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专题 14.9 整式的乘法与因式分解全章专项复习【3 大考点 10 种题
型】
【人教版】
【考点1 整式的乘法】..............................................................................................................................................1
【题型1 整式的化简求值】......................................................................................................................................4
【题型2 整式乘法的应用】......................................................................................................................................4
【题型3 利用整式的乘法求字母的值】..................................................................................................................6
【题型4 运用幂的乘方比较大小】..........................................................................................................................7
【考点2 乘法公式】..................................................................................................................................................8
【题型5 利用乘法公式化简求值】............................................................................................................................8
【题型6 利用乘法公式解方程或不等式】..............................................................................................................9
【题型7 乘法公式的整体应用】..............................................................................................................................9
【题型8 利用乘法公式解决规律探究问题】.........................................................................................................9
【考点3 因式分解】................................................................................................................................................10
【题型9 利用因式分解求代数式的值】................................................................................................................12
【题型10 因式分解与三角形知识的综合应用】...................................................................................................12
【考点1 整式的乘法】
1．同底数幂的乘法
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an= · = = ．
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．
（m，n，…，p都是正整数）．
（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．
2．幂的乘方
（1）幂的乘方的意义：
幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n
个am相乘，读作a的m次幂的n次方．
（2）幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
．
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【拓展】
（1）幂的乘方的法则可推广为 （m，n，p都是正整数）．
（2）幂的乘方法则的逆用： （m，n都是正整数）．
3．积的乘方
（1）积的乘方的意义：
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．
（积的乘方的意义）
=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）
=a3b3．
积的乘方法则：
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
．
因此，我们有 ．
语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
4．单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】
（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
5．单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在
运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
6．多项式与多项式相乘（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中
的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
7．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有 （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如： （a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用： （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
8．零指数幂的性质
零指数幂的性质：
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另
一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．
于是规定：a0=1（a≠0）．
语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1．
【注意】
（1）底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．
（2）底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．
（3）a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．
9．单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除
式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，
连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
10．多项式除以单项式多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前
面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【题型1 整式的化简求值】
【方法总结】首先依据整式的混合运算顺序和运算法则进行化简,然后代入求值.对于幂的运算问题,首先要
判断出幂的运算类型,然后根据幂的运算性质计算,要注意底数和指数的变化特点.
【例1】（2024·河北唐山·三模）在化简 题中，◆表示＋，－，×，÷四个
3(a2b+ab)−2(a2b+ab)◆2ab
运算符号中的某一个．当 ， 时， 的值为22，则◆所表示的符号
a=−2 b=1 3(a2b+ab)−2(a2b+ab)◆2ab
为（ ）
A．÷ B．× C．＋ D．－
【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江绥化·阶段练习）（1）先化简，再求值：
，其中
x(x2−x−1)+3(x2+x)−x(3x2+6x) x=1
（2）先化简，再求值：
，其中 ， ．
(2a+b)(2a−b)+(4ab3−8a2b2)÷4ab a=−2 b=1
【变式1-2】（23-24八年级·重庆北碚·期中）已知实数a，b，x，y满足a+b=x+ y=3，ax+by=4，则
.
(a2+b2)xy+ab(x2+ y2)=
【变式1-3】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）对于任何实数，我们规定符号
|a b)=ad−bc，例如：
c d
|1 2)=1×4−2×3=−2．
3 4
(1)计算：
|0.2 −3 )=______；
6 −10
(2)已知
| x x+1)=2，求x的值；
−2 2x|a+1 3a )
(3)当a2−3a+1=0时，求 的值．
a−2 a−1
【题型2 整式乘法的应用】
【例2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为3cm的正
方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为8xcm，宽为5xcm．
(1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积；
(2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每cm2需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代
数式表示）．
【变式2-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）位于太原市三给片区的天美杉杉超级奥特莱斯是一座集
现代化商业、中式文化与绿色园林三位一体的大型综合商业体，值得期待的是将于2023年9月开始正式营
业．如图，在园区内有一块长为(a+4b)米，宽为(a+b)米的长方形地块，现规划将阴影部分进行绿化，中
间预留部分是边长为(a−b)米的正方形．
(1)求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
(2)若a=3,b=2，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【变式2-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图
1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆
盖的部分用阴影表示，若长方形中边AB、AD的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为S ，图2中
1
阴影部分面积为S ．当m−n=3时，S −S 的值为（ ）
2 1 2A．3b B．3a−3b C．3a D．−3b
【变式2-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为a，长为b的小长方形纸片，不重叠的
放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． EF=2GH
(1)用含a、b的代数式表示：AD=______________；AB=______________．
(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；
1 9
(3)当a= ，b= 时，求区域①、区域②的面积的差．
2 2
【题型3 利用整式的乘法求字母的值】
【方法总结】当多项式的乘积中不含某一项时,说明将多项式的乘积化简合并后该项的系数为0,可利用方程
思想求字母的值.
【例3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为
“组合多项式”，这个常数称为它们的“组合数”．如M=4x2−2x+6与N=−4x2+2x−3，M+N=3，
则M与N互为“组合多项式”，它们的“组合数”为3．
(1)下列各组多项式中，互为“组合多项式”的是________（填序号）；
①3x2−2与3x2+2；②x−9与−x+8；③−5x y2+2xy+2与5x y2−2xy．
(2)多项式 与 （m，n为常数）互为“组合多项式”，求它们的“组合数”；
A=(x−m) 2 B=nx2+4x+n
(3)关于x的多项式C=−mx2−6x+7m与D=m(x−1)(x+n)的“组合数”能为0吗？若能，请求出m，n的值；若不能，请说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·山东济南·期中）已知M=x2−ax，N=−x，P=x3+3x2+5，若M⋅N+P的
值与x的取值无关，则a的值为（ ）
A．−3 B．3 C．5 D．4
【变式3-2】（23-24八年级·山西临汾·期中）甲同学计算一道关于x的整式乘法题：
，由于甲抄错了 的符号，得到的结果是 ，请你计算出a，b的值，
(2x−a) 2−(x+b)(b−x) a 5x2−20x+9
并计算出这道整式乘法题的正确结果．
【变式3-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：
(1 x+4 ) (2x+5)(3x−6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： 1 x⋅2x⋅3x=3x3 ，常数项为：
2 2
4×5×(−6)=−120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和
1
总结他发现：一次项系数就是： ×5×(−6)+2×(−6)×4+3×4×5=−3，即一次项为−3x．
2
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法
则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x−3)所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算 所得多项式不含一次项，求 的值；
(x2+x+1)(x2−3x+a)(2x−1) a
（3）若 ，则 ______．
(x+1) 2021=a x2021+a x2020+a x2019+…+a x+a a =
0 1 2 2020 2021 2020
【题型4 运用幂的乘方比较大小】
【例4】（23-24八年级·广东佛山·期中）幂的运算逆向思维可以得到am+n=am ⋅an；am−n=am÷an；
等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为
amn=(am) n
易，使问题巧妙获解．
(1)若3m×9m×27m=312，求m的值．
(2)比较大小：若a=255，b=344，c=533，则a，b，c的大小关系是什么?
【变式4-1】（23-24八年级·全国·单元测试）比较下列各题中幂的大小：
（1）已知a=8131,b=2741,c=961，比较a、b、c的大小关系;
（2）比较255,344,533,622这4个数的大小关系;（3）已知 999 119，比较P、Q的大小关系;
P= ,Q=
999 990
（4） _______ （填“>”“<”或“=”）.
(−2) 234 5100
【变式4-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）已知a=2731，b=361，c=941，试比较a，b，c的大小并用“
>”把它们连接起来： ．
【变式4-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问
题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同
的形式，请阅读下列材料：若a3=2，b5=3，则a、b的大小关系是a______b（填“<”或“>”．）
解： ， ，且 ，
∵a15=(a3) 5 =25=32 ,b15=(b5) 3 =33=27 32>27
∴a15>b15，∴a>b,
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较815,278,911的大小；
(3)比较2100与375的大小；
(4)已知5a=324，5b=4，5c=9．求a,b,c之间的等量关系．
【考点2 乘法公式】
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公
式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公
式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边
都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2
倍，二者也仅有一个“符号”不同．
3．添括号法则
法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号
里的各项都改变符号．
（1）首先要清楚括到括号里的是哪些项．
（2）括号前面是什么符号，括到括号里的项是否要改变符号，这与去括号一样，要变都变，要不变都不
变．
（3）添括号后是否正确，可以用去括号来检验．
【题型5 利用乘法公式化简求值】
【方法总结】解题时要注意分析算式的结构特征,符合“两个数的和与这两个数的差的积”要考虑平方差公
式,符合“两数和(或差)的平方”要考虑完全平方公式.
【例5】（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）已知a+b=3，ab=−1．求代数式下列代数式的值：①
a2+b2②a−b．
【变式5-1】（23-24八年级·贵州毕节·期中）已知(x+ 1 ) 2 =25，求x2+ 1 的值
x x2
【变式5-2】（23-24八年级·湖南永州·阶段练习）已知： ， ，求：
(x−y) 2=6 (x+ y) 2=3
(1)xy；
(2)x2+ y2+xy的值
【变式5-3】（23-24八年级·贵州毕节·期中）（1）已知 ， ，求 和 的值；
a+b=6 ab=1 a2+b2 (a−b) 2
（2）已知 ， ，求 和 的值；
(x+ y) 2=4 (x−y) 2=6 x2+ y2 xy
1 ( 1) 2
（3）已知x+ =3，求 x− 的值．
x x
【题型6 利用乘法公式解方程或不等式】
【例6】（23-24八年级·上海宝山·期中）解不等式： ．
(2x+3)(2x−3)−(x+1) 2>3x2−7
【变式6-1】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）解方程(1) ；
(x+1) 2−(x+2)(x−2)=15
(2)(x−1)(x+8)−x(x+3)=0．
(1−2x)(−1−2x) (2 ) 2 8
【变式6-2】（23-24八年级·上海静安·期中）解不等式： − x−5 ≤ ．
9 3 9
【变式6-3】（23-24八年级·湖北·阶段练习）计算
(1)解方程：(3x−2)(2x−3)=(6x+5)(x−1)−1；
(2)解不等式： .
(3x−1) 2+(2x−1) 2>13(x−1)(x+1)
【题型7 乘法公式的整体应用】
【例7】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）计算： ．
(a+b−c) 2=
【变式7-1】（23-24八年级·上海青浦·期中）计算：(2a−b+3c)(−2a−b−3c)= ．
【变式7-2】（23-24八年级·上海·阶段练习）计算：(a+b−2c)(a−b+2c)
【变式7-3】（23-24八年级·上海宝山·期中）计算： ．
(a−2b−c) 2−2(−a−2b)(a−2b)
【题型8 利用乘法公式解决规律探究问题】
【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正
整数为“智慧数”．因为3=22−12，5=32−22，7=42−32，8=32−12，……，所以按从小到大的顺序，
“智慧数”依次为3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，按此规律，2024是第 个
“智慧数”．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆南岸·期末）观察以下等式：
第1个等式： ，
(2×1+1) 2=(2×2+1) 2−(2×2) 2
第2个等式： ，
(2×2+1) 2=(3×4+1) 2−(3×4) 2
第3个等式： ，
(2×3+1) 2=(4×6+1) 2−(4×6) 2
第4个等式： ，
(2×4+1) 2=(5×8+1) 2−(5×8) 2
按照以上规律．解决下列问题：
（1）第5个等式为： ；
（2）若第 个等式为 ，则 ．
n t2=(17×32+1) 2−(17×32) 2 t=【变式8-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）观察下列各式：
(a−b)(a+b)=a2−b2
(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3
(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4
………
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想：
．
(a−b)(a2023+a2022b+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ab2022+b2023)=
【变式8-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的
展开式各系数规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系
(a+b) n (n=1,2,3,4,⋯)
数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1
(a+b) 0=1
11(a+b)¹=a+b
121
(a+b) 2=a2+2ab+b2
1331
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
14641 …
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
根据上述规律， 展开式中含 项的系数为 ．
(x+3) 6 x4
【考点3 因式分解】
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式．
【注意】
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式
乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．
（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因
式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
【注意】
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得
，
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平
方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号
相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和
的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项
式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型9 利用因式分解求代数式的值】
【例9】（23-24八年级·四川内江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，则代
数式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式9-1】（23-24八年级·河北保定·期末）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它
分解成 的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二
(x+a) 2 x2+2ax−8a2
次三项式x2+2ax−8a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子
的值不变，于是有： ．像这
x2+2ax−8a2=(x2+2ax+a2)−a2−8a2=(x+a) 2−(3a) 2=(x+4a)(x−2a)
样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．
阅读以上材料，解决下列问题．
(1)分解因式：a2−6a−16；
(2)当a为何值时，二次三项式a2+4a+5取得最小值，最小值是多少？
【变式9-2】（2024·福建厦门·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣
4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（ ）
7 16
A．﹣1 B．0 C． D．
16 7
【变式9-3】（23-24八年级·重庆璧山·阶段练习）一个各数位均不相等且不为0的四位自然数M=abcd，
若满足a+c=b+d，则称这个四位数为“明德数”．例如：四位数3256，∵3+5=2+6，∴3256是“明
德数”．若abcd是一个“明德数”，则这个数的最小值为 ；若M=abcd是一个“明德数”，
abcd
为整数，ab−cd=7，则满足条件的M的值是 ．
9
【题型10 因式分解与三角形知识的综合应用】
【例10】（23-24八年级·贵州铜仁·期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 配方
a2+2ab+b2=(a+b) 2
法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式 进行变形，其过程如下
a2+6a+10 a2+6a+10=(a2+6a)+10
，
=(a2+6a+9)+10−9=(a+3) 2+1
，
∵(a+3) 2≥0
∴(a+3)+1≥1．
因此，该式有最小值1．
②已知：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0将其变形，a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2=0，
，可得 ．
a2+2a(b+c)+(b+c) 2=0 (a+b+c) 2=0
(1)按照上述方法，将代数式 变形为 的形式；
x2+8x+20 a(x+ ℎ) 2+k
(2)若p=x2+2x+6，用配方法求p的最小值；
(3)已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2−2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
∴(m2−2mn+n2 )+(n2−8n+16)=0
，
(m−n) 2+(n−4) 2=0
且 ，
∴(m−n) 2=0 (n−4) 2=0
∴m=n=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)a2−2a+1+b2=0，则a=______，b=______；
(2)已知x2+2y2−2xy+4 y+4=0，求xy的值；
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2−4a−10b+27=0，求△ABC的周长．
【变式10-2】（23-24八年级·安徽安庆·阶段练习）阅读材料：若m2−2mn+2n2−8n+16=0，求m、n的
值．∵m2−2mn+2n2−8n+16=0，
，
∴(m2−2mn+n2)+(n2−8n+16)=0∴(m−n) 2+(n−4) 2=0
∴m−n=0,n−4=0，
∴n=4,m=4．根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x−y的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2−6a−8b+25=0，求边c的最大值
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形的三边长、、均为整数，且满足，则这样的
三角形共有 个．
