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专题 22.12 二次函数章末九大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】.........................................................................................1
【题型2 利用二次函数的性质判断多结论问题】.................................................................................................1
【题型3 根据新定义求字母取值范围】..................................................................................................................3
【题型4 利用二次函数的性质求最值】..................................................................................................................4
【题型5 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围】.....................................................................................4
【题型6 二次函数与一次函数图象的综合】.......................................................................................................5
【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】..................................................................................................................6
【题型8 二次函数中的存在性问题】......................................................................................................................8
【题型9 由实际问题抽象出二次函数模型】.........................................................................................................9
【题型1 利用二次函数的性质比较四个字母的大小】
【例1】（2023春·安徽阜阳·九年级阜阳实验中学校考期中）若m,n(m0)两实数根分别为
α，β且α<β，则α、β满足（ ）
A．-1<α<β<3 B．α<-1<3<β
C．α<-1<β<3 D．-1<α<3<β
【变式1-2】（2023春·四川凉山·九年级校考期中）若a，b（ay
1 1 2 2 1 2 1 2
③常数项c的取值范围是2≤c≤3；
2
④系数a的取值范围是-1≤a≤- ．
3
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①③④
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常
数）性质时有如下结论：①该二次函数图象的顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点
与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当-12m y >y
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】（2023春·山东德州·九年级统考期末）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴
于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；
1
②若点M（－2，y1）、点N（ ，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y12h B．若a>0，m<0，则x +x >2h
1 2 1 2
C．若x +x >2h，则a>0，m>0 D．若x +x <2h，则a>0，m<0
1 2 1 2
【变式6-1】（2023春·福建龙岩·九年级校考期中）已知直线y=2x+m与抛物y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a<0．
(1)直接写出直线的解析式：___________；直接写出b与a之间的关系：___________；直接写出抛物线顶
点Q的坐标：___________；（只用含a的代数式表示）
(2)说明直线与抛物线有两个交点；
1
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N，若-1≤a≤- ，求线段MN长度的最小值并直接写出此时△QMN
2
的面积．
【变式6-2】（2023春·河南许昌·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别
交x轴、y轴于A(-3,0)，B两点，经过A，B两点的抛物线y=-x2-2x+c与x轴的正半轴相交于点C．
(1)求k、c的值；
(2)求点C的坐标和抛物线y=-x2-2x+c的顶点坐标；
(3)若点M为直线AB上一动点，将点M向右平移4个单位长度，得到点N．若线段MN与抛物线只有一个
公共点，请直接写出点M的横坐标x 的取值范围．
M
【变式6-3】（2023春·新疆哈密·九年级校考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象C经过(－5,0)，
( 5)
0, ，(1,6)三点，直线l的解析式为y＝2x－3.
2
(1)求抛物线C的解析式；
(2)判断抛物线C与直线l有无交点；
(3)若与直线l平行的直线y＝2x＋m与抛物线C只有一个公共点P，求点P的坐标．
【题型7 抛物线的平移、旋转、对称】
【例7】（2023春·河北石家庄·九年级校考期中）将抛物线l：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，
1
得到一个新抛物线l，若l、l 两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（ ）
2 1 2
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【变式7-1】（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．
（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C ；
1
①求C 关于点R（1，0）的对称函数图象C 的函数解析式；
1 2
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣
2 3
）x﹣（2m﹣ ）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
3 8
1
【变式7-2】（2023春·重庆江北·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与
4
直线AC交于点A(6，0)，C(0，-6)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE
的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对
应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定
一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出
求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【变式7-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线
1
y = x2+bx+c与y轴交于点A(0,-2)，与x轴交于点B(4,0)，连接AB．直线y＝－2x＋8过点B交y轴
1 2
于点C，点F是线段BC上一动点，过点F作FD⊥x轴，交线段AB于点E，交抛物线于点D．(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为m，当EF＝5ED时，求m的值；
1
(3)若抛物线y = x2+bx+c上有一点H，且满足四边形ABFH为矩形．
1 2
①直接写出此时线段BF的长；
②将矩形ABFH沿射线BC方向平移得到矩形A B F H （点A、B、F、H的对应点分别为A 、B 、F 、
1 1 1 1 1 1 1
1
H ），点K为平面内一点，当四边形B K F H 是平行四边形时，将抛物线y = x2+bx+c沿其对称轴
1 1 1 1 1 2
上下平移得到新的抛物线 ，若新的抛物线 同时经过点K和点 ，直接写出点K的横坐标．
y y H
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【题型8 二次函数中的存在性问题】
1
【例8】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，抛物线y= x2-2x-6与x轴相交于点A、点B，与
2
y轴相交于点C．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P(m,n)(0
