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专题 27.9 相似全章专项复习【3 大考点 14 种题型】
【人教版】
【考点1 比例的性质】..............................................................................................................................................1
【题型1 成比例线段的计算】..................................................................................................................................3
【题型2 比例性质的应用】......................................................................................................................................4
【题型3 平行线分线段成比例的应用】..................................................................................................................8
【考点2 相似三角形】............................................................................................................................................13
【题型4 相似三角形的判定】................................................................................................................................14
【题型5 利用相似三角形的性质求值】................................................................................................................17
【题型6 与相似多边形有关的计算】....................................................................................................................19
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】...........................................................................................................22
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】...............................................................................................30
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】...................................................................................................39
【题型10 相似三角形中的运动问题】....................................................................................................................46
【题型11 利用相似三角形测物体的高度】............................................................................................................54
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】...............................................................................................57
【考点3 位似】........................................................................................................................................................62
【题型13 位似图形】................................................................................................................................................62
【题型14 位似变换作图与计算】............................................................................................................................66
【考点1 比例的性质】
1.成比例线段
（1）比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
（2）成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
3.黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中
项（即 ），则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）4.平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图：如果 ，则 ， ， ．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
【题型1 成比例线段的计算】
【方法总结】根据成比例线段的定义,可知只要两条线段的比等于另外两条线段的比,则这四条线段是成比
例线段,而比例式中各项有一定的顺序,不同的顺序会有不同的结果,切记进行分类讨论.
【例1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足a:b=3:2，且a+2b=42．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
【答案】(1)线段a的长为18，线段b的长为12
(2)线段c的长为6❑√6
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设a=3k，b=2k，代入a+2b=42计算可得k的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得c2=ab，由此即可得．
【详解】（1）解：∵a:b=3:2，
∴设a=3k，b=2k，
∵a+2b=42，
∴3k+4k=42，
∴k=6，
∴a=18，b=12，
∴线段a的长为18，线段b的长为12．
（2）解：∵线段c是线段a、b的比例中项，a=18，b=12，
∴c2=ab=216，
∵由题意知，c>0，
∴c=6❑√6，∴线段c的长为6❑√6．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距
离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是 cm.
【答案】10
【分析】先设这个图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，即可求解.
【详解】设这个图距是xcm，
则4：20000000=x：50000000，
解得x=10．
故填：10．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变列出方程．
【变式1-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2
，则d的值是 .
【答案】1
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到
a:b=c:d，即可得到答案．
【详解】解：由于线段a，b，c，d是成比例线段，
故a:b=c:d，
即6:3=2:d
解得d=1
故答案为：1．
【变式1-3】（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它
❑√5−1 ❑√5−1
的平面图可看作宽与长的比是 的矩形，我们将这种宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图
2 2
①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
(1)黄金矩形ABCD的长BC= ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接AE，求点D到线段AE的距离．
❑√5+1
【答案】(1)
2
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
❑√10+❑√2
(3)点D到线段AE的距离为
4
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
AB ❑√5−1
（1）根据 = ，AB=1，即可求解；
BC 2
❑√5−1 DF
（2）先求出FD=EC=AD−AF= ，再求出 的值，即可得出结论；
2 EF
❑√5+1
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据AB=EF=1，AD= ，得出
2
1 1
AE=❑√12+12=❑√2，再根据S = ×AD×EF= ×AE×DG，即可求解．
△AED 2 2
AB ❑√5−1
【详解】（1）解：∵ = ，AB=1，
BC 2
AB 1 ❑√5+1
BC= = =
∴ ❑√5−1 ❑√5−1 2 ，
2 2
❑√5+1
故答案为： ；
2
（2）解：矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
❑√5+1
由（1）知AD=BC= ，
2
❑√5+1 ❑√5−1
∴FD=EC=AD−AF= −1= ，
2 2
DF ❑√5−1 ❑√5−1
∴ = ÷1= ，
EF 2 2
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）解：连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G❑√5+1
∵AB=EF=1，AD= ，
2
∴AE=❑√12+12=❑√2，
1 1
在△AED中， S = ×AD×EF= ×AE×DG，
△AED 2 2
即AD×EF=AE×DG，
❑√5+1
则 ×1=❑√2×DG，
2
❑√10+❑√2
解得DG= ，
4
❑√10+❑√2
∴点D到线段AE的距离为 ．
4
【题型2 比例性质的应用】
2a 2b 2c
【例2】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0
2c
时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k= 计算得出结果．
a+b
【详解】解：分两种情况：
2a+2b+2c
①当a+b+c≠0时，得k= =1；
b+c+a+c+a+b
②当a+b+c=0时，
2c
则a+b=−c，k= =−2；
a+b
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．a c
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若 = ，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（ ）
b d
b d a−b c−d a c a+c a
A． = B． = C． = D． =
a c b d a+b c+d b+d b
【答案】D
【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项
即可
a c b d
【详解】解：A.∵ = ，∴ = ，正确，不符合题意；
b d a c
a c a c a−b c−d
B. ∵ = ，∴ −1= −1，∴ = ，正确，不符合题意；
b d b d b d
a c b d b d a+b c+d a c
C. ∵ = ，∴ = ，∴ +1= +1，∴ = ，∴ = ，正确，不符合题意；
b d a c a c a c a+b c+d
D.当b+d=0时，原式不成立，故选项D符合题意，
故选：D
【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足
a+b−c a−b+c −a+b+c
= = =k，则k的值为 ．
c b a
【答案】1或−2/−2或1
【分析】根据题意得出a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak，三式相加得出a+b+c=(a+b+c)k，
然后分类讨论，即可求解．
a+b−c a−b+c −a+b+c
【详解】解：∵ = = =k，
c b a
∴a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak
∴a+b−c+a−b+c−a+b+c=(a+b+c)k
即a+b+c=(a+b+c)k，
当a+b+c≠0时，k=1，
a+b−c −c−c
当a+b+c=0时，k= = =−2，
c c
故答案为：1或−2．
【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．
a−1 b+1 c−2
【变式2-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足 = = ，试求a2+b2−c2的
2 3 4最大值 ．
【答案】25
a−1 b+1 c−2
【分析】设 = = =k，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
2 3 4
a−1 b+1 c−2
【详解】解：设 = = =k，
2 3 4
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2−c2的最大值为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．
【题型3 平行线分线段成比例的应用】
【方法总结】求线段的比,通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段,然后再进行转
化得到所求两线段的比.遇到平行线时,要联想到借助辅助线构造基本图形:“A”型与“X”型.
【例3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线l ∥l ∥l ，直线m与直线l 、l 、l 分别交于点
1 2 3 1 2 3
AD 4 CE
A、D、F，直线n与直线l 、l 、l 分别交于点B、C、E．若 = ，则 = ．
1 2 3 DF 5 BC
5
【答案】
4
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线l ∥l ∥l ，
1 2 3
AD BC 4
∴ = = ，
DF CE 5
CE 5
∴ = ，
BC 4
5
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一
组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
【变式3-1】（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=3cm，则线段AB的长是( )
2 3
A．1cm B． cm C． cm D．2cm
3 2
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段
成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横 线于D，交点C所在的平行横线于E，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
AB AD
∴ = ，DE=2AD
BC DEAB 1
∴ = ，
3 2
3
解得：AB= (cm)，
2
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1，AD与
EF AF
CE相交于点F，则 + = .
FC FD
3
【答案】
2
【分析】先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AB交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推
EF AF
论，再结合已知条件，可分别求出 和 的值，相加即可．
FC FD
【详解】解：作EG∥BC交AD于G，作DH∥AB交CE于H，如图所示：
∵AE:EB=1:3，
AE 1
∴ = ，
AB 4
∵EG∥BC，EG AE 1
∴ = = ，
BD AB 4
1
∴EG= BD，
4
∵BD:DC=2:1，
1
∴EG= CD，
2
∵EG∥BC，
EF EG 1
= = ，
FC CD 2
∴
∵BD:DC=2:1，
CD 1
∴ = ，
BC 3
∵DH∥AB，
DH CD 1
∴ = = ，
BE BC 3
1
∴DH= BE=AE，
3
∵DH∥AB，
AF AE
= =1，
FD DH
∴
EF AF 1 3
+ = +1= ．
FC FD 2 2
∴
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．
【变式3-3】（2024·河南周口·一模）在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2，点
E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为 ．
【答案】1或3【分析】分点D在线段AB的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点D在线段AB的延
长线上时，推出△BDC为等腰三角形，三角形外角的性质求出∠BCD=30°，根据等边对等角，推出
△BDE为含30 度角的直角三角形，求出BE的长，进而求出CE的长即可，当点D在线段AB的反向延长线
上时，过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥BE，得到AG∥DF，根据等边三角形和等腰三角形的性
质，结合平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：当点D在AB的延长上时，如图，
∵边长为1的等边三角形ABC，
∴AB=BC=1，∠ABC=60°，
∵AD=2，
∴AB=BD=1，
∴BD=BC=1，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠ABC=∠BCD+∠BDC=2∠BCD，
∴∠BCD=30°，
∵DE=DC，
∴∠DCE=∠CED=30°，
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠BDC=180°−∠DEB−∠DBE=90°，
∴BE=2BD=2，
∴CE=BC+BE=3；
当点D在AB的反向延长上时，如图，过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥BE，
则：AG∥DF，
∵△ABC为等边三角形，DC=DE，
1 1
∴BG=CG= BC= ,CE=2CF，
2 2
∵AG∥DF，
BA BG 1
∴ = = ，
AD FG 2
∴FG=2BG=1，
1
∴CF=FG−CG= ，
2
∴CE=2CF=1；
综上：CE=1或CE=3；
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分
线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【考点2 相似三角形】
1.相似多边形
名称 定义 性质
形状相同的图形叫做相似图形
两个边数相同的多边形，如果它们的 角分别
相似多边形 相似多边形的对
相等，边成比例，那么这两个 多边形叫做相
应角 相等，对
似多边形.相似多边形 对应边的比叫做相似比
应边成比例
2.相似三角形的判定相似三角形的判定
定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成
判定1
的三角形与原三角形相似
判定2 三边成比例的两个三角形相似
判定
判定3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定4 两角分别相等的两个三角形相似
3.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例
对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比
性质 对应线段的比等于相似比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
【题型4 相似三角形的判定】
【例4】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线
段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得
AD∥BC，再根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB，∠B+∠C=180°，利用等量代换可得
∠B=∠AFD，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，∴△ADF∽△EAB．
【变式4-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三
角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形
与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
B′C′∥BC，可得∠A=∠A′，∠B=∠B′，即可证得△ABC∽△A′B′C′；再根据题意得A′B′=C′D′=8
AB AD
，A′D′=B′C′=12，可得 ≠ ，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解．
A′B′ A′D′
【详解】解：甲：根据题意得，A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：根据题意得，AB=DC=6，AD=BC=10，则A′B′=C′D′=6+2=8，A′D′=B′C′=10+2=12，
AB CD 6 3 AD BC 10 5
= = = = = =
∴ ， ，
A′B′ C′D′ 8 4 A′D′ B′C′ 12 6
AB AD
∴ ≠ ，
A′B′ A′D′
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙说法不正确；
故选：A．【变式4-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知∠BAD=∠CAE，添加一个条件 ，使得
△ABC∽△ADE．
【答案】∠B=∠ADE（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是
解题的关键．
【详解】解：由∠BAD=∠CAE可得，∠BAC=∠DAE
根据相似三角形的判定，可添加一个角或∠BAC,∠DAE的两边对应成比例；
AB AC
故可以添加：∠B=∠ADE或∠ACB=∠AED或 = ；
AD AE
故答案为：∠B=∠ADE（答案不唯一）
【变式4-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A
、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB
【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到AB=DB，
∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求
解即可．
【详解】解：根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，
∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
AB DB
∴∠ABD=∠CBE， = ，
BC BE
∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；
∵∠ABD=∠CBE，AB=BD，BC=BE，
∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，
∴∠BDF=∠ECF，
又∵∠BFD=∠EFC，
∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；
AB CE
又∠ABC=∠DBE， = ，
BD BE
∴△BAC∽△BDE，故C不符合题意；
根据题意，无法求解△DBF与△CEB相似，
故D符合题意；
故选：D．
【题型5 利用相似三角形的性质求值】
【方法总结】利用相似三角形的性质求周长和面积的方法:
利用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方这一性质,可在已知两个相似三角形的相似
比和其中一个三角形的周长(面积)时,求另一个三角形的周长(面积),不必求出三角形的每一条边及高进行求
解,通常会用方程的思想来解决问题.
【例5】（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，面
积差为30，则它们的面积和为（ ）
A．74 B．76 C．78 D．81
【答案】C
【分析】本题主要考查了对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积比与相似比之间的
关系，即相似三角形面积比等于相似比的平方．
已知两相似三角形的相似比，即可求出面积比．根据面积差为30，可求出两三角形的面积，进而可求出面
积和．【详解】解：∵两三角形的相似比为2:3，
∴它们的面积比为4:9，
设较小三角形的面积为4k，则较大三角形的面积为9k，
则9k−4k=30，
解得k=6，
∴面积和为4k+9k=13k=78，
故选C．
【变式5-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
AB BC AC AB AB AC
A． = B． = C．AC2=AD⋅AB D． =
AC CD AD AC BC AD
【答案】D
AB BC AC
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出 = = ，逐项分析判断，即
AC CD AD
可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△ACD
AB BC AC
∴ = =
AC CD AD
∴AC2=AD⋅AB，故A，B，C正确,D错误
故选：D．
【变式5-2】（23-24九年级·广西贺州·期中）若△ABC与△A B C 相似，已知AB=3，AC=5，
1 1 1
A C =15，则A B = ．
1 1 1 1
【答案】9
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解分式方程等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的
关键．
三角形相似，对应边成比例，据此即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC∽△A B C ，
1 1 1
AB AC
∴ = ，
A B A C
1 1 1 1∵AB=3，AC=5，A C =15，
1 1
3 5
∴ = ，
A B 15
1 1
解得：A B =9，
1 1
经检验，A B =9是原分式方程的根，
1 1
故答案为：9．
【变式5-3】（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形
的最长边为21cm，则最短边为 cm．
【答案】12
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程．
根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为4xcm,4xcm,7xcm，确定x=3，即可得出最短边
长．
【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7，
∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7，
设这个三角形三边为4xcm,4xcm,7xcm，
∵与它相似的三角形的最长边为21cm，
∴7x=21，
则x=3，
最短边长为4x=12cm，
故答案为：12．
【题型6 与相似多边形有关的计算】
【例6】（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次
后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（
）
A．a＝❑√2b B．a＝2b C．a＝2❑√2b D．a＝4b
【答案】B【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
1
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
4
a b
=
要使小长方形与原长方形相似，只要满足b 1 即可，
a
4
∴a=2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，点E、F
是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是
菱形，且与菱形ABCD是相似菱形，那么菱形AECF的边长是 ．（用a的代数式表示）．
❑√3 ❑√3a
【答案】 a/
3 3
【分析】连接AC，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出
1 a
∠EAF=∠ABC=60°，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出AO= AB= ，最后根据
2 2
勾股定理求解即可．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=a，1
∴∠1= ×60°=30°，BD⊥AC，
2
1 a
∴AO= AB= ，
2 2
∵菱形AECF与菱形ABCD相似，
∴∠EAF=∠ABC=60°，
1
∴∠2= ×60°=30°，
2
1
∴EO= AE，
2
根据勾股定理可得：AO2+EO2=AE2，
即
(a) 2
+
(AE) 2
=AE2 ，解得：AE=
❑√3
a．
2 2 3
❑√3
故答案为： a．
3
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多
边形对应角相等．
【变式6-2】（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝❑√AE2+BE2＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相
似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
【变式6-3】（23-24九年级·全国·课后作业）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每
一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．
【答案】（1）矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm；（2）不相似，理由见解析
【详解】试题分析：(1)首先观察图形，可知：小矩形的长+宽=60，4×小矩形的宽=60，故可设未知数列方
程组，解方程组即可确定每块地砖的长与宽分别为多少；
(2)求出矩形场地的长，接下来求出矩形场地、小矩形的宽和长的比，若比值相等，则相似，反之则不相
似.
试题解析：(1)设矩形地砖的长为a cm，宽为b cm，
由题图可知4b=60，即b=15.
因为a+b=60， 所以a=60−b=45，
所以矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a=2×45=90 (cm)，宽为60 cm，90 3
所以大矩形的长与宽之比为： = ,
60 2
45 3 3 3
而小矩形的长与宽之比为： = , ≠ .
15 1 2 1
即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．
所以它们不相似．
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】
【例7】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作
图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结BD，CD，使△BDC与△ABC全等．（画出两个）
(2)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE ∽△CBA；
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽ △ACB，且相
似比为3:5．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图−−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据全等三角形的判定，取格点D，使BD=AC，AB=CD作出图形即可；
（2）由图及勾股定理可知∠AEB=∠BAC=90°，进而可得△ABE∽△CBA根据相似三角形的判定作出
图形即可；
（3）取格点M，Q，连接AM,MQ，MQ交AC于点P，点P，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图中，点D 、D 、D 中任取两个即为所求；
1 2 3（2）解：如图中，点E即为所求；
由图可知，∠AEB=90°，
∵AB2=12+22=5,AC2=22+42=20，
又BC2=52=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°
∴∠AEB=∠CAB，
又∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA；
（3）解：如图，取格点M，Q，连接AM,MQ，MQ交AC于点P，点P，点Q即为所求，
如图：AM∥BQ,AM=BQ，
∴四边形AMQB是平行四边形，
∴AB∥MQ，
则：△PCQ∽△ACB，CP CQ 3
∴ = = ，
AC BC 5
CQ 3
相似比为： = ．
CB 5
【变式7-1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点
A、B、C、D均在格点上．
PD
(1)在图1中， =________；
PA
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
PA 2
①如图2，在线段AB上找一点P，使 = ；
PB 3
②如图3，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
1
【答案】(1)
3
(2)①见详解；②见详解
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；
（1）（1）由相似三角形的判定方法得△PCD∽△PBA，由相似三角形的性质即可求解；
2
（2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为 ，即可求解；②作点A关于BC的对称点A ，连接A D
3 1 1
交BC于P，即可求解；
能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键．
【详解】（1）解：由图得AB∥CD，
AB=3，CD=1，
∴△PCD∽△PBA，
PD CD 1
∴ = = ，
PA BA 3
1
故答案： ；
3
（2）解：①如图，∴ P
点 为所求；
②如图，
∴ P
点 为所求．
【变式7-2】（23-24九年级·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均在
格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC；
(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB′C′．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
3❑√2
【分析】（1）延长AC至点E，使得EC=2❑√2，延长BC至点F，使得FC= ，连接EF，得到
2
△FEC，则△FEC即为所求；
（2）根据旋转的性质作图即可；
本题考查了作相似三角形，作旋转后的图形，掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图①所示，△FEC即为所求．3❑√2
理由：∵EC=2❑√2，FC= ，
2
BC AC
∴ = =2，
EC FC
又∵∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△FEC；
（2）解：如图②所示，△AB′C′即为所求．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列
要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．直接写出△ABE与△CBA的相
似比为______；
(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点M，在边AC上确定一点N，连结MN，使△AMN∽△ABC，且相
似比为1:2．直接写出S = ______；
△AMN(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB且相似比
为3:5．直接写出PQ的长度为______．
❑√5
【答案】(1)作图见解析； ；
5
5
(2)作图见解析； ；
4
3❑√5
(3)作图见解析； ．
5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用数形结合的思想，熟练掌握相似三角形的
性质，是解答本题的关键．
（1）根据题意，得到∠BAC=90°，故取格点E，连接AE，得到AE⊥BC，进而得到 △ABE∽△CBA
AB ❑√5
，相似比为： = ，由此得到答案．
AC 5
（2）根据题意，取格点F，格点N，连接FN，交AB于点M，则MN∥BC，根据相似比为1:2，得到
S 1
△AMN = ，由此得到答案．
S 4
△ABC
（3）根据题意△PCQ∽△ACB且相似比为3:5，得到CQ=3，取格点Q，格点H，连接QH，交AC于点
PQ 3 3❑√5
P，则PQ∥AB，由 = ，AB=❑√5，得到PQ= ．
AB 5 5
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
∵ AB=❑√12+22=❑√5，
AC=❑√22+42=2❑√5，BC=5，
∴ AB2+AC2=BC2，
∴ ∠BAC=90°，
故取格点A，格点E，连接AE，
∴ AE⊥BC，
∴ △ABE∽△CBA，
AB ❑√5
∴相似比为： = ，
AC 5
AE即为所求，
❑√5
故答案为： ；
5
（2）根据题意得：
△AMN∽△ABC，且相似比为1:2，作图如下：
AM 1
∵ = ，
AB 2
∴取格点F，格点N，连接FN，交AB于点M，则MN∥BC，
MN即为所求，
1 1
由（1）得S = AB⋅AC= ×❑√5×2❑√5=5，
△ABC 2 2
又相似比为1:2，
S 1
∴ △AMN = ，
S 4
△ABC
1 5
∴ S = S = ，
△AMN 4 △ABC 4
5
故答案为： ．
4
（3）根据题意得，△PCQ∽△ACB且相似比为3:5，
CQ 3
∴ = ，
BC 5
∵ BC=5，
∴ CQ=3，
∴取格点Q，格点H，连接QH，交AC于点P，则PQ∥AB，
PQ即为所求，
PQ 3
∴ = ，
AB 5
又AB=❑√5，
3❑√5
∴ PQ= ，
5
3❑√5
故答案为： ．
5
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】
【例8】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=5，点E是CD边上一点，且
DE 2
= ，点F是BD上一点，若∠FAE=45°，则AF的长为（ ）
CE 3
❑√58 3❑√6 9
A．3❑√2 B． C． D．
2 2 2
【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到
CD=AB=AD=5，∠BAC=∠ACD=∠ABD=45°，∠ABC=∠ADE=90°，则由勾股定理得到
AB AF
AC=5❑√2，求出DE=2，则AE=❑√AD2+DE2=❑√29，再证明△ABF∽△ACE，得到 = ，即
AC AE
5 AF ❑√58
= ，即可得到AF= ．
5❑√2 ❑√29 2
【详解】解：如图所示，连接AC
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=AD=5，∠BAC=∠ACD=∠ABD=45°，∠ABC=∠ADE=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=5❑√2，
DE 2
∵ = ，
CE 3
3
∴CE= CD=3，
5
∴DE=2，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√29
∵∠FAE=∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵∠ABF=∠ACE=45°，
∴△ABF∽△ACE，
AB AF 5 AF
∴ = ，即 = ，
AC AE 5❑√2 ❑√29
❑√58
∴AF= ，
2
故选：B．【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC,∠ABC=90°,AD=CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．
(1)当点E在CD上，
①求证：AC2=2AD⋅BC；
AD
②若BE⊥CD，求 的值；
BC
(2)若DE=1,OE=2，直接写出CD的长．
AD 2
【答案】(1)①证明见解析，② = ；
BC 3
3+❑√33 1+❑√33
(2)CD的长为 或
2 2
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，
由直角三角形的性质得出∠OBC=∠OCB，证明△DAC∽△OBC即可得出结论；
②得出∠OCE=∠OCB=∠EBC=30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD=CD=2m，则
BH=AD=2m，则可得出答案；
（2）分两种情况讨论，当点E在CD上时，当点E在AD上时，分别求解即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， 含30度角的
直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关
键．
【详解】（1）①证明：如图1，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB=OC=OA，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC，
∴△DAC∽△OBC，
AC AD
∴ = ，
BC OB
∵OB=OC=OA，
1
∴AC=2OA=2OB，即OB= AC，
2
AC AD
=
∴BC 1 ，
AC
2
∴AC2=2AD⋅BC；
②解：如图2， 若BE⊥CD，
在Rt△BCE中，∠OCE=∠OCB=∠EBC，
∴∠OCE=∠OCB=∠EBC=30°，
过点D作DH⊥BC于点H，设AD=CD=2m，则BH=AD=2m，在Rt△DCH中，DC=2m，
∴CH=m，
∴BC=BH+CH=3m，
AD 2m 2
∴ = = ；
BC 3m 3
（2）解：如图3，当点E在CD上时，设AD=CD=x,则CE=x−1,设OB=OC=m,
∵OE=2,
∴EB=m+2,
∵△DAC∽△OBC,
DC AC
∴ = ,
OC BC
x 2OC
∴ = ,
m BC
OC x
∴ = ,
BC 2m
∵∠EBC=∠OCE,∠BEC=∠OEC,
∴△EOC∽△ECB,
OE EC OC
∴ = = ,
EC EB CB
2 x−1 OC
∴ = = ,
x−1 m+2 CB
2 x−1 x
∴ = = ，
x−1 m+2 2m
x2−x
∴m= ,
4
x2−x 2 x−1
把m= 代入 = 中，得：
4 x−1 m+2
2 x−1
=
x−1 x2−x ，
+2
4
3+❑√33 3−❑√33
解得：x = ，x = (舍去) ，
1 2 2 2
∴CD=3+❑√33;
如图4， 当点E在AD上时，
∵AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCB,∠OEA=∠OBC,∵∠OCB=∠OBC,
∴∠OAE=∠OCB=∠OEA=∠OBC，
∴OA=OE=OB=OC,
∴四边形ABCE是矩形，AC=2OE=8,
∴∠CEA=∠CED=90°,
设AD=CD=t,
∵DE=1
∴AE=t−1,
∵OE=2，
∴AC=4，
在Rt△AEC中，由勾股定理得CE2=AC2−AE2,
在Rt△DEC中， 由勾股定理得CE2=DC2−DE2,
∴42−(t−1) 2=t2−12,
1+❑√33 1−❑√33
∴解得：t = ，t = (舍去)
1 2 2 2
1+❑√33
∴CD= ，
2
3+❑√33 1+❑√33
综上所述，CD的长为： 或 ．
2 2
【变式8-2】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分
线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H
AG
是AC的中点，则 的值为 ．
FD
4 1
【答案】 /1
3 3
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△AGH∽△ADB是解题的关键．
先证明△DFE≌△GFE(SAS)，可得∠EDF=∠EGF，进而得到∠B=∠AHG，从而证得
AG AH 2
△AGH∽△ADB，可得 = = ，进而即可求解．
AD AB 5
【详解】解：∵EF⊥AD，
∴∠EFG=∠EFD=90°，
∵FG=FD，EF=EF，
∴△DFE≌△GFE(SAS)，
∴∠EDF=∠EGF
∵∠EDF=∠B+∠BAD，∠EGF=∠AHG+∠HAG，
∴∠B+∠BAD=∠AHG+∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠AHG，
∴△AGH∽△ADB，
AG AH
∴ = ，
AD AB
∵4AB=5AC，
∴设AB=4a，AC=4a，
∵H是AC的中点，
1
∴AH= AC=2a，
2
AG AH 2
∴ = = ，
AD AB 5
∵AD=AG+GD，
GD 3
∴ = ，
AD 5
AG 2
∴ = ，
GD 3
∵GF=DF，
AG 4
∴ ＝ ．
FD 34
故答案是： ．
3
【变式8-3】（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在
射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
(1)求证：△PFA∽△ABE；
(2)当P也是AD边中点时，求AF的值；
(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
(4)当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
2❑√5
(2)
5
(3)2或5
(4)相等，理由见解析
【分析】（1）先证明∠PAF=∠AEB，再由∠PFA=∠ABE=90°，即可证出△PFA∽△ABE；
（2）当P是AD的中点时，AP=2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（3）分两种情况：当△EFP∽△ABE时，则PE∥AB，得出四边形ABEP为矩形．求出PA=EB=2，即
x=2；当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，先求出∠PAF=∠AEB，得到PE=PA ，再由勾股
定理得出AE的长，再得出EF的长，根据相似三角形的性质求出PE的长，即可得出结论；
（4）先证明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再证明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE=∠BAE．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=AD=4，
∴∠ABE=90°，∠PAF=∠AEB．
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE；
（2）当P是AD的中点时，AP=2．∵△PFA∽△ABE，
AF AP AF 2
∴ = ，即 = ，
BE AE 2 2❑√5
2❑√5
∴AF= ；
5
（3）分两种情况：
①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=2，即x=2．
②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=❑√AB2+BE2=❑√42+22=2❑√5，
1
∴EF= AE=❑√5
2
PE EF PE ❑√5
∵ = ，即 = ，
AE EB 2❑√5 2
∴PE=5，
∴AP=5，即x=5；
∴满足条件的x的值为2或5；（4）∠GAE=∠BAE．理由如下：
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=4，
∴∠BAE+∠AEB=90°．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∴AE=❑√42+22=2❑√5．
∵PE⊥AE，
∴∠AEP=90°，∠AEB+∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠BAE，
∴△ECG∽△ABE，
CG CE CG 2
∴ = ，即 = ，
BE AB 2 4
∴CG=1，
∴EG=❑√12+22=❑√5
EG ❑√5 1 BE 2 1
∵ = = ， = =
AE 2❑√5 2 AB 4 2
EG BE
∴ = ．
AE AB
又∵∠AEP=∠B=90°，
∴△AEG∽△ABE，
∴∠GAE=∠BAE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式
是解决问题的关键．
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】
【方法总结】由于相似三角形对应边成比例,借助比例的基本性质,可以把比例式转化为等积式.利用相似三角形的性质解决等积式问题的方法:
(1)三点定形法:观察等积式或比例式,式子所涉及的四个字母中,如有一个字母重复出现3次,就可以找出相似
CD DF
的三角形,如:CD2=DE·DF根据比例的性质变换为 = 三点定形△CDE和△FDC相似.
DE CD
(2) 等量代换法:根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的线段来代替,如果没有,可考虑添加辅助线,常
见辅助线有垂线、角平分线、中线等.
【例9】（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠BCD，点E在边BC上，连
接AC、DE，满足∠CDE=∠CAD，且CE⋅CB=AB⋅CD．
(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)当AD=DE时，求证；AF2=CF⋅CA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明△ABC∽△ECD，得出∠CDE=∠ACB，从而推出∠CAD=∠ACB，得到AD∥BC，即可
得证；
（2）证明△ADF≌△DEC(ASA)，得出AF=CD，证明△ADC∽△DFC，再由相似三角形的性质即可
得解．
【详解】（1）证明：∵CE⋅CB=AB⋅CD，
AB BC
∴ = ，
EC CD
∵∠B=∠BCD，
∴△ABC∽△ECD，
∴∠CDE=∠ACB，
∵∠CDE=∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠B=∠BCD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，
在△ADF和△DEC中，
{∠DAC=∠CDE
)
AD=DE ，
∠ADF=∠DEC
∴△ADF≌△DEC(ASA)，
∴AF=CD，
∵∠CDE=∠DAC，∠DCA=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
CD CF
∴ = ，
AC CD
∴CD2=CF⋅CA，
∴AF2=CF⋅CA．
【变式9-1】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD
于点F，∠DCE=∠ADB．
(1)求证：AB⋅BC=BF⋅CE；
(2)如果AD=3DE=6．
①求CF的长；
②若BD=10，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)①CF=3；②DC=5
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．
（1）根据平行四边形的性质，知道∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF，结合∠DCE=∠ADB，先证
明△DCE∽△FBC，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；
DE EF
（2）①先证明△EFD∽△CFB，得到EC=4EF，再证明△EDF∽△ECD，得到 = ，解得EF的
EC DE
长度，最后利用EC−EF算得CF的长度；
DF EF 1 DF DE
②通过平行线分线段成比例， = = ，算得DF的长度，再通过△EDF∽△ECD，得到 =
BD EC 4 DC EC
，从而算得CD的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB=CD
∴∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF
∵∠DCE=∠ADB
∴∠DCE=∠CBD
∴△DCE∽△FBC
DC CE
∴ = ．
BF BC
AB CE
∴ = ，即AB⋅BC=BF⋅CE．
BF BC
（2）①解：∵AD=3DE=6
1 1
∴DE= AD= ×6=2
3 3
∴ AE=AD−DE=6−2=4
∵AD∥BC
∴△EFD∽△CFB
DE EF
∴ =
BC FC
∵AD=BC=6
DE EF 1
∴ = =
BC FC 3
EF 1
∴ = ，即EC=4EF
EC 4
∵∠EDF=∠ECD，∠≝=∠CED∴△EDF∽△ECD
DE EF
∴ =
EC DE
2 EF
∴ =
4EF 2
解得：EF=1（舍去负值）
∴CF=EC−EF=4EF−EF=4−1=3
②解：∵AD∥BC
DF EF 1
∴ = =
BD EC 4
∵BD=10
5
∴DF=
2
∵△EDF∽△ECD
DF DE
∴ =
DC EC
∵DE=2，EC=4
5
2 2
∴ =
DC 4
∴DC=5
【变式9-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，BC=a，BC>AB，点P是AD边上的
任意一点（不与端点A，D重合），连接PC，且PE⊥PC交AB于点E．
(1)求证：CD⋅AE=AP⋅DP；
(2)若点Q也在AD上，满足QC⊥QE，如图所示(AP>AQ)．求证：AP+AQ=a．
【答案】(1)见详解
(2)见详解【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质；
（1）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，由同角的余角相等得∠EPA=∠CPD，根据两角对应相等的两
AE AP
三角形相似可判定△EPA∽△CPD，由相似的性质得 = ，即可求证；
DP DC
（2）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AD=BC=a，由同角的余角相等得∠AEQ=∠DQC，根据两
AE AQ
角对应相等的两三角形相似可判定△AEQ∽△DQC，由相似的性质得， = ，由比例性质得
DQ DC
PQ PQ
= ，即可求证；
DP AQ
PQ PQ
掌握判定方法及性质，能根据比例的性质得 = ，从而证明线段相等是解题的关键．
DP AQ
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EPA+∠AEP=90°，
∵ PE⊥PC，
∴∠CPE=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠EPA=∠CPD，
∴△EPA∽△CPD，
AE AP
∴ = ，
DP DC
∴ CD⋅AE=AP⋅DP；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
AD=BC=a，
∴∠AQE+∠AEQ=90°，
∵ QC⊥QE，
∴∠CQE=90°，
∴∠AQE+∠DQC=90°，
∴∠AEQ=∠DQC，
∴△AEQ∽△DQC，AE AQ
∴ = ，
DQ DC
∴AE⋅DC=AQ⋅DQ，
∵ CD⋅AE=AP⋅DP，
∴AQ⋅DQ=AP⋅DP，
DQ AP
∴ = ，
DP AQ
DQ−DP AP−AQ
∴ = ，
DP AQ
PQ PQ
∴ = ，
DP AQ
∴DP=AQ，
∴AP+AQ
=AP+DP
=AD=a，
故AP+AQ=a．
【变式9-3】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，∠BAC=∠AED=90°，AB=AC，EA=ED．
(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E落在BC边上，求证：AD2=2EF2+2BF⋅EF；
(3)如图3，若点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，判断IJ与HE的数量关系及夹角度数（锐角）．
【答案】(1)△GAF∽△GBA，△GAF∽△ACF，△GBA∽△ACF
(2)见解析
CH
(3) =❑√2，IJ与HE的夹角度数为45°
IJ
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题
的关键．（1）根据两个角相等的两个三角形相似解题即可；
AE FE
（2）根据△EAF∽△EBA可得 = ，即可得到AE2=EF2+EF⋅BF，然后根据勾股定理得到
BE AE
AD2=2AE2即可解题；
（3）设AB=a，AE=b，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到△AIJ∽△AHE，即可
CH AH
求出 = =❑√2，∠AHE=∠AIJ，然后利用四边形的内角和解题即可．
IJ AI
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠AED=90°，AB=AC，EA=ED，
∴∠B=∠C=∠D=∠DAE=45°，
又∵∠AGB=∠FGA，
∴△GAF∽△GBA，
同理可得：△GAF∽△ACF，△GBA∽△ACF；
（2）证明：∵∠B=∠DAE=45°，∠AEB=∠FEA，
∴△EAF∽△EBA，
AE FE
∴ = ，即AE2=EF⋅BE=EF(BF+EF)=EF2+EF⋅BF，
BE AE
又∵∠AED=90°，EA=ED，
∴AD2=AE2+DE2=2AE2=2(EF2+EF⋅BF)=2EF2+2EF⋅BF；
（3）解：连接AH，设直线IJ和EH交于点K，
∴∠BAH=45°=∠DAE，
∴∠BAF=∠HAE，
设AB=a，AE=b，则BC=❑√2a，AD=❑√2b，
∵点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，
1 ❑√2 ❑√2
∴AI= a，AJ= b，AH= a，
2 2 2AH AE AH AE
∴ =❑√2， =❑√2，即 = ，
AI AJ AI AJ
∴△AIJ∽△AHE，
CH AH
∴ = =❑√2，∠AHE=∠AIJ，
IJ AI
∴∠AIJ+∠AHK=∠AHE+∠AHK=180°，
∴∠IKH=360°−∠AHE−∠AHK−∠IAH=360°−180°−45°=135°，
∴∠JKE=180°−∠IKH=180°−135°=45°．
【题型10 相似三角形中的运动问题】
【例10】（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=3，
AB=4，BC=6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单
位/秒的速度沿CB运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ，当点Q与B重合时，两动点均停止运
动，设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，求线段EP的长；
(2)当运动t秒时线段BE的长（用含t的式子表示）；
(3)运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不
存在，请说明理由．
9
【答案】(1)EP=
4
5
(2)EB=5− t(0≤t≤3)
4
12
(3)当t= 时，△BEQ与△ABD相似
5
【分析】本题主要考查了相似三角形综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，
分类讨论，是解决问题的关键．
PE BP
(1)通过证明△BPE∽△BAD，可得 = ，即可求解；
AD AB(2)先判断出0≤t≤3，求出BD=5，再判断出△BPE∽△BAD，得出比例式建立方程求解，即可求出答
案；
(3)分∠BEQ=∠A=90°，∠BQE=∠A=90°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）当t=1时，AP=1，
∵AB=4，
∴BP=AB−AP=3，
∵EP⊥AB，∠A=90°，
∴∠EPB=∠A=90°，
∴EP∥AD，
∴△BPE∽△BAD，
PE BP
∴ = ，
AD AB
∵AD=3，
PE 3
∴ = ，
3 4
9
∴EP= ；
4
（2）由运动知，CQ=2t，
∵BC=6，
∴2t≤6，
∴t≤3，
∴0≤t≤3，
由运动知，AP=t，
∴BP=AB−AP=4−t，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=4，
∴BD=❑√AB2+AD2=5，
∵EP⊥AB，∠A=90°，
∴∠EPB=∠A=90°，
∴EP∥AD，
∴△BPE∽△BAD，
EB BP
∴ = ，
DB ABEB 4−t
∴ = ，
5 4
5
∴EB=5− t(0≤t≤3)；
4
（3）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBQ，
若∠BEQ=∠A=90°，△BAD∽△QEB，
BE BQ
∴ = ，
AD BD
∵BQ=6−2t，
5
5− t
∴ 4 6−2t，
=
3 5
∴t=28(不合题意舍去)，
若∠BQE=∠A=90°，△BAD∽△EQB，
BQ BE
∴ = ，
AD BD
5
5− t
∴6−2t 4 ，
=
3 5
12
∴t= ．
5
12
故当t= 时，△BEQ与△ABD相似．
5
【变式10-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，
点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q
两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm？(3)几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？
【答案】(1)1s
(2)2s
35 25
(3)t= 或
17 19
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的
关键．
（1）设x秒后，△PBQ的面积为4cm2，表示出AP，BQ，BP，根据三角形面积公式表示出△PBQ的面
积，令其等于4cm2即可求解；
（2）由勾股定理得：BP2+BQ2=(5cm) 2，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0
