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第 05 讲 二次函数压轴专题
课程标准 学习目标
1. 能通过二次函数的图像与系数的关系解决二次函数
选择填空的压轴题目。
①二次函数的图像与系数之间的关系
2. 能够利用二次函数的顶点式求实际问题中的最值问
②二次函数的最值问题
题。以及三角形四边形的面积最值问题。
③二次函数的存在性问题
3. 利用二次函数与几何的关系，解决二次函数中的存
在性问题。
知识点01 二次函数的图像与系数的关系
1. 与开口方向的关系。
2. 对称轴与 的关系；对称轴在 轴左边或右边与 的符号的关系；对称轴与±1的关系可得
以及 的关系。
3. 函数与 轴交点坐标与 的关系。4. 函数与 轴的交点个数与 的关系。
5. 是自变量为 1 的函数值， 是自变量为 ﹣ 1 的函数值。
是自变量为 2 的函数值， 是自变量为 ﹣ 2 的函数值。
是自变量为 3 的函数值， 是自变量为 ﹣ 3 的函数值。
【即学即练1】
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．
其中正确的结论的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：开口向下，则a＜0，
与y轴交于正半轴，则c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
则abc＜0，①正确；
∵﹣ ＝1，
则b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②错误；
∵x＝0时，y＞0，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正确；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，④正确；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正确．
故选：C．
【即学即练2】2．如图，根据二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象得到如下结论：① abc＞0 ② 2a﹣b＝0 ③ a+b+c＝0
④3a+c＜0 ⑤当x＞﹣2时，y随x的增大而增大 ⑥一定存在实数x ，使得ax +bx ＞a﹣b成立．上
0 0
述结论，正确的是（ ）
A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤
【解答】解：∵抛物线开口向上、顶点在y轴左侧、抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵抛物线过点（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0，故③正确；
∴b＝2a，a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，故④错误；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；故⑤错误；
∵函数最小值为a﹣b+c，
∴当x ≠﹣1时，则ax +bx +c＞a﹣b+c，即ax +bx ＞a﹣b，
0 0 0
∴一定存在实数x ，使得ax +bx ＞a﹣b成立，故⑥正确；
0 0
故选：C．
【即学即练3】
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc＞0；②2a﹣b+c＜0；③
4a+2b+c＝0；④2a﹣b＝0；⑤ ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为 ，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴2a﹣b+c＝a＜0，故②正确；
根据对称性，x＝2与x＝0的函数值相同，
∴4a+2b+c＝c＞0，故③错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故④错误；
∵抛物线与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∴ ，故⑤正确；
综上，正确的有2个；
故选：B．
【即学即练4】
4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ）
①abc＞0；
②a﹣b+c＜0；
③ ；
④8a+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵函数的对称轴在y轴右侧，
∴ab＜0，
∵图象交于y轴的负半轴，∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；
∵函数的对称轴为x＝﹣ ＝1，
∴a＝﹣ b，故③错误；
由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正确；
故选：B．
知识点02 二次函数的最值问题
1. 求线段最值问题：
2. 求图形的面积最值问题：
将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。
【即学即练1】
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝3x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为
对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：∵y＝3x2﹣2x+2＝3（x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的顶点坐标为（ ， ），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为 ，
∴对角线BD的最小值为 ．
故选：C．
【即学即练2】
6．如果一个矩形的周长与面积的差是定值m（2＜m＜4），我们称这个矩形为“定差值矩形”．如图，在
矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y，2（x+y）﹣xy＝ ，那么这个“定差值矩形”的对角线AC的长的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵2（x+y）﹣xy＝ ，
∴xy＝2（x+y）﹣ ，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，
∴当x+y＝2时，AC有最小值为 ，
故选：C．
【即学即练3】
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：
同时，点Q从点B出发，2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动
点运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）求四边形PQCA的面积S的最小值．【解答】解：（1）由题意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，
S△PBQ ＝ BQ•PB＝ ×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），
∵S△PBQ ＝﹣t2+3t＝2，
解得t＝1或t＝2，
∴当t＝1s或2s时，△PBQ的面积为2cm2；
（2）∵S＝ ﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣ ）2+ （0≤t≤2），
∵a＝1，
∴t＝﹣ ＝ s时，S有最小值，最小值为 cm2．
【即学即练4】
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F，G，H四点一次是边AB，BC，CD，DA上一点（不
与各顶点重合），且AE＝AH＝CG＝CF，记四边形EFGH面积为S（图中阴影），AE＝x．
（1）求S关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．
（2）求x为何值时，S的值最大，并写出S的最大值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD ﹣2S△AEH ﹣2S△EFB ＝2×4﹣2× x2﹣2× （4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣ ）2+ ．
所以当x＝ 时，S的值最大，最大值为 ．
【即学即练5】
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，点P，Q分别是线段AD，BC上的点，BQ＝2AP，
过点P作PR∥AB交BD于R，记y表示△PRQ的面积，x表示线段AP的长度．如果
在一个直角三角形中，它的两个锐角都是45°，那么它的两条直角边的长度相等，请你根据题目条件，
写出表示变量y与x关系的关系式．
（3）当x＝ 时，y取得最大值 ．
【解答】（1）证明：∵∠C＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠ABC＝90°；
∴AB⊥BC；
（2）解：y＝ （4﹣x）x＝﹣ x2+2x；
（3）解：当x＝2时，y取得最大值2，
y＝﹣ x2+2x
＝﹣ （x2﹣4x+4）+2
＝﹣ （x﹣2）2+2，
故当x＝2时，y取得最大值2．
故答案为：2，2．
【即学即练6】10．如图，抛物线 与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C（0，4），
点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，若PQ⊥AC，垂足为Q，当PQ的长度为最大值时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若PQ⊥AC，垂足为Q，且AQ＝3PQ，求此时点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，4）代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
（2）如图1，连接PC，PA，
当PQ的长度最大时，△PAC的面积最大，
作PD∥y轴，交直线AC于点D，
设直线AC的解析式为y＝kx+b′，
代入点A（4，0），C（0，4），
可得： ，解得： ，
得到直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设点 ，则D（t，﹣t+4），∴ ，
∴ ，
∴当t＝2时，△PAC面积最大，
∵A（4，0），C（0，4），
∴利用勾股定理可得 ，
又∵ ，
∴△PAC面积最大时，PQ也最大，
即t＝2，
此时，点P的坐标为（2，4）；
（3）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，交AC于点G，
∵OC＝OA＝4，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵PQ⊥AC，PH⊥x轴，
∴∠HGA＝∠OAC＝45°，
∴∠HGA＝∠PGQ＝45°＝∠QPG，
∴GQ＝PQ，GH＝AH，
∴ ， ，
∵AQ＝3PQ，GQ＝PQ，
∴AG＝2PQ，
∴ ，即 ，
∴GH＝PG，
∴G点是PH的中点，
设 ，G（t，﹣t+4），
∴ ，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P点坐标为：（2，4）．知识点03 二次函数的存在性问题
1. 存在等腰三角形：
设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式表示出三角形的三边，分别选取其中两边为腰，利用腰相
等建立方程求解。
2. 存在直角三角形：
设出所求点的坐标，利用两点之间的距离公式表示出三角形的三边的平方，在利用各自为斜边的平方
等于两直角边的平方的和建立方程求解。
3. 存在平行四边形：
设出所求点的坐标，结合已知点讨论各自为对角线时的情况。利用中点坐标公式，平行四边形对角线
的性质——相互平分建立方程求解。即两条对角线两边端点求得的中点坐标相等。
【即学即练1】
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），B（3，
0）两点，该抛物线的顶点为C．
（1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在线段EB上是否存在一点M，过点M作x轴的垂线交
抛物线于点N，使四边形CEMN是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求出点P的坐标，并求出△PAB
面积的最大值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴
∴
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，
∴解得
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
如图，点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）．
（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB ＝S△PGA +S△PGB ＝ ＝ ，
∴当m＝ 时，△PAB面积的最大值是 ，∴此时P点坐标为（ ，﹣ ）．
【即学即练2】
12．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B
（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4．
（1）请分别求出k，m，a，b的值；
（2）如图2，点Q是线段BC上一点，且 ，点M是y轴上一个动点，求线段MQ+MA的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存
在请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+m过点B（6，0）和点C（0，6），
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣x+6，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点B（6，0）和点C（0，6），对称轴为直线x＝4，
∴ ，
∴ ，
∴y＝ x2﹣4x+6，∴k＝﹣1，m＝6，a＝ ，b＝﹣4；
（2）过点Q作QN⊥y轴，垂足为N，作A（2，0）关于y轴的对称点A'（﹣2，0），
∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴NQ＝CN＝ ＝4，
∴ON＝OC﹣CN＝2，
∴Q（4，2），
∴MQ+MA＝MQ+MA'≥QA'＝ ＝2 ，
∴MQ+MA的最小值为2 ．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝4，
∴设P点坐标为（4，y），
∵C（0，6），B（6，0），
∴PC2＝16+（y﹣6）2＝y2﹣12y+52，
∴PC2＝4+y2，
∴PC2＝72，
∴当∠PBC＝90°时，y2﹣12y+52＝4+y2+72，解得y＝﹣2，
当∠PCB＝90°时，4+y2＝y2﹣12y+52+72，解得y＝10，
当∠BPC＝90°时，y2﹣12y+52+4+y2＝72，解得y＝3± ，
∴P点坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+ ）或（4，3﹣ ）．
【即学即练3】
13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N在第四象限的抛物线上，且△NAB是以AB为底的等腰三角形，求N点的坐标；
（3）点P是直线AB上方抛物线上的一动点，当点P在何处时，点P到直线AB的距离最大，并求出最
大距离．
【解答】解：（1）设抛物线与x轴的另一个交点为C，
∵对称轴x＝﹣1，A（﹣4，0），
∴C（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），把B（0，4）代入得到a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x+4）（x﹣2），即y＝﹣ x2﹣x+4．
（2）如图1中，
∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y＝x+4，
∴线段AB的中垂线的解析式为y＝﹣x，设直线y＝﹣x交抛物线于N，则NA＝BN．
由 解得 或 （舍弃），
∴点N坐标（2 ，﹣2 ）．（3）如图2中，设P（m，﹣ m2﹣m+4），
∵S△PAB ＝S△PAO +S△PBO ﹣S△AOB
∴S△PAB ＝ ×4×（﹣ m2﹣m+4）+ ×4×（﹣m）﹣ ×4×4＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣2时，△PAB面积最大，最大值为4，设P到AB的距离为h，则此时h最大，
∴ •AB•h＝4，
∴h＝ ．
∴当P（﹣2，4）设，点P到AB的距离最大，最大值为 ．
【即学即练4】
14．如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为直线AB上的动点，当点P绕原点O旋转180°的对应点Q在抛物线上时，求点P的坐标；
（3）M为直线AB上的动点，N为抛物线上的动点，当以点O，A，M，N为顶点的四边形是平行四边
形时，请直接写出点M的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（2，0），B（0，4），
把A、B两点坐标代入y＝﹣2x2+bx+c，
得到 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4．
（2）设P（m，﹣2m+4）则Q（﹣m，2m﹣4），
把点Q坐标代入y＝﹣2x2+2x+4中，
得2m﹣4＝﹣2m2﹣2m+4，
解得m＝﹣1 ，
∴点P坐标为（﹣1+ ，6﹣2 ）或（﹣1﹣ ，6+2 ）．
（3）设M（m，﹣2m+4），由题意A（2，0），
①当OA为平行四边形OAMN的边时，MN＝0A＝2，则N（m﹣2，﹣2m+4），
把点N坐标代入y＝﹣2x2+2x+4中，
得﹣2m+4＝﹣2（m﹣2）2+2（m﹣2）＝4，
整理得m2﹣6m+6＝0，
解得m＝3± ，
∴点M坐标为（3+ ，﹣2﹣2 ）或（3﹣ ，﹣2+2 ）．
②当OA为对角线时，
∵OA与MN互相平分，OA的中点（1，0），
∴N（2﹣m，2m﹣4），
把N点坐标代入y＝﹣2x2+2x+4，
得到2m﹣4＝﹣2（2﹣m）2＝2（2﹣m）+4，
整理得m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1 ，
∴点M坐标为（1+ ，2﹣2 ）或（1﹣ ，2+2 ）．
综上所述满足条件的点M坐标为（3+ ，﹣2﹣2 ）或（3﹣ ，﹣2+2 ）或（1+ ，2﹣2
）或（1﹣ ，2+2 ）．
【即学即练5】
15．如图，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，OA＝2OC，将矩形OABC绕原点O逆时针旋转
90°，得到矩形ODEF．抛物线y＝ax2+bx+c经过F、D、B三个点，其顶点在直线y＝ x﹣ 上，直线L：y＝kx+m经过点E和点A，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上第一象限任意一点，过点P作x轴的垂线交
直线L于点M．
（1）求abc的值；
（2）设P点横坐标为t，求线段PM的长（用t的代数式表示）；
（3）以A、B、P、M四个点为顶点的四边形会是平行四边形吗？如果会，写出点 P的坐标，如果不会，
请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可设F（﹣m，0），则D（0，2m），B（2m，m），
把D、F、B三点坐标代入y＝ax2+bx+c可得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+2m，
∴抛物线的顶点坐标为（ m， ），
∵顶点在直线y＝ x﹣ 上，
∴ m＝ × ﹣ ，
∴m＝2，
∴a＝﹣ ，b＝ ，c＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+4，
∴abc＝﹣ ．
（2）（1）可知A（4，0），E（﹣2，4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，则有 ，解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣ x+ ，
∵P（t，﹣ t2+ t+4），M（t，﹣ t+ ），
∴PM＝﹣ t2+ t+4﹣（﹣ t+ ）＝﹣ t2+ t+ （0＜t＜ ）．
（3）会是平行四边形．
理由：当PM＝AB＝2时，
﹣ t2+ t+ ＝2，
解得t＝ 或4（舍弃），
∴t＝ 时，点P坐标（ ， ）．
题型01 二次函数的图像与系数的关系
【典例1】
已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y ）和点（3，y ）在该图象上，则y ＞y ；
1 2 1 2
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴﹣ ＝﹣1，∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c，
∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数），
∴③错误；
点（﹣3，y ）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2，
1
（3，y ）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4，
2
∵抛物线开口向下，
∴y ＞y ，
1 2
∴④正确．
故选：D．
【典例2】
抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：
①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；
②2a+c＞0；
③点P （t+2022，y ），P （t+2023，y ），在抛物线上，且y ＞y ，则t＞﹣2021；
1 1 2 2 1 2
④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线经过点A（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，
当x＝﹣1时，a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴该抛物线一定经过B（﹣1，0），
故此项正确；
②由①得：c＝﹣3a，
∵c＞0，∴﹣3a＞0，
∴a＜0，
∵3a+c＝0，
∴2a+c＝﹣a，
∴2a+c＞0，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
当t＝﹣2021时，P （1，y ），P （2，y ），
1 1 2 2
∵a＜0，
∴y ＞y ，
1 2
∴t＝﹣2021也符合题意与t＞﹣2021矛盾，
故此项错误．
④∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝ax2+2ax+c对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c图象向左平移2个单位得到抛物线y＝ax2+2ax+c的图象，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+2ax+c经过点（﹣3，0），（1，0），
∵m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的两个根，
∴m，n是抛物线y ＝ax2+2ax+c与直线y＝p交点的横坐标，
1
∵p＞0，
∴﹣3＜m＜n＜1，
故此项正确，
故选：C．
【典例3】
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直
线 ．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④
（其中 ）；⑤若A（x ，y ）和B（x ，y ）均在该函数图象上，且x ＞x ＞1，则y ＞y ．其中
1 1 2 2 1 2 1 2
正确结论的个数共有（ ）个．A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①不正确；
②∵函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
③∵该函数图象经过点（﹣2，0），
对称轴为直线 ，
∴该函数与x轴另一个交点坐标为（1，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③正确；
④∵对称轴为直线 ，函数开口向下，
∴当 时，y有最大值，
把 代入得： ，
把x＝m代入得：y＝am2+bm+c，
∵ ，
∴ ，则 ，故④正确；
⑤∵函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵对称轴为直线 ，x ＞x ＞1，
1 2
∴y ＜y ，故⑤不正确，
1 2
综上：正确的有②③④．
故选：B．
【典例4】如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．下列结论：①b＞0；②方
程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＞0，①正确；
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个相等的实数根，
∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个相等的实数根，②正确；
由图象可得x＝﹣3时，y＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝1时，y＝a+b+c＞0，③正确．
∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝﹣2，
∴a﹣c＝2，④正确．
故选：A．
【典例5】
如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点在点（2，0）和
（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m
（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确结论为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝﹣ ＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：B．
题型02 二次函数的综合应用
【典例1】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．
（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及
此时点E的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得： ．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在使△PCD是等腰三角形，理由：
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴D（1，0），且C（0，8），
∴OD＝1，OC＝8．
∴CD＝ ＝ ，
当PC＝CD时，如图，过点C作CE⊥DP于点E，则DE＝PE，
∵DE＝OC＝8，
∴PD＝2DE＝16，
∴P（1，16）；
当PD＝CD＝ 时，此时有两解，如图，
则有P （1，﹣ ）或P （1， ）；
1 2
当PC＝PD时，过点P作PF⊥CD于点F，如图，∵点P在对称轴上，
∴可设P（1，m），则PD＝m，
∵PC＝PD，PF⊥CD，
∴DF＝ CD＝ ．
∵PD∥OC，
∴∠OCD＝∠FDP．
∵∠DOC＝∠PFD＝90°，
∴△COD∽△DFP．
∴ ．
∴ ，
∴m＝ ．
∴P（1， ）．
综上，P点坐标为（1，16）或（1， ）或（1， ）或（1， ）；
（3）设直线EF交x轴于点H，如图，
∵B（4，0），∴OB＝4．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，则：
，
解得： ．
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8．
∵EF⊥x轴，
∴设E（p，﹣2p+8），则F（p，﹣p2+2p+8），
∴EH＝﹣2p+8，FH＝﹣p2+2p+8．
∴EF＝FH﹣EH＝﹣p2+4p．
∴S△BCF ＝S△FCE +S△FBE
＝ EF×BO
＝ （﹣p2+4p）×4
＝﹣2p2+8p
＝﹣2（p﹣2）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当p＝2时，S△BCF ，有最大值8，
此时点E的坐标为（2，4）．
∴当E运动到BC的中点时，△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）．
【典例2】
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣
3），点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方的一个交点，点P为此抛物线上的一个
动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线OD为 ，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点为C（0，﹣3）可知：
c＝﹣3，
把点A（﹣1，0），点B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得： ，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由题意可得方程组：
，
解得： 或 ，
又∵点D为直线OD与抛物线y＝ax2+bx+c在x轴下方的一个交点．
∴点D的坐标为（2，﹣3）；
（3）设点P（m，m2﹣2m﹣3），
①当点P在第三象限时，
设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，
S△POD ＝ OG×（X
D
﹣X
P
）＝ ，
②当点P在第四象限时，
设PD交y轴于点M，
同理可得：S△POD ＝ OM×（X
D
﹣X
P
）＝ ，
综上，S△POD ＝ ，
∵﹣1＜0，故S△POD 有最大值，当 时，其最大值为 ．
【典例3】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b与二次函数y＝﹣x2+mx+n交于点A（3，0），B（0，3）
两点．
（1）求一次函数y＝kx+b和二次函数y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，
当△PAB面积最大时，求点P的坐标．
（3）点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形
是平行四边形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得： ，
即二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得： ，
故一次函数表达式为：y＝﹣x+3；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PAB面积＝S△PHA +S△PHB ＝ PH×OA＝ （﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣ （x2﹣3x），
∵ ＜0，故△PAB面积有最大值，此时点P（ ， ）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为 x＝1，设点 N（1，t），设点 M 的坐标为：（m，﹣
m2+2m+3），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得：3＝m+1，
解得：m＝2，则点M（2，3）；
当AM或AN为对角线时，由中点坐标公式得：3+m＝1或3+1＝m，
解得：m＝﹣2或4，即点M的坐标为：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
综上，点M的坐标为：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【典例4】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（6，0），与y轴交于点
C．且直线y＝mx+n过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过
点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）连接MB、MD，当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6；
（2）如图：
在抛物线y＝﹣x2+5x+6中，当x＝0时，y＝6，
∴C的坐标为（0，6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴点D的坐标为（0，﹣6），
∵点B的坐标为（6，0），∴直线BD的解析式为y＝x﹣6，
设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
∴MN＝﹣m2+4m+12，
∴S△MDB ＝ MN•|x
B
﹣x
D
|＝ （﹣m2+4m+12）×6＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当m＝2时，S△MDB 最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
由（2）知P坐标为（2，0），
∴M（2，12），N（2，﹣4），
①当∠QMN＝90°时，如图：
∴QM∥x轴，
∴Q（0，12）；
②当∠MNQ＝90°时，如图：∴NQ∥x轴，
∴Q（0，﹣4）；
③当∠MQN＝90°时，如图：
设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2 ，
∴Q（0，4+2 ）或（0，4﹣2 ）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形，Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或
（0，4+2 ）或（0，4﹣2 ）．【典例5】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段BC于M，过点P作x轴的垂线
交线段BC于N，求△PMN的周长的最大值．
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣ ；
（2）如图，抛物线y＝﹣ 与y轴交点C（0，2），
∵PM⊥y轴，PN⊥x轴，
∴PM∥OB，∠MPN＝∠BOC＝90°，
∴∠PMN＝∠CBO，
∴△PMN∽△OBC，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，则 ，
∴ ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ +2，
设P（x，﹣ ），则N（x，﹣ +2），
∴PN＝﹣ ，
对称轴为：直线x＝ ，
∵2≤x＜3，
∴x＝2时，PN的最大值为 ，
∴ ＝ ，
∴△PMN周长的最大值为 ，
（3）存在，
由题意得，B（3，0），C（0，2），
设N（1，n），M（x，y），
①当四边形CMNB是平行四边形时，
，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣ ）；
②当四边形CNBM是平行四边形时，，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③当四边形CNMB是平行四边形时，
，
∴x＝4，
∴M（4，﹣ ），
综上所述，M（2，2）或（4，﹣ ）或（﹣2，﹣ ）．1．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；
故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．
故选：A．
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 2 1 2 5 10 …
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．abc＞0
C．这个函数的最大值为10
D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解
【解答】解：A、由图表中数据可得出：对称轴为直线x＝1，而x＝1时，函数有最小值y＝1，所以二
次函数y＝ax2+bx+c开口向上，a＞0，故A错误；
B、∵﹣ ＝1，a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵x＝0时，y＝c＝2，
∴abc＜0，故B错误；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，故C错误；
D、∵抛物线开口向上，函数有最小值y＝1，
∴抛物线与x轴没有交点，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0无解，故D正确．
故选：D．
3．已知抛物线y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y ），B（3，y ），C（4，y ）是抛物线上三点，则y ，y ，y
1 2 3 1 2 3
由小到大依序排列是（ ）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 2 1 2 3 1
【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣ ＝2，
∵B（3，y ），C（4，y ）中横坐标均大于2，
2 3
∴它们在对称轴的右侧y ＞y ．
3 2
A（﹣3，y ）中横坐标小于2，
1∵它在对称轴的左侧，它关于x＝2的对称点为2×2﹣（﹣3）＝7，
A点的对称点是D（7，y ）
1
7＞4＞3，
∵a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴y ＞y ＞y ．
1 3 2
故选：D．
4．一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A． B．
C． D．
【解答】解：由 ，解得 或 ，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（ ，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x
（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，
故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高
度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，
达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，
则下列判断正确的是（ ）A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
【解答】解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣ ，
故y与x的关系式为：y＝﹣ （x﹣6）2+2.6，
当x＝9时，y＝﹣ （x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝0时，﹣ （x﹣6）2+2.6＝0，
解得：x ＝6+2 ＞18，x ＝6﹣2 （舍去）
1 2
故会出界．
故选：C．
6．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（x ，y ）、B（x ，y ）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y ≠n）
1 1 2 2 1
则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则y ＜y
1 2 1 2
B．若a＜0且y ＜y ，则|1﹣x |＜|1﹣x |
1 2 1 2
C．若|x ﹣1|＞|x ﹣1|且y ＞y ，则a＜0
1 2 1 2
D．若x +x ＝2（x ≠x ），则AB∥CD
1 2 1 2
【解答】解：∵抛物线过点D（m，n），C（2﹣m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝ ＝1，
若a＞0且|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则y ＞y ，故选项A错误，
1 2 1 2
若a＜0且y ＜y ，则|1﹣x |＞|1﹣x |，故选项B错误，
1 2 1 2
若|x ﹣1|＞|x ﹣1|且y ＞y ，则a＞0，故选项C错误，
1 2 1 2
若x +x ＝2（x ≠x ），则AB∥CD，故选项D正确．
1 2 1 2故选：D．
7．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）
之间，其部分图象如图所示．①b﹣4a＝0；②a+b+c＞0；③c＜3a；④b2+2b＞4ac．所述4个结论
中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．①③④
【解答】解：∵抛物线的对称轴为 ，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，
故①正确；
由图象可知，当x＝1时，y＜0，
即a+b+c＜0．
故②不正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
∵b＝4a，
∴﹣3a+c＞0，即c＞3a．
故③不正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），
∴ ，
∴4ac﹣b2＝12a．
∵b＝4a，
∴4ac﹣b2＝3b，
∴b2﹣4ac+2b＝﹣b＞0，
∴b2+2b＞4ac．
故④正确．
故选：B．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为x＝1．下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＜ ．其中结论正确的个数
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1一定有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
而c＜﹣1，
∴﹣3a＜﹣1，
∴a＞ ，故④错误．
故选：C．
9．点A（2，y ），B（a，y ）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．若y ＜y ，写出一个符合条件的a的值
1 2 1 2
．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴点A（2，y ）关于直线x＝1的对称点为（0，y ），
1 1
∵点A（2，y ），B（a，y ）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．且y ＜y ，
1 2 1 2
∴a＞2或a＜0，
故a的值可以是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
10．关于x的函数y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意得： ，
解得k＞﹣ 且k≠2．
故答案为：k＞﹣ 且k≠2．
11．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离
均为5米，则支柱MN的高度为 米．
【解答】解：建直角坐标系，如图：
根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
将B、C的坐标代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣ ，c＝6．
∴抛物线的表达式是y＝﹣ x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣ x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣ ×52+6＝4.5，
∴支柱MN的长度是8﹣4.5＝3.5（米）；故答案为：3.5．
12．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：
①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝
；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中结论正确的是 .（填序号）
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝2a﹣2a＝0，所以①正确；
∵c＝﹣3a，
∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，所以②错误；
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最小值，
∴a+b+c＜am2+bm+c（m≠1），
即a+b＜am2+bm（m≠1），所以③正确；
过D点作DE⊥AB于E点，如图，
∵D（1，﹣4a），
∴DE＝4a，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝ AB，
即4a＝ ×4，
解得a＝ ，所以④正确；
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AC2＝1+9a2，BC2＝9+9a2，AB2＝16，
当AC＝AB时，1+9a2＝16，解得a ＝ ，a ＝﹣ （舍去），
1 2
当BC＝AB时，9+9a2＝16，解得a ＝ ，a ＝﹣ （舍去），
1 2
综上所述，a的值为 或 ，所以⑤错误．
故答案为：①③④．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），其
顶点为点D，连结AC．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边
的四边形为平行四边形，求点F的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得 ，
∴ ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
过点F作FG⊥DE于点G，
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
设F（m，﹣m2+2m+3），则G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
当m＝﹣2时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F （﹣2，﹣5），
1
当m＝4时，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F （4，﹣5）
2
综上所述，满足条件点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
14．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在
过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点 P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及
△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．【解答】解：（1）∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝4，OB＝1，
∴A（4，0），B（﹣1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把C（0，4）代入得a•1•（﹣4）＝4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+3x+4；
（2）作PD∥y轴，如图，
易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），
∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PAC ＝ •PD•4＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S△PAC 有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA＝OC＝4，
∴AC＝4 ，
∴当QA＝QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；
当CQ＝CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）；
当AQ＝AC＝4 时，Q点的坐标（4+4 ，0）或（4﹣4 ，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4 ，0）或（4﹣4 ，0）．
15．平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，
若不存在，请说明理由；
（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，
请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将B（4，0）代入 ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
令x＝0，则 ，
令y＝0，则 ，
解得：x ＝4，x ＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）；
1 2
（2）存在点P，使△BCP是直角三角形，
∵ ，对称轴为直线x＝1，
设P（1，n），
∵B（4，0），C（0，4），
∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，
①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2，
∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2，
解得：n＝5；
②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2，
∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32
解得：n＝﹣3；
③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2解得： 或 ，
综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2+ ），（1，2﹣ ）；
（3）存在点M使AM+OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，
由对称性可知，OM＝QM，
∴AM+OM＝AM+QM≥AQ，
当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠QBM＝45°，
∴BQ⊥BO，
∴Q（4，4），
设直线AQ的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AQ的解析式 ，
设直线BC的解析式为y＝mx+4，
∴4m+4＝0，
∴m＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
联立方程组 ，解得： ，
∴M（ ， ）．
