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专题 22.2 二次函数的图象【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的配方法】..................................................................................................................................1
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】..............................................................................................................2
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................4
【题型4 二次函数图象的平移】..............................................................................................................................5
【题型5 二次函数图象的对称变换】......................................................................................................................6
【题型6 二次函数图象的旋转变换】......................................................................................................................6
【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】.............................................................................................8
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.........................................................................................9
知识点1：一元二次方程的定义
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a ( x2+ b x+ c) ①提取二次项系数；
a a
=a [ x2+ b x+ ( b ) 2 − ( b ) 2 + c] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
a 2a 2a a
[( b ) 2 4ac−b2] ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
=a x+ +
2a 4a2
( b ) 2 4ac−b2 ④化简：去掉中括号.
=a x+ +
2a 4a2
二次函数的一般形式 配方成顶点式 ( b ) 2 4ac−b2，由此得到二次函数对
y=ax2+bx+c(a≠0) y=a x+ +
2a 4a2
称轴为 ，顶点坐标为 ．【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）将二次函数 化为 的形式，则
y=x2−4x+5 y=(x−ℎ) 2+k
ℎ
= ，k= ．
【变式1-1】（23-24九年级·广东江门·期中）已知二次函数y=x2−4x−1，用配方法化为
的形式是 ．
y=a(x−ℎ) 2+k
【变式1-2】（23-24九年级·广西贺州·期末）把二次函数 用配方法化成 的
y=2x2−8x+3 y=a(x+ ℎ) 2+k
形式应为（ ）
A． B．
y=2(x−2) 2+5 y=2(x−2) 2−1
C． D．
y=2(x−2) 2−5 y=2(x−2) 2+7
【变式1-3】（23-24九年级·河北承德·期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程
的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式 （ ≠0）化成 的形
y=ax2+bx+c a y=a(x−ℎ) 2+k
式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数 化成 的形式如下：
y=x2−4x+5 y=a(x−ℎ) 2+k
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
知识点2：五点绘图法作二次函数的图象
利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点
坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与
轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】
【例2】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知二次函数 ．
y=(x−1) 2−4
(1)作出函数的图象；
(2)求此函数图象与x轴的交点坐标；
(3)根据图象直接写出当y>0时和当y<0时，x的取值范围．
【变式2-1】（23-24九年级·福建漳州·期中）已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)用配方法将解析式化为 的形式；
y=a(x−ℎ) 2+k
(2)二次函数y=x2−2x−3中的x和y满足下表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 −3 −4 −3 m …
求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．【变式2-2】（23-24九年级·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①y=x2；②y=2x2；③y=−x2；④y=−2x2．
从图象对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）已知二次函数y=x2−4x+5．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为 的形式，并写出顶点坐标；
y=(x−ℎ) 2+k
(2)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当0<x<3时，则y的取值范围是____________．【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）若二次函数y=mx2+x+m(m−2)的图象经过原点，则m的值为
（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．1或2
【变式3-1】（23-24九年级·广东湛江·期中）抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点的坐标为(m,0)，则代
数式m2−m+2023= ．
【变式3-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期末）下列各点中，一定不在抛物线y=mx2−2mx+2上的是
（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
【变式3-3】（23-24九年级·吉林长春·期中）已知点M(m,n)，N(4−m,n)是二次函数y＝ax2+bx+2
图像上的两个不同的点，则当x=4时，其函数值等于 ．
知识点3：二次函数图象的平移
方法一：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
【题型4 二次函数图象的平移】
【例4】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知二次函数y=−x2+mx+n．(1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为y轴，求m的
值．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知二次函数y=2x2，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴
分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期中）抛物线y=x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y=x2 B．y=x2−4 C．y=x2+x−3 D．y=7x2+x+1
1
【变式4-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，将函数y= (x−2) 2+1的图象沿y轴向上平移得到一
2
条新函数的图象，其中点A(1,m)，B(4,n)平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9
（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
1 1
A．y= (x−2) 2+2 B．y= (x−2) 2+7
2 2
1 1
C．y= (x−2) 2+5 D．y= (x−2) 2+4
2 2
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】（23-24九年级·四川达州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 关于 轴对称
y=−(x+1) 2+2 y
的抛物线的解析式为( )
A． B．
y=−(x−1) 2+2 y=−(x+1) 2−2
C． D．
y=(x+1) 2−2 y=(x−1) 2+2
【变式5-1】（23-24九年级·安徽淮北·阶段练习）求抛物线y=x2−2x−1关于直线x=−1对称的抛物线的
函数表达式．
1
【变式5-2】（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）将函数y= (x+2) 2的图像沿x轴翻折后得到的函数解析式
51
是 ；将函数y= (x+2) 2的图像沿y轴翻折后得到的函数解析式是 ．
5
1
【变式5-3】（23-24·湖北武汉·一模）直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线y=－ x2-4x在直线y=m上
2
侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图像，若新的函数图像刚好与直
线y=－x有3个交点，则满足条件的m的值为
【题型6 二次函数图象的旋转变换】
【例6】（23-24·广东中山·一模）如图，一段抛物线 记为 ，它与 轴交于点 ，
y=−x2+8x(0≤x≤8) C x O
1
A 两点；将C 绕点A 旋转180°得到C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得到C ，交x轴于点A ，
1 1 1 2 2 2 2 3 3
…，如此下去，得到一条“波浪线”．若点M(2023,m) 在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．−8 B．8 C．−7 D．7
【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期中）将二次函数 的图象绕点 旋转 得到的图
y=(x−2) 2+1 (2,1) 180°
象满足的解析式为（ ）
A． B．
y=(x−2) 2+1 y=(x+2) 2+1
C． D．
y=−(x−2) 2+1 y=−(x+2) 2−1
1
【变式6-2】（23-24九年级·河南新乡·阶段练习）抛物线y=− x2+x+1经过平移、旋转或轴对称后，不
2
可能得到的抛物线是（ ）
1 1
A．y=− x2+x B．y= x2−x−1
2 21
C．y=− x2+2021x−2022 D．y=−x2+x+1
2
【变式6-3】（23-24·陕西榆林·二模）二次函数 （ 为常数且 ）的图象与 轴交于点
y=m(x+3) 2−3 m m≠0 y
A．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图像与y轴交于点B，若AB=12，则m的
值为（ ）
1 1
A．1或− B．1或−3 C．3 D．
3 3
知识点4：二次函数图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左
同右异”
3、c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】
【例7】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(−1,0)，与y轴的交点
C在(0,3)，(0,4)之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x=1，有以下结论：
①abc>0；
②3a+c=0；
16
③抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ；
3
其中正确结论的个数是（ ）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【变式7-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点
A(a,b+c)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式7-2】（23-24九年级·广东汕尾·期中）如图所示的二次函数y=ax²+bx+c图象中，有以下信息：
①c>0；②abc<0；③a−b+c>0；④b2>4ac；⑤2a=−2b．其中正确的有
________（填序号）
【变式7-3】（23-24九年级·云南昭通·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是
直线 ，且过点 ，下列说法：① ；② ；③若 是抛物线上两
x=−1 (−3,0) bc<0 2a−b=0 (−4,y ),(−2,y )
1 2
点，则y <y ；④4a+2b+c>0；⑤3a+c=0，其中正确的有（ ）
1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例8】（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，已知抛物线 y=ax2+bx，则直线y=ax+b不经过的
象限是 ．
【变式8-2】（23-24·四川德阳·二模）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过 象限．
【变式8-3】（23-24·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数
的大致图像可能是（ ）
y=ax2−b(a≠0)
A． B．
C． D．
