专题 22.11 二次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 二次函数的图象和性质】..........................................................................................................................1
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】.........................................................................................................3
【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】.....................................................................................3
【题型3 二次函数的图象与各项系数之间的关系】.............................................................................................4
【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】.........................................................................................5
【题型5 二次函数与几何图形问题的综合探究】.................................................................................................7
【考点2 二次函数与一元二次方程】......................................................................................................................9
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】...................................................................................................10
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】...................................................................................10
【题型8 二次函数与一次函数的综合应用】........................................................................................................11
【题型9 抛物线与直线的交点问题】....................................................................................................................12
【考点3 实际问题与二次函数】............................................................................................................................13
【题型10 利用二次函数解决最大利润问题】.......................................................................................................14
【题型11 利用二次函数解决抛物线形的实际问题】...........................................................................................15
【题型12 利用二次函数解决最大面积问题】.......................................................................................................18
【考点1 二次函数的图象和性质】
1、二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.2、二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛
物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。最小值(或最大值)为0(k或 )。
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
性
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3、二次函数的平移：
方法一：
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：
(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位，
（或 ）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左
同右异”
3、c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】
【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）当 时，函数 是关于x的二
m= y=(m2+m)xm2−2m−1
次函数．
【变式1-1】（2024·广东广州·一模）二次函数y=(k−1)x2−k的图象开口向 ．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川凉山·期中）已知y=(m+2)x|m)+4x+3m+1是关于x的二次函数，则
m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．0
【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若二次函数 有最小值，则
y=kxk2−2k−1+1 k=
．【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】
【例2】（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象上有两点
，若 ，则当 时，函数（ ）
A(m，y )，B(2m，y ) y >y >0 m<x<2m
1 2 1 2
A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【变式2-1】（2024·四川达州·一模）二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上有最小值−4，则a的值为
．
【变式2-2】（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点
P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx−
9
（a,b是常数，且a≠0）的图象上有且只有一个完美点
(3
,
3)
4 2 2
，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx−3的最小值为−8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．−1≤m≤0 B．2≤m≤5 C．m≤5 D．m≥2
【变式2-3】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）二次函数 的图象上有两点 、
y=−(x−2) 2+k M(x ,y )
1 1
，满足 且这两点在对称轴两侧，当 时， 的最大值和最小值的差为 ，则
N(x ,y ) x −x =3 x ≤x≤x y −k k
2 2 2 1 1 2
的取值范围是 .
【题型3 二次函数的图象与各项系数之间的关系】
【例3】（23-24九年级上·山东济宁·期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过
点(−1,0)，对称轴为直线x=2，抛物线与y轴交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与AB重合）．下列结论：
2 1
①abc>0；②9a+c>3b；③4a+b=0；④当y>0时，−1<x<5；⑤a的取值范围为− <x<− ．其中
5 5
正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式3-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点
y=ax2+bx+c(a≠0)
A(−1,0)，与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
1 2
①bc>0；②4ac−b2<−4a；③ <a< ；④关于x的方程ax2+bx+c+2=0一定有两个不相等的实数
3 3
根．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【变式3-2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−1，0)，与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结
1 2
论：①ac>0；②2a+b=0；③4a+c<0；④❑√b2−4ac=4a；⑤ <a< ，其中含所有正确结论的选项
3 3
是（ ）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤
【变式3-3】（23-24九年级下·全国·单元测试）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个
交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；
③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】
【例4】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数 的图象与一次函数
y =ax2+bx+c(a≠0)
1
y =kx+m(k≠0)的图象相交两点，则二次函数y=(k−b)x2+ax+c−m的图象可能为（ ）
2
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数 与 的图象可能是
y=ax2+bx(a≠0) y=ax+b
（ ）
A． B．
C． D．【变式4-2】（2024·河南周口·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线y =−2x+k和抛物线
1
，如图所示， ， 是方程 的两个根，且 ，则函数
y =ax2+bx+c(a≠0) m m ax2+(b+2)x+c−k=0 m <m
2 1 2 1 2
y=m x−m 的坐标系中的图象大致为（ ）
1 2
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与一次函数y=−2x+4
的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点B(−2,0)，则函数y=ax2+bx+a−b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 二次函数与几何图形问题的综合探究】
【方法总结】以二次函数为背景,集代数知识(如二次方程的求解等)和几何知识(如三角形的全等、图形面积的计算等)于一体的比较复杂的题目,首先需要分解题中所给信息(已知解析式求坐标,已知坐标求解析式等),
然后作出草图,注重分类讨论.
【例5】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−6x+c（a、c为常数，且a≠0）与x轴交
于A，B(−1,0)两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴与x轴交于点D，与
经过点B的直线y=x+1交于点E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得△BPE是以BE为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2−3x+4的图象与x轴
交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线AC．D为直线AC上方抛物线上的一个
动点，横坐标为m，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线AC于点E．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC的函数表达式．
(2)当∠ACD=2∠BAC时，求点D的坐标．
1 1
【变式5-2】（2024·辽宁大连·二模）如图，抛物线y=− x2+ x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于
3 3
点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且
∠ANM+∠ACM=180°，则点M的坐标是 ．【变式5-3】（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过A(−1,0)，B(5,3)两点，与y
轴交于点C．
(1)求该抛物线L的表达式；
(2)抛物线L′与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴
的平行线交抛物线L′于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点
P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【考点2 二次函数与一元二次方程】
1、二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式情况 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0
a＞0
二次函数y＝
ax2＋bx＋
c(a≠0)与x轴的
交点
a＜0
一元二次方程ax2＋bx 有两个不相等 有两个相等的
没有实数根
＋c＝0的实数根 的实数根x，x 实数根x＝x
1 2 1 2
当b2－4ac＜0时
当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ；
当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ．
2、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤
(1)画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象;(2)确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间;
(3) 列表,在(2)中的两数之间取值估计,并用计算器估算近似解,则近似解在对应y值正负交替的地方.
通过列表求近似根的具体过程:
在列表求近似根时,近似根就出现在对应的y值正负交替的位置,也就是对x取一系列值,看y对应的哪两个
值,由负变成正或由正变成负,此时x的两个对应值之中必有个近似根,比如x由x 取到x 时,对应y的值出现
1 2
y＞0,y＜0或y＜0,y＞0,那么x,x 中必有一个是近
1 2 1 2 1 2
似根,比较|y|与|y|的大小,若|y|>|y|,则说明x 是近似根;反之,则说明x 是近似根.从图象上观察,(x,y)离x轴越
1 2 1 2 2 1
近,y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确切根.
3、利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧,并计算b2-4ac的值；
(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零,在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】
1
【例6】（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数y=(m+1)x2−2x+ m的图象与坐标轴有两个不同的
2
交点，则m的值为 ．
【变式6-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，
则b满足的条件是 ．
【变式6-2】（2024·湖北荆州·一模）已知函数 与x轴的交点横坐标为正整数，则整数
y=kx2−(k+2)x+2
k的值为
5
【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴的一个交点为A(m,0)，若
4
−2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
21 9 21
A．− ≤k≤ B．k≤− 或k≥1
4 8 4
9 21 9
C．−5≤k≤ D．k≤− 或k≥
8 4 8
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】
【方法总结】通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;反过来,也可以由函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
【例7】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实
数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
【变式7-1】（23-24九年级上·北京朝阳·期中）关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为
x =a，x =b(a<b)，则二次函数y=x2+mx+n当y>0时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x<a B．x>b C．a<x<b D．x<a或x>b
【变式7-2】（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程x2−(m+3)x+m+6=0的两根x ，x 满足
1 2
1<x ≤2<x ，则二次函数y=x2−(m+3)x+m+6的顶点纵坐标的最大值是 ．
1 2
【变式7-3】（23-24九年级上·贵州遵义·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)所对应的一元二次方程
ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根均大于−1，则下列结论正确的有 （填序号）
①x=−1时，y>0
②若c<0，a>0，则两实数根x ，x 满足x x <0
1 2 1 2
1 7
③若b=2，c= ，则 <a<4或a<0
4 4
④若a>0，b=2−a，x <x ，则x <2
1 2 2
【题型8 二次函数与一次函数的综合应用】
1
【例8】（2024·江西九江·二模）已知一次函数y=− x+m2+1与二次函数y=−(x−m) 2+m2+1（m为常
2
数）的图象在同一平面直角坐标系中．
(1)当 m=0时，求两个函数图象的交点坐标．
(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．
(3)如图，当 m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．
①当PQ∥y轴时，求PQ 的最小值；
②当PQ∥x轴时，求 PQ的最小值．
1
【变式8-1】（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x−2的图象分别交x，y
2轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B．点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)当∠PBA=2∠OAB时，求点P的坐标．
【变式8-2】（23-24九年级下·湖南娄底·期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P(x,y)的纵坐标
y与其横坐标x的差y−x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的
“特征值”．
(1)①点A(4,7)的“坐标差”为 ；
②抛物线y=−x2+3x+6的“特征值”为 ；
(2)某二次函数y=−x2+bx+c(c≠0)的“特征值”为−1，且b+c=1，求此二次函数的解析式；
(3)二次函数y=−x2+px+q的图像的顶点在“坐标差”为2的一次函数的图像上，四边形DEFO是矩形，
点E的坐标为(7,3)，点O为坐标原点，点D在x轴上，点F在y轴上，当二次函数y=−x2+px+q的图像与
矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【变式8-3】（2024·福建南平·模拟预测）已知二次函数y=ax2−bx+c且a=b，若一次函数y=kx+4与二
次函数的图象交于点A(2,0)．(1)写出一次函数的解析式，并求出二次函数与x轴交点坐标；
(2)当a>c时，求证：直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
(3)当c<a≤c+3时，求出直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c的另一个交点B的坐标；记抛物线顶点为
25
M，抛物线对称轴与直线y=kx+4的交点为N，设S= S −S ，写出S关于a的函数，并判断S
9 △AMN △BMN
是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
【题型9 抛物线与直线的交点问题】
1
【例9】（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知：抛物线y=x2+ m与直线y=x有两个不同的交点，若两
4
个交点的横坐标是分别为a、b，若n=ab−2b2+2b+1，则n的取值范围是 ．
1 45
【变式9-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，抛物线y= x2−7x+ 与x轴交于点A、B，把抛物线
2 2
1
在x轴及其下方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线y= x+m与C 、
1 1 2 2 2 1
C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
2
45 5 29 1 29 5 45 1
A．− <m<− B．− <m<− C．− <m<− D．− <m<−
8 2 8 2 8 2 8 2
【变式9-2】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，
AC=BC=2，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线y=ax2−3x+2(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【变式9-3】（23-24九年级下·湖北武汉·自主招生）如图，将一段抛物线y=−x(x−3)(0≤x≤3)记为C ，
1
它与x轴交于点O和点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得C ，交x
1 1 1 2 2 2 2 3
轴于点A ．若直线y=x+m与C ,C ,C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
3 1 2 3
【考点3 实际问题与二次函数】
利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
(1) 审题意;
(2) 设未知量列关系式;
(3) 解答实际问题;
(5)验证结果是否符合实际.
【题型10 利用二次函数解决最大利润问题】
【方法总结】利用二次函数解决利润问题的一般过程可以概括为以下三步:
(1) 分析价格变化后的单件利润、销售量、总利润,找到它们随价格变化的规律;
(2) 列出总利润与实际价格之间的函数关系式;
(3)借助二次函数图象的性质得到二次函数的最值.
【例10】（2024·湖北黄石·二模）为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市30天
内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第x天（x为整数）的售价为y（元/斤），日销售额为w
（元）．据销售记录知：
①第1天销量为42斤，以后每天比前一天多卖2斤；
②前10天的价格一直为500元/斤，后20天价格每天比前一天跌10元，(1)当11≤x≤30时，写出y与x的关系式；
(2)当x为何值时日销售额w最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于31680元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款m元，用于捐资助学，
若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买10800元的图书，求m的最小整数值．
【变式10-1】（23-24九年级上·山东青岛·期末）榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质
较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三
亚榴莲，进价为10元/kg，设售价为x元/kg，图中线段是总进价y （元）与x关系的图象，抛物线是总
1
销售额y （元）与x关系的图象，y 经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为15元时，销售量为
2 2
200kg．
（总利润=总销售额﹣总进价）
(1)直接写出t、p、q的值；
(2)分别求出y ，y 与x的关系式；
1 2
(3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？
【变式10-2】（2024·江苏扬州·一模）教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价
局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的
销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=
利润/成本）
销售单价x（元、件） … 60 70 75 …
15
每天销售量y（件） … 240 180 …
0
(1)求y与x的函数关系式；
(2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；
(3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（n<2）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售
单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ．【变式10-3】（23-24九年级上·河北保定·期末）某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，
经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所
示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大
利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（
1≤n≤7），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
【题型11 利用二次函数解决抛物线形的实际问题】
【方法总结】解决抛物线形二次函数问题的一般思路:
(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系;
(2)将已知条件转化为点的坐标;
(3)根据图中坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析式;
(4)利用解析式来解决问题.
【例11】（2024·贵州黔南·一模）如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发
设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为18米，喷
射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心6m处达到最高，高度为4m．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高
CF为1.75米．
(1)在图2中，以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式．
(2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP(OP⊥CD)，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点H，N的间距为HN=0.5m；水柱的最高点与点P的高
度差为1m；从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．
①在建立的坐标系中，求落水点H的坐标；
②求出喷水装置OP的高度．
【变式11-1】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物
线是全等的，正常水位时，大孔水面宽AB为20m，顶点M距水面8m（即MO=8m ），小孔顶点N距水
面6m（即NC=6m），建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大孔抛物线的解析式；
(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面
3m，顶部宽6m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度EF= m．
【变式11-2】（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部
为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相
关数据如图1所示，其中支架DE=BC，OF=DF=BD，这个大棚用了400根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调
整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加经费32000元．
(1)分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′=1米，求GG′的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．【变式11-3】（2024·山西·模拟预测）学科实践
问题情境：
某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在
校园科技节主题活动当天进行投石试验展示．
试验步骤：
第一步：如图，在操场上放置一块截面为△OCD的木板，该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度
CD=0.5米，将投石机固定在点O处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；
第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落
地，其中点A到地面的高度OA=0.3米，测得BC=0.7米．
试验数据：
科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5
米，飞行的水平距离OE为4米．
问题解决：
已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，OG所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．
（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；
（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；
拓展应用：
（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木
杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？
【题型12 利用二次函数解决最大面积问题】
【方法总结】在几何图形中建立二次函数关系有如下常用方法:
(1)面积法:利用几何图形面积公式建立函数关系;
(2)勾股定理法:利用勾股定理建立函数关系;
(3)和差法:利用图形面积的和或差表示图形的面积,从而建立函数关系.
【例12】（2024·安徽淮北·模拟预测）如图，学校准备在长为16米，宽为12米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形AEFG和正方形CHMN面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形
MOFP是这两个正方形的重叠部分，设PM为x(2≤x≤4)米，PF为y米．
(1)求y关于x的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围）
(2)设甲、乙、丙的总面积为S（m2），求S关于x的函数表达式及其最大值．
【变式12-1】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可
用长度是20m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2
)．
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？
【变式12-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题情境:有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的
篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析:
（1）当a=12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2；若按图②的方案设计，则
该方案中养鸡场的最大面积是 m2．
（2）当a=20时，解决“问题情境”中的问题．解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
【变式12-3】（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足
够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长
x（米），总占地面积为y（米2）．
（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．
①求总占地面积最大为多少米2？
②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的
门口与小路的间隔为多少米？
