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专题 22.2 二次函数的图象【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的配方法】..................................................................................................................................1
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】..............................................................................................................2
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................4
【题型4 二次函数图象的平移】..............................................................................................................................5
【题型5 二次函数图象的对称变换】......................................................................................................................6
【题型6 二次函数图象的旋转变换】......................................................................................................................6
【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】.............................................................................................8
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.........................................................................................9
知识点1：一元二次方程的定义
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a ( x2+ b x+ c) ①提取二次项系数；
a a
=a [ x2+ b x+ ( b ) 2 − ( b ) 2 + c] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
a 2a 2a a
[( b ) 2 4ac−b2] ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
=a x+ +
2a 4a2
( b ) 2 4ac−b2 ④化简：去掉中括号.
=a x+ +
2a 4a2
二次函数的一般形式 配方成顶点式 ( b ) 2 4ac−b2，由此得到二次函数对
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a x+ +
2a 4a2
称轴为 ，顶点坐标为 ．【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）将二次函数 化为 的形式，则
y=x2−4x+5 y=(x−ℎ) 2+k
ℎ
= ，k= ．
【变式1-1】（23-24九年级·广东江门·期中）已知二次函数y=x2−4x−1，用配方法化为
的形式是 ．
y=a(x−ℎ) 2+k
【变式1-2】（23-24九年级·广西贺州·期末）把二次函数 用配方法化成 的
y=2x2−8x+3 y=a(x+ ℎ) 2+k
形式应为（ ）
A． B．
y=2(x−2) 2+5 y=2(x−2) 2−1
C． D．
y=2(x−2) 2−5 y=2(x−2) 2+7
【变式1-3】（23-24九年级·河北承德·期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程
的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式 （ ≠0）化成 的形
y=ax2+bx+c a y=a(x−ℎ) 2+k
式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数 化成 的形式如下：
y=x2−4x+5 y=a(x−ℎ) 2+k
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
知识点2：五点绘图法作二次函数的图象
利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点
坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与
轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】
【例2】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知二次函数 ．
y=(x−1) 2−4
(1)作出函数的图象；
(2)求此函数图象与x轴的交点坐标；
(3)根据图象直接写出当y>0时和当y<0时，x的取值范围．
【变式2-1】（23-24九年级·福建漳州·期中）已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)用配方法将解析式化为 的形式；
y=a(x−ℎ) 2+k
(2)二次函数y=x2−2x−3中的x和y满足下表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 −3 −4 −3 m …
求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．【变式2-2】（23-24九年级·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①y=x2；②y=2x2；③y=−x2；④y=−2x2．
从图象对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）已知二次函数y=x2−4x+5．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为 的形式，并写出顶点坐标；
y=(x−ℎ) 2+k
(2)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当00；
②3a+c=0；
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③抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ；
3
其中正确结论的个数是（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式7-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点
A(a,b+c)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式7-2】（23-24九年级·广东汕尾·期中）如图所示的二次函数y=ax²+bx+c图象中，有以下信息：
①c>0；②abc<0；③a−b+c>0；④b2>4ac；⑤2a=−2b．其中正确的有
________（填序号）
【变式7-3】（23-24九年级·云南昭通·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是
直线 ，且过点 ，下列说法：① ；② ；③若 是抛物线上两
x=−1 (−3,0) bc<0 2a−b=0 (−4,y ),(−2,y )
1 2
点，则y 0；⑤3a+c=0，其中正确的有（ ）
1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例8】（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，已知抛物线 y=ax2+bx，则直线y=ax+b不经过的
象限是 ．
【变式8-2】（23-24·四川德阳·二模）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过 象限．
【变式8-3】（23-24·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数
的大致图像可能是（ ）
y=ax2−b(a≠0)
A． B．
C． D．
