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专题 22.5 实际问题与二次函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用二次函数求最大利润】......................................................................................................................1
【题型2 利用二次函数求最优方案】......................................................................................................................2
【题型3 利用二次函数求最大面积】......................................................................................................................4
【题型4 利用二次函数求最小周长】......................................................................................................................5
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】..................................................................................................................6
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】..................................................................................................................8
【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】.......................................................................................................10
【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】...................................................................................12
【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】...........................................................................................15
【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】...................................................................................17
【题型1 利用二次函数求最大利润】
【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并
销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，
如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
(1)当x>4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车
床多少台？
(2)当00)，当70≤x≤80时该企业获得的最大利润为2450元，
求a的值．
【题型2 利用二次函数求最优方案】
【例2】（2023春·湖南郴州·九年级统考期末）2022年秋天，某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制
定农户投资购买抗旱设备的补贴方法：购买A型设备，政府补贴金额（y ：万元）与投资的金额（x：万
1
元）的函数对应关系为：y =kx(k≠0)，当x=5时y =4；购买B型设备，政府补贴金额（y ：万元）与
1 1 2投资的金额（x：万元）的函数对应关系为 ，当 时， ， 时 ．
y =ax2+bx(a≠0) x=2 y =2.6 x=4 y =3.2
2 2 2
(1)分别求出y ,y 的函数表达式；
1 2
(2)有一农户投资10万元同时购买A型和B型两种设备，获得的政府补贴为y万元．请你设计一个能获得最
大补贴的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）某班计划购买A，B两种花苗，根据市场调查整理出表：
A种花苗盆数 B种花苗盆数 花费（元）
3 5 220
4 10 380
(1)求A，B两种花苗的单价；
(2)经过班级学生商讨，决定购买A，B两种花苗12盆（A，B两种花苗都必须有），同时得到了优惠方式：
购买几盆A种花，A种花苗每盆就降价几元．请设计花费最少的购买方案．
【变式2-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级期末）2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰
收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府
补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
型 号 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备
金 额
x 5 x 2 4
投资金额x（万元）
补贴金额y（万元） y =kx（k≠0） 2 y =ax2+bx（a≠0） 2.4 3.2
1 2
(1)分别求y 和y 的函数解析式；
1 2
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，
并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
【变式2-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：
①销售甲产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=0.6x ；
②销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=ax2+bx；当x＝1时y＝1.3；当x＝2时，
y＝2.4.
（1）求销售乙产品所获利润y（万元）与销售x（万件）的函数关系式；
（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润
最大为多少？【题型3 利用二次函数求最大面积】
【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）如图，一块矩形区域ABCD由篱笆围
着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩
形ABCD的面积最大时AB的长．
【变式3-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，AG、AH为固定墙且∠GAH=135°，现利用
固定墙和总长为40米的竹篱笆修建一个四边形ABCD的储料场，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定
墙AG长为12米，BC边上的一扇门宽为2米．
(1)当CD长为18米时，求此时储料场的面积；
(2)怎样修建才能使储料场的面积最大．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地
计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗
区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，
另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植
面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【变式3-3】（2023春·陕西西安·九年级统考期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 ；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD
＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【题型4 利用二次函数求最小周长】
【例4】（2023春·九年级课时练习）甲船从A处起以15nmile/h的速度向正北方向航行，这时乙船从A的
正东方向20nmile的B处起以20nmile/h的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多
少？
【变式4-1】（2023春·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴
的抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是(3,0)．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一
个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接DE，DF，EF，使得△DEF的周长最小，求F点的坐标．
【变式4-2】（2023春·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一个
面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请用你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2√ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2√p，当且仅当a=b时，a+b有
最小值2√p．
a+b⩾2√ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数 、 ， , ,
a b ∵ (√a-√b) 2 ⩾0∴a-2√ab+b⩾0
∴ a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
4
（1）若x>0，则x+ ⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
x
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
x2+3
（3）当x>-1时，求y= 的最小值．
x+1
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与
x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线
都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为 ，线段OB的长= ；
（2）设点C的横坐标为m．
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时， ACD的周长最小，并求出这个最小值．
△
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱
桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB为8米．AB上的点E到点A的距离AE=1米，点E到拱7
桥顶面的垂直距离EF= 米．他们以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
4
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面AB的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，
船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
【变式5-1】（2023春·河南商丘·九年级统考期中）如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，
水位线AB与拱桥最高点的距离为9m，水面宽AB=30m．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系xOy，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．
(2)已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为4m，若这艘船的宽度为18m，当水位
线比正常水位线高出1m时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB
与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥
面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支
柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 (填写正确结论
序号)．
1
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y=- x2．
6
1
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y= (x-3) 2+2．
3
1
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y= (x+3) 2+2．
3④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
【变式5-3】（2023春·安徽阜阳·九年级统考期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面
如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度
OC=5m，跨度AB=20m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手
架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱
桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥ACB改造为圆弧AC'B，跨度AB不变，且（2）中“脚手
架”矩形EFGH仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度OC'（结果
精确到0.1m，参考数据：√170.56≈13.06）．
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】
【例6】（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，
两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上
取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、
测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
x（米） 0 2 4 6 8
y（米） 4.0 5.5 6.0 5.5 4.0(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式
；
y=a(x-h) 2+k(a<0)
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系．描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
函数的图像．
(3)若如图2的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需到左侧墙及右侧墙的距离不小于1米且到隧道
顶面的距离不小于0.35米．按照这个要求，隧道需标注的限高应为多少米（精确到0.1米）？
【变式6-1】（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构
成，已知OA=12米，OB=4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以
OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）由于隧道较长，需要在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们到地面的高度相同，如果灯离地面
的高度不超过8米，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
（3）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4m，最高处与地面距离为6m，隧道内设双
向行车道，双向行车道间隔距离为0.5m，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于
0.5m，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？【变式6-2】（2023春·安徽宣城·九年级统考期末）现要修建一条公路隧道，其截面为抛物线型，如图所示，
线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，
建立平面直角坐标系．根据设计要求OE=12m，隧道上距点O水平方向2米及竖直方向6米的A点有一照
明灯．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这个隧道中间位置设置双向通行车道，加中间隔离带合计宽度9米，隧道入口对车辆要求限高，
请通过计算说明高度不超过4.5米的车辆能否安全通过该隧道？
【变式6-3】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）为促进经济发展，方便居民出行．某施工队要修建一个
横断面为抛物线的公路隧道．抛物线的最高点P离路面OM的距离为6m，宽度OM为12m．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；
（2）一货运汽车装载某大型设备后高为4m，宽为3.5m．如果该隧道内设双向行车道（正中间是一条宽
1m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？
（3）施工队计划在隧道口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A，D点在抛物线上．B，C点在地面OM线
上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少？
请你帮施工队计算一下．
【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】
【例7】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AD=8,BD=4√5．点P是
线段AD上一个动点，将线段AP绕点P顺时针旋转90°到线段A'P，连接A'C、PC．设AP=m，
△A'PC和矩形ABCD的重叠部分面积为S．(1)求线段AB的长度；
(2)求S与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围．
【变式7-1】（2023春·广西贺州·九年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P，Q同时从
点A处出发，以2cm/s小的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单
位：s），以P、B、D、Q为顶点的图形面积的为y（单位：cm2），则下列图像中可表示y与x（0≤x≤4
且x≠2）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】（2023春·河南许昌·九年级校考期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
动点P，Q分别从A，C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向
B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止，设运动时间为t（s）．(1)当运动停止时，t的值为____________；
(2)设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示，并注明t的取值范围）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？
【变式7-3】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点M是BC边
上的动点，点M从点B出发，运动到点C停止，N是CD边上一动点，在运动过程中，始终保持
AM⊥MN，设BM=x，CN=y．
(1)直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围______；
(2)先完善表格，然后在平面直角坐标系中利用描点法画出此抛物线．直接写出m=______，
x ... 2 3 4 5 6 7 8 ...
21 21
y .... 2 3 m 3 2 ...
8 8
(3)结合图象，指出M、N在运动过程中，当CN达到最大值时，BM的值是______；并写出在整个运动过程
中，点N运动的总路程______．
【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】
【例8】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分
所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高，2022
年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为
hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为
y=ax2+bx+c(a≠0)．
1 9
(1)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=- ，b= ，求基准点K的高度h；
50 10
1
②若a=- 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为_______；
50
(2)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好起跳点达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，
并说明理由．
【变式8-1】（2023春·北京东城·九年级北京二中校联考期末）第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022
年在北京成功举办，跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，近些年来冰雪运动也得到了蓬勃发展．如图
是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB=1），平台AB距地面18米．以地面所在直线
为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函
数为y=0.4x2-4x+c(x≥1)．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，
点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h
米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：h=6t2，l=vt．(1)求滑道对应的函数表达式；
(2)当v=5，t=1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
1 1 107
(3)在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数y=- x2+ x+ 图像的一部分，
6 3 6
1 2 89
着陆时水平距离为d ，运动员乙飞出的路径近似看做函数图像y=- x2+ x+ 的一部分，着陆时水平
1 5 5 5
距离为d ，则d ______d （填“＞”“＝”或“＜”）．
2 1 2
【变式8-2】（2023春·河南新乡·九年级统考期末）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地
为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标
系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关
系 ．
y=a(x-h) 2+k(a<0)
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ；
y=a(x-h) 2+k(a<0)
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 记该
y=-0.04(x-9) 2+23.24.
运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的着陆点的水平距离为d ，则d ______d （填
1 2 1 2
“>”“=”或“<”）．
【变式8-3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）北方的冬天，人们酷爱冰雪运动，在这项运动里面，我
们可以用数学知识解决一些实际问题．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，图中的抛物线
1
C :y=- x2+40近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方50米处的A点滑出，滑
1 480
1
出后沿一段抛物线C :y=- x2+bx+c运动．当运动员运动到离A处的水平距离为60米时，离水平线
2 120
的高度为60米．
(1)求小山坡最高点到水平线的距离．
(2)求抛物线C 所对应的函数表达式．
2
(3)当运动员滑出点A后，直接写出运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡C 的竖直距离为
1
10米．
【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】
【例9】（2023春·浙江金华·八年级统考期末）篮球运动员投篮后，球运动的路线为抛物线的一部分（如
图），抛物线的对称轴为直线x=2.5．
（1）求篮球运动路线的抛物线表达式和篮球在运动中离地面的最大高度．
（2）若篮筐离地面3.05m，离运动员投篮处水平距离为4.2m，问：篮球以该运动方式，能否投进篮筐?若
能投进篮筐，请说明理由．若不能，则运动员应向前还是往后移动多少米后，再投篮，刚好能使篮球投进篮筐?
【变式9-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面O处将球踢出，一运动
员在离守门员8米的A处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点M，球落地后又一次弹起．据实验
测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高
度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点B和守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O、A、B、C在同一条直线
上，结果保留根号）
【变式9-2】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点
正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋
h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
【变式9-3】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间
的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网．小冲在训练过程中
也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假
设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地
高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点O与障碍平台A之间的距离OA为9m，障碍平
台高为1.08m，若小冲此次训练时足球正好在前方5m的点C处达到最高点，离地面最高距离为3m，以地面
OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求过O，C，B三点的抛物线表达式；
(2)此时障碍平台与球门之间的距离AD为6m，已知球门高为2.44m，请你通过计算，（不考虑其他因素）
足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门．
【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】
【例10】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图1，为美化校园，学校要建造一个圆形喷水池，计划
在喷水池周边安装一圈可移动的喷水头向中央喷水，使水流沿形状相同的抛物线落下．以喷水池中心为原
点，水平方向为x轴、中心线为y轴建立平面直角坐标系，则水柱高度y（单位：m）与水柱距离喷水池中
心的水平距离x（单位：m）之间的关系如图2所示．当水流与中心线的水平距离为2m时，达到最大高度
3.61m，此时水柱刚好经过中心线上的点A，已知点A距水面高2.61m．
(1)求如图2所示抛物线的解析式．
(2)为形成错落有致的喷水景观，现让喷水头向中心线沿直线滑动，在保持水流形状不变的情况下，要求喷
水柱最高点不能超过中心线，若喷水头的位置用(p,0)表示．（仅考虑y轴右侧的情况）．
①求p的取值范围；
②若水刚好喷到中心线上，且距水面高3.25m处，直接写出此时p的值______．
【变式10-1】（2023春·河北保定·九年级校考期末）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的
周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的
水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标
系．(1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在
离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径
扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后
喷水池水柱的最大高度．
【变式10-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图，一个圆形水池的中央垂直于水面安装了一个柱
形喷水装置OA，顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．建立如图
所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式可以用y=-x2+bx+c表示，且抛
(1 5) ( 7)
物线经过点B , ，C 2, ；
2 2 4
（1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置OA的高度；
（2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【变式10-3】（2023·北京西城·九年级北师大实验中学校考期末）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H
离地竖直高度OH为1.5m．灌溉车喷出水的上、下边缘可以分别看作是抛物线的一部分，而绿化带可以看
作为矩形ABCD，其水平宽度AB=3m，竖直高度BC=0.5m．记喷出的水与喷水口的水平距离为xm，上
边缘距地面的高度为y m，下边缘距地面的高度为y m．测量得到如下数据：
1 2
x 0 0.5 1 1.5 2 3 4 5 6y 1.5 1.72 1.88 1.97 2 1.88 1.5 0.88 0
1
y 1.5 1.22 0.88 0.47 0
2
xOy
(1)在平面直角坐标系 中，描出表中各组数值所对应的点
，并画出上边缘函数的图像；
(x,y )
1
(2)结合表中数据或所画图象，直接写出喷出水的最大射程OM为______m，并求上边缘抛物线的函数解析
式；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，结合函数图像，估计灌溉车到绿化带的距离的取值范
围为______．
