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专题 22.11 二次函数章末九大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】.................................................................................................1
【题型2 二次函数的图象与系数关系的综合判断】.............................................................................................3
【题型3 根据二次函数的性质求值】......................................................................................................................4
【题型4 根据二次函数的性质求字母取值范围】.................................................................................................5
【题型5 二次函数的平移】......................................................................................................................................5
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次方程】.................................................................................................6
【题型7 估算一元二次方程的近似根】..................................................................................................................7
【题型8 探究二次函数与不等式之间的关系】.....................................................................................................9
【题型9 二次函数的应用】....................................................................................................................................10
【题型1 二次函数与一次函数的图象综合判断】
【例1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）y=ax+b(ab≠0)不经过第三象限，那
么y=ax2+bx+3的图象大致为 （ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023春·福建福州·九年级校考期末）已知二次函数 的图像如图，则一次函数
y=a(x-1) 2+c
y＝ax+c的大致图像可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023春·山东淄博·九年级周村二中校考期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx交
于M，N两点，则二次函数y＝ax2＋（b﹣k）x＋c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023春·山东泰安·九年级校考期末）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 二次函数的图象与系数关系的综合判断】
【例2】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
1
图像的一部分，对称轴为x= ，且经过点(2,0)，下列说法：①abc>0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；
2
1 1
④若(-2020,y ),(2022,y )是抛物线上的两点，则y >y ；⑤ b>m(am+b)，（其中m≠ ）；其中说
1 2 1 2 4 2
法正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
【变式2-1】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点
A(-1,0)、点B(3,0)、点C(4,y )，若点D(x ,y )是抛物线上任意一点，有下列结论：①abc>0；②
1 2 2
4a-2b+c<0；③二次函数y=ax2+bx+c的最小值为-4a；④若y >y ，则x >4；⑤一元二次方程
2 1 2
1
bx2+cx-a=0的两个根为-1和- ．其中正确结论的是 (填序号)．
2【变式2-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象过点A（m，n），
B（-2-m，n），C（-1，4）．现给出以下结论：
①b-2a=0；
②c=a+4；
③对于任意实数p，不等式ap2+bp≤a-b一定成立；
④关于t的方程a（t-1） 2+b（t-1）+c-5=0有实数根．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式2-3】（2023春·重庆·九年级期末）如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)和(m,0)，下列判
断：
①abc<0；
②a+4c<2b；
√b2-4ac
③|m+1|=| |；
a
④x=2和x=m-3处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．
【题型3 根据二次函数的性质求值】
【例3】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）二次函数y=x2-2x-2022的图象上有两点A(a,-1)和
B(b,-1)，则a2+2b-3的值等于（ ）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【变式3-1】（2023春·广东广州·九年级统考期末）二次函数y=-x2-2x+m，在-3≤x≤2的范围内有最
小值-3，则m的值是（ ）
A．-6 B．-2 C．2 D．5
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·九年级校考期中）已知点 是二次函数 图象上
P(a,b) y=-(x-m) 2+m2+1
一点，当-2≤a≤1时，b的最大值为4，则实数m的值为 ．
【变式3-3】（2023春·浙江温州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+4ax+3a-1的图象开口向下.
(1)若点(m,-9)和(1,-9)是该图象上不同的两点，求m的值．
(2)当-4≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，求a的值．
【题型4 根据二次函数的性质求字母取值范围】
【例4】（2023春·江西九江·九年级校考期中）已知三个不重合的点 均
A(n,y ),B(1-n,y ),C(-1,y )
1 2 3
在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，且2an+b=0，点B，C在抛物线对称轴同侧．若y >y >y ，则n的
1 2 3
取值范围为（ ）
1 3
A．n>2 B．n<2 C． <n<2 D．n>-
2 2
【变式4-1】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期末）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一
象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是 ．
【变式4-2】（2023春·云南德宏·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值
如表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 5 12 …
则当-2<x<2时，y满足的范围是 ．
3
【变式4-3】（2023春·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数y＝-（x－m）2＋m2＋1，且-2≤x≤ ．
2
（1）当m＝1时，函数y有最大值 ．
（2）当函数值y恒不大于4时，实数m的范围为 ．
【题型5 二次函数的平移】
1
【例5】（2023春·甘肃兰州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=- x2+b的图象
2
经过正方形ABOC的顶点A,B,C，且A点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（ ）
1 1
A．y=- (x-2) 2+2 B．y=- (x+2) 2+2
2 2
C． D．
y=2(x+2) 2-2 y=2(x-2) 2+2
【变式5-1】（2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）将抛物线y=-x2-2x+3的图
象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点是（ ）
A．(-1,4) B．(1,-2) C．(0,-2) D．(0,2)
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的
图象不经过第四象限，则m的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【变式5-3】（2023春·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点
A(1,3)，B(3,5)，C(3,-7)，直线l:y=x+m经过点A，抛物线L:y=ax2+bx+2恰好经过A，B，C
三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线l上，并说明理由；
(2)求a,b的值；
(3)平移抛物线L，
①使其顶点为B，求此时抛物线与y轴交点的坐标；
②使其顶点仍在直线l上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【题型6 利用二次函数的图象解一元二次方程】
【例6】（2023春·河南周口·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程
ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（ ）A．-3 B．3 C．-5 D．9
【变式6-1】（2023春·宁夏石嘴山·九年级校考期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
(1)方程ax2+bx+c＝0的根为 ；
(2)方程ax2+bx+c＝﹣3的根为 ；
(3)方程ax2+bx+c＝﹣4的根为 ；
【变式6-2】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）二次函数y=ax2-bx-5的图象与x轴交于
(1,0)、(-3,0)，则关于x的方程ax2-bx=5的解为（ ）
A．1，3 B．1，-5 C．-1，3 D．1，-3
【变式6-3】（2023春·浙江丽水·九年级期末）二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程 的解为 ．
a(2x-1) 2+b(2x-1)+c=7
【题型7 估算一元二次方程的近似根】
【例7】（2023春·广东东莞·九年级东莞市东华初级中学校考期末）根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
判断方程 ， ， ， 为常数）的一个解x的范围是（ ）
ax2+bx+c=0(a≠0 a b cA．3.22<x<3.23 B．3.23<x<3.24
C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26
【变式7-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）如图，以直线x=1为对称轴的二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解的范围是（ ）．
A．2<x<3 B．3<x<4 C．4<x<5 D．5<x<6
【变式7-2】（2023春·北京丰台·九年级统考期中）在关于的x二次函数中，自变量x可以取任意实数，下
表是自变量x与函数y的几组对应值：
x … 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y=ax2+bx+c … -1.78 -3.70 -4.42 -3.91 -2.20 0.75 4.88 10.27 …
根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于
（结果保留小数点后一位）．
【变式7-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x-1的图象如
图所示，若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果
精确到0.1）
【题型8 探究二次函数与不等式之间的关系】
【例8】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则
当y>0时，x的取值范围是（ ）A．x>-1 B．x<-1 C．-1<x<3 D．x>3
【变式8-1】（2023春·北京石景山·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+2x-3
(1)用配方法将其化为 的形式；
y=a(x-h) 2+k
(2)结合函数图象直接写出当y>-3时，x的取值范围．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知，在同一坐标系中二次函数y＝ax2+bx+c与一
1
次函数y＝mx+n的图象如图，它们相交于点B（0，2），C（3，8），抛物线的顶点D（1，0），直线BC
2
交x轴于点A．
（1）当y＜y 时，x的取值范围是 ．
1 2
（2）当yy＞0时，x的取值范围是 ．
1 2【变式8-3】（2023春·广西南宁·九年级南宁二中校考期中）如图，直线y =kx+b与抛物线
1
交于点 和点 ，若 ，则x的取值范围是 ．
y =ax2+bx+c A(-2,3) B(2,-1) y <y <0
2 2 1
【题型9 二次函数的应用】
【例9】（2023春·辽宁鞍山·九年级统考期末）某校数学兴趣小组对我市某大型商场的停车场车流量进行
了调查，某天上午从开业开始一小时内累计进入商场停车场的车数y（单位：辆）与时间x（单位：分钟）
的变化情况，发现其变化规律符合二次函数关系式：y=ax2+bx+c(0≤x≤60)，数据如表．
时间x（分钟） 0 10 … 60
累计车数y
0 110 … 360
（辆）
(1)求a，b，c的值；
(2)如果平均每辆车载入停车场2名顾客，顾客需下车排队“测体温”，体温正常可以从停车场进入商场，
若所有驾车的顾客都体温正常，且平均每分钟有16名顾客经过“测体温”进入商场，求排队人数的最大值．
（排队人数＝累计人数－已进入商场人数）
【变式9-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级统考期末）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现
准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会
减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有______棵橙子树；这时平均每棵树结______个橙子．
(2)在（1）的条件下，求增种多少棵橙子树，可以使果园橙子总产量最大？最大产量是多少？【变式9-2】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是
20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，
但每件玩具售价不能高于40元． 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？
【变式9-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）自新冠疫情防控“新十条”发布以来，市场上对日常居
民所用消毒液的需求量日益加大，某消毒液厂为满足市场需求，改造了10条消毒液生产线，每条生产线每
天可生产消毒液300吨．由于人员和资金限制，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20吨
消毒液．设增加x条生产线(x为正整数)，每条生产线每天可生产消毒液y吨
(1)y与x之间的函数关系式为___________；
(2)设该厂每天可以生产消毒液吨，请求出与的函数关系式，并求出当为多少时，每天生产的消毒液最多？
最多为多少吨？
