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专题 27.9 相似章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 由比例的性质求值或证明】......................................................................................................................1
【题型2 由平行判断成比例的线段】......................................................................................................................2
【题型3 黄金分割】..................................................................................................................................................3
【题型4 证明两三角形相似】..................................................................................................................................4
【题型5 证明三角形的对应线段成比例】..............................................................................................................5
【题型6 确定相似三角形的点的个数】..................................................................................................................6
【题型7 相似与翻折】..............................................................................................................................................7
【题型8 利用相似求坐标】......................................................................................................................................9
【题型9 在网格中作位似图形】..............................................................................................................................9
【题型10 相似三角形的应用】................................................................................................................................11
【题型1 由比例的性质求值或证明】
a+b b+c c+a
【例1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知 = = ，求
c a b
(a+b)(b+c)(c+a)
的值．
abc
a b c
【变式1-1】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且 = = ，
3 4 5
a+b+c=24，求△ABC三边的长．
【变式1-2】（2023秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）已知线段a、b满足a:b=1:2，且a+2b=10．
(1)求a、b的值；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求c的值．
【变式1-3】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
a c b d a b
（1）若 =2， =2，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
b d a c c d
a c b d
（2）若 = ,请判断 和 的大小关系，并证明；
b d a+b c+da b 2a+c 3b+d
（3）令 = =t,若分式 - +2的值为3，求t的值.
c d a-c b-d
【题型2 平行判断成比例的线段的运用】
AD 1
【例2】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， = ，
BD 3
EN
DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则 的值是（ ）
AC
3 2 1 1
A． B． C． D．
20 9 6 7
【变式2-1】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且
AB∥EF∥CD，若EF=2，CD=3，求AB的长．
【变式2-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，
AF
且EC=2BE，则 =（ ）
FE
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-3】（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1，BF分别交AC，DC，DE于P，Q，
R，则PQ的长为 ．
【题型3 黄金分割的运用】
【例3】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如
图所示的正五角星中，点C，D为线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为
（ ）
10
A．2√5-2 B． C．10√5-20 D．10√5-10
3
【变式3-1】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB
的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆
心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为
半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．
【变式3-2】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，
黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感
觉最好．若舞台长AB=20米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄
金分割点上．（结果保留根号）【变式3-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段AB=2，点P是线段AB的
黄金分割点（AP>BP），
(1)求线段AP的长；
(2)以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ=AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．
【题型4 证明两三角形相似】
【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于
点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．求证：
(1)△BDG∽△DEG；
(2)BG⊥DF．
【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E=90°，
AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的长；
(2)求证：△ABC∽△DEF．
【变式4-2】（2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂
足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N.
（1）求证：ΔBCP~ΔMAN；
（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.
【变式4-3】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE
沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB=2√3，AD=4，求CE的长．
(3)当点F是线段BC的中点时，求证：AF2=AB⋅AE．
【题型5 证明三角形的对应线段成比例】
【例5】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC中，AB
