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专题 22.6 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质
1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的转化。
2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象，并能够根据基本性质和图
象解决相应题目。
教学目标
3. 掌握二次函数一般是的图象与系数之间的关系并熟练解决问题。
4. 掌握待定系数法求函数解析式的方法，并能够熟练的求二次函数解析式。
5. 掌握函数的平移规律，并能够熟练解决问题。
1. 重点
教学重难点 （1）二次函数的图象与性质；
（2）二次函数的图象与系数的关系；（3）待定系数法求函数解析式；
2. 难点
（1）二次函数图象上的点的特征；
（2）待定系数法求函数解析式；
（3）二次函数图象与系数的关系；
（4）二次函数的最值问题。
知识点01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
由定义可知，二次函数的一般式为 y=ax2+bx+c(a≠0) 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即 y=a(x-h) 2+k(a≠0) 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 (h，k) 。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与x轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的
交点式。即 y=a(x-x )(x-x )(a≠0) 。此时二次函数与x轴的两个交点坐标分别为 (x ，0)
1 2 1
x +x
与 (x ，0) 。二次函数的对称轴为 x= 1 2 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 对
2 2
称。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y=ax2+bx+c
＝a ( x2+ b x ) +c →第一步：提 二次项系数 ；
a
( b b2 b2 )
＝a x2+ x+ - +c →第二步：配方：配 一次项系数 的一半的平方；
a 4a2 4a2
( b ) 2 b2
＝a x+ - +c →第三步：写成 完全平方 形式；
2a 4a
( b ) 2 4ac-b2
＝a x+ + →第四步：写成 顶点式 形式。
2a 4a
【即学即练1】
1．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【答案】A
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点为（1，5），
故选：A．
【即学即练2】
2．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝6
【答案】A
【解答】解：二次函数图象与x轴的交点为（5，0），（﹣7，0），
5-7
∴对称轴为直线x= =-1，
2
故选：A．
【即学即练3】
3．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：∵y＝a（x﹣m）（x﹣n），
令a（x﹣m）（x﹣n）＝0，
∴x ＝m，x ＝n，
1 2
m+n
∴抛物线的对称轴为直线：x= ，
2
m+n
∴x= ＜0，
2
∵a＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴抛物线的顶点在第二象限，
故选：B．
【即学即练4】
4．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3
【答案】D
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，
∴二次函数为y＝x2﹣2x+4化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3．故选：D．
知识点02 二次函数的图象与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图象与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
y=ax2 +bx+c(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
a的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a的绝对值越小，开口越 大
( b 4ac-b2 ) ( b 4ac-b2 )
顶点坐标 - ， - ，
2a 4a 2a 4a
b b
x=- x=-
2a 2a
对称轴
离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边y随x的增大而 增大 对称轴右边y随x的增大而 减小
。 。
增减性
对称轴左边y随x的增大而 减小 对称轴左边y随x的增大而 增大
。 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值 4ac-b2 4ac-b2
这个值是 。 这个值是 。
4a 4a
与y轴交点坐标 （ 0 ， c ） （ 0 ， c ）
【即学即练1】
5．已知函数y＝﹣x2+4x﹣3．
（1）该函数图象的开口方向是 向下 ；
（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
【答案】（1）向下；
（2）函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，1）；
（3）当x＜2时，y随x的增大而增大．
【解答】解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下；
故答案为：向下；
（2）∵a＝﹣1，b＝4，c＝﹣3，b 4 4ac-b2 12-16
∴- =- =2， = =1，
2a -2 4a -4
∴函数图象的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，1），
（3）∵开口向下，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大．
【即学即练2】
6．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限
【答案】D
【解答】解：由条件可知图象开口向下，故选项A正确，不符合题意；
令x＝0，即y＝3，
∴图象交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意；
b -2
x =- =- =-1，所以对称轴在y轴的左侧，故选项C正确，不符合题意；
轴 2a 2×(-1)
令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x ＝﹣3，x ＝1，故与x轴的交点（1，0），（﹣3，0），又知道与y轴的交
1 2
点坐标为（0，3），图象一定经过第一象限，选项D错误，符合题意；
故选：D．
【即学即练3】
7．已知点A（3，y ），B（4，y ），C（5，y ）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（
1 2 3
）
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 2 1 3 3 1 2 1 2 3
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m，
-4
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=- =1，
2×2
∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大，
∵点C（﹣3，y ）离对称轴最远，点A（3，y ）离对称轴最近，
3 1
∴y ＜y ＜y ．
1 2 3
故选：D．
【即学即练4】
8．已知点 A（﹣2，y ），B（1，y ）在抛物线 y＝3x2+bx+1上，若 3＜b＜4，则下列判断正确的是
1 2
（ ）
A．1＜y ＜y B．y ＜1＜y C．1＜y ＜y D．y ＜1＜y
1 2 1 2 2 1 2 1
【答案】A
【解答】解：∵y＝3x2+bx+1，∴当x＝0时，y＝1，
∴抛物线过点（0，1），
b b
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=- =- ，
2×3 6
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵3＜b＜4，
2 b 1
∴- ＜- ＜- ，
3 6 2
-2+1 1 b -2+0 b
∵ =- ＞- ， =-1＜- ，
2 2 6 2 6
∴点A（﹣2，y ）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y ）到对称轴的距离，
1 2
∴1＜y ＜y ，
1 2
故选：A．
知识点03 二次函数的图象与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 a 决定， a＞0 ，开口向 上 ， a＜0 ，开口向 下 。
2. 二次函数的对称轴：
b
y=ax2 +bx+c(a≠0) x=- a，b
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为 2a 。若 同号，
b b
x=− x=−
则 2a ＜ 0，二次函数的对称轴在y轴的 左边 ；若 a，b 异号，则 2a ＞ 0，
二次函数的对称轴在y轴的 右边 。简称左同右异。
b
x=−
①若二次函数的对称轴
2a
=1，则
2a+b=
0 。
b
x=−
②若二次函数的对称轴
2a
=﹣1，则
2a−b=
0 。
3.
二次函数与y轴的交点：
二次函数
y=ax2 +bx+c(a≠0)
与y轴的交点坐标为 （ 0 ， c ） 。
4. 二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有两个交点⇔ 有2个 不相等 的实数根
Δ=b2 −4ac
⇔根的判别式 ＞ 0。
y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴有 1 个交点⇔ 有2个相等的实数根⇔
Δ=b2 −4ac
根的判别式 = 0。y=ax2 +bx+c(a≠0) ax2 +bx+c=0(a≠0)
与x轴没有交点⇔ 没有 实数根⇔根的判别⇔
Δ=b2 −4ac
＜ 0。
y=ax2 +bx+c
拓展：在二次函数 中：
a+b+c
是自变量为 1 的函数值，
a−b+c
是自变量为 ﹣ 1 的函数值。
4a+2b+c
是自变量为 2 的函数值，
4a−2b+c
是自变量为 ﹣ 2 的函数值。
9a+3b+c
是自变量为 3 的函数值，
9a−3b+c
是自变量为 ﹣ 3 的函数值。
【即学即练1】
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，给出下列命题：①abc＜0；②2a+b＝0；
③3a+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
b
∴- ＜0，
2a
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
b
②由对称轴可知：- =-1，
2a
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②错误；
③∵抛物线过点（1，0），
∴y＝a+b+c＝0，
∵b＝2a，
∴y＝3a+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即m（am+b）≥a﹣b（m为任意实数），故④正确；⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：D．
【即学即练2】
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，现有结论：①abc
＜0，②b2＞4ac，③2a+b＝0，④ac﹣bc+c2＜0，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
②根据图象可得，函数图象与x轴有两个交点，
∴对应方程有两个根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确；
③由条件可知：开口向上，a＞0，对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，③正确；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∵c＜0，
∴c（a﹣b+c）＜0，
即ac﹣bc+c2＜0，④正确；
综上可得：②③④正确，
故选：C．
知识点04 待定系数法求二次函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) 。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 y=a(x-h) 2+k(a≠0) 。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 y=a(x-x )(x-x )(a≠0) 。
1 2
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
【即学即练1】
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
求该二次函数的表达式．
【答案】y＝x2+2x﹣3．
【解答】解：将（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得c＝﹣3，
∴y＝ax2+bx﹣3，
{4a+2b-3=5
将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得 ，
a-b-3=-4
{a=1
解得 ，
b=2
∴y＝x2+2x﹣3．
【即学即练2】
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，2），顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）试判断点（3，14）是否在此函数图象上．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣1；
（2）（3，14）在此函数图象上．
b
【解答】解：（1）由题意得，对称轴x=- =-1，
2a
将点（﹣1，﹣2）代入函数得y＝a﹣b+c＝﹣2，
将点（1，2）代入函数得a+b+c＝2，
解得a＝1，b＝2，c＝﹣1．
∴这个函数的解析式为y＝x2+2x﹣1．
（2）当x＝3时，y＝32+2×3﹣1＝14．
∴（3，14）在此函数图象上．
【即学即练3】
13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求二次函数的解析式；
（2）求此函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；
9
（3）已知点D(m， )在此抛物线上，求m的值．
4
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）开口方向向上，顶点坐标（2，﹣1），对称轴x＝2；
4+❑√13 4-❑√13
（3）m= 或 ．
2 2
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入到y＝ax2+bx+c中，得：
{
0=a+b+c
0=9a+3b+c，
c=3
{
a=1
解得： b=-4，
c=3
∴y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，且a＝1＞0，
∴开口方向：向上，
顶点坐标：（2，﹣1），
对称轴：x＝2，
综上：开口方向向上，顶点坐标：（2，﹣1），对称轴：x＝2；
9
（3）将点D(m， )代入y＝x2﹣4x+3中，
4
9
得
=m2-4m+3，整理得4m2﹣16m+3＝0，
4
4+❑√13 4-❑√13
解得m= 或 ．
2 2
知识点05 y=ax2+bx+c的的平移
1. 函数平移规律：
函数分为 左右 平移和 上下 平移；
左右平移在 自变量 上进行加减，规律为 左加右减 ；上下平移在 函数解析式整体 上
进行加减，规律为 上加下减 。
【即学即练1】
14．将抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移 1个单位，再向下平移 2个单位得到的抛物线必定经过
（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线解析式为y＝﹣
（x+1﹣1）2+4﹣2，即y＝﹣x2+2，
把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2，得y＝﹣2，
∴选项A不符合题意．
把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2，得y＝1，
∴抛物线经过点（﹣1，1），选项B符合题意．
把x＝0代入y＝﹣x2+2，得y＝2，
∴选项C不符合题意．
把x＝1代入y＝﹣x2+2得y＝1，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
题型01 y=ax2+bx+c的基本性质
【典例1】求下列函数图象的开口方向及对称轴、顶点坐标．
（1）y＝x2﹣4x﹣3
（2）y＝﹣3x2﹣4x+2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）a＝1，开口方向向上；
原二次函数经变形得：y＝（x﹣2）2﹣7，
故顶点为（2，﹣7），对称轴是直线x＝2；
（2）a＝﹣3，开口方向向下；
b -4 2
x=- =- =- ，
2a 2×(-3) 3
4ac-b2 4×(-3)×2-(-4) 2 10
= =
4a 4×(-3) 3
2 10 2
故顶点为（- ， ），对称轴是直线x =- ．
3 3 3
【变式1】已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线x＝2
C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）
D．当x＜2时，y随x的增大而增大【答案】D
【解答】解：抛物线a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x＝2，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x＝2时，y取最小值，最小值为﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），因此C选
项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，因此当x＜2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符
合题意；
故选：D．
【变式2】已知抛物线y＝x2﹣4x+5，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向上
B．当x＜2时，y随x的增大而增大
C．抛物线的对称轴为直线x＝2
D．抛物线与y轴交点坐标为（0，5）
【答案】B
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+5中，a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1得，抛物线的对称轴为直线x＝2，故C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，因此当x＞2时，y随x的增大而增大，因此B选项错误，符合题意；
由y＝x2﹣4x+5可知抛物线与y轴交点坐标为（0，5），故D选项正确，不符合题意；
故选：B．
题型02 y=ax2+bx+c的图象
b
【典例1】已知一次函数y = x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是
a
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】Cb
【解答】解：观察函数图象可知： ＞0、c＞0，
a
b
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x =- ＜0，与y轴的交点在y轴正正半轴．
2a
故选：C．
【变式1】一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四
象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B
选项错误；
C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C
选项错误；
D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D
选项错误．
故选：A．
【变式2】直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选
项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＜0，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，ab＞0，而抛物线
对称轴位于y轴右侧，则ab＜0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＞0，b＞0，由二次函数的性质可知，图象a＞0，b＞0，对称轴位于y轴左
侧，则ab＞0，故选项符合题意；
故选：D．
【变式3】二次函数y＝4ax2+4bx+1与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵二次函数y＝4ax2+4bx+1，
4b b
∴对称轴为直线x=- =- ，
2×4a 2a
∵一次函数y＝2ax+b，
b
∴当y＝0，则x=- ，
2a
∴直线y＝2ax+b与二次函数y＝4ax2+4bx+1的对称轴交于x轴上同一点，
故A、B、C不合题意，
b
D、由抛物线可知，a＞0，x=- ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项正确；
2a
故选：D．
题型03 y=ax2+bx+c图象上的点的坐标特征
【典例1】若A（3，y ）、B(-❑√5，y )、C（﹣3，y ）是抛物线y＝2x2﹣4x+c上的三个点，则y 、y 、
1 2 3 1 2
y 的大小关系是（ ）
3A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【答案】C
【解答】解：由题知，
抛物线的对称轴为直线x＝1．
又3﹣1＝2，1﹣（-❑√5）＝1+❑√5，1﹣（﹣3）＝4，
且4＞1+❑√5＞2，
又抛物线开口向上，
所以y ＞y ＞y ．
3 2 1
故选：C．
【变式1】点P （﹣2，y ），P （2，y ），P （4，y ）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y ，
1 1 2 2 3 3 1
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＝y C．y ＝y ＞y D．y ＝y ＞y
2 3 1 2 1 3 1 3 2 1 2 3
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，
A（﹣2，y ）关于对称轴的对称点为（4，y ），
1 1
∵2＜4，
∴y ＞y ＝y ，
2 1 3
故选：B．
【变式2】已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y ）、B（1，y ）、C（2，y ），
1 2 3
则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 3
【答案】B
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
a 1
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x =- = ，
2×(-2a) 4
1
∴当x＞ 时，y随x的增大而减小，
4
3 3
∵点A（﹣1，y ）关于对称轴的对称点是（ ，0），而1＜ ＜2，
1 2 2
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故选：B．
13
【变式3】若A（- ，y ）、B（-❑√2，y ）、C（3，y ）为二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，
4 1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y （用“＜”连接）．
1 2 3 3 1 2
【答案】见试题解答内容-4
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x =- =- 2，抛物线开口向下，
2×(-1)
当B（-❑√2，y ）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y ）到直线x＝﹣2的距离最大，
2 3
所以y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为y ＜y ＜y ．
3 1 2
题型04 y=ax2+bx+c的图象的平移
【典例1】二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象
的解析式的一般式为 y ＝ x 2 + 2 x ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的解析式
为：y＝（x﹣1+2）2﹣4+3，即y＝x2+2x．
故答案为：y＝x2+2x．
【变式1】抛物线y＝3x2﹣6x﹣3的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y
＝3x2+bx+c，则b，c的值为（ ）
A．b＝6，c＝﹣1 B．b＝﹣18，c＝23
C．b＝6，c＝﹣5 D．b＝﹣18，c＝29
【答案】A
【解答】解：由y＝3x2﹣6x﹣3＝3（x2﹣2x+1﹣1）﹣3，
＝3[（x﹣1）2﹣1]﹣3，
＝3（x﹣1）2﹣6，
∵抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，
∴所得图象的解析式为y＝3（x﹣1+2）2﹣6+2，
即y＝3x2+6x﹣1，
∴b＝6，c＝﹣1，
故选：A．
【变式2】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且过点A（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若该抛物线向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移12个单位后再次经过点A，求m的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；
（2）m的值为2．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，
b
- =
∴ 2，
2×(-1)解得b＝4，
∵抛物线过点（0，5），
∴c＝5，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移12个单位后得抛物线y＝﹣（x﹣2﹣m）2+9+12，
∵经过点A，
∴5＝﹣（﹣2﹣m）2+21，
解得m＝2或m＝﹣6，
∵m＞0，
∴m的值为2．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
【典例1】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0 b＜0 c＞0 B．a＜0 b＜0 c＞0
C．a＜0 b＞0 c＜0 D．a＜0 b＞0 c＞0
【答案】D
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
b
∴x=- ＞0，
2a
∴b＞0，
而抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0．
故选：D．
【变式1】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解答】解：由图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①错误．
因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
所以x＝﹣2时与x＝0时的函数值相等．
又由图象可知，
x＝0时，函数值大于0．
所以x＝﹣2时，函数值也大于0．
即4a﹣2b+c＞0．
故②正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，
所以当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c．
则当x＝m（m为任意实数）时，总有a﹣b+c≥am2+bm+c，
即a﹣b≥m（am+b）．
故③错误．
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0．
故④正确．
故选：B．
【变式2】对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得
出了以下结论：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤当x＜﹣1时，y随x的增大
而减小．其中结论正确为（ ）A．①②④ B．①③⑤ C．①②③ D．①④⑤
【答案】D
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
b
∵- = 1，
2a
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②错误，不符合题意；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误，不符合题意；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确，符合题意；
⑤由图象可知，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意．
故选：D．
【变式3】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（ ）个．
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③9a+3b+c＜0；
④4ac﹣b2＜0；
⑤a+b≥m（am+b）（m为任意实数）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1，
2a
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，所以②正确；
∵x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，所以③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
即a+b≥m（am+b），所以⑤正确．
故选：C．
题型06 二次函数的最值问题
【典例1】二次函数y＝x2﹣2x+1在﹣5≤x≤3范围内的最大值为 3 6 ．
【答案】36．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴在﹣5≤x≤3的取值范围内，当x＝﹣5时，有最大值为：y＝36，
故答案为36．
【变式1】已知：抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，那么c的值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【解答】解：因为二次函数y＝x2﹣6x+c的最小值为1，
4ac-b2 4c-36
所以 = =1，
4a 4
解得c＝10．
故选：A．
【变式2】已知函数y＝x2﹣2x+3，当0≤x≤m时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
【答案】C
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当0≤x≤m时，y最大值为3，最小值为2，
∴1≤m≤2．
故选：C．【变式3】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（ ）
3 3 3
A．3 B．﹣3或 C．3或- D．﹣3或-
8 8 8
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
3
解得：m=- ；
8
故选：C．
题型07 待定系数法求二次函数解析式
【典例1】已知抛物线的顶点为（﹣1，﹣3），与y轴的交点为（0，﹣5），求抛物线的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意设y＝a（x+1）2﹣3，
将（0，﹣5）代入得：a﹣3＝﹣5，
解得：a＝﹣2，
则抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2﹣3＝﹣2x2﹣4x﹣5．
故抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x﹣5．
【变式1】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若y＜﹣4，直接写出x的取值范围．
1
【答案】（1）y= x2﹣x﹣4；
2
（2）0＜x＜2．
【解答】解：（1）由题意设y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，﹣4）代入得﹣4＝﹣8a，
1
∴a= ，
2
1
∴y= （x+2）（x﹣4），
2
1
∴二次函数的解析式为y= x2﹣x﹣4；
2
1 1
（2）在y= x2﹣x﹣4中，令y＝﹣4得：﹣4= x2﹣x﹣4，
2 2
解得x＝0或x＝2；
∴当y＜﹣4时，x的取值范围是0＜x＜2．
【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 m …
y … ﹣19 ﹣12 ﹣7 ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣7 n ﹣19 …
（1）这个二次函数的表达式为 y ＝﹣ x 2 ﹣ 2 x ﹣ 4 ，顶点坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 3 ） ；
（2）表中的m＝ 3 ，n＝ ﹣ 1 2 ：
（3）若P（x ，y ），Q（x ，y ）是这个函数图象上的两点，且 x ＜x ＜﹣1，则y ＜ y （填
1 1 2 2 1 2 1 2
“＞”或“＝”或“＜”）；
（4）写出这个函数的一条性质．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x﹣4，（﹣1，﹣3）；
（2）m＝3；n＝﹣12；
（3）＜；
（4）x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大；
或函数图象关于直线x＝﹣1轴对称等，答案不唯一【解答】解：（1）将（﹣2，﹣4）、（﹣1，﹣3）、（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c，
{4a-2b+c=-4
可得： a-b+c=-3 ，
c=-4
{a=-1
解得： b=-2，
c=-4
∴y＝﹣x2﹣2x﹣4＝﹣（x+1）2﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣3），
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣4，（﹣1，﹣3）；
（2）根据函数解析式：y＝﹣x2﹣2x﹣4，
当x＝2时，n＝﹣12，
当y＝﹣19时，﹣19＝﹣x2﹣2x﹣4，
解得：m＝3或﹣5（舍），
∴m＝3
故答案为：m＝3；n＝﹣12；
（3）根据y＝﹣x2﹣2x﹣4，
∴a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
∵对称轴x＝﹣1，
当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x ＜x ＜﹣1时，y ＜y ，
1 2 1 2
故答案为：＜；
（4）x＞﹣1时，y随x的增大而减小，x＜﹣1 时，y随x的增大而增大；
或函数图象关于直线x＝﹣1轴对称等，答案不唯一．
【变式3】若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：
x ﹣1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）二次函数y＝ax2+bx+c图象上有两点P（m，y ），Q（n，y ），
P Q
①已知y ＝y ，当x＝m+n时，求y的值；
P Q
②当n＝4时，y ＜y ，求m的取值范围．
P Q
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）①3；②m＞4或m＜﹣2．
【解答】解：（1）∵x＝﹣1，y＝0；x＝3，y＝0，
∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3），∵x＝0，y＝3，
∴a×（0+1）×（0﹣3）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），
即y＝﹣x2+2x+3；
（2）①∵当x＝m和x＝n时函数y的值相等，
0+2
而抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
∴m+n＝2，
当x＝m+n时，y＝﹣（2+1）（2﹣3）＝3．
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴Q（4，y ）关于对称轴的对称点为（﹣2，y ），
Q Q
∵y ＜y ，
P Q
∴m的取值范围是m＞4或m＜﹣2．
1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0）
【答案】A
【解答】解：在抛物线y＝x2﹣2x+1中，
当x＝0时，y＝1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（0，1），
故选：A．
2．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2+10 B．y＝（x﹣4）2﹣22
C．y＝（x+4）2﹣22 D．y＝（x+4）2+10
【答案】B
【解答】解：y＝x2﹣8x﹣6＝x2﹣8x+16﹣16﹣6＝（x﹣4）2﹣22，
故选：B．
3．抛物线y＝ax2+bx+c中的x，y的部分对应值如表，关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
A．图象开口向下1
B．对称轴是直线x=
2
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0）
【答案】C
【解答】解：由表格可得，
-3+5
该抛物线的对称轴为直线x= =1，故选项B错误，不符合题意；
2
该抛物线图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而增大，故选项C正确，符合题意；
图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
4．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+2
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，它的顶点坐标是（1，2）．
将其向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（﹣1，3），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x+1）2+3．
故选：C．
5．二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，
由①a，c同号，排除D选项．
由②可得b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点，故排除A选项．由③可知：当x＝﹣1时，y＜0，排除B选项．
故满足条件的图象可能是C，
故选：C．
6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … ﹣5 ﹣3 0 2 4 …
y … 12 0 ﹣3 5 21 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．点（﹣4，5）在该函数图象上
C．当x＞2时，y的值随x的值增大而减小
D．函数的最小值为﹣3
【答案】B
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
{9a-3b+c=0
将（﹣3，0）、（0，﹣3）、（2，5）代入得： c=-3 ，
4a+2b+c=5
{a=1
解得 b=2 ，
c=-3
所以解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
则抛物线开口向上，
当x＝﹣4时，y＝5，即（﹣4，5）在该函数图象上，
当x＜﹣1时，y的值随x的值增大而减小，函数的最小值为﹣4，
故选：B．
7．如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）的图象上，且a＜b＜
3．则m的取值范围是（ ）
A．3＜m＜4 B．3＜m＜4或m＞6
C．m＞6 D．m＜4或m＞6
【答案】B
【解答】解：∵A（m﹣2，a），C（m，a）关于对称轴对称，
m-2+m -2t
∴ =- ，
2 2
∴m﹣1＝t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，
∵抛物线与y轴交点为（0，3），抛物线对称轴为直线x＝t，
∴此交点关于对称轴的对称点为（2m﹣2，3），
a＜3，b＜3且t＞0，4＜2m﹣2，
解得m＞3，
当A，B都在对称轴左边时，
∵a＜b，
∴4＜m﹣2，
解得m＞6，
∴m＞6，
当A，B分别在对称轴两侧时，
∵a＜b，
∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），
解得m＜4，
∴3＜m＜4，
综上所述，3＜m＜4或m＞6．
故选：B．
8．直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项
A不符合题意；
选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B
符合题意；
选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线
中﹣ab＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
9．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（ ）
5 5 5
A．5 B．﹣5或 C．5或- D．﹣5或-
8 8 8【答案】C
【解答】解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，
解得：m＝5；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，
5
解得：m=- ；
8
故选：C．
10．二次函数y＝ax2﹣6ax+2的图象上有A（a，y ），B（5，y ）两点．下列选项正确的是（ ）
1 2
A．当a＜0时，y ＜y B．当0＜a＜1时，y ＜y
1 2 1 2
C．当1＜a＜2时，y ＞y D．当a＞2时，y ＞y
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣6ax+2的对称轴为直线x＝3．
∵A（a，y ），B（5，y ），
1 2
∴y =a3-6a2+2，y ＝﹣8a+2．
1 2
∴y - y =a3-6a2+8a=a(a-2)(a-4)，
1 2
分析表达式a（a﹣2）（a﹣4）的符号：
当a＜0，
a、a﹣2、a﹣4均为负，乘积为负，故y ＜y ，故选项A正确．
1 2
当0＜a＜2，
a＞0，a﹣2＜0，a﹣4＜0，乘积为正，故y ＞y ，故选项B、C错误．
1 2
当2＜a＜4，
a＞0，a﹣2＞0，a﹣4＜0，乘积为负，故y ＜y ，
1 2
当a＞4，
a、a﹣2、a﹣4均为正，乘积为正，故y ＞y ，但选项D包含2＜a＜4区间，故选项D错误．
1 2
故选：A．
1
11．已知一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，与另一条抛物线y =- （x+1）2﹣2的顶点坐标
2
相同，这条抛物线的解析式为 y ＝ 2 （ x + 1 ） 2 ﹣ 2 ， y ＝﹣ 2 （ x + 1 ） 2 ﹣ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一条抛物线的形状与抛物线y＝2x2+3形状相同，∴a＝±2，
设抛物线的顶点式为y＝±2（x﹣h）2+k，
1
由y=- （x+1）2﹣2可知顶点（﹣1，﹣2）
2
∴此抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣2），
∴抛物线的顶点式为y＝±2（x+1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2，y＝﹣2（x+1）2﹣2．
12．若点A（﹣2，y ），B（m，y ）在抛物线y＝x2+2x+2上，且y ＞y ，则m的取值范围是 ﹣ 2 ＜ m ＜ 0
1 2 1 2
．
【答案】﹣2＜m＜0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，1），
画出示意图如下：
当x＝﹣2时，y ＝0，
1
∴y ＜0，
2
由图象可知：若y ＞y ，则m的取值范围是﹣2＜m＜0，
1 2
故答案为：﹣2＜m＜0．
13．已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣1≤x≤4时，y的最大值为9，则k的值为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
又∵﹣1≤x≤4，抛物线开口向上，
∴当x＝4时，y取最大值，最大值y＝9+k﹣1＝8+k．
又此时y的最大值为9，
∴8+k＝9．
∴k＝1．故答案为：1．
14．已知点A（﹣1，﹣1），点B（2，﹣1），如果抛物线y＝x2﹣2ax+a+1（a为实数）与线段AB（不含
端点）只有一个交点，那么a的取值范围是 a ＞ 2 或 a ＜﹣ 1 ．
【答案】a＞2或a＜﹣1．
【解答】解：当x＝﹣1，y＝1+2a+a+1＝3a+2，
当x＝2时，y＝4﹣4a+a+1＝5﹣3a，
当交点在与线段AB（不含端点）之间时，当3a+2＞﹣1时，5﹣3a＜﹣1，
解得a＞2；
当3a+2＜﹣1时，5﹣3a＞﹣1，
解得a＜﹣1，
综上，a＞2或a＜﹣1，
故答案为：a＞2或a＜﹣1．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＞0；
9
②若点（﹣1，y ），( ，y )均在二次函数图象上，则y ＜y ；
1 2 2 1 2
③﹣2a+c＜0；
3
④对于任意实数m，总有am2+bm＞ a+b．
4
其中正确的结论是： ②③ ．
【答案】②③．
b
【解答】解：由条件可知a＞0，c＞0，- ＞0，
2a
∴b＜0，
∴abc＜0，故①不正确；
3
由条件可知抛物线对称轴为直线x= ，
2
3 9 3
∵|-1- |＜| - |，
2 2 2∴点（﹣1，y ）离对称轴更近，
1
∴y ＜y ，故②正确；
1 2
∵x＝1时，y＝a+b+c＜0，
b 3
又∵- = ，
2a 2
∴﹣3a＝b，
∴a+b+c＝﹣2a+c＜0，故③正确；
3 3 9
∵④am2+bm＝am2﹣3am， a+b= a-3a=- a，
4 4 4
9
即证am2-3am＞- a，
4
9 9
变形可得am2-3am+ a＞0，即m2-3m+ ＞0，
4 4
9 3 2
∵m2-3m+ =(m- ) ≥0，
4 2
∴故原式不成立，故④不正确，
故答案为：②③．
16．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0）和（3，0）．
（1）求a，b的值．
（2）求抛物线向左平移2个单位后的函数解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
所以﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）y＝（x﹣1）2﹣4，
抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），把（1，﹣4）向左平移2个单位后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣
4），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣4．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m），（2，n）在二次函数y＝x2+bx﹣3的图象上．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）在（1）的条件下，当﹣3＜x＜2时，求y的取值范围．
【答案】（1）b的值为﹣1；
13
（2）- ≤ y＜9．
4
【解答】解：（1）将点（﹣1，m）和点（2，n）代入函数解析式得，
m＝﹣b﹣2，n＝2b+1．
又m＝n，则﹣b﹣2＝2b+1，
解得b＝﹣1．
故b的值为﹣1．
（2）由（1）知，b＝﹣1，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣3．
1
此抛物线的对称轴为直线x= ，且开口向上，
2
1 13
抛物线的顶点坐标为（ ，- ）．
2 4
当x＝﹣3时，y＝9；当x＝2时，y＝﹣1，
13
所以当﹣3＜x＜2时，y的取值范围是- ≤ y＜9．
4
18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）若抛物线上有一动点P（x，y），当点P到y轴的距离不大于2时，n≤y≤m，求m﹣n的值；
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）9．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得a+2a﹣3＝0，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵点P（x，y）到y轴的距离不大于2，
∴﹣2≤x≤2，
∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x﹣3＝5；x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3；x＝1时，y有最小值﹣4，
∴当﹣2≤x≤2时，﹣4≤y≤5，
即n＝﹣4，m＝5，
∴m﹣n＝5﹣（﹣4）＝9．
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y ）和B（b+2，y ），当y •y ＜0时，求b的取值范围．
1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b，
解得b＝1，
∴y＝x2﹣2x．（2）∵y＝x2﹣2bx，
-2b
∴抛物线对称轴为直线x=- =b．
2
（3）∵y＝x2﹣2bx，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，
∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b，
∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，
∴y ＞y ，
2 1
∵y •y ＜0，
1 2
∴y ＞0，y ＜0，
2 1
将（b﹣1，y ）代入y＝x2﹣2bx得y ＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0，
1 1
解得b＜﹣1或b＞1，
将（b+2，y ）代入y＝x2﹣2bx得y ＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0，
2 2
∴﹣2＜b＜2，
∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意．
20．在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象上．
（1）当t＝2时，求抛物线对称轴的表达式；
（2）若点B（5﹣t，0）也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答：
①当这个函数的最小值为0时，求t的值；
②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）x＝1；
10
（2）①t= ；
3
5
②2≤t＜ 或t＞5．
2
【解答】解：（1）当t＝2时，有A（2，2），
把A代入y＝ax2+bx+2中可得：2＝4a+2b+2，
即b＝﹣2a，
b -2a
∴抛物线的对称轴为x=- =- =1；
2a 2a
（2）①∵函数经过点B（5﹣t，0），且函数的最小值为0，
∴B为抛物线的顶点，且函数图象开口向上，
∴该函数的对称轴为x＝5﹣t，
取x＝0，得y＝2，
∴该抛物线经过（0，2），
又∵（t，2）和（0，2）在该抛物线上，t+0
∴ =5-t，
2
10
解得t= ；
3
②当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
t
当a＜0时，抛物线开口向下，则当x＜ 时，y随x的增大而增大，
2
t
∴ ≥1，即t≥2，
2
又∵（5﹣t，0）在抛物线上，
5
∴5﹣t＜0或5﹣t＞t，即t＞5或t＜ ，
2
5
∴2≤t＜ 或t＞5，
2
t
当a＞0时，抛物线开口向上，则当x＞ 时，y随x的增大而增大，
2
t
所以 ≤0，即t≤0，
2
又∵（5﹣t，0）在抛物线上，
∴t＜5﹣t＜0，无解，
5
综上所述，2≤t＜ 或t＞5．
2
