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专题 14.8 整式的乘法与因式分解章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 幂的基本运算】..........................................................................................................................................1
【题型2 利用幂的运算进行比较大小】..................................................................................................................1
【题型3 利用幂的运算进行简便计算】..................................................................................................................2
【题型4 幂的运算中的新定义问题】......................................................................................................................3
【题型5 整式乘除的计算与化简】..........................................................................................................................4
【题型6 整式混合运算的应用】..............................................................................................................................4
【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】.................................................................................................6
【题型8 因式分解（十字相乘法）】......................................................................................................................6
【题型9 因式分解（分组分解法）】......................................................................................................................7
【题型10 利用因式分解求值】..................................................................................................................................8
【题型1 幂的基本运算】
【例1】（2023春·浙江·八年级期中）我们知道下面的结论：若am=an（a>0，且a≠1），则m=n．利用
这个结论解决下列问题：设3m=2，3n=6，3p=18．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①
m+p=2n，②3m+n=4 p-6，③p2-n2-2m=3．其中正确的序号有
【变式1-1】（2023春·河北沧州·八年级校考期中）若
n
为正整数．且
a2n=4
，则
(2a3n) 2 -4(a2) 2n
的值为
（ ）
A．4 B．16 C．64 D．192
【变式1-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）已知5a=4，5b=6，5c=9，则a，b，c之间满足的等
量关系是 ．
【变式1-3】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第二十一中学校考期中）按要求完成下列各小题
(1)若
x2=2
，求
(3x) 2-4(x3) 2
的值；
(2)若m-n=1，求3m×9n÷27m的值；
(3)若xm ⋅x2n+1=x11，ym-1÷ yn= y6，求2m+n的值．【题型2 利用幂的运算进行比较大小】
【例2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）比较大小：8131 2741．（填>、<或=）
【变式2-1】（2023春·江苏·八年级期末）若a3=2，b5=3，比较a，b大小关系的方法：因为
a15=(a3) 5 =25=32
，
b15=(b5) 3 =33=27
，32>27，所以
a15>b15
，所以
a>b
．已知
x5=2
，
y7=3
，则
x
，
y
的
大小关系是x y（填“<”或“>”）．
【变式2-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较2a，2b的大小：当a>b时，2a>2b，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较 和 的大小：因为 ， ， 所以 ．
340 260 340=(32) 20 =920 260=(23) 20 =820 9>8 340>260
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：320__________915（填“>”或“<”）
(2)已知a=344，b=433，c=522，试比较a，b，c的大小．
【变式2-3】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指
数的两个幂ab和ac (a≠1)，当b>c时，则有ab>ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a>c时，
则有ab>cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：520______420，961______2741；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较233与322的大小；
(3)比较312×510与310×512的大小．
【题型3 利用幂的运算进行简便计算】
【例3】（2023秋·湖北荆州·八年级沙市一中校考期中）计算： （ ）
(-0.125) 5×(-2) 16=
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【变式3-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算310×
(1) 4
的值为（ ）
9
1 (1) 10
A．9 B． C．3 D．
9 3
【变式3-2】（2023春·贵州六盘水·八年级统考期中）计算 的
(-0.125) 2020×(2) 6060×(-0.125) 2021×(2) 6063
结果是 ．
【变式3-3】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业
计算： ；
45×(-0.25) 5
解：原式
=(-4×0.25) 5=(-1) 5=-1
(1)计算：
① ；
82022×(-0.125) 2022
12 11 5 13 1 12
②( ) ×( ) ×( ) ；
5 6 2
(2)若3×9n×81n=325，请求出n的值．
【题型4 幂的运算中的新定义问题】
【例4】（2023春·江西抚州·八年级统考期末）对于整数a、b，我们定义：a▲b=10a×10b，
a△b=10a÷10b．例如：5▲3=105×103=108，5△3=105÷103=102．
(1)求(2▲1)-(6△3)的值；
(2)若x▲3=5△1，求x的值．
【变式4-1】（2023秋·山东临沂·八年级统考期中）定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，那么
这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做
这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2+i)+(3-5i)=(2+3)+(1-5)i=5-4i．
根据以上信息，下列各式：
①i3=-i；
②i4=1；
③(1+i)+(3-4i)=4-3i
④i+i2+i3+i4+⋯+i2019=-1．
其中正确的是 （填上所有正确答案的序号）．
【变式4-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）对于整数 、 定义运算： 其中 、
a b a※b=(ab ) m+(ba ) n ( m
为常数 ，如 ．
n ) 3※2=(32 ) m+(23 ) n
(1)填空：当m=1，n=2023时，2※(-1)= ______ ；2
(2)若(-1)※4=10，2※(-2)= ，求42m+n-1的值．
3
【变式4-3】（2023秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax=N中，
已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提
出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于
思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．
小明课后借助网络查到了对数的定义：
如果N=ax（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：x=log N，其中，
a
a叫做对数的底数，N叫做真数．
小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
(1) ；
∵21=2,∴log 2=1
2
；
∵22=4,∴log 4=2
2
；
∵23=8,∴log 8=3
2
__________；
∵24=16,∴log 16=
2
计算：log 32=__________；
2
(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，
例如：log 4+log 8=__________；（用对数表示结果）
2 2
(3)于是他猜想：log M+log N=__________（a>0且a≠1，M>0，N>0）．请你将小明的探究过程补
a a
充完整，并证明他的猜想．
(4)根据之前的探究，直接写出log M-log N=__________．
a a
【题型5 整式乘除的计算与化简】
3
【例5】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b= ，ab=1，化简(a-2)(b-2)的结果是
2
．
【变式5-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992-1002×998+1
（2）先化简，再求值：[(2x+ y)(2x- y)-(3x+ y)(x-2y)-x2]÷ ( - 1 y ) ，其中x=-1，y=2．
2
【变式5-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若
差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=(a+3)(a-4)，N=(a+2)(2a-5)，其中a为有理数，
(1)求M-N，要求化简为关于a的多项式；
(2)比较M，N的大小．
【题型6 整式混合运算的应用】
【例6】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：
材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的
平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，
因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+42=25，所以3254是一个平方
和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．
材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那
么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为
2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍
积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．
请根据上述定义完成下面问题：
(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）
(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为
一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2-b2的值．
【变式6-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．
（单位：米）
(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；
(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?
【变式6-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张
边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这
三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S ，图2中阴影部分的面积为S ，当
1 2
AD-AB=2时，S -S 的值是（ ）
1 2A．2a B．2b C．-2b+b2 D．2a-2b
【变式6-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），
以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方
形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．
(1)求图1中阴影部分的面积S （用含a，b的代数式表示）；
1
(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积S 的值；
1
(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积S 的值．
2
【题型7 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例7】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式
（1）20a3-30a2
（2）25（x+y）2-9（x-y）2
【变式7-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2(m-n)+12(n-m)= ．
【变式7-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式-2a3-4a2-2a因式分解的
结果是 ．
【变式7-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式
(1)a2(a-b)+(b-a)
(2)
(a2+b2
)
2-4a2b2
【题型8 因式分解（十字相乘法）】
【例8】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2-4x+m有一个因式是(x+3)，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为(x+n)，由题意，得
x2-4x+m=(x+3)(x+n)，
x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，
所以¿，解得¿．
所以另一个因式为(x-7)，m的值为-21．
提出问题：
(1)已知二次三项式x2-5x-p有一个因式是(x-1)，另一个因式是________；
(2)已知二次三项式3x2+2x-k有一个因式是(x-5)，求另一个因式及k的值．
【变式8-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x-6可因式分解成(x+a)(x+b)，其中a，b
均为整数，则 的值为（ ）
(a+b) 2023
A．-1 B．1 C．-2023 D．2023
【变式8-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：
．
(2x2+4x) 2 -4(2x2+4x)-12
【变式8-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因
式分解：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两
数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解： ，解：将“ ”看成一个整体，令 ，则原式
(x+ y) 2+2(x+ y)+1 x+ y x+ y=A
，再将“ ”还原得：原式 ．
=A2+2A+1=(A+1) 2 A =(x+ y+1) 2
上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
(1)根据材料1将x2+4x+3因式分解；
(2)根据材料2将 因式分解；
(x- y) 2-10(x- y)+25
(3)结合材料1和材料2，将 因式分解．
(m2-2m)(m2-2m+4)+3
【题型9 因式分解（分组分解法）】
【例9】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab2-a-b的值为
．【变式9-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4-4a3+4a2-9= ．
【变式9-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶
当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．
比如因式分解：am+bm+an+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)
这种分组法是分组后用提公因式法分解；
比如因式分解：
a2+2ab+b2-9=(a2+2ab+b2)-9=(a+b) 2-9=(a+b+3)(a+b-3)
这种分组法是分组后用公式法分解．
根据以上信息分解因式：
(1)ab-a-b+1；
(2)a2-9b2-2a+6b；
(3) ．
n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)
【变式9-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18 y2-3x-9 y．
【题型10 利用因式分解求值】
【例10】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，
c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式10-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x-3=0，则x3+2x2-2x+5的
值为 ．
【变式10-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=-4，m+n=3，求m-n
的值．
3
（2）已知x+ y=2,xy= ，求x3y+x y3+2x2y2的值．
4
【变式10-3】（2023春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）阅读材料：若
m2+2mn+2n2-6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2-6n+9=0，
∴m2+2mn+n2+n2-6n+9=0，
∴ ，
(m+n) 2+(n-3) 2=0
∴m+n=0，n-3=0，
∴m=-3，n=3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决
下列问题：
(1)已知x2+2y2-2xy-8 y+16=0，则x=______，y=______；
(2)若A=2a2-3a-1，B=a2-a-4，试比较A与B的大小：A______B（填“>”或“<”）；
(3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
