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专题 22.1 二次函数（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 二次函数的识别】......................................................................................................................................2
【题型2 根据二次函数的定义求参数】..................................................................................................................2
【题型3 二次函数的一般形式】..............................................................................................................................2
【题型4 二次函数的各项系数】..............................................................................................................................3
【题型5 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................3
【题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】........................................................................... 4
【题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】.............................................................................4
知识点 1 二次函数的概念
1. 一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，x是自变量，二次函
数的二次项系数、一次项系数分别是 a , b ，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数.
一次项系数
常数项
y=ax2+bx+c 必须化为一般形式，
方可判断各项的系数
二次项系数
（ a 不 为 b,c没有
0） 条件限制
2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)
二次项系数不为0.
3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义.
知识点 2 列二次函数关系式
1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；
2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；
3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示
的函数的形式.【题型1 二次函数的识别】
【例1】（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
y=x−3 y=ax2+bx+c y=x(x−1)−1 y=x2−(x+1) 2
【变式1-1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式S=πr2中，s与r的关系是（ ）
A．一次函数关系 B．正比例函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【变式1-2】【变式1-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）下列函数是二次函数的是( )
1
A. y=ax2+bx+c B. y= +x
x2
C. D.
y=x(2x−1) y=(x+4) 2−x2
【变式1-3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①y=6x2；②y=−3x2+5；③
1 1
y=200x2+400x+200；④y=x3−2x；⑤y=x2− +3 ；⑥y=(x+1) 2−x2．这六个式子中，二次函
x 2
数有 ．（只填序号）
【题型2 根据二次函数的定义求参数】
【例2】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）若函数 是二次函数，那么m
y＝（m2＋m）xm❑2−2m−1
的值是（ ）
A．2 B．−1或3 C．3 D．−1±❑√2
【变式2-1】．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）当m= 时，y=(m−1)x|m)+1是二次函数．
【变式2-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）若函数 是关于x的二次函数，则m的
y=(m+3)x2−2x+6
取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≠−3 C．m≥−3 D．m≠3
【变式2-3】（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的函数y=（m﹣1）xm+（3m+2）x+1是二次函数，
则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【题型3 二次函数的一般形式】
【例3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数y=x(x−1)+3x化为一般形式后，正确的是（ ）
A．y=x2−x+3 B．y=x2−2x+3C．y=x2−2x D．y=x2+2x
【变式3-1】（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）二次函数 的一般式为 ．
y=(x−3) 2
【变式3-2】（24-25九年级·浙江绍兴·阶段练习）把函数y=(2−3x)(6−x)化成y=ax2+bx+c的形式为
．
【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）二次函数y=−4(1+2x)(x−3)的一般形式
y=ax2+bx+c是 ．
【题型4 二次函数的各项系数】
【例4】20-21九年级上·广东汕尾·阶段练习）把y＝(3x-2)(x＋3)化成一般形式后，一次项系数与常数项的
和为 ．
【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在二次函数y=2x2−3x+1中，二次项系数与一次项
系数的和是 ．
【变式4-2】（24-25九年级·浙江绍兴·阶段练习）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、
一次项系数、常数项，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝3，c＝0 B．a＝﹣1，b＝0，c＝3
C．a＝﹣1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3
【变式4-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数 ．
y=(x−2) 2−3x(x−1)
(1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式；
(2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
【题型5 二次函数图象上点的坐标特征】
【例5】（24-25九年级上·四川泸州·期末）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满
1
足二次函数y= x2（x＞0），若该车某次的刹车距离为4m，则开始刹车时的速度为（ ）
25
A．4m/s B．5m/s C．8m/s D．10m/s
【变式5-1】（2025·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数y=x2−8x−9图象上的点是（ ）
A．(−1,−16) B．(1,−16) C．(−3,−8) D．(3,24)
【变式5-2】（24-25九年级上·湖北随州·期末）关于x的二次函数y=(a+1)x2+ax+a2−1的图象过原点，
则a的值为（ ）．
A．1 B．−1 C．±1 D．0
【变式5-3】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行1 3 8
高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=− x2+ x+ ，则小朱本次投掷实心
10 5 5
球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】
【例6】（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本
价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）有如下关系：
y=−x+60（30≤x≤60，且x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．则w与x之间的函数关系
式为w= ．
【变式6-1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降
价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式
是 ．
【变式6-2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比
赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【变式6-3】（24-25九年级上·浙江宁波·单元测试）某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现
准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减
少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，若设增
种x棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为y千克，则y与x之间的函数关系式为 ．
【题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】
【例7】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠
墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取
物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设
AB=x米，则y关于x的函数关系式为（ ）A．y=x(18−4x) B．y=x(18−2x)
C．y=x(12−4x) D．y=x12−2x
【变式7-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙
（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住
（如图）.若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的
取值范围是 ；
【变式7-2】（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图所示，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且
AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（ ）
1 1
A．S=t B．S= t2 C．S=t2 D．S= t2−1
2 2
【变式7-3】（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）
cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和
S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
