文档内容
专题 13.11 轴对称全章专项复习【4 大考点 11 种题型】
【人教版】
【考点1 轴对称】......................................................................................................................................................1
【题型1 利用轴对称的性质求角的度数】..............................................................................................................3
【题型2 利用轴对称判断线段之间的关系】.........................................................................................................4
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】.............................................................................................5
【题型4 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】.....................................................................6
【考点2 画轴对称图形】..........................................................................................................................................8
【题型5 点的坐标对称规律的应用】......................................................................................................................8
【题型6 平面直角坐标系中的轴对称】..................................................................................................................9
【考点3 等腰三角形】............................................................................................................................................11
【题型7 含30°的直角三角形性质的应用】.........................................................................................................12
【题型8 等腰三角形的性质与判定的综合】.......................................................................................................13
【题型9 等边三角形的性质与判定】....................................................................................................................15
【考点4 最短路径问题】........................................................................................................................................16
【题型10 利用轴对称解决“一线”的最短路径问题】.......................................................................................16
【题型11 利用轴对称解决“两线”的最短路径问题】.......................................................................................17
【考点1 轴对称】
1．轴对称图形
（1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称
图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，
若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．
【注意】
（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．
（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．
（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．
2．轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线
（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做 对称 点 ．轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称
关系
轴对称 轴对称图形
意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形
图形个数 两个图形 一个图形
区 对称轴的 可能在两个图形的外部，也可能经过两
一定经过这个图形
别 位置不同 个图形的内部或它们的公共边（点）
对称轴的
只有一条 有一条或多条
数量
（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
联系
（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称
3．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段
AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P
在线段AB的垂直平分线上．
4．轴对称和轴对称图形的性质
（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线
段的垂直平分线．
（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角
（对折后重合的角）相等．
（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是
轴对称图形．
5．画轴对称图形
轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：
（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
（2）连接这对对应点；
（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．
这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．【注意】画对称轴的依据：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对
应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．
【题型1 利用轴对称的性质求角的度数】
【例1】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=70°，点D，E在
BC上，△ABD与△AED关于直线AD对称，则∠CAE的度数是 ．
【变式1-1】（23-24八年级·河北保定·期末）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为
对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，则∠EAF的度数为 ．
【变式1-2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，△APT与△CPT关于直线PT对称，
∠A=∠APT，延长AT交PC于点F，当∠A= °时，∠FTC=∠C．
【变式1-3】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于
AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点
E，F．(1)连接PE，PF，若MN=12cm，求△PEF的周长；
(2)若∠C+∠D=134°，求∠HPG的度数．
【题型2 利用轴对称判断线段之间的关系】
【例2】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三角形纸片ABC中，∠B=∠C，将△GFC沿EF
翻折，C落在BC上，则AB与MG的位置关系为 ．
【变式2-1】（23-24八年级下·山东菏泽·期末）如图，一个四边形纸片ABCD，∠A=∠C=90°，E是
BC上一点，沿DE折叠纸片，使点C落在AD边上的点C 处．
1
(1)试判断C E与AB的位置关系，并说明理由；
1
(2)若∠B=130°，求∠EDC的度数．
【变式2-2】（23-24八年级·陕西安康·阶段练习）如图，已知：AC和BD相交于O，∠1＝∠2，∠3＝
∠4．则AC和BD的关系 ．【变式2-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交
点F在直线MN上．
(1)若ED=15，BF=9，求EF的长；
(2)若∠ABC=35°，∠AED=65°，∠BAE=16°，求∠BFN的度数；
(3)连接BD和EC，则BD和EC的位置关系，并说明理由．
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求线段的长】
【方法总结】此类题目一般是借助线段垂直平分线的性质,将一条线段用另一条线段来替换.
【例3】（23-24八年级·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，E是BC上一点，AE=AB，EF垂直平分
AC，AD⊥BC于点D，△ABC的周长为18cm，AC=7cm，则DC的长为 ．
【变式3-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，D为BC上一点，CE垂直平分AD交AD于点E，已
知AC=5，BC=8，则BD的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18【变式3-2】（23-24八年级·宁夏石嘴山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，DE垂直平分AB
，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为18cm，则BC的长为 ．
【变式3-3】（23-24八年级·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC
，交边AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
(1)若AB=3cm，求△CMN的周长．
(2)若∠MFN=80°，求∠MCN的度数．
【题型4 段垂直平分线的性质、判定与全等三角形的综合应用】
【例4】（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接
AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：FC=AD；
(2)求证：AB=BC+AD；
(3)若四边形ABCD的面积为32，AB=8，求点E到BC边的距离.
【变式4-1】（23-24八年级·河北沧州·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交
AC于点D，过点C作CE⊥BD于点O，交AB于点E．(1)求证：BD是线段CE的垂直平分线；
(2)若∠CBD=20°，求∠ADE的度数．
【变式4-2】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为
AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，在AB边上取一
点F，使∠ACF=∠CBG，连接CF．
(1)求证：AF=CG；
(2)试探究线段CF与DE长的数量关系，并对结论给予证明．
【变式4-3】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为
AB的中点，AB=BC,CE⊥BD．
（1）求证：BE=AD．
（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；
（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．
【考点2 画轴对称图形】
1．轴对称变换一个图形与其关于直线l对称后的图形之间的关系
（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．
（2）新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
【注意】
（1）成轴对称的两个图形中，任何一个图形都可以看成是由另一个图形经过轴对称变换得到的．
（2）一个轴对称图形也可以看成是以它的一部分为基础经过轴对称变换而得到的．
2．画轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，我们只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）关于对
称轴的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
画轴对称图形的方法：
（1）找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）；
（2）画——画各个特殊点关于对称轴对称的点；
（3）连——依次连接各对称点．
3．用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特点：
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．
已知两个点的坐标分别为P（x，y），P（x，y），若x=x，y+y=0，则点P，P 关于x轴对称；若
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
x+ x =0，y= y ，则点P，P 关于y轴对称．反之也成立．
1 2 1 2 1 2
在坐标系中画轴对称图形的方法：
（1）计算——计算对称点的坐标；
（2）描点——根据对称点的坐标描点；
（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形．
【题型5 点的坐标对称规律的应用】
5
【例5】（23-24八年级·吉林白山·期末）在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，﹣ ）和B（3，﹣
2
11
）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（ ）
2
3 3
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣ ） C．（﹣ ，﹣9） D．（﹣2，﹣1）
2 2
【变式5-1】（23-24八年级·内蒙古包头·期末）已知△ABC关于直线y=1对称，C到AB的距离为2，AB
长为6， 则点A的坐标为 ．【变式5-2】（12-13八年级·江苏南通·阶段练习）已知点A(m−1，3)与点B(2，n+1)关于x轴对称，则
m= ，n= ．
【变式5-3】（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对
称变换，若原来点A坐标是(−2,3)，则经过第2024次变换后点A的对应点的坐标为 ．
【题型6 平面直角坐标系中的轴对称】
【方法总结】在网格或平面直角坐标系中作轴对称图形,熟练掌握网格结构,准确找出对应点的位置是解题
的关键.
【例6】（23-24八年级·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是
边长1个单位长度的正方形），各顶点均在格点上．
(1)直接写出各顶点的坐标：A（______________），B（______________），C（______________）；
(2)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ，并写出A ,B ,C 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(3)将△ABC向左平移5个单位长度再向下平移4个单位长度，得到△A B C ．
2 2 2
①在平面直角坐标系中画出△A B C ；
2 2 2②若点P(a,b)是△ABC上一点，平移后的对应点P 的坐标为_____________．
2
【变式6-1】（23-24八年级·甘肃武威·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC
三个定点坐标分别为A(−4,1)，B(−3,3)，C(−1,2)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A B C ，点A，B，C的对称点分别是点A 、B 、C ，直接写出点
1 1 1 1 1 1
A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
(2)画出点C关于y轴的对称点C ，连接C C ，CC ，C C，求△CC C 的面积．
2 1 2 2 1 1 2
【变式6-2】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，在4×5的方格纸中，△ABC的顶点均在格点上，按下
列要求作图．
(1)作出图1中△ABC的边BC上的高线AH（需要标出垂足H点）；
(2)在图2中找出一格点D，使A，B，C，D所组成的四边形是轴对称图形（作出一个即可）；
(3)直接写出（2）中你所作四边形的面积．
【变式6-3】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,3)，B(1,1)，
C(4,1)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
(2)画出△A B C 向下平移3个单位长度得到的△A B C ；
1 1 1 2 2 2
( 5)
(3)在△ABC的内部有一点M，其坐标为 2, ，请直接写出点M经过以上变换后的对应点M 的坐标．
2 2
【考点3 等腰三角形】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都
是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有
判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性
质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
4．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不
能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角
转化后，再利用这个性质解决问题．
【题型7 含30°的直角三角形性质的应用】
【方法总结】常常利用含30°角的直角三角形的性质“30°角所对的直角边是斜边的一半”来解决线段的长
度问题.
【例7】（23-24八年级·辽宁大连·期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，
AD=CE，线段BE、CD交于点F，连接AF．
(1)求∠CFE的度数；
(2)当∠AFE=30°时，用等式表示线段CF与BF的数量关系，并证明．
【变式7-1】（23-24八年级·上海崇明·期末）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．
(1)若∠B=30°，∠APC=70°，求∠CAE的度数；
(2)当∠B=30°，AB⊥AC，AB=6时，设AP=x，请用含x的式子表示PD，并写出PD的最大值．
【变式7-2】（23-24八年级·湖南长沙·期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，
DE∥BC．
(1)如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
(2)如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC=30°，在BC边上取点F使BF=DF，若BC=12，求
DF的长．
【变式7-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时
从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，
设运动时间为t（s），当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则
当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【题型8 等腰三角形的性质与判定的综合】
【例8】（23-24八年级·安徽六安·期末）在等腰△ABC中，AB=BC，高AD、BE所在的直线相交于点
F，将△ACD沿直线AD翻折，点C的对称点C′落在直线BC上，连接FC′．
(1)如图1，当∠ABC=45°时，
①求证：BF=AC；
②求∠FC′D的度数．
(2)当∠ABC=135°时，补全图2，并求证：C′F∥AB．
【变式8-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD=AE，BD=CE．
(1)求证：AB=AC．
(2)若∠BAC=108°,2∠DAE+∠BAC=180°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有等腰三角形．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD
交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于II，交AB于N．
(1)求证：△ANC为等腰三角形；
(2)求证：BN=CD．
【变式8-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图1，在△ABC中，D为边BC上一点，AB=AD=CD
，BC=AC．(1)求∠C的度数；
(2)如图2，点E在CA延长线上，连接BE，BE∥AD，求证：AE=CD；
(3)在（2）的条件下，求证：CE−BD=2AB．
【题型9 等边三角形的性质与判定】
【例9】（23-24八年级·全国·单元测试）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交
于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．
(1)求证：AD=BE；
(2)求∠DOE的度数；
(3)求证：△MNC是等边三角形．
【变式9-1】（23-24八年级·湖北咸宁·期末）如图1，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别为边
AB，BC，CA的中点．
(1)求证：△CFE为等边三角形；
(2)连接CD交EF于点G，如图2，求证：CG⊥FE；
(3)如图3，已知△ABC的面积为8，求△≝¿的面积．
【变式9-2】（23-24八年级·安徽·期末）如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
(1)如图1，当E为AB的中点时，则AE______DB（填“>”“<”或“=”）．
(2)如图2，当E为AB边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在AB的延长线上时，若△ABC的边长为2，AE=3，求CD的长．
【变式9-3】（23-24八年级·北京·期末）如图，∠HAB=30°，点B与点C关于射线AH对称，连接AC．
D点为射线AH上任意一点，连接CD．将线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接BE．
(1)求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；
(2)点D是射线AH上一动点，请你直接写出∠ADC与∠ECA之间的数量关系．
【考点4 最短路径问题】
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即
为所求的位置．
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．
【题型10 利用轴对称解决“一线”的最短路径问题】
【例10】（23-24八年级·广东韶关·期中）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD=1.5，点P、Q分
别为AB、AD上的两个定点且BP=AQ=2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为
．【变式10-1】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为
7，BD平分∠ABC，若M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ．
【变式10-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在△ACD中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD
上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．7.5 D．8.3
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，△ABD
是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为 ．
【题型11 利用轴对称解决“两线”的最短路径问题】
【例11】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定
点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式11-1】（23-24八年级·全国·单元测试）如图所示，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相
同，从P村往Q村，要经过两座桥EF，MN．现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于河
岸的大桥，问：如何设计这两座桥EF，MN的位置，使由P村到Q村的路程最短？（要求在图上标出道路
和大桥的位置）
【变式11-2】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定
点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于
α，β的数量关系正确的是（ ）
A．β−α=30° B．β+α=210° C．β−2α=30° D．β+α=200°
【变式11-3】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在△ABC和△AEF中，AC=AE，连接CE，CE恰好
平分∠ACB，在CE上存在一点D，使∠DAF与∠ACB互为补角，连接AD．(1)如图1，当∠ACB=60°时，求∠CAE的度数；
(2)如图2，当∠ACB=120°，AD=AF时，试说明EF与AC的位置关系；
(3)在（2）问的条件下，如图3连接并延长，分别交，于点M，N，若，，P，Q分别为和上的动点，请直
接写出周长的最小值．
