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专题 27.9 相似章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 由比例的性质求值或证明】......................................................................................................................1
【题型2 由平行判断成比例的线段】......................................................................................................................2
【题型3 黄金分割】..................................................................................................................................................3
【题型4 证明两三角形相似】..................................................................................................................................4
【题型5 证明三角形的对应线段成比例】..............................................................................................................5
【题型6 确定相似三角形的点的个数】..................................................................................................................6
【题型7 相似与翻折】..............................................................................................................................................7
【题型8 利用相似求坐标】......................................................................................................................................9
【题型9 在网格中作位似图形】..............................................................................................................................9
【题型10 相似三角形的应用】................................................................................................................................11
【题型1 由比例的性质求值或证明】
a+b b+c c+a
【例1】（2023秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知 = = ，求
c a b
(a+b)(b+c)(c+a)
的值．
abc
a b c
【变式1-1】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且 = = ，
3 4 5
a+b+c=24，求△ABC三边的长．
【变式1-2】（2023秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）已知线段a、b满足a:b=1:2，且a+2b=10．
(1)求a、b的值；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求c的值．
【变式1-3】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
a c b d a b
（1）若 =2， =2，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）；
b d a c c d
a c b d
（2）若 = ,请判断 和 的大小关系，并证明；
b d a+b c+da b 2a+c 3b+d
（3）令 = =t,若分式 - +2的值为3，求t的值.
c d a-c b-d
【题型2 平行判断成比例的线段的运用】
AD 1
【例2】（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， = ，
BD 3
EN
DE∥BC，EF∥AB，点M是EF的中点，连接BM并延长交AC于点N，则 的值是（ ）
AC
3 2 1 1
A． B． C． D．
20 9 6 7
【变式2-1】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且
AB∥EF∥CD，若EF=2，CD=3，求AB的长．
【变式2-2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，
AF
且EC=2BE，则 =（ ）
FE
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2-3】（2023秋·四川成都·九年级校考期中）如图，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且AB=√3，BC=1，BF分别交AC，DC，DE于P，Q，
R，则PQ的长为 ．
【题型3 黄金分割的运用】
【例3】（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如
图所示的正五角星中，点C，D为线段AB 的黄金分割点，且AB=2，则图中五边形CDEFG的周长为
（ ）
10
A．2√5-2 B． C．10√5-20 D．10√5-10
3
【变式3-1】（2023春·山东威海·九年级校联考期末）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB
的垂线BC，取AB的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆
心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为
半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段 ．
【变式3-2】（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，
黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感
觉最好．若舞台长AB=20米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄
金分割点上．（结果保留根号）【变式3-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段AB=2，点P是线段AB的
黄金分割点（AP>BP），
(1)求线段AP的长；
(2)以AB为三角形的一边作△ABQ，使得BQ=AP，连接QP，若QP平分∠AQB，求AQ的长．
【题型4 证明两三角形相似】
【例4】（2023秋·广东清远·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于
点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．求证：
(1)△BDG∽△DEG；
(2)BG⊥DF．
【变式4-1】（2023秋·浙江绍兴·九年级统考期中）如图，已知∠B=∠E=90°，
AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的长；
(2)求证：△ABC∽△DEF．
【变式4-2】（2023秋·贵州贵阳·九年级统考期末）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂
足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N.
（1）求证：ΔBCP~ΔMAN；
（2）除（1）中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.
【变式4-3】（2023秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE
沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(2)若AB=2√3，AD=4，求CE的长．
(3)当点F是线段BC的中点时，求证：AF2=AB⋅AE．
【题型5 证明三角形的对应线段成比例】
【例5】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取
BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB⋅DF=AC⋅EF．
【变式5-1】（2023春·江西南昌·九年级统考期末）(1) 已知抛物线y=ax2-6x+c的图象经过点（-2，-
1），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式．(2) 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC，AB边上的点，且∠ADE=∠C．
求证：BD·CD=BE·AC
【变式5-2】（2023·上海松江·统考一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE
与对角线BD交于点F，且BE2=EF⋅EC．
求证：
(1)△ABD∼△FCB；
(2)BD⋅BE=AD⋅CE．
【变式5-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，已知，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，
过B作BE∥CD交AC的延长线于点E.
AD AC
求证： = .
DB CB
【题型6 确定相似三角形的点的个数】
【例6】（2023春·江苏苏州·九年级校联考期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P
b
是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为 ，若 POA和 PAB相似，则符合条件的P点个数是（ ）
4
△ △A．0 B．1 C．2 D．3
【变式6-1】（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成
的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左
图中的△ABC相似的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-2】（2023秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是
AC上一点，AD=2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将
△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（ ）
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-3】（2023秋·安徽宣城·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将
△ABC沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与△ABC相似的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型7 相似与翻折】
【例7】（2023秋·河南漯河·九年级漯河市实验中学校考期末）在Rt△ABC中，BC=5，AC=12，点D，E是线段AB，AC上的两个动点（不与A，B，C重合）沿DE翻折△ADE使得点A的对应点F恰好落
在直线BC上，当DF与Rt△ABC的一条边垂直的时候，线段AD的长为 ．
【变式7-1】（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考期末）如图，在△ABC中，点D是AC边上的中点，
连接BD，把△ABD沿若BD翻折，得到△A'BD．连接A'C．若A'C=6，∠A'CD=30°，BD=4，则
AB为（ ）
A．√3 B．2 C．3 D．2√3
【变式7-2】（2023春·上海徐汇·九年级上海市西南模范中学校考期末）已知：在直角梯形ABCD中，
AD∥BC，∠A=90°，△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处．
(1)如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形；
(2)延长BE交线段AD的延长线于点F，连接CF，如果CE2=DE⋅DC，求证：四边形ABCF是矩形．
【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级山西大附中校考期中）如图，已知∠ABC=135°，AB=3√2，
BC=6，点P是边AC上任意一点，连接BP，将△CPB沿PB翻折，得到△C'PB．当C'P⊥AC时，AP
的长为 ．【题型8 利用相似求坐标】
【例8】（2023秋·湖北随州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-4,0)、
(0,4)，点C(3,n)在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA=2∠CAO，则n= ．
【变式8-1】（2023秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和
B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P
的坐标是 ．
【变式8-2】（2023·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(4,0)，(4,4)，
(0,4)，点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA=1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为
．
1
【变式8-3】（2023春·湖北武汉·九年级统考期末）已知直线l ：y=- x与直线l ：y=kx-2k+1相交于
1 2 2
点P，且两直线的夹角为45°，则点P的坐标为 ．
【题型9 在网格中作位似图形】
【例9】（2023秋·山西临汾·九年级统考期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A B C ，且△A B C 和△ABC的位似比为
1 1 1 1 1 1
2:1．
(2)分别写出A 、B 、C 三个点的坐标：A ________；B _________；C ___________．
1 1 1 1 1 1
(3)△A B C 的面积为_________．
1 1 1
【变式9-1】（2023秋·内蒙古锡林郭勒盟·九年级校考期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，
△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的格点上．
（1）画出位似中心O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
【变式9-2】（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边
长均为1，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A 是点A以点O为位似中心
1
得到的．(1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A B C ；
1 1 1
(2)△A B C 与△ABC的相似比为___________；
1 1 1
(3)△A B C 与△ABC的面积之比为_____________．
1 1 1
【变式9-3】（2023秋·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形
网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻
度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图．
(1)在图①中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形，并画出这个四边形．
(2)在图②中确定格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是中心对称图形，并画出这个四边形．
(3)在图③中△ABC的AC、BC边上分别确定点D、E，使得△CDE与△CAB位似，位似中心为点C，位
似比为1:3．
【题型10 相似三角形的应用】
【例10】（2023秋·陕西榆林·九年级校考期中）位于陕西省北部神木县红碱淖景区的大门口，树立着一座
精致的王昭君雕像．在当地人看来，当年王昭君就是走过神木大地，去完成和亲使命的．她因为远离家乡
而伤心落泪，泪水也因此化作了一颗“沙漠明珠”——红碱淖．某校社会实践小组为了测量这座雕像（如
图1）的高度，如图2，小明先在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，
标杆的顶端点D，雕像的顶端B正好在同一直线上，测得EC=3米；小明再从点E出发沿着EG方向前进9
米，到达点F．在点F处放置一平面镜，小刚站在G处时，恰好在平面镜中看到雕像的顶端B的像，此时测
得小刚的眼睛到地面的距离GH为1.5米，GF=3米．已知点G、F、E、C与雕像的底端A在同一直线上，AB⊥AG，CD⊥AG，GH⊥AG，请你根据以上数据，计算该雕像的高度AB．（平面镜大小忽略不
计）
【变式10-1】（2023秋·河南驻马店·九年级统考期中）2022年9月16日，第九批在韩中国人民志愿军烈士
遗骸归国，离家还是少年身，归来已是报国躯．七十多年前，超过19万名志愿军战士在异国疆场悲壮地倒
下，义无反顾地用血肉之躯把祖国护卫在身后，把炮火挡在了国门之外．丹心赤诚，铁骨铮铮，中国人民
志愿军用鲜血写就壮丽篇章，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们这几十年的和平，换来了我们国家
的富强和人民的幸福．
面对美帝国主义精良的精确制导武器，中国人民志愿军战士没有被吓倒，没有先进的武器装备，志愿军战
士只能使用以前一些土办法，其中“跳眼法”就是炮兵常用的一种简易测距方法（图1），结合相似三角
形原理和光的直线传播原理，可以计算出被测物的大致距离．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个
参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距
离．
(1)“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识？（写出一条即可）
(2)已知大多数人的眼距长约为6.4厘米左右，而手臂长约为64厘米左右．若CD的估测长度为50米，那么
CO的大致距离为多少米？
【变式10-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）如图为一块锐角三角形的余料，它的边
BC=60mm，AB=40mm，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形BGMF的一边BG在BC上，其余两个顶点F，M分别在边AB，AC上，加工成的零件的高ED=21mm，求△ABC的高AD的长．
【变式10-3】（2023秋·广东梅州·九年级统考期末）北京时间2022年12月4日23时08分，神舟十五号载人
飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即GF）．小亮同学想知道条幅
的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼18m的点B处，在点B正上方点A处测得
∠GAO=α，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处，在点D正上方点C处测得∠FCO=α，若AB，
CD，OE均为1.65m，FE的长为6.65m．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅GF长度
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
