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专题 23.2 等边三角形手拉手模型
【例题精讲】
【例1】如图，将 绕点 顺时针旋转 得 ，点 的对应点 恰好落在 的
延长线上，连接 ， ， 相交于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）直接写出 的度数 ．
【解答】解：（1） 将 绕点 顺时针旋转 得 ，
， ，
是等边三角形；
（2）如图：
点 的对应点 恰好落在 的延长线上，
，
由（1）知 是等边三角形，
，
将 绕点 顺时针旋转 得 ，
，
，
；
故答案为： ．
【例2】如图，点 是等边三角形 内的一点， ，将 绕点 按顺时
针方向旋转一定的角度，得到 ，连接 ， ．（1）求 的度数；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长（直接写出结果）．
【解答】解：（1）由旋转的性质得， ， ，
，即 ，
三角形 是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
；
（2） 与 的位置关系是： ，理由如下：
由（1）知 ，
将 绕点 按顺时针方向旋转一定的角度，得到 ，
，
，
；
（3）由旋转的性质得， ，
为等边三角形，
，
在 中，由勾股定理得： ．
【题组训练】1．如图，等边 ，点 为 延长线上一点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋
转 得到线段 ．连接 ．求证： ．
【解答】证明： 是等边三角形，
， ，
由旋转的性质可得： ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
2．如图， 与 为等边三角形，点 ， ， 在直线 同侧，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2） 可以看作是 经过旋转得到的，请利用旋转的知识进行说明．
【解答】（1）证明： 与 为等边三角形，， ， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
；
（2） ， ， ，
可以看作是 绕 点顺时针旋转 得到．
3．如图①， 和 都是等边三角形．
（1）若 、 、 在同一条直线上， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，
与 相交于点 ，试判断 与 的数量关系为 ； 度数为
；
（2）将 绕点 顺时针旋转， 、 、 不在一条直线上时，如图②，则（1）中的
结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
， ，
是等边三角形，， ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，
在 中，
，
，
故答案为： ， ；
（2）成立．
证明： 和 都是等边三角形，
， ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，又 ，
，
．
4．如图， 为等边三角形，点 是线段 上一点（点 不与 ， 重合），连接
，过点 作 ，垂足为点 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
连接 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，延长 交 于点 ，求证： 为 的中点．
【解答】证明：（1） 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
， ．
是等边三角形．
为等边三角形，
， ．
．
在 和 中，
，
．
，
，
．．
即 ；
（2）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
， ，
．
，
，
，
， ．
．
．
，
，
在 和 中，
，
．
．
点 是 中点．
5．如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
的延长线与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证： ；（2）如图2，连接 ，小颖对该图形进行探究，得出结论： ．小
颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图1， 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
（2）解：结论正确，理由如下：
如图2，过 作 ， 的垂线段分别交于点 ， ，
，
，又 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
6．如图1，已知点 、 、 在同一条直线上， 和 都是等边三角形， 交
于点 ， 交 于点 ．
（1）求出 的度数；
（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；
（3）若将 绕 点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还
成立，试说明理由．
【解答】解：（1） 和 都是等边三角形，，
点 、 、 在同一条直线上，
；
（2） ．
理由： 和 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
；
（3）（2）中的结论还成立．
和 都是等边三角形，
， ， ．
，
．
7．如图1，等边三角形 中， 为 内一点，将 绕点 按逆时针方向旋转
角 得到 ，点 ， 的对应点分别为点 、 ，且 、 、 三点在同一直线上．
（1）填空： ；
（2）若过点 作 于点 ，然后探究线段 ， ， 之间的数量关系，并证
明你的结论．【解答】解：（1） 如图，
将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到 ，
，
， ，
是等边三角形，
，
故答案为： ；
（2） ，
理由如下：
将 绕点 按逆时针方向旋转角 得到 ，
，
是等边三角形， ，
， ，
，
，
，．
8． 与 都是等边三角形，连接 、 ．
（1）如图①，当点 、 、 在同一条直线上时，则 12 0 度；
（2）将图①中的 绕着点 逆时针旋转到如图②的位置．求证： ．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
，
点 、 、 在同一条直线，
，
，
故答案为：120；
（2） 与 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，，
．
9．如图，点 是等边三角形 内的一点， ，将 绕点 按顺时针方
向旋转一定的角度，得到 ，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）试判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）若 ， ，求 的长（直接写出结果）．
【解答】解：（1）由旋转的性质得， ， ，
，即 ，
三角形 是等边三角形，
，
，
为等边三角形，
；
（2） 与 的位置关系是： ，理由如下：
由（1）知 ，
将 绕点 按顺时针方向旋转一定的角度，得到 ，
，，
；
（3）由旋转的性质得， ，
为等边三角形，
，
在 中，由勾股定理得： ．
10．如图，点 是等边 内一点， ， ．将 绕点 按顺
时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
【解答】（1）证明： 将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
， ，
是等边三角形．
（2）解：当 时， 是直角三角形．
理由是： 将 绕点 按顺时针方向旋转 得 ，
，
，
又 是等边三角形，
，，
， ， ，
，
不是等腰直角三角形，即 是直角三角形．
（3）解：①要使 ，需 ，
， ，
，
；
②要使 ，需 ．
，
，
；
③要使 ，需 ．
，
，
，
解得 ．
综上所述：当 的度数为 或 或 时， 是等腰三角形．
11．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边 内有一点 ，若点 到顶点 、 、 的距离分别为3，4，5，求
的度数．
为了解决本题，我们可以将 绕顶点 旋转到 处，此时 ，这样
就可以利用旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出
；
（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②， 中， ， ， 、 为 上的点且 ，
求证： ；
（3）能力提升
如图③，在 中， ， ， ，点 为 内一点，连
接 ， ， ，且 ，求 的值．
【解答】解：（1） ，
、 、 ，
由题意知旋转角 ，
为等边三角形，
， ，
易证△ 为直角三角形，且 ，
；
故答案为： ；
（2）如图2，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质得， ， ， ， ， ，
，
，
，
在 和△ 中，△ ，
，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，
即 ．
（3）如图3，将 绕点 顺时针旋转 至△ 处，连接 ，
在 中， ， ， ，
，
，
绕点 顺时针方向旋转 ，
△ 如图所示；
，
， ， ，
，
绕点 顺时针方向旋转 ，得到△ ，
， ， ，
是等边三角形，
， ，，
，
、 、 、 四点共线，
在 △ 中， ，
．
12．已知： 为等边三角形
（1）若 为 外一点，满足 ，求证： ．
（2）若 为 内一点， ， ， ，求 的度数
（3）若 为 内一点， ， ， ，则 （直接
写出答案）
【解答】解：（1）如图1，以 为边作等边 ，
在 和 中．
．
，
，
即 ．
（2）如图2，以 为边作等边 ，
在 和 中
，
．
由 ，可得 ，
所以 ．
（3）如图3，以 为边作等边 ，
在 和 中
，
．
在 中， ，可得 ，
．在 中，如图4，过 点作 垂直于 延长线于 点，则 ，
， ， ．
．
在 中， ．
故答案为 ．
13．（1）如图 1， 为等边 内一点， 平分 ， 为 边上一点，且
，连接 ，取 中点 ，连接 ， ， ，直接写出 与 的位置关
系，并直接用等式表示 与 的数量关系；
（2）如图2，把图1中的 绕点 顺时针旋转 ，其它条件不变，连接
，点 为 中点，连接 ， ， ，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，
请证明；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，延长 至 ，使 ，连接 、 ，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
， ．
（2）结论成立．
证明：如图2中，延长 至 ，使 ，连接 、 、 、 ，
由（1）可知 ， ，
，
，即 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
， ．
14．如图，将等边 绕点 顺时针旋转 得到 ， 的平分线 交 于点 ，连接 、 ．
（1）求 度数；
（2）求证： ．
【解答】解：（1） 是等边三角形，
， ，
等边 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ， ，
，
， ，
，
．
（2）证明： 和 是等边三角形，
， ，
平分 ，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
．15．如图，在 中， ， ，将 绕点 逆时针旋转 得
到 ，点 、 的对应点分别是 、 ，点 是边 中点，连结 、 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）判断 与 有怎样的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明： 将 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ， ，
是等边三角形；
（2）解： ，理由如下：
是等边三角形，
，
点 是边 中点，
，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
16．如图， 是等边三角形 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ，求 的度数．
【解答】解：（1）证明： 是等边三角形，
， ．
线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
， ．
．
．
在 和 中，
，
．
（2）如图，
， ，
为等边三角形．
，．
．
17．如图1， 为等边三角形，点 为 边上一点，连接 ，并将线段 绕点
逆时针旋转 得到 ，连接
（1）求证： ；
（2）如图2，当点 为 中点时，连接 交 于点 ，直接写出长度等于 的
所有线段．
【解答】证明：（1） 是等边三角形
，
将线段 绕点 逆时针旋转 得到
，
，且 ，
（2） 为等边三角形，点 为 中点
，
，
是等边三角形
， ，
，
，且
，且 ，．
18． 为等边 内的一点， ， ， ，将 绕点 顺时针旋转
到 位置．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求 的度数．
【解答】解：（1） 是等边三角形；理由如下：
绕点 顺时针旋转 到 位置，
， ， ，
是等边三角形；
（2） ’是等边三角形，
’ ， ，
，
，
是直角三角形， ，
．
19．（1）如图1， 是等边 内一点，连接 、 、 ，且 ， ，
，将 绕点 顺时针旋转后得到 ，连接 ．
求：①旋转角的度数 ；
②线段 的长 ；
③求 的度数．
（2）如图2所示， 是等腰直角 内一点，连接 、 、 ，将
绕点 顺时针旋转后得到 ，连接 ．当 、 、 满足什么条件时，
？请给出证明．【解答】解：（1）① 为等边三角形，
， ，
绕点 顺时针旋转后得到 ，
，
旋转角的度数为 ；
② 绕点 顺时针旋转后得到 ，
，
而 ，
为等边三角形；
；
③ 为等边三角形，
，
绕点 顺时针旋转后得到 ，
，
在 中， ， ， ，
，
，
为直角三角形， ，
；
（2） 时， ．理由如下：
绕点 顺时针旋转后得到 ，
， ， ，
为等腰直角三角形，，
当 时， 为直角三角形， ，
，
当 、 、 满足 时， ．
20．如图1， 为等边 内一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接
， 的延长线与 交于点 ，与 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 ，小颖对该图形进行探究，得出结论： ．小
颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【解答】（1）证明：如图1， 线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，
， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
（2）解：结论正确，理由如下：
如图2，过 作 ， 的垂线段分别交于点 ， ，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．21．如图，点 是等边 内一点， ， ．将 绕点 按顺
时针方向旋转得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由．
【解答】（1）证明：由旋转可得 ，
， ，
又 是等边三角形，
，即 ，
，
又 ，
是等边三角形；
（2）解： 是等腰直角三角形，
将 绕点 按顺时针方向旋转得 ，
，
由（1）得 是等边三角形，
，
，
是等腰直角三角形．
22．如图， 是等边三角形， 顺时针方向旋转后能与 重合．连接 ，
证明： 为等边三角形．【解答】证明： 顺时针方向旋转后能与 重合，
， ，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形．
