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专题 22.12 二次函数与一元二次方程（专项练习）（基础练）
【考点目录】
【考点1】抛物线与坐标轴交点坐标；
【考点2】从二次函数函数值求自变量的值；
【考点3】图象法解一元二次不等式和求一元二次方程的近似根；
【考点4】由不等式求自变量或函数取值范围；
【考点5】从抛物线与坐标轴交点确定不等式的解集；
【考点6】从抛物线位置确定一元二次方程根的情况；
【考点7】抛物线与x轴交点与截线长问题；
【考点8】抛物线与一元二次方程综合问题.
一、单选题
【考点1】抛物线与坐标轴交点坐标；
1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为
，那么关于x的一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）二次函数 的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点2】从二次函数函数值求自变量的值；
3．（23-24九年级上·山东潍坊·期中）已知二次函数 ，当y＝0时，x的值是（ ）
A．2或 B． 或6 C． 或1 D． 或4．（23-24九年级上·北京西城·期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数 的图象
时．列了如下表格：
x … 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 …
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程 的解为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【考点3】图象法解一元二次不等式和求一元二次方程的近似根；
5．（2023·四川绵阳·一模）二次函数 与一次函数 的图像如图所示，则满足
的 的取值范围为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
6．（23-24八年级下·福建福州·期末）已知抛物线 上的某些点的横坐标x与纵坐标y的对
应值如下表：
x
y
则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点4】由不等式求自变量或函数取值范围；7．（2024·甘肃武威·二模）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为
，对称轴为直线 ，将抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线 ，则当
时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川泸州·一模）设二次函数 ，当 时，总有 ，当 时，总有 ，
那么c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点5】从抛物线与坐标轴交点确定不等式的解集；
9．（2024·河南周口·模拟预测）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，
与 轴交于点 ，若直线 的解析式为 ，则 的解集为（ ）
A． 或 B． 或 C． D． 或
10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线 与x轴相交于点 ， ，与y轴
相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论：①对称
轴为直线 ；②当 时， ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点6】从抛物线位置确定一元二次方程根的情况；
11．（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 如图所示，则关于
的方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法准确判断
12．（2024·河南安阳·二模）已知一次函数 与二次函数 的图象在第二象限内有两个
交点，则函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点7】抛物线与x轴交点与截线长问题；
13．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数 的图象与坐标轴共有两个不
同的交点，则实数a的可能值有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个14．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，下
列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为
C． ， 两点之间的距离为 D．当 时， 的值随 值的增大而增大
【考点8】抛物线与一元二次方程综合问题.
15．（2023·浙江·模拟预测）设二次函数 （a，c是常数， ），已知函数的图象经过点
， ， ，设方程 的正实数根为m，（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
16．（23-24九年级上·陕西西安·期中）某二次函数图象如图所示，下面各式判断正确的是（ ）
A． B．
C．方程 无解 D．
二、填空题
【考点1】抛物线与坐标轴交点坐标；17．（23-24八年级下·福建厦门·期末）二次函数 图像与 轴交点坐标为 ．
18．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若抛物线 与 轴分别交于 、 两点， 、 两点间的距离
是 ．
【考点2】从二次函数函数值求自变量的值；
19．（2023九年级上·浙江·专题练习）关于x的二次函数 ，当 时，y的值为
0；当 时，y的值等于9．
20．（21-22九年级上·宁夏石嘴山·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程 的根为 ；
（2）方程 的根为 ；
（3）方程 的根为 ；
【考点3】图象法解一元二次不等式和求一元二次方程的近似根；
21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）根据下列表格中 的自变量x与函数值y的部分
对应值，判断方程 （ ，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ．
x 0.4 0.5 0.6 0.7
22．（2024九年级下·全国·专题练习）二次函数 的图象如图所示，则函数值 时， 的取
值范围是 ．【考点4】由不等式求自变量或函数取值范围；
23．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，则当
时，函数值y的取值范围是 ．
24．（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）已知 ，则当 时， 的取值范围是
【考点5】从抛物线与坐标轴交点确定不等式的解集；
25．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，抛物线 与直线 交于 ，
两点，则不等式 的解集是 ．
26．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知二次函数 和一次函数 的图象，
由图象知，当 时， 的取值范围是： ．【考点6】从抛物线位置确定一元二次方程根的情况；
27．（2024·广东深圳·二模）已知函数 的大致图象如图所示，对于方程 （m为实数），
若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
28．（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，若方程
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【考点7】抛物线与x轴交点与截线长问题；
29．（2024·吉林长春·模拟预测）若抛物线 （ 为常数）与 轴有且只有一个公共点，则
的值为 ．
30．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为
，若抛物线与 轴相交于 ， 两点，则 ． ．
31．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，过点D（1，3）的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则PC+PD的最小值为 ．
【考点8】抛物线与一元二次方程综合问题.
32．（23-24九年级上·广西百色·期中）学习了方程、不等式、函数后，老师提出如下问题：如何求不等
式 的解集？通过思考，小丽得到解题的方法：由方程 的两根为 ， ，
可得函数 的图象与 轴的两个交点横坐标为 、3，画出函数图象，观察该图象在 轴下方
的点，其横坐标的范围是不等式 的解集．请你模仿小丽的方法，求得不等式
的解集为 ．参考答案：
1．B
【分析】此题考查的是求二次函数图象与x轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图
象的对称性和二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据
图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x轴的另一个交点坐
标，最后根据二次函数与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．
【详解】解：由图象可知：二次函数 图象的对称轴为直线 ，
∵图象与 轴的一个交点为 ，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴关于 的一元二次方程 的两实数根是
故选B．
2．A
【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点问题，令 ，即可求解．
【详解】解：当 时，
∴二次函数 的图象与y轴的交点坐标是 ，
故选：A．
3．B
【分析】此题考查了抛物线与 轴的交点，列出关于 的方程是解本题的关键．令 得到关于
的一元二次方程，求出方程的解即可得到 的值．
【详解】解：令 ，得到 ，
即 ，
解得： 或6．
故选：B
4．C
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方
程 中各项的系数已知，再解方程即可．
【详解】解：由题意可知点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ，
解得： ，
所以一元二次方程 可化为： ，
解得： ， ，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得 中x的取值范围就是二次
函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：若 ，则 ，
有图像可知，当 或 时，二次函数的图像 在一次函数图像 的下
方，即 ，
当 或 时， ，
∴
则当 或 时， ，
故选：B．
6．B
【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系，根据表格中数据的变化情况进行估计即可．
【详解】解：由表可以看出，当 取 与 之间的某个数时， ，即这个数是
的一个根，
∴ 的一个解x的取值范围为 ．
故选：B．
7．C【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线
与x轴的另一个交点．
首先根据二次函数的对称性得到抛物线 与x轴的另一个交点为 ，然后根据平移的性质得到抛
物线 与x轴的两个交点坐标为 和 ，再根据抛物线的开口方向即可求得当 时的x
的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点为 ，
∵抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线 ，
∴抛物线 与x轴的两个交点坐标为 和
∴当 时，x的取值范围是 ．
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据题意可知当 时， ，据此可
得 ，再由当 时， ，得到 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数 ，当 时，总有 ，当 时，总有 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵当 时，总有 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选；B．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数图象与性质，待定系数法求一次函数参数，熟练掌握函数图象与不等式的关系是解题的关键．先由二次函数可求得 点坐标，代入
即可得到 ，然后由 变形为 ，观察图象即可得到答案．
【详解】解： 与 轴交于点 ，即 时， ，
又 点 在直线 ： 上，
将 代入 ，得
直线 的解析式为
观察图象可知，当 时，直线 在抛物线的上面，当 时，直线 在抛物线的下面，
当 时，直线 在抛物线的上面，
，即
观察图象可知，该不等式的解集为： 或 ．
故选：D．
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系，二
次函数图象的性质等等，由抛物线 与x轴相交于点 ， 得到抛物线
对称轴为直线 ， ，据此可判断①⑤；进而得到 ，即可判断③；根据函数图
象即可判断②；根据当 时， ，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线 与x轴相交于点 ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ， ，故①⑤说法正确；
∴ ，
∴ ，即 ，故③说法错误；
由函数图象可知当 时， 或 ，故②说法错误；
∵当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故④说法正确；
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系；依题意，关于 的方程 的
根即抛物线 与 轴的交点坐标，根据函数图像即可求解．
【详解】解：由图像知， 与 轴无交点，
即关于 的方程 的方程没有实数根，
故选：C．
12．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系．联立得 ，再由两函
数图象在第二象限内有两个交点，可得函数 的图象与x轴的负半轴有两个交点，
即可求解．
【详解】解：联立得： ，
整理，得 ，
∵两函数图象在第二象限内有两个交点，
∴方程 有两个负数解，
∴函数 的图象与x轴的负半轴有两个交点，
故选：B．
13．A
【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函
数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、
二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
【详解】解： 函数 的图象与坐标轴共有两个不同的交点，
当 时，此时 与两坐标轴两个交点，当 时，则 或 ，
解得， 或 ，
由上可得， 的值是0， 或1，共4个．
故选：A．
14．C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，
∴
∴
∴二次函数解析式为 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
故A，B选项不正确，不符合题意；
∵ ，抛物线开口向上，当 时， 的值随 值的增大而减小，故D选项不正确，不符
合题意；
当 时，
即
∴ ，
∴ ，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．D
【分析】根据二次函数的性质可得点 关于对称轴的对称点为 ，点 关于对称
轴的对称点为 ，再由二次函数图象与方程的关系可得二次函数 的图象与直线的右侧的交点的横坐标为m，再结合图象即可求解．
【详解】解：∵二次函数 关于y轴对称，
∴点 关于对称轴的对称点为 ，点 关于对称轴的对称点为 ，
∵方程 的正实数根为m，
∴二次函数 的图象与直线 的右侧的交点的横坐标为m，
如图，
当 时， ，故A、B选项错误，不符合题意；
当 ， 时， ，故C选项错误，不符合题意；D选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，解题关键是根据二次函数的图象和性质分别判断即可．
【详解】解：A、 图象与 轴的一个交点在 和 之间，对称轴为直线 ，
图象与 轴的另一个交点在 和 之间，
当 时， ，即 ，故选项A不符合题意；
B、 抛物线的对称轴为直线 ，
，
由图象可知，当 时， ，，故选项B符合题意；
C、由图象可知顶点坐标为 ，
，
方程 的解为 ，选项C不符合题意；
D、 时函数值 为最大值，
，即 ，选项D不符合题意．
故选：B．
17．
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解 轴上点的坐标特征是解题关键．令 ，
解得 的值，即可获得答案．
【详解】解：对于二次函数 ，
令 ，可得 ，
所以，该函数的图像与 轴交点坐标为 ．
故答案为： ．
18．2
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．
代入 求出两个交点后，即可得到两点间的距离．
【详解】解：、把 代入 得：
解得： 或 ，
∴ ，
故答案为： ．
19． 3 0或6
【分析】令 即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值即可；令 即可得到关于x的一元
二次方程，求出x的值即可．【详解】解：∵当 的函数值为0，
∴ ，
解得 ，
当 的函数值为9，
∴ ，
解得 ， ，
故答案为：3；0或6．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据函数值得到关于x的一元二次方程，求出x的
值是解答此题的关键．
20． ， ，
【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可；
（2）根据图象，利用抛物线与直线 交点的横坐标是方程的根求解即可；
（3）根据图象，利用抛物线与直线 交点的横坐标是方程的根求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为 ，
∴方程 的根为 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由图象可得：抛物线与直线 的两个交点为 ，
∴方程 的根为 ， ，
故答案为： ， ；
（3）解：由图象可得：抛物线与直线 的一个交点为 ，
∴方程 的根为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程 的根为抛物线与x
轴交点的横坐标，方程 的根为抛物线与直线 交点的横坐标是解题的关键．
21．
【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函 的图象与x轴
交点的横坐标就是方程 的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程
一个解的范围．
【详解】解：∵函数 的图象与x轴交点的横坐标就是方程 的根，x轴
上的点的纵坐标为0，由表中数据可知： 在 与 之间，
∴对应的x的值在 与 之间，
即 ．
故答案为： ．
22． 或
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点，正确利用数形结合进行解答是解题关键．根据函数图象求
出与 轴的交点坐标，再由图象得出答案．
【详解】解：由 可得， ， ，
观察函数图象可知，当 或 时，函数值 ．
故答案为： 或 ．
23．
【分析】根据图象中的数据得到当横坐标 时的纵坐标范围即可．
【详解】解：由图象可知，
当 时，函数值 的取值范围 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
24． /
【分析】先化为顶点式，根据开口方向以及顶点坐标求得最大值为1，抛物线的对称轴可得，当
时 取得最小值，即可求解．
【详解】解：∵
∴抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，开口向下，
∴当 时，有最大值，最大值为1
当 时，当 时， 取得最小值，最小值为 ，
∴当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．
25．
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是将问题转化为交点的横坐标的取值范
围．
由 得： ，故抛物线 在直线 的下方对应交点的横
坐标的取值范围即为该不等式的解集，据此求解即可．
【详解】解：由 得： ，
∴抛物线 在直线 的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，
∵两图像交于 ， 两点，
∴ ，
故答案为： ．
26．
【分析】
本题考查了二次函数与不等式．根据函数图象写出直线在二次函数图象上以及上方部分的 x的取值
范围即可．【详解】解：观察图象得：当 时，x的取值范围为 ．
故答案为： ．
27．4
【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交
点，再根据函数图象的特点即可求解．
【详解】解：令 得， ，
所以函数 的图象与y轴的交点坐标为 ．
方程 的实数根可以看成函数 的图象与直线 交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数 的图象与直线 有3个不同的交点．
如图所示，
当 时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
28． /
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；根据顶点坐标为 ，求
出 ．根据题意可得 求值即可．
【详解】解：由图象可知：二次函数 的顶点坐标为 ，
∴ ，即 ，
∵ 有两个不相等的实数根，∴
∵抛物线开口向上
∴
∴
∴ ．
故答案为 ．
29．
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点，解题的关键在于理解抛物线与 轴的交点与根的判别式
有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式小于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个
交点．根据抛物线与 轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出 的值．
【详解】解： 抛物线 （ 为常数）与 轴有且只有一个公共点，
，
解得 ，
故答案为： ．
30． 4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，先求得解析式，进而求得
的值，令 ，进而得出 的长．
【详解】解：∵ 中， ，顶点坐标为 ，
∴抛物线解析式为 ，则 ，
令 ，则 ，
解得：
∴ ,
故答案为： ， ．
31．
【分析】由两点之间线段最短可知，当D、P、B在同一直线上时就可使PC+PD的值最小，解答即可．
【详解】解：连接PB，
对于抛物线y=-x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，
∵抛物线y=-x2+k过点D（1，3），
∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为（-2，0），
所以BD= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，轴对称－最短路线问题，找到P点是本题的关键．
32． 或
【分析】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，首先将 变形为
，然后求出方程 的两根为 ， ，然后画出函数
的图象，最后根据图象得到x轴上方的点的横坐标的取值范围即可．解题的关键在于理解题意并正
确的作函数图象．
【详解】∵
∴
∴∴ 或
解得 ，
∴方程 的两根为 ，
∴函数 的图象与 轴的两个交点横坐标为 、2，
画出函数 的图象如下：
由图象可得，当 或 时，
∴不等式 的解集为 或
∴不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
