专题 27.9 相似全章专项复习【3 大考点 14 种题型】
【人教版】
【考点1 比例的性质】..............................................................................................................................................1
【题型1 成比例线段的计算】..................................................................................................................................3
【题型2 比例性质的应用】......................................................................................................................................4
【题型3 平行线分线段成比例的应用】..................................................................................................................8
【考点2 相似三角形】............................................................................................................................................13
【题型4 相似三角形的判定】................................................................................................................................14
【题型5 利用相似三角形的性质求值】................................................................................................................17
【题型6 与相似多边形有关的计算】....................................................................................................................19
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】...........................................................................................................22
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】...............................................................................................30
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】...................................................................................................39
【题型10 相似三角形中的运动问题】....................................................................................................................46
【题型11 利用相似三角形测物体的高度】............................................................................................................54
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】...............................................................................................57
【考点3 位似】........................................................................................................................................................62
【题型13 位似图形】................................................................................................................................................62
【题型14 位似变换作图与计算】............................................................................................................................66
【考点1 比例的性质】
1.成比例线段
（1）比例的项：
在比例式 （即 ）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式
（即 ）中，b称为a，c的比例中项，满足 ．
（2）成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫
做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的性质
比例的性质 示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质： 或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已 知 ， 则 当 时 ，
.
3.黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（ ），且使AC是AB和BC的比例中
项（即 ），则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中
， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段
AB而言，黄金分割点有两个．）4.平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
如图：如果 ，则 ， ， ．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
【题型1 成比例线段的计算】
【方法总结】根据成比例线段的定义,可知只要两条线段的比等于另外两条线段的比,则这四条线段是成比
例线段,而比例式中各项有一定的顺序,不同的顺序会有不同的结果,切记进行分类讨论.
【例1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足a:b=3:2，且a+2b=42．
(1)求线段a、b的长；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．
【答案】(1)线段a的长为18，线段b的长为12
(2)线段c的长为6❑√6
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设a=3k，b=2k，代入a+2b=42计算可得k的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得c2=ab，由此即可得．
【详解】（1）解：∵a:b=3:2，
∴设a=3k，b=2k，
∵a+2b=42，
∴3k+4k=42，
∴k=6，
∴a=18，b=12，
∴线段a的长为18，线段b的长为12．
（2）解：∵线段c是线段a、b的比例中项，a=18，b=12，
∴c2=ab=216，
∵由题意知，c>0，
∴c=6❑√6，∴线段c的长为6❑√6．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距
离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是 cm.
【答案】10
【分析】先设这个图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，即可求解.
【详解】设这个图距是xcm，
则4：20000000=x：50000000，
解得x=10．
故填：10．
【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变列出方程．
【变式1-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2
，则d的值是 .
【答案】1
【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到
a:b=c:d，即可得到答案．
【详解】解：由于线段a，b，c，d是成比例线段，
故a:b=c:d，
即6:3=2:d
解得d=1
故答案为：1．
【变式1-3】（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它
❑√5−1 ❑√5−1
的平面图可看作宽与长的比是 的矩形，我们将这种宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形．如图
2 2
①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
(1)黄金矩形ABCD的长BC= ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接AE，求点D到线段AE的距离．
❑√5+1
【答案】(1)
2
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
❑√10+❑√2
(3)点D到线段AE的距离为
4
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
AB ❑√5−1
（1）根据 = ，AB=1，即可求解；
BC 2
❑√5−1 DF
（2）先求出FD=EC=AD−AF= ，再求出 的值，即可得出结论；
2 EF
❑√5+1
（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据AB=EF=1，AD= ，得出
2
1 1
AE=❑√12+12=❑√2，再根据S = ×AD×EF= ×AE×DG，即可求解．
△AED 2 2
AB ❑√5−1
【详解】（1）解：∵ = ，AB=1，
BC 2
AB 1 ❑√5+1
BC= = =
∴ ❑√5−1 ❑√5−1 2 ，
2 2
❑√5+1
故答案为： ；
2
（2）解：矩形DCEF为黄金矩形，理由是：
❑√5+1
由（1）知AD=BC= ，
2
❑√5+1 ❑√5−1
∴FD=EC=AD−AF= −1= ，
2 2
DF ❑√5−1 ❑√5−1
∴ = ÷1= ，
EF 2 2
故矩形DCEF为黄金矩形；
（3）解：连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G❑√5+1
∵AB=EF=1，AD= ，
2
∴AE=❑√12+12=❑√2，
1 1
在△AED中， S = ×AD×EF= ×AE×DG，
△AED 2 2
即AD×EF=AE×DG，
❑√5+1
则 ×1=❑√2×DG，
2
❑√10+❑√2
解得DG= ，
4
❑√10+❑√2
∴点D到线段AE的距离为 ．
4
【题型2 比例性质的应用】
2a 2b 2c
【例2】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知 = = =k，则k=（ ）
b+c a+c a+b
A．1 B．±1 C．1或−2 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0
2c
时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k= 计算得出结果．
a+b
【详解】解：分两种情况：
2a+2b+2c
①当a+b+c≠0时，得k= =1；
b+c+a+c+a+b
②当a+b+c=0时，
2c
则a+b=−c，k= =−2；
a+b
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．a c
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若 = ，a，c不为零则下列等式中不一定成立的是（ ）
b d
b d a−b c−d a c a+c a
A． = B． = C． = D． =
a c b d a+b c+d b+d b
【答案】D
【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项
即可
a c b d
【详解】解：A.∵ = ，∴ = ，正确，不符合题意；
b d a c
a c a c a−b c−d
B. ∵ = ，∴ −1= −1，∴ = ，正确，不符合题意；
b d b d b d
a c b d b d a+b c+d a c
C. ∵ = ，∴ = ，∴ +1= +1，∴ = ，∴ = ，正确，不符合题意；
b d a c a c a c a+b c+d
D.当b+d=0时，原式不成立，故选项D符合题意，
故选：D
【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足
a+b−c a−b+c −a+b+c
= = =k，则k的值为 ．
c b a
【答案】1或−2/−2或1
【分析】根据题意得出a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak，三式相加得出a+b+c=(a+b+c)k，
然后分类讨论，即可求解．
a+b−c a−b+c −a+b+c
【详解】解：∵ = = =k，
c b a
∴a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak
∴a+b−c+a−b+c−a+b+c=(a+b+c)k
即a+b+c=(a+b+c)k，
当a+b+c≠0时，k=1，
a+b−c −c−c
当a+b+c=0时，k= = =−2，
c c
故答案为：1或−2．
【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．
a−1 b+1 c−2
【变式2-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足 = = ，试求a2+b2−c2的
2 3 4最大值 ．
【答案】25
a−1 b+1 c−2
【分析】设 = = =k，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
2 3 4
a−1 b+1 c−2
【详解】解：设 = = =k，
2 3 4
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2−c2的最大值为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．
【题型3 平行线分线段成比例的应用】
【方法总结】求线段的比,通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段,然后再进行转
化得到所求两线段的比.遇到平行线时,要联想到借助辅助线构造基本图形:“A”型与“X”型.
【例3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线l ∥l ∥l ，直线m与直线l 、l 、l 分别交于点
1 2 3 1 2 3
AD 4 CE
A、D、F，直线n与直线l 、l 、l 分别交于点B、C、E．若 = ，则 = ．
1 2 3 DF 5 BC
5
【答案】
4
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线l ∥l ∥l ，
1 2 3
AD BC 4
∴ = = ，
DF CE 5
CE 5
∴ = ，
BC 4
5
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一
组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．
【变式3-1】（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=3cm，则线段AB的长是( )
2 3
A．1cm B． cm C． cm D．2cm
3 2
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段
成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横 线于D，交点C所在的平行横线于E，
∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
AB AD
∴ = ，DE=2AD
BC DEAB 1
∴ = ，
3 2
3
解得：AB= (cm)，
2
故选：C．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1，AD与
EF AF
CE相交于点F，则 + = .
FC FD
3
【答案】
2
【分析】先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AB交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推
EF AF
论，再结合已知条件，可分别求出 和 的值，相加即可．
FC FD
【详解】解：作EG∥BC交AD于G，作DH∥AB交CE于H，如图所示：
∵AE:EB=1:3，
AE 1
∴ = ，
AB 4
∵EG∥BC，EG AE 1
∴ = = ，
BD AB 4
1
∴EG= BD，
4
∵BD:DC=2:1，
1
∴EG= CD，
2
∵EG∥BC，
EF EG 1
= = ，
FC CD 2
∴
∵BD:DC=2:1，
CD 1
∴ = ，
BC 3
∵DH∥AB，
DH CD 1
∴ = = ，
BE BC 3
1
∴DH= BE=AE，
3
∵DH∥AB，
AF AE
= =1，
FD DH
∴
EF AF 1 3
+ = +1= ．
FC FD 2 2
∴
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．
【变式3-3】（2024·河南周口·一模）在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2，点
E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为 ．
【答案】1或3【分析】分点D在线段AB的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点D在线段AB的延
长线上时，推出△BDC为等腰三角形，三角形外角的性质求出∠BCD=30°，根据等边对等角，推出
△BDE为含30 度角的直角三角形，求出BE的长，进而求出CE的长即可，当点D在线段AB的反向延长线
上时，过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥BE，得到AG∥DF，根据等边三角形和等腰三角形的性
质，结合平行线分线段成比例进行求解即可．
【详解】解：当点D在AB的延长上时，如图，
∵边长为1的等边三角形ABC，
∴AB=BC=1，∠ABC=60°，
∵AD=2，
∴AB=BD=1，
∴BD=BC=1，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠ABC=∠BCD+∠BDC=2∠BCD，
∴∠BCD=30°，
∵DE=DC，
∴∠DCE=∠CED=30°，
∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠BDC=180°−∠DEB−∠DBE=90°，
∴BE=2BD=2，
∴CE=BC+BE=3；
当点D在AB的反向延长上时，如图，过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥BE，
则：AG∥DF，
∵△ABC为等边三角形，DC=DE，
1 1
∴BG=CG= BC= ,CE=2CF，
2 2
∵AG∥DF，
BA BG 1
∴ = = ，
AD FG 2
∴FG=2BG=1，
1
∴CF=FG−CG= ，
2
∴CE=2CF=1；
综上：CE=1或CE=3；
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分
线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
【考点2 相似三角形】
1.相似多边形
名称 定义 性质
形状相同的图形叫做相似图形
两个边数相同的多边形，如果它们的 角分别
相似多边形 相似多边形的对
相等，边成比例，那么这两个 多边形叫做相
应角 相等，对
似多边形.相似多边形 对应边的比叫做相似比
应边成比例
2.相似三角形的判定相似三角形的判定
定义 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似
平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成
判定1
的三角形与原三角形相似
判定2 三边成比例的两个三角形相似
判定
判定3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
判定4 两角分别相等的两个三角形相似
3.相似三角形的性质
对应角相等，对应边成比例
对应高的比，对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比
性质 对应线段的比等于相似比
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
【题型4 相似三角形的判定】
【例4】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线
段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得
AD∥BC，再根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB，∠B+∠C=180°，利用等量代换可得
∠B=∠AFD，再根据相似三角形的判定即可得证．
【详解】证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，∴△ADF∽△EAB．
【变式4-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三
角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形
与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，A′B′∥AB，A′C′∥AC，
B′C′∥BC，可得∠A=∠A′，∠B=∠B′，即可证得△ABC∽△A′B′C′；再根据题意得A′B′=C′D′=8
AB AD
，A′D′=B′C′=12，可得 ≠ ，可知新矩形与原矩形不相似，即可求解．
A′B′ A′D′
【详解】解：甲：根据题意得，A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：根据题意得，AB=DC=6，AD=BC=10，则A′B′=C′D′=6+2=8，A′D′=B′C′=10+2=12，
AB CD 6 3 AD BC 10 5
= = = = = =
∴ ， ，
A′B′ C′D′ 8 4 A′D′ B′C′ 12 6
AB AD
∴ ≠ ，
A′B′ A′D′
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙说法不正确；
故选：A．【变式4-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知∠BAD=∠CAE，添加一个条件 ，使得
△ABC∽△ADE．
【答案】∠B=∠ADE（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是
解题的关键．
【详解】解：由∠BAD=∠CAE可得，∠BAC=∠DAE
根据相似三角形的判定，可添加一个角或∠BAC,∠DAE的两边对应成比例；
AB AC
故可以添加：∠B=∠ADE或∠ACB=∠AED或 = ；
AD AE
故答案为：∠B=∠ADE（答案不唯一）
【变式4-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A
、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDE D．△DBF与△CEB
【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到AB=DB，
∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求
解即可．
【详解】解：根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，
∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
AB DB
∴∠ABD=∠CBE， = ，
BC BE
∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；
∵∠ABD=∠CBE，AB=BD，BC=BE，
∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，
∴∠BDF=∠ECF，
又∵∠BFD=∠EFC，
∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；
AB CE
又∠ABC=∠DBE， = ，
BD BE
∴△BAC∽△BDE，故C不符合题意；
根据题意，无法求解△DBF与△CEB相似，
故D符合题意；
故选：D．
【题型5 利用相似三角形的性质求值】
【方法总结】利用相似三角形的性质求周长和面积的方法:
利用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方这一性质,可在已知两个相似三角形的相似
比和其中一个三角形的周长(面积)时,求另一个三角形的周长(面积),不必求出三角形的每一条边及高进行求
解,通常会用方程的思想来解决问题.
【例5】（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，面
积差为30，则它们的面积和为（ ）
A．74 B．76 C．78 D．81
【答案】C
【分析】本题主要考查了对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积比与相似比之间的
关系，即相似三角形面积比等于相似比的平方．
已知两相似三角形的相似比，即可求出面积比．根据面积差为30，可求出两三角形的面积，进而可求出面
积和．【详解】解：∵两三角形的相似比为2:3，
∴它们的面积比为4:9，
设较小三角形的面积为4k，则较大三角形的面积为9k，
则9k−4k=30，
解得k=6，
∴面积和为4k+9k=13k=78，
故选C．
【变式5-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（ ）
AB BC AC AB AB AC
A． = B． = C．AC2=AD⋅AB D． =
AC CD AD AC BC AD
【答案】D
AB BC AC
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出 = = ，逐项分析判断，即
AC CD AD
可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△ACD
AB BC AC
∴ = =
AC CD AD
∴AC2=AD⋅AB，故A，B，C正确,D错误
故选：D．
【变式5-2】（23-24九年级·广西贺州·期中）若△ABC与△A B C 相似，已知AB=3，AC=5，
1 1 1
A C =15，则A B = ．
1 1 1 1
【答案】9
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解分式方程等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的
关键．
三角形相似，对应边成比例，据此即可求出答案．
【详解】解：∵△ABC∽△A B C ，
1 1 1
AB AC
∴ = ，
A B A C
1 1 1 1∵AB=3，AC=5，A C =15，
1 1
3 5
∴ = ，
A B 15
1 1
解得：A B =9，
1 1
经检验，A B =9是原分式方程的根，
1 1
故答案为：9．
【变式5-3】（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形
的最长边为21cm，则最短边为 cm．
【答案】12
【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程．
根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为4xcm,4xcm,7xcm，确定x=3，即可得出最短边
长．
【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7，
∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7，
设这个三角形三边为4xcm,4xcm,7xcm，
∵与它相似的三角形的最长边为21cm，
∴7x=21，
则x=3，
最短边长为4x=12cm，
故答案为：12．
【题型6 与相似多边形有关的计算】
【例6】（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次
后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（
）
A．a＝❑√2b B．a＝2b C．a＝2❑√2b D．a＝4b
【答案】B【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．
1
【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
4
a b
=
要使小长方形与原长方形相似，只要满足b 1 即可，
a
4
∴a=2b．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，点E、F
是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是
菱形，且与菱形ABCD是相似菱形，那么菱形AECF的边长是 ．（用a的代数式表示）．
❑√3 ❑√3a
【答案】 a/
3 3
【分析】连接AC，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出
1 a
∠EAF=∠ABC=60°，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出AO= AB= ，最后根据
2 2
勾股定理求解即可．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=a，1
∴∠1= ×60°=30°，BD⊥AC，
2
1 a
∴AO= AB= ，
2 2
∵菱形AECF与菱形ABCD相似，
∴∠EAF=∠ABC=60°，
1
∴∠2= ×60°=30°，
2
1
∴EO= AE，
2
根据勾股定理可得：AO2+EO2=AE2，
即
(a) 2
+
(AE) 2
=AE2 ，解得：AE=
❑√3
a．
2 2 3
❑√3
故答案为： a．
3
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多
边形对应角相等．
【变式6-2】（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝❑√AE2+BE2＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相
似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
【变式6-3】（23-24九年级·全国·课后作业）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每
一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：
(1)每块地砖的长与宽分别为多少？
(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．
【答案】（1）矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm；（2）不相似，理由见解析
【详解】试题分析：(1)首先观察图形，可知：小矩形的长+宽=60，4×小矩形的宽=60，故可设未知数列方
程组，解方程组即可确定每块地砖的长与宽分别为多少；
(2)求出矩形场地的长，接下来求出矩形场地、小矩形的宽和长的比，若比值相等，则相似，反之则不相
似.
试题解析：(1)设矩形地砖的长为a cm，宽为b cm，
由题图可知4b=60，即b=15.
因为a+b=60， 所以a=60−b=45，
所以矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a=2×45=90 (cm)，宽为60 cm，90 3
所以大矩形的长与宽之比为： = ,
60 2
45 3 3 3
而小矩形的长与宽之比为： = , ≠ .
15 1 2 1
即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．
所以它们不相似．
【题型7 网格中相似三角形的相关计算】
【例7】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作
图，保留作图痕迹．
(1)在图①的网格中确定一点D，连结BD，CD，使△BDC与△ABC全等．（画出两个）
(2)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE ∽△CBA；
(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽ △ACB，且相
似比为3:5．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图−−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股
定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据全等三角形的判定，取格点D，使BD=AC，AB=CD作出图形即可；
（2）由图及勾股定理可知∠AEB=∠BAC=90°，进而可得△ABE∽△CBA根据相似三角形的判定作出
图形即可；
（3）取格点M，Q，连接AM,MQ，MQ交AC于点P，点P，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图中，点D 、D 、D 中任取两个即为所求；
1 2 3（2）解：如图中，点E即为所求；
由图可知，∠AEB=90°，
∵AB2=12+22=5,AC2=22+42=20，
又BC2=52=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°
∴∠AEB=∠CAB，
又∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA；
（3）解：如图，取格点M，Q，连接AM,MQ，MQ交AC于点P，点P，点Q即为所求，
如图：AM∥BQ,AM=BQ，
∴四边形AMQB是平行四边形，
∴AB∥MQ，
则：△PCQ∽△ACB，CP CQ 3
∴ = = ，
AC BC 5
CQ 3
相似比为： = ．
CB 5
【变式7-1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点
A、B、C、D均在格点上．
PD
(1)在图1中， =________；
PA
(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
PA 2
①如图2，在线段AB上找一点P，使 = ；
PB 3
②如图3，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．
1
【答案】(1)
3
(2)①见详解；②见详解
【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；
（1）（1）由相似三角形的判定方法得△PCD∽△PBA，由相似三角形的性质即可求解；
2
（2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为 ，即可求解；②作点A关于BC的对称点A ，连接A D
3 1 1
交BC于P，即可求解；
能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键．
【详解】（1）解：由图得AB∥CD，
AB=3，CD=1，
∴△PCD∽△PBA，
PD CD 1
∴ = = ，
PA BA 3
1
故答案： ；
3
（2）解：①如图，∴ P
点 为所求；
②如图，
∴ P
点 为所求．
【变式7-2】（23-24九年级·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均在
格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC；
(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB′C′．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
3❑√2
【分析】（1）延长AC至点E，使得EC=2❑√2，延长BC至点F，使得FC= ，连接EF，得到
2
△FEC，则△FEC即为所求；
（2）根据旋转的性质作图即可；
本题考查了作相似三角形，作旋转后的图形，掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图①所示，△FEC即为所求．3❑√2
理由：∵EC=2❑√2，FC= ，
2
BC AC
∴ = =2，
EC FC
又∵∠ACB=∠ECF，
∴△ABC∽△FEC；
（2）解：如图②所示，△AB′C′即为所求．
【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列
要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．
(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．直接写出△ABE与△CBA的相
似比为______；
(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点M，在边AC上确定一点N，连结MN，使△AMN∽△ABC，且相
似比为1:2．直接写出S = ______；
△AMN(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB且相似比
为3:5．直接写出PQ的长度为______．
❑√5
【答案】(1)作图见解析； ；
5
5
(2)作图见解析； ；
4
3❑√5
(3)作图见解析； ．
5
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用数形结合的思想，熟练掌握相似三角形的
性质，是解答本题的关键．
（1）根据题意，得到∠BAC=90°，故取格点E，连接AE，得到AE⊥BC，进而得到 △ABE∽△CBA
AB ❑√5
，相似比为： = ，由此得到答案．
AC 5
（2）根据题意，取格点F，格点N，连接FN，交AB于点M，则MN∥BC，根据相似比为1:2，得到
S 1
△AMN = ，由此得到答案．
S 4
△ABC
（3）根据题意△PCQ∽△ACB且相似比为3:5，得到CQ=3，取格点Q，格点H，连接QH，交AC于点
PQ 3 3❑√5
P，则PQ∥AB，由 = ，AB=❑√5，得到PQ= ．
AB 5 5
【详解】（1）解：根据题意，作图如下：
∵ AB=❑√12+22=❑√5，
AC=❑√22+42=2❑√5，BC=5，
∴ AB2+AC2=BC2，
∴ ∠BAC=90°，
故取格点A，格点E，连接AE，
∴ AE⊥BC，
∴ △ABE∽△CBA，
AB ❑√5
∴相似比为： = ，
AC 5
AE即为所求，
❑√5
故答案为： ；
5
（2）根据题意得：
△AMN∽△ABC，且相似比为1:2，作图如下：
AM 1
∵ = ，
AB 2
∴取格点F，格点N，连接FN，交AB于点M，则MN∥BC，
MN即为所求，
1 1
由（1）得S = AB⋅AC= ×❑√5×2❑√5=5，
△ABC 2 2
又相似比为1:2，
S 1
∴ △AMN = ，
S 4
△ABC
1 5
∴ S = S = ，
△AMN 4 △ABC 4
5
故答案为： ．
4
（3）根据题意得，△PCQ∽△ACB且相似比为3:5，
CQ 3
∴ = ，
BC 5
∵ BC=5，
∴ CQ=3，
∴取格点Q，格点H，连接QH，交AC于点P，则PQ∥AB，
PQ即为所求，
PQ 3
∴ = ，
AB 5
又AB=❑√5，
3❑√5
∴ PQ= ，
5
3❑√5
故答案为： ．
5
【题型8 相似三角形的判定与性质的综合应用】
【例8】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=5，点E是CD边上一点，且
DE 2
= ，点F是BD上一点，若∠FAE=45°，则AF的长为（ ）
CE 3
❑√58 3❑√6 9
A．3❑√2 B． C． D．
2 2 2
【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到
CD=AB=AD=5，∠BAC=∠ACD=∠ABD=45°，∠ABC=∠ADE=90°，则由勾股定理得到
AB AF
AC=5❑√2，求出DE=2，则AE=❑√AD2+DE2=❑√29，再证明△ABF∽△ACE，得到 = ，即
AC AE
5 AF ❑√58
= ，即可得到AF= ．
5❑√2 ❑√29 2
【详解】解：如图所示，连接AC
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=AD=5，∠BAC=∠ACD=∠ABD=45°，∠ABC=∠ADE=90°，
∴AC=❑√AB2+BC2=5❑√2，
DE 2
∵ = ，
CE 3
3
∴CE= CD=3，
5
∴DE=2，
∴AE=❑√AD2+DE2=❑√29
∵∠FAE=∠BAC=45°，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵∠ABF=∠ACE=45°，
∴△ABF∽△ACE，
AB AF 5 AF
∴ = ，即 = ，
AC AE 5❑√2 ❑√29
❑√58
∴AF= ，
2
故选：B．【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，
AD∥BC,∠ABC=90°,AD=CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．
(1)当点E在CD上，
①求证：AC2=2AD⋅BC；
AD
②若BE⊥CD，求 的值；
BC
(2)若DE=1,OE=2，直接写出CD的长．
AD 2
【答案】(1)①证明见解析，② = ；
BC 3
3+❑√33 1+❑√33
(2)CD的长为 或
2 2
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，
由直角三角形的性质得出∠OBC=∠OCB，证明△DAC∽△OBC即可得出结论；
②得出∠OCE=∠OCB=∠EBC=30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD=CD=2m，则
BH=AD=2m，则可得出答案；
（2）分两种情况讨论，当点E在CD上时，当点E在AD上时，分别求解即可得到答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质， 含30度角的
直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关
键．
【详解】（1）①证明：如图1，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB=OC=OA，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC，
∴△DAC∽△OBC，
AC AD
∴ = ，
BC OB
∵OB=OC=OA，
1
∴AC=2OA=2OB，即OB= AC，
2
AC AD
=
∴BC 1 ，
AC
2
∴AC2=2AD⋅BC；
②解：如图2， 若BE⊥CD，
在Rt△BCE中，∠OCE=∠OCB=∠EBC，
∴∠OCE=∠OCB=∠EBC=30°，
过点D作DH⊥BC于点H，设AD=CD=2m，则BH=AD=2m，在Rt△DCH中，DC=2m，
∴CH=m，
∴BC=BH+CH=3m，
AD 2m 2
∴ = = ；
BC 3m 3
（2）解：如图3，当点E在CD上时，设AD=CD=x,则CE=x−1,设OB=OC=m,
∵OE=2,
∴EB=m+2,
∵△DAC∽△OBC,
DC AC
∴ = ,
OC BC
x 2OC
∴ = ,
m BC
OC x
∴ = ,
BC 2m
∵∠EBC=∠OCE,∠BEC=∠OEC,
∴△EOC∽△ECB,
OE EC OC
∴ = = ,
EC EB CB
2 x−1 OC
∴ = = ,
x−1 m+2 CB
2 x−1 x
∴ = = ，
x−1 m+2 2m
x2−x
∴m= ,
4
x2−x 2 x−1
把m= 代入 = 中，得：
4 x−1 m+2
2 x−1
=
x−1 x2−x ，
+2
4
3+❑√33 3−❑√33
解得：x = ，x = (舍去) ，
1 2 2 2
∴CD=3+❑√33;
如图4， 当点E在AD上时，
∵AD∥BC,
∴∠OAE=∠OCB,∠OEA=∠OBC,∵∠OCB=∠OBC,
∴∠OAE=∠OCB=∠OEA=∠OBC，
∴OA=OE=OB=OC,
∴四边形ABCE是矩形，AC=2OE=8,
∴∠CEA=∠CED=90°,
设AD=CD=t,
∵DE=1
∴AE=t−1,
∵OE=2，
∴AC=4，
在Rt△AEC中，由勾股定理得CE2=AC2−AE2,
在Rt△DEC中， 由勾股定理得CE2=DC2−DE2,
∴42−(t−1) 2=t2−12,
1+❑√33 1−❑√33
∴解得：t = ，t = (舍去)
1 2 2 2
1+❑√33
∴CD= ，
2
3+❑√33 1+❑√33
综上所述，CD的长为： 或 ．
2 2
【变式8-2】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分
线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H
AG
是AC的中点，则 的值为 ．
FD
4 1
【答案】 /1
3 3
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△AGH∽△ADB是解题的关键．
先证明△DFE≌△GFE(SAS)，可得∠EDF=∠EGF，进而得到∠B=∠AHG，从而证得
AG AH 2
△AGH∽△ADB，可得 = = ，进而即可求解．
AD AB 5
【详解】解：∵EF⊥AD，
∴∠EFG=∠EFD=90°，
∵FG=FD，EF=EF，
∴△DFE≌△GFE(SAS)，
∴∠EDF=∠EGF
∵∠EDF=∠B+∠BAD，∠EGF=∠AHG+∠HAG，
∴∠B+∠BAD=∠AHG+∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠B=∠AHG，
∴△AGH∽△ADB，
AG AH
∴ = ，
AD AB
∵4AB=5AC，
∴设AB=4a，AC=4a，
∵H是AC的中点，
1
∴AH= AC=2a，
2
AG AH 2
∴ = = ，
AD AB 5
∵AD=AG+GD，
GD 3
∴ = ，
AD 5
AG 2
∴ = ，
GD 3
∵GF=DF，
AG 4
∴ ＝ ．
FD 34
故答案是： ．
3
【变式8-3】（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在
射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
(1)求证：△PFA∽△ABE；
(2)当P也是AD边中点时，求AF的值；
(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
(4)当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
2❑√5
(2)
5
(3)2或5
(4)相等，理由见解析
【分析】（1）先证明∠PAF=∠AEB，再由∠PFA=∠ABE=90°，即可证出△PFA∽△ABE；
（2）当P是AD的中点时，AP=2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（3）分两种情况：当△EFP∽△ABE时，则PE∥AB，得出四边形ABEP为矩形．求出PA=EB=2，即
x=2；当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，先求出∠PAF=∠AEB，得到PE=PA ，再由勾股
定理得出AE的长，再得出EF的长，根据相似三角形的性质求出PE的长，即可得出结论；
（4）先证明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再证明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE=∠BAE．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=AD=4，
∴∠ABE=90°，∠PAF=∠AEB．
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE；
（2）当P是AD的中点时，AP=2．∵△PFA∽△ABE，
AF AP AF 2
∴ = ，即 = ，
BE AE 2 2❑√5
2❑√5
∴AF= ；
5
（3）分两种情况：
①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=2，即x=2．
②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=❑√AB2+BE2=❑√42+22=2❑√5，
1
∴EF= AE=❑√5
2
PE EF PE ❑√5
∵ = ，即 = ，
AE EB 2❑√5 2
∴PE=5，
∴AP=5，即x=5；
∴满足条件的x的值为2或5；（4）∠GAE=∠BAE．理由如下：
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=4，
∴∠BAE+∠AEB=90°．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∴AE=❑√42+22=2❑√5．
∵PE⊥AE，
∴∠AEP=90°，∠AEB+∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠BAE，
∴△ECG∽△ABE，
CG CE CG 2
∴ = ，即 = ，
BE AB 2 4
∴CG=1，
∴EG=❑√12+22=❑√5
EG ❑√5 1 BE 2 1
∵ = = ， = =
AE 2❑√5 2 AB 4 2
EG BE
∴ = ．
AE AB
又∵∠AEP=∠B=90°，
∴△AEG∽△ABE，
∴∠GAE=∠BAE．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式
是解决问题的关键．
【题型9 与判定相似三角形中等积式的证明】
【方法总结】由于相似三角形对应边成比例,借助比例的基本性质,可以把比例式转化为等积式.利用相似三角形的性质解决等积式问题的方法:
(1)三点定形法:观察等积式或比例式,式子所涉及的四个字母中,如有一个字母重复出现3次,就可以找出相似
CD DF
的三角形,如:CD2=DE·DF根据比例的性质变换为 = 三点定形△CDE和△FDC相似.
DE CD
(2) 等量代换法:根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的线段来代替,如果没有,可考虑添加辅助线,常
见辅助线有垂线、角平分线、中线等.
【例9】（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠BCD，点E在边BC上，连
接AC、DE，满足∠CDE=∠CAD，且CE⋅CB=AB⋅CD．
(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)当AD=DE时，求证；AF2=CF⋅CA．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以
上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明△ABC∽△ECD，得出∠CDE=∠ACB，从而推出∠CAD=∠ACB，得到AD∥BC，即可
得证；
（2）证明△ADF≌△DEC(ASA)，得出AF=CD，证明△ADC∽△DFC，再由相似三角形的性质即可
得解．
【详解】（1）证明：∵CE⋅CB=AB⋅CD，
AB BC
∴ = ，
EC CD
∵∠B=∠BCD，
∴△ABC∽△ECD，
∴∠CDE=∠ACB，
∵∠CDE=∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC，
∵∠B=∠BCD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，
在△ADF和△DEC中，
{∠DAC=∠CDE
)
AD=DE ，
∠ADF=∠DEC
∴△ADF≌△DEC(ASA)，
∴AF=CD，
∵∠CDE=∠DAC，∠DCA=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
CD CF
∴ = ，
AC CD
∴CD2=CF⋅CA，
∴AF2=CF⋅CA．
【变式9-1】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD
于点F，∠DCE=∠ADB．
(1)求证：AB⋅BC=BF⋅CE；
(2)如果AD=3DE=6．
①求CF的长；
②若BD=10，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)①CF=3；②DC=5
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．
（1）根据平行四边形的性质，知道∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF，结合∠DCE=∠ADB，先证
明△DCE∽△FBC，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；
DE EF
（2）①先证明△EFD∽△CFB，得到EC=4EF，再证明△EDF∽△ECD，得到 = ，解得EF的
EC DE
长度，最后利用EC−EF算得CF的长度；
DF EF 1 DF DE
②通过平行线分线段成比例， = = ，算得DF的长度，再通过△EDF∽△ECD，得到 =
BD EC 4 DC EC
，从而算得CD的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB=CD
∴∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF
∵∠DCE=∠ADB
∴∠DCE=∠CBD
∴△DCE∽△FBC
DC CE
∴ = ．
BF BC
AB CE
∴ = ，即AB⋅BC=BF⋅CE．
BF BC
（2）①解：∵AD=3DE=6
1 1
∴DE= AD= ×6=2
3 3
∴ AE=AD−DE=6−2=4
∵AD∥BC
∴△EFD∽△CFB
DE EF
∴ =
BC FC
∵AD=BC=6
DE EF 1
∴ = =
BC FC 3
EF 1
∴ = ，即EC=4EF
EC 4
∵∠EDF=∠ECD，∠≝=∠CED∴△EDF∽△ECD
DE EF
∴ =
EC DE
2 EF
∴ =
4EF 2
解得：EF=1（舍去负值）
∴CF=EC−EF=4EF−EF=4−1=3
②解：∵AD∥BC
DF EF 1
∴ = =
BD EC 4
∵BD=10
5
∴DF=
2
∵△EDF∽△ECD
DF DE
∴ =
DC EC
∵DE=2，EC=4
5
2 2
∴ =
DC 4
∴DC=5
【变式9-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，BC=a，BC>AB，点P是AD边上的
任意一点（不与端点A，D重合），连接PC，且PE⊥PC交AB于点E．
(1)求证：CD⋅AE=AP⋅DP；
(2)若点Q也在AD上，满足QC⊥QE，如图所示(AP>AQ)．求证：AP+AQ=a．
【答案】(1)见详解
(2)见详解【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质；
（1）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，由同角的余角相等得∠EPA=∠CPD，根据两角对应相等的两
AE AP
三角形相似可判定△EPA∽△CPD，由相似的性质得 = ，即可求证；
DP DC
（2）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AD=BC=a，由同角的余角相等得∠AEQ=∠DQC，根据两
AE AQ
角对应相等的两三角形相似可判定△AEQ∽△DQC，由相似的性质得， = ，由比例性质得
DQ DC
PQ PQ
= ，即可求证；
DP AQ
PQ PQ
掌握判定方法及性质，能根据比例的性质得 = ，从而证明线段相等是解题的关键．
DP AQ
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EPA+∠AEP=90°，
∵ PE⊥PC，
∴∠CPE=90°，
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠EPA=∠CPD，
∴△EPA∽△CPD，
AE AP
∴ = ，
DP DC
∴ CD⋅AE=AP⋅DP；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
AD=BC=a，
∴∠AQE+∠AEQ=90°，
∵ QC⊥QE，
∴∠CQE=90°，
∴∠AQE+∠DQC=90°，
∴∠AEQ=∠DQC，
∴△AEQ∽△DQC，AE AQ
∴ = ，
DQ DC
∴AE⋅DC=AQ⋅DQ，
∵ CD⋅AE=AP⋅DP，
∴AQ⋅DQ=AP⋅DP，
DQ AP
∴ = ，
DP AQ
DQ−DP AP−AQ
∴ = ，
DP AQ
PQ PQ
∴ = ，
DP AQ
∴DP=AQ，
∴AP+AQ
=AP+DP
=AD=a，
故AP+AQ=a．
【变式9-3】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，∠BAC=∠AED=90°，AB=AC，EA=ED．
(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；
(2)如图2，若点E落在BC边上，求证：AD2=2EF2+2BF⋅EF；
(3)如图3，若点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，判断IJ与HE的数量关系及夹角度数（锐角）．
【答案】(1)△GAF∽△GBA，△GAF∽△ACF，△GBA∽△ACF
(2)见解析
CH
(3) =❑√2，IJ与HE的夹角度数为45°
IJ
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题
的关键．（1）根据两个角相等的两个三角形相似解题即可；
AE FE
（2）根据△EAF∽△EBA可得 = ，即可得到AE2=EF2+EF⋅BF，然后根据勾股定理得到
BE AE
AD2=2AE2即可解题；
（3）设AB=a，AE=b，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到△AIJ∽△AHE，即可
CH AH
求出 = =❑√2，∠AHE=∠AIJ，然后利用四边形的内角和解题即可．
IJ AI
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠AED=90°，AB=AC，EA=ED，
∴∠B=∠C=∠D=∠DAE=45°，
又∵∠AGB=∠FGA，
∴△GAF∽△GBA，
同理可得：△GAF∽△ACF，△GBA∽△ACF；
（2）证明：∵∠B=∠DAE=45°，∠AEB=∠FEA，
∴△EAF∽△EBA，
AE FE
∴ = ，即AE2=EF⋅BE=EF(BF+EF)=EF2+EF⋅BF，
BE AE
又∵∠AED=90°，EA=ED，
∴AD2=AE2+DE2=2AE2=2(EF2+EF⋅BF)=2EF2+2EF⋅BF；
（3）解：连接AH，设直线IJ和EH交于点K，
∴∠BAH=45°=∠DAE，
∴∠BAF=∠HAE，
设AB=a，AE=b，则BC=❑√2a，AD=❑√2b，
∵点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，
1 ❑√2 ❑√2
∴AI= a，AJ= b，AH= a，
2 2 2AH AE AH AE
∴ =❑√2， =❑√2，即 = ，
AI AJ AI AJ
∴△AIJ∽△AHE，
CH AH
∴ = =❑√2，∠AHE=∠AIJ，
IJ AI
∴∠AIJ+∠AHK=∠AHE+∠AHK=180°，
∴∠IKH=360°−∠AHE−∠AHK−∠IAH=360°−180°−45°=135°，
∴∠JKE=180°−∠IKH=180°−135°=45°．
【题型10 相似三角形中的运动问题】
【例10】（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=3，
AB=4，BC=6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单
位/秒的速度沿CB运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ，当点Q与B重合时，两动点均停止运
动，设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，求线段EP的长；
(2)当运动t秒时线段BE的长（用含t的式子表示）；
(3)运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不
存在，请说明理由．
9
【答案】(1)EP=
4
5
(2)EB=5− t(0≤t≤3)
4
12
(3)当t= 时，△BEQ与△ABD相似
5
【分析】本题主要考查了相似三角形综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，
分类讨论，是解决问题的关键．
PE BP
(1)通过证明△BPE∽△BAD，可得 = ，即可求解；
AD AB(2)先判断出0≤t≤3，求出BD=5，再判断出△BPE∽△BAD，得出比例式建立方程求解，即可求出答
案；
(3)分∠BEQ=∠A=90°，∠BQE=∠A=90°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【详解】（1）当t=1时，AP=1，
∵AB=4，
∴BP=AB−AP=3，
∵EP⊥AB，∠A=90°，
∴∠EPB=∠A=90°，
∴EP∥AD，
∴△BPE∽△BAD，
PE BP
∴ = ，
AD AB
∵AD=3，
PE 3
∴ = ，
3 4
9
∴EP= ；
4
（2）由运动知，CQ=2t，
∵BC=6，
∴2t≤6，
∴t≤3，
∴0≤t≤3，
由运动知，AP=t，
∴BP=AB−AP=4−t，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=4，
∴BD=❑√AB2+AD2=5，
∵EP⊥AB，∠A=90°，
∴∠EPB=∠A=90°，
∴EP∥AD，
∴△BPE∽△BAD，
EB BP
∴ = ，
DB ABEB 4−t
∴ = ，
5 4
5
∴EB=5− t(0≤t≤3)；
4
（3）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBQ，
若∠BEQ=∠A=90°，△BAD∽△QEB，
BE BQ
∴ = ，
AD BD
∵BQ=6−2t，
5
5− t
∴ 4 6−2t，
=
3 5
∴t=28(不合题意舍去)，
若∠BQE=∠A=90°，△BAD∽△EQB，
BQ BE
∴ = ，
AD BD
5
5− t
∴6−2t 4 ，
=
3 5
12
∴t= ．
5
12
故当t= 时，△BEQ与△ABD相似．
5
【变式10-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，
点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P、Q
两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm？(3)几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？
【答案】(1)1s
(2)2s
35 25
(3)t= 或
17 19
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的
关键．
（1）设x秒后，△PBQ的面积为4cm2，表示出AP，BQ，BP，根据三角形面积公式表示出△PBQ的面
积，令其等于4cm2即可求解；
（2）由勾股定理得：BP2+BQ2=(5cm) 2，即可求解；
（3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0<x≤3.5）
此时AP=xcm，BP=(5−x)cm，BQ=2xcm，
1 1
由 BP⋅BQ=4，得 (5−x)⋅2x=4，
2 2
整理得：x2−5x+4=0，
解得：x =1，x =4（舍）．
1 2
（2）解：设经过t秒后，PQ的长度等于5cm，
由PQ2=BP2+BQ2，得52=(5−t) 2+(2t) 2，
解得：t =0（舍去），t =2．
1 2
答：2秒后，PQ的长度为5cm．
BQ BP
（3）解：当△BQP∽△BCA时， =
BC BA
2t 5−t 35
即 = ，解得t=
7 5 17
当△BQP∽△BAC时，
BQ BP
= ，
BA BC
2t 5−t
即 = ，
5 725
解得t= ，
19
35 25
∴t= 或 ．
17 19
【变式10-2】（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D
沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C
时运动终止．连接DE、CD、AE．
(1)当动点运动时间t= 秒时，△BDE与△ABC相似．
(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．
20 8
【答案】(1) 或
13 7
2
(2)当CD⊥DE时，t= 秒．理由见解析．
13
【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时△BDE与△ABC相似是解决问题的关键．
已知△ABC是直角三角形，要△BDE与其相似，图中已有一个公共角∠B，所以只需△BDE的另外两个角
有一个角是直角，那么△BDE与△ABC相似．由此对应两种情况：∠DEB=90∘或∠EDB=90∘，需分情
况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间t．
（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当
CD⊥DE时，过点E作EF⊥AB于F，证明Rt△ACD∽Rt△FDE，然后利用相似三角形对应边成比例
即可求出时间t．
【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，△BDE与△ABC相似．
5
则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5−2t)(cm) (0≤t≤ )；
2
1）当∠EDB=90∘，即ED⊥AB时，
{ ∠B=∠B )
∵
∠EDB=∠CAB=90∘∴ Rt△BDE∽Rt△ABC；
BD BE 4−t 2t
∴ = ，即 = ，
BA BC 4 5
20
∴ t= ．
13
２）当∠DEB=90∘，即DE⊥BC时，
{ ∠B=∠B )
∵
∠DEB=∠CAB=90∘
∴ Rt△BDE∽Rt△ABC，
BD BE 4−t 2t
∴ = ，即 = ，
BC BA 5 4
8
∴ t= ．
7
20 8 5
∵ t= 和t= 都符合0≤t≤ ，
13 7 2
20 8
∴ 当动点运动t= 秒或t= 秒时，△BDE与△ABC相似．
13 7
20 8
故答案为： 或 ．
13 7
（2）如图，过点E作EF⊥AB于F，
设经过运动时间为t秒时，CD⊥DE，
5
则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5−2t)(cm) (0≤t≤ )；
2
{ ∠B=∠B )
∵
∠EFB=∠CAB=90∘
∴ Rt△BFE∽Rt△BAC
BF BE BF 2t
∴ = ，即 = ，
BA BC 4 58t √ 8t 2 6t
∴ BF= ，EF=❑√BE2−BF2=❑(2t) 2−( ) = ，
5 5 5
8t 13t
∴ DF=AB−AD−BF=4−t− =4− ，
5 5
∵ CD⊥DE，
∴ ∠CDE=90∘，
∴ ∠ADC+∠EDF=90∘，
∵ ∠BAC=90∘，
∴ ∠ADC+∠ACD=90∘，
∴ ∠ACD=∠EDF，
∵ ∠CAD=∠EFD=90∘，
∴ Rt△ACD∽Rt△FDE，
3 t
AC AD =
∴ = ，即 13 6t ，
DF EF 4− t
5 5
2
∴ t= （秒）．
13
【变式10-3】（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知矩形ABCD中，BC＝8cm，点G是对角线AC上一
点，且CG=❑√5cm．点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A−B−C方向运动，速度为3cm/s，点E从点
A出发，沿A−D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x．若△FHG面积记为S ，
1
△HEG面积记为S ，△FEG面积记为S ．当点F运动到点G的正上方时，E，F两点运动停止．
2 3
(1)如图①，点F在线段AB(包含端点)上运动时，S 与x的函数图像如图②所示，则AB的长为
1
___________cm；
(2)如图③，点F在线段BC上运动；①若EF=2❑√5cm，求此时x的值；
②若S ·S ＝68，求此时x的值．
2 3
【答案】(1)4
8
(2)①3；②
5
2
【分析】（1）根据两个图像的对比，可以找到当x为 时，点F与H会重合，即可求得．
3
（2）分别做出直角三角形，利用相似求边长，再用x表示出三角形的面积，即可求得．
【详解】（1）解：由图②可知，
2
当x的值为 时，点F运动到了点H，
3
2
∴ ×3=2，
3
故AH=2，AB=2AH=4 (cm)
（2）解：①如图3，过点F作FI⊥AD于点I．
∵FI⊥AD，
∴∠FIE=90°，
∵AE=x，BF=3x−4，
∴IE=2x−4
在Rt△FIE中，FI2+I E2=EF2
∴(2x−4) 2+42=(2❑√5) 2
解得：x =3,x =1
1 2
∵点F在线段BC上运动，
4
∴ ≤x≤4，
3
∴此时x的值为3秒．
②如图3，过点G作GK⊥AB，交AB于点K， GJ⊥AB交AB于点J
由题意得：△AGK∽△ACB，
AC GK
∴ = ，
AG CB
∵CG=❑√5cm， AC=❑√42+82=4❑√5cm∴AG=3❑√5cm，
3❑√5 GK
∴ = ，解得，
4❑√5 4
同理△AGJ∽△ACB，
可得GJ=6cm，
∵S =S +S −S
2 △AHG △AEG △AHE
1 1 1 x
∴S = ×2×6+ ⋅x⋅3− ×2⋅x= +6，
2 2 2 2 2
∵S =S +S −S −S
3 △ABC △AEG △FGC 梯形BAEF
∴S =18−5x，
3
(x )
∴S ⋅S = +6 (18−5x)=68
2 3 2
8
解得：x =−10,x =
1 2 5
4
∵ ≤x≤4，
3
8
∴此时x的值为 秒．
5
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象问题，勾股定理，相似三角形的性质，掌握运用动点表示线段长
度是解题的关键．
【题型11 利用相似三角形测物体的高度】
【方法总结】利用相似三角形测量高度的方法：
【例11】（23-24九年级·山东东营·期末）某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼
睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米，请根据以上数据求
出城楼的高度．
【答案】7.3米
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，进而求得AM
，根据CN∥EM，得出△ACN∽△AEM，根据相似三角形的性质，列出比例式求得EM=7.35，进而即
可求解．
【详解】解：如图，过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
依题意，AN=2,CN=2−1.65=0.35,MN=40，
∴AM=AN+MN=42，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
CN AN
∴ = ，
EM AM
0.35 2
即 = ，
EM 42
解得：EM=7.35，
∵AB=MF=1.65，
∴城楼的高度为7.35+1.65−1.7=7.3米
【变式11-1】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.5m．现要在
屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB=2.4m．求天窗高度AC的长．【答案】1.2m
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：由题意得AB∥PO，
∴∠ABC=∠OPQ，
又∵∠CAB=∠POQ=Rt∠，
∴△ABC∽△OPQ，
AB AC
∴ = ，
OP OQ
OQ×AB 2.5×2.4
∴AC= = =1.2m，
OP 5
∴天窗高度AC的长1.2m．
【变式 】（ 九年级安徽安庆期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距
离或人与11标-2尺的距23离-2，4使标尺·刚好挡住旗· 杆，此方法可测量旗杆的高度． 若人与标尺EF的水平距离
CG=20cm，人与旗杆AB的水平距离CH=12.6m，标尺的长度EF=22cm，根据测量结果，试求旗杆的
高度．
【答案】旗杆的高度为13.86m
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意可知EF∥AB，可得△ABC∽△EFC，
AB AC AC CH AB CH
△AHC∽△EGC，进而可知 = ， = ，得 = ，代入已知边得长度即可求解，利用
EF EC EC CG EF CG
相似三角形的性质列比例关系是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知EF∥AB，∴△ABC∽△EFC，△AHC∽△EGC，
AB AC AC CH
∴ = ， = ，
EF EC EC CG
AB CH
∴ = ，
EF CG
AB 12.6
∵CG=20cm，CH=12.6m，EF=22cm，则 = ，
22 20
∴AB=13.86m，
即：旗杆的高度为13.86m．
【变式11-3】（23-24九年级·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的
方法如下：如图，首先把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上点F处，再把镜子水平放置在支架
EF上点E处，然后观测者沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．用皮尺分别测
得BF=8m，DF=2m．若观测者目高CD为1.6m，支架EF的高为0.6m，求这棵树的高度．
【答案】4.6m．
【分析】本题考查的是相似三角形的应用及矩形的判定及性质，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相
似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射
的性质求出 △CHE∽△AGE，再根据对应边成比例解答即可．
【详解】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，由DB是水平线，CD,EF,AB都是铅垂线，则
四边形HEFD是矩形，四边形EFBG是矩形，如图，
∴DH=EF=GB=0.6m EH=DF=2m EG=FB=6m
， ， ，
∴CH=CD−DH=1.6−0.6=1m，
又根据题意，得∠CHE=∠AGE=90°， ∠CEH=∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，EH CH 2 1
∴ = ，即 = ，
EG AG 8 AG
解得：AG=4m，
∴AB=AG+GB=4+0.6=4.6m，
答：这棵树的高度为4.6m．
【题型12 影子部分不落在地面上求物体的高度】
【方法总结】利用相似三角形解决影子部分不落在地面上求物体的高度的方法：
【例12】（23-24九年级·四川巴中·期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在
同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为
BD=9米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的应用，作CE⊥AB于E点，如图，则四边形BDCE为矩形，
AE 1
BD=CE=9，BE=CD=2，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” = ，求出AE从而可得
9 1.5
到AB的长．
【详解】作CE⊥AB于E点，如图，
则四边形BDCE为矩形，BD=CE=9，BE=CD=2，AE 1
根据题意得 = ，
EC 1.5
AE 1
即 = ，
9 1.5
解得AE=6，
所以AB=AE+BE=6+2=8(m)．
答：旗杆的高度为8米．
故选：A．
【变式12-1】（23-24九年级·河南郑州·期中）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他
们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面
上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在
地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为 ．
【答案】4米
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】如图，设树高为AB，过点C作CD⊥AB于D，则CD=1.1+1.6=2.7米，DB=1米，
∵同一时刻物高与影长成正比例，
1 AD AD
∴ = = ，
0.9 CD 2.7
解得：AD＝3，
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4（米）．
故答案为：4米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似
比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
【变式12-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面
和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸
的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一
下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示
牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安
亭均与地面垂直，指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，请你根据以上信息，帮小明求出爸爸的身高．
【答案】184cm
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，准确熟练地进行计算是解题的关键．过点A作
AE⊥BD，垂足为E，根据题意可得：AC=BE=54cm，AE=BC=260cm，然后根据同一时刻的物高
DE 2
与影长成正比例可得 = ，从而进行计算即可解答．
AE 4
【详解】解：如图：过点A作AE⊥BD，垂足为E，
由题意得：AC=BE=4×13.5=54(cm)，AE=BC=4×65=260(cm)，
∵指示牌高2m，指示牌距保安亭4m，
DE 2
∴ = ，
AE 4
1
∴DE= AE=130(cm)，
2
∴BD=DE+BE=130+54=184(cm)，
∴爸爸的身高为184cm．【变式12-3】（23-24九年级·山东济南·期中）物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利
用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解
答下列问题．
(1)如图1，乙同学测得旗杆AB在地面上的影长BC为6米，那么旗杆AB的高度为 米．
(2)如图2，丙同学想测量一棵树DE的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF为3
米，墙上的影长GF长为1米，则树DE的高度为多少？
(3)如图3，丁同学想测量一根电线杆HI的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面
上的影长IJ为4米，坡面上的影长JK为2米，已知斜坡的坡角为30°，则电线杆的高度是多少？
【答案】(1)12
(2)树DE的高度为7米
(3)电线杆的高度是(9+2❑√3)米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用、相似三角形的应用举例．
（1）根据物体的高度与其在地面上的影长的关系计算；
（2）连接DG并延长，交直线EF于点H，根据物体的高度与其在地面上的影长的关系列式计算即可；
（3）连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN⊥IC于点N，根据锐角三角函数的定义分别求出
KN,JN，计算即可．
【详解】（1）解：∵一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，
∴旗杆AB在地面上的影长BC为6米，旗杆AB的高度为12米，
故答案为：12；
（2）解：如图2，连接DG并延长，交直线EF于点H，∵GF=1米，
∴FH=0.5米，
DE 1
∴EH=EF+FH=3.5米，则 = ，
3.5 0.5
解得：DE=7，
答：树DE的高度为7米；
（3）解：如图3，连接HK并延长，交直线IJ于点C，过点K作KN⊥IC于点N，
在Rt△KJN中，JK=2米，∠KJN=30°，
1 ❑√3
则KN= JK=1米，JN=JK⋅cos∠KJN=2× =❑√3米，
2 2
由题意得：CN=0.5米，
∴IC=(4.5+❑√3)米，
HI 1
则 = ，
4.5+❑√3 0.5
解得：HI=9+2❑√3米，
答：电线杆的高度是(9+2❑√3)米．【考点3 位似】
1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那
么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应
点的坐标的比等于k或-k。
注意:
(1)位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定
是位似图形；
(2)两个位似图形的位似中心只有一个；
(3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
(4)位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
(5)位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形
的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位
似图形也会随着位似中心的位变而位变。
(6)根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两
侧,并且关于位似中心对称。
【题型13 位似图形】
【方法总结】1.判定位似图形的方法
如果两个图形是位似图形,应具备:
(1)每组对应点的连线所在的直线都经过同一点.
(2)对应边互相平行或在同一条直线上.
2.相似图形与位似图形的联系
位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,位似图形的相似比和相似图形的相似比是一样的,
都是对应边长的比.
【例13】（23-24九年级·河北邢台·开学考试）在下列四个三角形中，与△ABC是位似图形且O为位似中
心的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④【答案】B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交
于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【变式13-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，△ABC与△≝¿位似，则下列说法
正确的是（ ）
A．位似中心是点D B．位似中心是点G
C．位似比为2:1 D．位似比为1:2
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直
线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．掌握位似图
形的意义与位似比求法是解题的关键．连接AF、CE、BD，可知位似中心在点G，H之间，根据两个三
角形网格数可知相似比，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接AF、CE、BD，∵在正方形网格中，△ABC与△≝¿位似，点E是AD的中点，
BC AD 2
∴位似中心在点G，H之间， = = ，故选项A，B错误，
DE DE 1
∴相似比为2:1，
∴位似比为2:1，故选项C正确，D错误，
故选：C．
【变式13-2】（2024·河北唐山·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，
1 1 1
E，F，使OD＝ AO，OE＝ BO，OF＝ CO，得△DEF．下列说法中，错误的是（ ）
3 3 3
A．△DEF与△ABC是位似三角形 B．△OAC与△ODF是位似三角形
C．△DEF与△ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9
【答案】D
【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断．
【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确；
B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确；
C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，
故正确；
D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键．
【变式13-3】（2024九年级·浙江嘉兴·学业考试）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作
2
▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为 ，连接AG、DG．则△ADG的面积为
3
．【答案】4
【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为
8，从而可得△ADG的面积．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
1
∴S = S ．
△ADG 2 ▱AEHD
2
∵位似图形与原图形的位似比为 ，
3
2
∴BE= AB，
3
1
即AE= AB，
3
1
∴S = S =8，
▱AEHD 3 ▱ABCD
1 1
∴S = S = ×8=4．
△ADG 2 ▱AEHD 2
故答案为：4．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．
【题型14 位似变换作图与计算】
【方法总结】画位似图形的“五个步骤”：【例14】（23-24九年级·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和
△ABC的顶点均为小正方形的顶点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3．
(2)证明△A′B′C′和△ABC相似．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知
识是解答本题的关键．
（1）根据△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1:3作出图形即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：如图所示：△A′B′C′即为所求，
；
（2）证明：小正方形边长为1，
∴ BC=9，AB=❑√62+32=3❑√5，AC=❑√62+62=6❑√2，A′B′=❑√12+22=❑√5，B′C′=3，
A′C′=❑√22+22=2❑√2，AB 3❑√5 AC 6❑√2 BC 9
∵ = =3， = =3， = =3，
A′B′ ❑√5 A′C′ 2❑√2 B′C′ 3
AB AC BC
∴
= = =3，
A′B′ A′C′ B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC．
【变式14-1】（2024九年级·广东茂名·竞赛）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为(−1,3)．
(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△≝¿；
(2)点A的对应点D的坐标是______；
(3)S :S = ______．
△ABO 四边形ABED
【答案】(1)见解析
(2)(−2,6)
(3)1:3
【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位
似图形是解题关键．
（1）依据点O为位似中心，把△ABC按2:1放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的△≝¿；
（2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标；
（3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到S :S =4:1，进而得出
△ODE △OAB
S :S =1:3．
△ABO 四边形ABED
【详解】（1）解：位似中心为点O，位似比2:1，已知A(−1，3)，B(−2，1)，C(−3，4)，
∴对应点的坐标分别是D(−2，6)，E(−4，2)，F(−6，8)，
连接点D，E，F，△≝¿如图所示，；
（2）由（1）知D(−2，6)，
故答案为：(−2，6)；
（3）如图，连接OD，OE，
∵AB∥DE
，
∴△ABO∽△DEO，
OD OE OF 2
∴ = = = ，
OA OB OC 1
∴S :S =4:1，
△ODE △OAB
∴设S =x，则S =S −S =4x−x=3x，
△ABO 四边形ABED △ODE △OAB
∴S :S =1:3,
△ABO 四边形ABED
故答案为：1:3．
【变式14-2】（23-24九年级·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC
的三个顶点的坐标分别为A(3,5)，B(2,2)，C(4,0)．(1)画出△ABC关于原点O对称的△A B C ，并分别写出A ,B ,C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)在网格内，画出以点A为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍后的△AB C ；
2 2
(3)若△AB C 也是△A B C 的位似图形，点P是位似中心，在图中画出点P．
2 2 1 1 1
【答案】(1)画图见解析，A (−3,−5)，B (−2,−2)，C (−4,0)；
1 1 1
(2)画图见解析；
(3)画图见解析．
【分析】（1）先写出A(3,5)，B(2,2)，C(4,0)关于原点对称A (−3,−5)，B (−2,−2)，C (−4,0)，然
1 1 1
后描点，连接即可；
（2）△ABC放大为原来的2倍，即延长AB，AC，然后连接B C 即可；
2 2
（3）连接B B ，C C 相交于点P；
1 2 1 2
此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步
骤．
【详解】（1）如图，A(3,5)，B(2,2)，C(4,0)关于原点对称A (−3,−5)，B (−2,−2)，C (−4,0)，连
1 1 1
接，∴△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）如图，延长AB，AC，然后连接B C ，
2 2
∴△AB C 即为所求；
2 2
（3）如图，连接B B ，C C 相交于点P，
1 2 1 2∴点P即为所求．
【变式14-3】（23-24九年级·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A B C ；
1 1 1
(2)以点M(1,2)为位似中心，作出△A B C 按2:1放大后的位似图形△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(3)点A 的坐标___________；△ABC与△A B C 的周长比是___________，△ABC与△A B C 的面积比
2 2 2 2 2 2 2
是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)(3，6)；1:2；1:4【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）延长M A 到A 使M A =2M A ，延长MB 到B 使MB =2MB ，延长MC 到C 使
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
MC =2MC ，从而得到△A B C ；
2 1 2 2 2
（3）先利用轴对称的性质得到△ABC≌△A B C ，再根据位似的性质得到△A B C 与△A B C 的相
1 1 1 1 1 1 2 2 2
似比为1:2，所以△ABC与△A B C 的相似比为1:2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
2 2 2
【详解】（1）解：如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（2）解：如图，△A B C 为所作；
2 2 2
（3）解：点A 的坐标为(3，6)，
2
∵△ABC沿x轴翻折后的△A B C ，
1 1 1
∴△ABC≌△A B C ，
1 1 1
∵△A B C 按2:1放大后的位似图形△A B C ，
1 1 1 2 2 2
∴△A B C 与△A B C 的相似比为1:2，
1 1 1 2 2 2
∴△ABC与△A B C 的相似比为1:2，
2 2 2
∴△ABC与△A B C 的周长的比为1:2，△ABC与△A B C 的面积的比为1:4．
2 2 2 2 2 2
故答案为：(3，6)；1:2；1:4
【点睛】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比
为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换．
