=-(x+1) 2+4，
∴此时该函数图象的顶点坐标为(-1,4)；
（2）解：∵该函数图象经过点(1,-3)，
∴-1+b+c=-3，则c=-2-b，
∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，
b b 4×(-1)×c-b2 4c+b2 b2
∴m=- = ，n= = =c+ ，
2×(-1) 2 4×(-1) 4 4
∴b=2m，c=-2-2m，
4m2
∴n=-2-2m+ ，即n=m2-2m-2；
4
2c+1 1
（3）解：当b=2c+1时，二次函数y=-x2+(2c+1)x+c的对称轴为直线x= =c+ ，开口向下，
2 2
∵0≤x≤2，
1 1 3 4×(-1)×c-(2c+1) 2 (2c+1) 2
∴当0≤c+ ≤2即- ≤c≤ 时，该函数的最大值为 =c+ =8，即
2 2 2 4×(-1) 4
4c2+8c-31=0，
√35 √35
解得c =-1+ （不合题意，舍去），c =-1- （不合题意，舍去）；
1 2 2 21 1
当c+ <0即c<- 时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，
2 2
∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；
1 3
当c+ >2即c> 时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，
2 2
∴当x=2时，y有最大值为-22+2(2c+1)+c=8，
解得c=2，符合题意，
综上，满足条件的c的值为2．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第
（3）问是解答的关键．
18．（6分）（2023春·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不
断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边
由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若矩形空地的面积为160m2，求x的值；
(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【答案】(1)y=-2x2+36x(10≤x<18)
(2)x=10
(3)x=10，y有最大值，最大值是160
【分析】（1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由0<36-2x≤16求出自变量x的取
值范围即可；
（2）若矩形空地的面积为160m2，则由y=160可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并作出取舍即
可；
（3）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：y=x(36-2x)=-2x2+36x,
∵0<36-2x≤16，
∴10≤x<18，∴y与x之间的函数关系式为y=-2x2+36x(10≤x<18)；
（2）解：由题意得：-2x2+36x=160，
即x2-18x+80=0，
(x-8)(x-10)=0
解得x =8，x =10，
1 2
∵10≤x<18，
∴x =8不符合题意，故舍去，
1
∴x=10；
（3）解：由（1）知y=-2x2+36x(10≤x<18)，
化成顶点式：y=-2x2+36x=-2(x-9) 2+162，
因为y=-2(x-9) 2+162开口向下，x值越靠近对称轴x=9，y值最大，且10≤x<18，
∴当x=10时，y有最大值，且为y=-2×(10-9) 2+162=-2+162=160，
此时AD=36-2x=36-20=16(m)，符合题意．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
19．（8分）（2023春·山西运城·九年级统考期末）画函数图象的一般步骤是列表、描点、连线，小明想
在下面的平面直角坐标系中画函数y＝kx＋b与函数y=x2-x-c的图象，他已经画出函数y＝kx＋b的
图象，它的图象经过A(-1,0)B(2,-3)两点．在画二次函数y=x2-x-c的图象时，他根据x，y的对应关
系列出了下面表格．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 5 …根据以上信息完成下面任务：
(1)请你根据表格提供的对应值，在平面直角坐标系中画出函数y=x2-x-c的图象．
(2)函数y=x2-x-c中c的值为 ；
(3)请你根据图象直接写出不等式kx+b>x2-x-c的解集；
(4)若二次函数y=x2-x-c的图象的顶点为C，则△ABC的面积为 ．
【答案】(1)详情见详解；
(2)c=-3
(3)-1<x<2
(4)3
【分析】（1）根据表格中的坐标在坐标系中描点连线即可；
（2）选择一个表格中的点代入即可求解；
（3）根据图像找出两个函数的交点坐标即可求解；
（4）求出顶点C 坐标，过C作CH垂直于x轴交 AB于H，根据S =S +S 即可求解；
△ABC △ACH △BCH
【详解】（1）如图：（2）根据表格可知，y=x2-x-c的图象经过点(-1,0)
将(-1,0)代入y=x2-x-c可得：c=-3
（3）根据表格和图像可知，y=x2-x-c的图像和y＝kx＋b的两个交点分别是：(-1,0)和 (2,-3)
∴不等式 kx+b>x2-x-c 的解为 -1<x<2
（4）∴顶点C 坐标为 (1,-4)，过C作CH垂直于x轴交 AB于H
则H(1,-2)
∵A(-1,0)B(2,-3)
1 1
∴S =S +S = ×2×2+ ×2×1=3
△ABC △ACH △BCH 2 2
故 △ABC 的面积为3．
【点睛】该题考查了二次函数画图方法，二次函数图像的性质、二次函数与一次函数交点确定以及与不等
式相结合与三角形面积相结合的相关知识点和解题方法，解答该题的关键是熟悉这些知识点并能够熟练运
用．
20．（8分）（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）某班“数学兴趣小组”对函数y=-x2+2|x|+3的图
象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
3 3
x ⋯ -4 -3 -2 - -1 0 1 2 3 4 ⋯
2 2
15 15
y ⋯ -5 0 3 4 3 4 m 0 -5 ⋯
4 4
其中，m=________．
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质_______________________________；
(4)已知函数y=-x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程-x2+2|x|+3=-x+4的解
（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)函数图象关于y轴对称（答案不唯一）
(4)x =0.6，x =2.6
1 2
【分析】（1）把x=2代入解析式即可求得答案；
（2）描点后、用光滑曲线顺次连接即可；
（3）观察图象可得函数的性质；
（4）观察图象即可获得交点横坐标，即可得解．
【详解】（1）解：当x=2时，m=-22+2|2|+3=-4+4+3=3，
故答案为：3；
（2）解：描点，连线得出函数图象如图：
；（3）解：由图可知，该函数图象关于y轴对称．
故答案为：函数图象关于y轴对称；
（4）解：观察图象可得y=-x+4与y=-x2+2|x|+3图象交点的横坐标为：0.6、2.6．
∴方程-x2+2|x|+3=-x+4的解为：x =0.6，x =2.6．
1 2
【点睛】本题考查了函数图象上的点的特征，描点法画函数图象，函数与方程的联系．图象法解方程等知
识，解题的关键在于熟练掌握函数的性质，图象的画法．
5
21．（8分）（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx- 经过A(-1,0)，B(5,0)两
2
点．
(1)求此拋物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA+PC值最小，求最小值；
(3)点M为x轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边
形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1 5
【答案】(1)y= x2-2x-
2 2
5√5
(2)
2
( 5) ( 5) ( 5)
(3) 4,- ， 2+√14, ， 2-√14,
2 2 2
【分析】（1）把A(-1,0)，B(5,0)两点代入求出a、b的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0)，连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．5
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx- 经过A(-1,0)，B(5,0)两点，
2
∴¿，
1
解得：a= ，b=-2，
2
1 5
∴此拋物线的解析式为y= x2-2x- ；
2 2
（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，
1 5
∵拋物线的解析式为y= x2-2x- ，
2 2
b -2
x=- =- =2
∴其对称轴为直线 2a 1 ，
2×
2
5
当x=0时，y=- ，
2
( 5)
∴C 0,- ，
2
又∵B(5,0)，
∴设BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴¿，
1 5
解得：k= ，b=- ，
2 2
1 5
∴ BC的解析式为y= x- ，
2 2
1 5 3
当x=2时，y=2× - =- ，
2 2 2( 3)
∴P 2,- ，
2
∴PA+PC= √ (-1-2) 2+ (3 +0 ) 2 + √ (0-2) 2+ ( - 5 + 3) 2 = 5√5 ；
2 2 2 2
（3）存在，如图所示：
①当点N在x轴下方时，
( 5)
∵抛物线的对称轴为x=2，C 0,- ，
2
( 5)
∴N 4,- ，
1 2
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N 作N D⊥x轴于点D，
2 2
在△AN D和△M CO中，
2 2
¿，
∴△AN D≌△M CO(ASA)，
2 2
5 5
∴N D=OC= ，即N 点的纵坐标为
2 2 2 2
1 5 5
∴ x2-2x- = ，
2 2 2
解得：x=2+√14或x=2-√14，
( 5) ( 5)
∴N 2+√14, ，N 2-√14, ，
2 2 3 2( 5) ( 5) ( 5)
综上所述符合条件的N的坐标有 4,- ， 2+√14, ， 2-√14, ．
2 2 2
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边
的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
22．（8分）（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边
( 3 )
缘点E的坐标为 - ,-10 ．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在
2
( 5)
跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 1, ，正常情况下，运动员在距水面高度5米以
4
前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另
一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由；
21 27
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM= ，EN= ，该运动员入水后运动路线对应的抛
2 2
物线解析式为y=a（x-h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N
两点），请直接写出a的取值范围．
5 5
【答案】(1)y=- (x-1) 2+ ；(4，-10)
4 4
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
1 16
(3) ≤a≤
4 255
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a (x-1) 2+ ，将(0,0)代入即可求得解析式；令y=-10，即可求
0 4
得点B的坐标；
（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；
（3）分别求出当抛物线经过点M、N时的a的值即可．
5
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a (x-1) 2+
0 4
5
将(0,0)代入解析式得：a =-
0 4
5 5
∴抛物线的解析式为y=- (x-1) 2+
4 4
5 5
令y=-10，则-10=- (x-1) 2+
4 4
解得：x =-2(舍去),x =4
1 2
∴入水处B点的坐标(4，-10)
3 7
（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5- =
2 2
7 5 (7 ) 2 5 105
将x= 代入解析式得：y=- × -1 + =-
2 4 2 4 16
105 55
∵- -(-10)= <5
16 16
∴该运动员此次跳水失误了
21 27 ( 3 )
（3）解：∵EM= ，EN= ，点E的坐标为 - ,-10
2 2 2
∴点M、N的坐标分别为：(9,-10),(12,-10)
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x-h）2+k，顶点C距水面4米
13 2
y=a(x- ) -14，
2
16
∴当抛物线经过点M时，把点M(9,-10)代入得：a=
25
1
同理，当抛物线经过点N (12,-10)时，a=
41 16
由点D在MN之间可得： ≤a≤
4 25
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．
熟记二次函数的相关形式是解题关键．
23．（8分）（2023春·吉林·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=ax2+bx-4(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC=4OB．
(1)求直线CA的表达式；
(2)求该二次函数的解析式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
(3)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为n(0<n<4)．当△PCA的面积取最大值时，求点P的坐
标；
(4)当-1≤x≤m时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=x-4
3
(2)y=x2-3x-4，x<
2
(3)P(2，-6)
3
(4) ≤m≤4
2
【分析】（1）先求出点A、点C的坐标，再用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）先求出点B的坐标，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式，将二次函数化为顶点式，根据二
次函数的性质即可得到函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，点P的横坐标为n，P(n，n2-3n-4)，则Q(n，n-4)，
PQ=n-4-(n2-3n-4)=-n2+4n，从而表示出S ❑ =S +S =-2(n-2) 2+8，根据二次函
△ PCA △PCQ △PAQ
数的性质即可得到答案；3
（4）分三种情况讨论：①当-1<m< 时，x=-1，y有最大值0，x=m，y有最小值m2-3m-4；②当
2
3 3 25 3 25
≤m≤4时，x= ，y有最小值- ，x=-1，y有最大值0；③当m>4时，x= ，y有最小值- ，
2 2 4 2 4
x=m，y有最大值m2-3m-4；即可得到答案．
【详解】（1）解：令x=0，则y=-4，
∴ C(0，-4)，
∴ OC=4，
∵ OA=OC，
∴ AO=4，
∴ A(4，0)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴ ¿，
解得¿，
∴ y=x-4；
（2）解：∵ OC=4OB，
∴ OB=1，
∴ B(-1，0)，
将A(4，0)，B(-1，0)代入y=ax2+bx-4，
∴¿，
解得¿，
∴ y=x2-3x-4，
∵y=x2-3x-4= ( x- 3) 2 - 25 ，a=1>0，
2 4
3
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x= ，
2
3
∴函数值y随x的增大而减小时x的取值范围为x< ；
2
（3）解：过点P作PQ∥y轴交AC于点Q，∵点P的横坐标为n，
∴ P(n，n2-3n-4)，则Q(n，n-4)，
∴ PQ=n-4-(n2-3n-4)=-n2+4n，
由（1）得A(4，0)，C(0，-4)，
∴ S ❑ =S +S
△ PCA △PCQ △PAQ
1 1
= QP(x -x )+ QP(x -x )
2 P C 2 A P
1
= QP(x -x +x -x )
2 P C A P
1
= QP(x -x )
2 A C
1
= ×4×(-n2+4n)
2
=-2(n-2) 2+8，
∵ 0<n<4，
∴当n=2时，△PCA的面积有最大值，此时P(2，-6)；
3
（4）解：当 ≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，
2
∵ y=x2-3x-4= ( x- 3) 2 - 25 ，
2 4
3
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
3
①当-1<m< 时，x=-1，y有最大值0，x=m，y有最小值m2-3m-4，
2
∴ 0-(m2-3m-4)=-m2+3m+4，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；3 3 25
②当 ≤m≤4时，x= ，y有最小值- ，x=-1，y有最大值0，
2 2 4
( 25) 25
∴ 0- - = ，此时二次函数的最大值与最小值的差是一个定值；
4 4
3 25
③当m>4时，x= ，y有最小值- ，x=m，y有最大值m2-3m-4，
2 4
25 9
∴ m2-4m-4+ =m2-3m+ ，此时二次函数的最大值与最小值的差随m的变化而变化；
4 4
3
综上所述： ≤m≤4时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值．
2
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的
图象与性质、二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合与分类讨论的思
想解题，是解此题的关键．
