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专题 22.12 二次函数章末九大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】.........................................................................................1
【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】.................................................................................................1
【题型3 根据新定义求字母取值范围】..................................................................................................................3
【题型4 利用二次函数的性质求最值】..................................................................................................................4
【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】.....................................................................................4
【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】.......................................................................................................5
【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】..................................................................................................................6
【题型8 二次函数中的存在性问题】......................................................................................................................8
【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】.........................................................................................................9
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】
【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(m<n)是关于x的一元二次方程
(x-a)(x-b)-3=0的两根，且a<b，则m,n,a,b的大小关系是（ ）
A．m<n<a<b B．a<m<n<b C．a<m<b<n D．m<a<b<n
【变式1-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）设一元二次方程(x+1)(x-3)=a(a>0)两实数根分别为
α，β且α<β，则α、β满足（ ）
A．-1<α<β<3 B．α<-1<3<β
C．α<-1<β<3 D．-1<α<3<β
【变式1-2】（2023春·四川凉山·九年级校考期中）若a，b（a<b）是关于x的方程2+(x-m)(x-n)=0
的两根，则m<n，则a、b、m， n的大小关系是 ．
【变式1-3】（2023·江苏扬州·九年级校联考期末）若x，x(x＜x)是方程(x﹣m)(x﹣3)＝﹣1(m＜3)的两根，
1 2 1 2
则实数x，x，3，m的大小关系是( )
1 2
A．m＜x＜x＜3 B．x＜m＜x＜3
1 2 1 2
C．x＜m＜3＜x D．x＜x＜m＜3
1 2 1 2
【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x<-1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y），（2023，y）是函数图象上的两点，则y＜y；
1 2 1 2
1 1 3
④若图象上两点（ ，y），（ +n，y）对一切正数n，总有y＞y，则1＜m≤ ．
1 2 1 2
4 4 2
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【变式2-1】（2023春·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴
交于点A(－1,0)，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包含这两个点)运动,有如下四个结
论：
①抛物线与x轴的另一个交点是(3,0)；
②点 ， 在抛物线上，且满足 ，则 ；
C(x ,y ) D(x ,y ) x <x <1 y >y
1 1 2 2 1 2 1 2
③常数项c的取值范围是2≤c≤3；
2
④系数a的取值范围是-1≤a≤- ．
3
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①③④
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常
数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点
与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2；
④点 与点 在函数图象上，若 ， ，则 ．其中正确结论的个数为
A(x ,y ) B(x ,y ) x <x x +x >2m y >y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴
于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
1
②若点M（－2，y1）、点N（ ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1<y2<y3；
2
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝－（x＋1）2＋m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为√34+√2．
其中正确判断有（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①③
【题型3 根据新定义求字母取值范围】
【例3】（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点
为二倍点．若二次函数y=x2-2x+c（c为常数）在-1<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围
是（ ）
A．-5<c<4 B．0<c<1 C．-5<c<1 D．0<c<4
【变式3-1】（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点
P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例
如：点P（2，5）的限变点是P′（2，1），点P（-2，3）的限变点是P′（-2，-3）．若点P（m，n）在
1 1 2 2
二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．-2≤n'≤2 B．1≤n'≤3 C．1≤n'≤2 D．-2≤n'≤3
【变式3-2】（2023春·重庆大渡口·九年级校考期末）若定义一种新运算：m@n=¿，例如：
1@2=1-2=-1，4@3=4+3-3=4．下列说法：
①-7@9=-16；
②若 ，则 或2；
1@(x2-x)=-1 x=-1
5
③若-2@(3+4x)≤-5，则x≥0或x<- ；
4
④ 与直线 （m为常数）有1个交点，则 ．
y=(-x+1)@(x2-2x+1) y=m -1<m<-3
其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3-3】（2023春·安徽合肥·九年级校联考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣
2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括
边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
1
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜- D．﹣2≤a＜0
2
【题型4 利用二次函数的性质求最值】
【例4】（2023春·九年级统考期中）已知，二次函数y=ax2+bx-1（a，b是常数，a≠0）的图象经过
A(2,1)，B(4,3)，C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1
上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
1 1
A．最大值为-1 B．最小值为-1 C．最大值为- D．最小值为-
2 2
【变式4-1】（2023春·广东汕头·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4
的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，
√2
则PQ+ PC的最小值是（ ）
2
3
A．6 B．2+ √2 C．2+3√2 D．3√2
2
11
【变式4-2】（2023春·辽宁·九年级东北育才双语学校校考期末）在平面直角坐标系中，点A（1， ），
2
3
B（4， ），若点M（a，﹣a），N（a+3，﹣a﹣4），则四边形MNBA的周长的最小值为（ ）
2
13 13
A．10+ √2 B．10+ √3 C．5+13√2 D．5+13√3
2 2
【变式4-3】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考期末）已知抛物线 y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点
为 P（x，y），点 A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当 y≥0 恒成立时，
0 0 0y - y 的最大值为（ ）
B C
y
A
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 4 3
【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】
【例5】（2023春·浙江·九年级期中）二次函数y=x2+2mx-3，当0≤x≤1时，若图象上的点到x轴距离
的最大值为4，则m的值为（ ）
A．-1或1 B．-1或1或3 C．1或3 D．-1或3
【变式5-1】（2023春·湖北黄冈·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，
9
则称点P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx- （a,b是常数，a≠0）的图象上有且只有一个完美点
4
(3 3)
, ，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx-3的最小值为-3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
2 2
7
A．-1≤m≤0 B．2≤m< C．2≤m≤4 D．m≥2
2
【变式5-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4
间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l
翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于
5，则t的取值范围是（ ）
1 1
A．﹣1≤t≤0 B．﹣1≤t≤- C．- ≤t≤0 D．t≤﹣1或t≥0
2 2
【变式5-3】（2023春·浙江·九年级统考期末）已知二次函数y=-2x2+mx+n的最大值为10，它的图象经
过点A(a-4,b)，B(a,b)，则b的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】
【例6】（2023春·浙江温州·九年级期末）已知二次函数 的图象与一次函数
y=a(x-h) 2+k(a≠0)
y=mx+n(m≠0)的图象交于(x，y )和(x，y )两点，（ ）
1 1 2 2
A．若a<0，m<0，则x +x >2h B．若a>0，m<0，则x +x >2h
1 2 1 2
C．若x +x >2h，则a>0，m>0 D．若x +x <2h，则a>0，m<0
1 2 1 2
【变式6-1】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a<0．
(1)直接写出直线的解析式：___________；直接写出b与a之间的关系：___________；直接写出抛物线顶
点Q的坐标：___________；（只用含a的代数式表示）
(2)说明直线与抛物线有两个交点；
1
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若-1≤a≤- ，求线段MN长度的最小值并直接写出此时△QMN
2
的面积．
【变式6-2】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别
交x轴、y轴于A(-3,0)，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2-2x+c与x轴的正半轴相交于点C．
(1)求k、c的值；
(2)求点C的坐标和抛物线y=-x2-2x+c的顶点坐标；
(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个
公共点，请直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
【变式6-3】（2023春·新疆哈密·九年级校考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，
( 5)
0, ，(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.
2
(1)求抛物线C的解析式；
(2)判断抛物线C与直线l有无交点；
(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．
【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】
【例7】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）将抛物线l：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，
1
得到一个新抛物线l，若l、l 两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）
2 1 2
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【变式7-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C ；
1
①求C 关于点R（1，0）的对称函数图象C 的函数解析式；
1 2
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣
2 3
）x﹣（2m﹣ ）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
3 8
1
【变式7-2】（2023春·重庆江北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与
4
直线AC交于点A(6，0)，C(0，-6)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE
的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对
应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定
一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出
求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【变式7-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线
1
y = x2+bx+c与y轴交于点A(0,-2)，与x轴交于点B(4,0)，连接AB．直线y＝－2x＋8过点B交y轴
1 2
于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作FD⊥x轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D．(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为m，当EF＝5ED时，求m的值；
1
(3)若抛物线y = x2+bx+c上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形．
1 2
①直接写出此时线段BF的长；
②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形A B F H （点A、B、F、H的对应点分别为A 、B 、F 、
1 1 1 1 1 1 1
1
H ），点K为平面内一点，当四边形B K F H 是平行四边形时，将抛物线y = x2+bx+c沿其对称轴
1 1 1 1 1 2
上下平移得到新的抛物线 ，若新的抛物线 同时经过点K和点 ，直接写出点K的横坐标．
y y H
2 2 1
【题型8 二次函数中的存在性问题】
1
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线y= x2-2x-6与x轴相交于点A、点B，与
2
y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．(3)点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2023春·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图，抛物线
y=ax2-2x+c与x轴交与A(1,0)，B(-3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出
Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的
面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践
3
如图，抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标
2
是(4，0)，点C的坐标是(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接CD．
(1)求抛物线的解析式：
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；
如果不存在，请说明理由；
(3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写
出点E的坐标．【变式8-3】（2023春·广东广州·九年级广州市第十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点B的
坐标为(-3,-4)，线段OB绕原点逆时针旋转后与x轴的正半轴重合，点B的对应点为点A．
(1)直接写出点A的坐标，并求出经过A、O、B三点的抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使BC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说
明理由．
(3)点P是抛物线上的一个动点，且在x轴的上方，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？求出此
时点P的坐标和△PAB的最大面积．
【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】
【例9】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图，在斜坡OE底部点O处设置一个可移动的自动喷水装
置，喷水装置的高度OA为1.4米，喷水装置从A点喷射出的水流可以近似地看成抛物线．当喷射出的水流
与喷水装置的水平距离为6米时，达到最大高度5米．以点O为原点，喷水装置所在的直线为y轴，建立
平面直角坐标系．斜坡上距离O水平距离为8米处有一棵高度为1.6米的小树NM，NM垂直水平地面且M
点到水平地面的距离为1.8米．如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点N，请求出自动喷水装置应向后平移
（即抛物线向左平移） 米．
【变式9-1】（2023春·吉林·九年级校考期中）2022年北京召开了冬奥会，激起了人们对冰雪运动的极大
热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的
1 7
垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C ：y=- x2+ x+1近似表示滑雪场地上的一座小
1 12 6
1
山坡，某运动员从点O正上方4米处的点A滑出，滑出后沿一段抛物线C ：y=- x2+bx+c运动．
2 8(1)当运动员运动到距离点A的水平距离为4米处时，其距离水平线的高度为8米，求抛物线C 的函数解析
2
式．（不要求写出自变量x的取值范围）
(2)在（1）的条件下，当运动员运动到距离点A的水平距离为多少米处时，其与小山坡的竖直距离为1米？
【变式9-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分
可近似看作抛物线形，现测得AB=6m，最高点D到地面AB的距离为2.5m，点D到墙BC的距离为1m．
求墙高BC．
【变式9-3】（2023春·浙江衢州·九年级统考期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计大棚苗木种植方案？
素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为20m，宽为1m的矩形，其上
半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面5m．
素材2：种植苗木时，每棵苗木高1.76m，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔1m，苗木顶
部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．问题解决
任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，求抛物线的函数关系式．
任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范
围．
任务3：拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐
标．
