文档内容
专题 13.9 轴对称章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 利用轴对称的性质求解】..........................................................................................................................1
【题型2 轴对称中的光线反射】..............................................................................................................................2
【题型3 等腰三角形中分类讨论】..........................................................................................................................4
【题型4 双垂直平分线求角度与周长】..................................................................................................................5
【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】.........................................................................................................6
【题型6 轴对称图形中的面积问题】......................................................................................................................7
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】.....................................................................................8
【题型8 轴对称中的旋转】....................................................................................................................................10
【题型9 轴对称中规律探究】................................................................................................................................12
【题型10 等边三角形的十字结合模型】................................................................................................................13
【题型1 利用轴对称的性质求解】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A
与点E关于直线CD对称．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，则△DBE的周长为 cm．
【变式1-1】（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知△ABC中∠B是钝角，以AC所在直线为对称轴作
△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，则∠B的度数为 ．
【变式1-2】（2023春·山东潍坊·八年级统考期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、
OA的对称点P ，P ，连接P P 交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°，则∠MPN的度数是
1 2 1 2
．【变式1-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DM折叠，使点C落在点C'的
位置，其中点D为AC边上一定点，点M为BC边上一动点，点M与B，C不重合．
（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，则∠C'＝ °；
（2）如图1，当点C'落在四边形ABMD内时，设∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'与∠1，∠2之
间的数量关系，并说明理由；
（3）在点M运动过程中，折叠图形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠ADC'的度数．
【题型2 轴对称中的光线反射】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）光线以如图所示的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I，
Ⅱ之间来回反射．若∠α=50°，∠β=60°，则∠γ等于 ( )
A．80° B．70° C．60° D．50°
【变式2-1】（2023·八年级单元测试）公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在
镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线NO垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反
射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同．如图2，长方型球桌ABCD上有两个球P，Q．请你尝试解决台球碰撞问题：
(1)请你设计一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反射后，撞到球Q．在图2中画出，并说明做法的合理性．
(2)请你设计一路径，使得球P连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球Q，在图3中画出一种路径即可．
【变式2-2】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图1，直线l垂直BC于点B，∠ACB=90°，点
D为BC中点，一条光线从点A射向D，反射后与直线l交于点E，且有∠EDB=∠ADC．
(1)求证：BE=AC；
(2)如图2，连接AB交DE于点F，连接FC交AD于点H，AC=BC，求证：CF⊥AD；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是AB边上的动点，连接PC，PD，S =5，CH=2，请问
ΔACD
PC+PD是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，无需证明；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P 是BC边的
0
3
中点，一束光线自P 发出射到AC上的P 后，依次反射到AB、BC上的点P 和P，且1＜BP＜ （反射角
0 1 2 3 3
2
等于入射角），则PC的取值范围是 ．
1【题型3 等腰三角形中分类讨论】
【例3】（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）如图，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D为AB边
上一点（不与A、B重合），将△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于点F．若△DEF为等腰三角形，
则∠BCD为（ ）
A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50°
【变式3-1】（2023春·陕西渭南·八年级校考期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则它
的底角为（ ）
A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°
【变式3-2】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，△ABC中∠ABC=40°，动点D在直线BC上，
当△ABD为等腰三角形，∠ADB= ．
【变式3-3】（2023春·山西运城·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，
△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG，当△DFG为等腰三角形时，
∠FDG的度数为 ．【题型4 双垂直平分线求角度与周长】
【例4】（2023春·广西桂林·八年级统考期末）如图所示，点E、F是∠BAC的边AB上的两点，线段EF
的垂直平分线交AC于D，AD的垂直平分线恰好经过E点，连接DE、DF，若∠CDF=α，则∠EDF的
度数为（ ）
4α 2α 4α
A．α B． C．180°- D．180°-
3 3 3
【变式4-1】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分线交BC
于D，AC的垂直平分线交BC与E，则△ADE的周长等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【变式4-2】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
1 1 1
A．α B． α+90° C． α+90° D．180°- α
4 2 2
【变式4-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC
的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连
接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．【题型5 角平分线与垂直平分线综合运用】
【例5】（2023春·湖南湘西·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD
与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有以下结论：
①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【变式5-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘,∠CAB的平分线交
BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线，垂足为E．若AD=6，则DE的长为 ．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分线
CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO=20°，则∠ACB= ．【变式5-3】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中
垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【题型6 轴对称图形中的面积问题】
【例6】（2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，
DH⊥BA，交BA的延长线于点H．
(1)若∠ADB=48°，求∠A的度数；
(2)若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△ADB的面积为10cm2，求△BDC的面积．
【变式6-1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，点E是BC的中点，DE平分
∠ADC．(1)求证：AE是∠DAB的平分线；
(2)已知AE=4，DE=3，求四边形ABCD的面积．
【变式6-2】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，
AC=AB，点D、E分别是边AC、BC上的点，连接BD，AE交于点O．
(1)如图1，BD⊥AE，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，求证：AO=CF；
(2)如图2，点D是AC中点，连接DE，若∠ADB=∠CDE，求证：BD⊥AE；
(3)如图3，过点C作CF⊥AE于点F，延长FC至点G，使得∠GAC=∠FCE，点B、O、D、G在同一
14 46
直线上，若CF= ，AF= ，直接写出△AOG的面积．
5 5
【变式6-3】（2023春·江苏泰州·八年级校考期中）如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB
上，MN=6，△OMN的面积为12，点P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P ，点P关于OB
1
对称的点为P ，当点P在直线NM上运动时，∠P OP = °，△OP P 的面积最小值为 ．
2 1 2 1 2
【题型7 轴对称中尺规作图与证明、计算的综合运用】
【例7】（2023春·河南郑州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)请用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点P，使得点P到点A和点B的距离相等；（要求：不写作法，
保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）
(2)在（1）的条件下，若AC=2，CB=5，则△CAP的周长是___________．
【变式7-1】（2023春·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，连接
AD．
(1)请用直尺和圆规完成基本作图：
作AD的垂直平分线EF交AD于点O，交AB于点E，交AC于点F，连接DE、DF；（保留作图痕迹，不
写作法，不下结论）
(2)求证：AE=DF．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵AB=AC，D为BC中点，
∴∠1=________．
∵EF为AD的垂直平分线，
∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF
又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，
∠2+∠AOF+∠AFE=180°，
∴∠AEF=________．
∴AE=________，
∴AE=DF．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是
中线，延长BC至E，使CE=CD．(1)求证：DB=DE；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的中点F（不写作法，保留作图痕迹）；若AB=4，求CF的长．
【变式7-3】（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）（1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接AE（路径最短）；
i根据题意，利用直尺和圆规补全图形；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠AOB的角平分线吗？写出作法，
并证明．
【题型8 轴对称中的旋转】
【例8】（2023春·山西太原·八年级校考期末）如图，在折线段A-B-C中，BC可绕点B旋转，AB=6，
BC=2，线段AB上有一动点P，将线段AB分成两部分，旋转BC，PA，当三条线段BC，BP，PA首尾顺
次相连构成等腰三角形时，BP的长为（ ）A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4
【变式8-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）一副直角三角尺按如图①所示叠放，现将含45°的三角
尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转.如图②，当∠CAE=15°时，此时BC∥DE.继续
旋转三角尺ABC，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠CAE（0°<∠CAE<180°）其他所有可能符
合条件的度数为
【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，以点B为旋转中心
把△ABC按顺时针方向旋转40°得到△A'BC'，点A'恰好落在AC上，连接CC'，则∠ACC'度数为
（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
【变式8-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，D
为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC和CB的延长线于E，F，当点E
在AC延长线上时，S ，S ，S 的关系为（ ）
△DEF △CEF △ABC1
A．S -S = S B．S -S =S
△DEF △CEF 2 △ABC △DEF △CEF △ABC
C．S +S =2S D．S +S =S
△DEF △CEF △ABC △ABC △CEF △DEF
【题型9 轴对称中规律探究】
【例9】（2023春·宁夏中卫·八年级统考期末）如图在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分别交AB，AC
于点D，N，交BC的延长线于点M．
(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；
(2)如果将（1）中的∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；
(3)分析（1），（2）两问，你认为存在什么样的规律？试用文字概括；
(4)将（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改？说明理由．
【变式9-1】（2023·北京·八年级专题练习）如图，在射线OA，OB上分别截取OA =OB ，连接A B ，
1 1 1 1
在B A ，B B上分别截取B A =B B ，连接A B ，…按此规律作下去，若∠A B O=a，则
1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1
∠A B O=（ ）
2020 2020a a
A． B． C．4040a D．4038a
22020 22019
【变式9-2】（2023春·八年级单元测试）观察规律并填空： ， , ,
【变式9-3】（2023春·云南大理·八年级统考期末）同学们，我们已学习了角平分线的概念和性质，那么你
会用它们解决有关问题吗？
（1）如图（1），已知∠AOB，请你画出它的角平分线OC，并填空：因为OC是∠AOB的平分线，所以
1
∠______=∠______= ∠AOB
2
（2）如图（2），已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，请你画出射线
OB，射线OC一定平分∠AOB．
理由如下：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=∠
_______，所以射线_________是∠_________的角平分线．
拓展应用
（3）如图（3），将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在C处，折痕为OE，再将它的另一个角也折叠，
顶点B落在OC上的D处并且使OD过点C，折痕为OF．直接利用（2）的结论；
①若∠AOE=30°，求∠EOF的度数．（写出计算说理过程）
②若∠AOE=m°，求∠EOF的度数，从计算中你发现了∠EOF的度数有什么规律？（写出计算说理过
程）
【题型10 等边三角形的十字结合模型】
【例10】（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图 是等边三角形，点 、 分别在
边 、 上， 、 交于点 ， ， 为 的角平分线，点 在 的延长线上，
连接 、 ， ，① ；② ；③ ；④ ；
其中说法正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-1】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，
△ABD是等边三角形，P是∠BAC平分线上一动点连接PC、PD，则PC＋PD的最小值为 ．
【变式10-2】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点
D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若BQ⊥AD于Q，AD=7，PE=1，求PQ的长．
【变式10-3】（2023春·福建厦门·八年级福建省厦门第六中学校考期中）如图，等边三角形△ABC中，点
D，E分别在BC，AC边上，且EC=BD，AD，BE相交于点P．
(1)不添加辅助线，请在图中找出与BE相等的线段，并证明．
(2)若于，，，求的长．
