专题 28.6 锐角三角函数全章专项复习【2 大考点 10 种题型】
【人教版】
【考点1 锐角三角函数】..........................................................................................................................................1
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】.........................................................................................................2
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】.................................................................................................6
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】...............................................................................................12
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】...........................................................................................15
【考点2 解直角三角形】........................................................................................................................................20
【题型5 解直角三角形】........................................................................................................................................22
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】................................................................................................................26
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】....................................................................................................................31
【题型8 与方位角有关的问题】............................................................................................................................37
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】....................................................................................................................44
【题型10 方案设计问题】........................................................................................................................................54
【考点1 锐角三角函数】
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的 邻 边 与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与 邻 边 的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.
∠A的对边 a
sinA= =
斜边 c
B
正弦：
∠A的邻边 b c a
cosA= = 斜边
斜边 c 对边
余弦： ；
A
b 邻边 C
∠A的对边 a
tanA= =
∠A的邻边 b
正切： 。
常见三角函数值：
锐角
α 30° 45° 60°
三角函数1 √2 √3
sinα
2 2 2
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】
【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=7，BC=9，现把矩形纸片折叠，
使得点C落在AB边上的点C′处（不与A，B重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD边于点E，设折痕
为PQ．若△PBC′≌△C′ AE，则cos∠BC′P的值为（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 7 5 7
【答案】A
【分析】设BC′=m，由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠得PC′=PC，
∠PC′E=∠C=90°，则∠BC′P=∠AEC′=90°−∠AC′E，因为△PBC′≌ △C′ AE，所以
BP=AC′=7−m，BC′=AE=m，可求得C′E=2+m，由勾股定理得m2+(7−m) 2=(2+m) 2，求得符合
BC′ 3
题意的m值为3，则BC′=3，PC′=5，所以cos∠BC′P= = ，于是得到问题的答案．
PC′ 5
【详解】解：设BC′=m，
∵四边形ABCD是矩形，AB=7，BC=9，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
由折叠得PC′=PC，∠PC′E=∠C=90°，
∴∠BC′P=∠AEC′=90°−∠AC′E，∵△PBC′≌ △C′ AE，
∴BP=AC′=7−m，BC′=AE=m，
∵PC′=C′E，且PC′=PC=9−(7−m)=2+m，
∴C′E=2+m，
∵AE2+AC′2=C′E2，
∴m2+(7−m) 2=(2+m) 2，
解得m =3，m =15（不符合题意，舍去），
1 2
∴BC′=3，PC′=2+3=5，
BC′ 3
∴cos∠BC′P= = ，
PC′ 5
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直
角三角形等知识，掌握轴对称的性质是关键．
【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，则tanA
的值为 ．
5
【答案】
12
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设BC=5x,AB=13x，利用勾股定理求出
AC=12x，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，
求解即可．
【详解】解：如图：
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC:AB=5:13，
∴可设BC=5x,AB=13x，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√(13x) 2−(5x) 2=12x，
BC 5
故tan A= = ．
AC 125
故答案为： ．
12
【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分线交CD于E，连接AE，则tan∠AEB=
．
【答案】2
【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，
即△ABE是直角三角形，过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示，由矩形的判定与性质得到
FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中及在Rt△ADE中，有勾股定理得到AE的长，在Rt△ABE中，由正
切定义代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵ CD ∠ABC
是 的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
{
AB=BC
)
∠ABE=∠CBE
BE=BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即△ABE是直角三角形，
过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示：
∴∠AFB=∠BCD=90°
，
∵ AD∥BC，∴∠ADC=∠BCD=90°，即四边形AFCD是矩形，
∴FC=AD,AF=DC，
在Rt△ABF中，AB=5，BF=BC−CF=BC−AD=5−2=3，则由勾股定理可得
AF=❑√AB2−BF2=4，则DC=4，
设AE=CE=x，则DE=4−x，
5
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+DE2=AE2，即22+(4−x) 2=x2，解得x= ，
2
AB 5
tan∠AEB= = =2
在Rt△ABE中， AE 5 ，
2
故答案为：2．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性
质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性
质及判定是解决问题的关键．
【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，
2❑√5
cos∠ABC= ，则sin∠BAD= ．
5
3
【答案】 /0.6
5
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，设CD=a,BD=3a，则BC=4a，由
2❑√5 6❑√5
cos∠ABC= 可得AB=2❑√5a，BE= a，利用勾股定理求出AD,DE，根据正弦的定义即可求
5 5
解．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，
∵3CD=BD，
∴设CD=a,BD=3a，
∴BC=4a，
2❑√5
∵cos∠ABC= ，
5
BC 2❑√5 BE 2❑√5
∴ = , = ，
AB 5 BD 5
4a 2❑√5 BE 2❑√5
∴ = , = ，
AB 5 3a 5
6❑√5
∴AB=2❑√5a,BE= a，
5
6❑√5 4❑√5
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√ (2❑√5a) 2 −(4a) 2=2a,AE=AB−BE=2❑√5a− a= a，
5 5
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√(2a) 2+a2=❑√5a，
∴DE=❑√AD2−AE2=❑ √ (❑√5a) 2 − (4❑√5 a ) 2 = 3❑√5 a，
5 5
3❑√5
a
∴ DE 5 3，
sin∠BAD= = =
AD ❑√5a 5
3
故答案为： ．
5
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，
那么sin∠ACB的值为（ ）❑√5 ❑√5 2❑√5 1
A． B． C． D．
2 5 5 3
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．
也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，设小正方形的边长为a，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，
∴AB=❑√a2+(3a) 2=❑√10a，BC=❑√a2+(3a) 2=❑√10a，AC=❑√(2a) 2+(2a) 2=2❑√2a，
∴AB=BC，
∵BM⊥AC，
∴点M是AC的中点，
1 1
∴CM= AC= ×2❑√2a=❑√2a，
2 2
在Rt△BCM中，BM=❑√BC2−CM2=❑√(❑√10a) 2 −(❑√2a) 2=2❑√2a，
BM 2❑√2a 2❑√5
∴sin∠ACB= = = ，
BC ❑√10a 5
2❑√5
∴sin∠ACB的值为 ．
5
故选：C．
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，将正方形ABCD折
叠，使点D与点E重合，MN为折痕，则sin∠MNB的值是（ ）2❑√5 ❑√5 ❑√3 3
A． B． C． D．
5 5 2 5
【答案】A
【分析】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，连接DE交MN与O，设正方形
❑√5
的边长为2a，由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得DO=EO= a，DM=ME，DE⊥MN，
2
5
由勾股定理可求DM= a，由锐角三角函数可求解．
4
【详解】
解：如图，连接DE交MN与O，
设正方形的边长为2a，
∵点E为AB边的中点，
∴AE=a，
∴DE=❑√AD2+AE2=❑√4a2+a2=❑√5a,
∵将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，
❑√5
∴DO=EO= a，DM=ME，DE⊥MN，
2
∵M E2=AE2+AM2，
∴DM2=(2a−DM) 2+a2，5
∴DM= a，
4
∵AD∥BC，
∴∠DMN=∠BNM，
❑√5
a
DO 2 2❑√5
∴sin∠MNB=sin∠DMN= = = ，
DM 5 5
a
4
故选：A．
【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，
7 ❑√14
∠ABD＝2∠CBD，若BC＝ ，CD＝ ，则cos∠CBD＝ ．
2 2
❑√14
【答案】
4
【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠CDB＝2∠CBD，
∵DM＝DC，
∴∠DCM＝∠M，
∴∠CDB＝2∠M，
∴∠CBD＝∠M，
∴CB＝CM，
∵CQ⊥BD，
∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，在△ABP和△CDQ中，
{∠APB=∠COD
)
∠ABP=∠CDQ ，
AB=CD
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴BP＝DQ，
❑√14
∴PQ＝CD＝ ，
2
设BP＝DQ＝x，
∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，
7 2 ❑√14 ❑√14
∴( ) ﹣（x+ ）2＝（ ）2﹣x2，
2 2 2
3❑√14
解得x＝ ，
8
3❑√14
∴BP= ，
8
3❑√14 ❑√14 7❑√14
∴BQ= + = ，
8 2 8
7❑√14
BQ 8 ❑√14
∴cos∠CBD＝ ＝ ．
BC 7 4
2
❑√14
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，等知识．灵活
运用平行四边形性质证明全等三角形是本题关键．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A′重合，连接EA′并延长
分别交BD，BC于点G，F，且BG=BF．（1）若∠AEB=55°，则∠EBD= ．
AB 3
（2）若 = ，则tan∠ABE的值为 ．
BC 4
❑√10−1
【答案】 40°
3
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠AEB=∠A′EB，进而求出∠AE A′=∠AEB+∠A′EB=110°，则
∠≝=∠BFG=70°，根据等边对等角可得∠BGF=∠BFG=70°，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，得到四边形ABHE、EHCD均为矩形，根据BG=BF得到
∠BGF=∠BFG，由平行线的性质得∠DEG=∠BFG，由对顶角相等得∠BGF=∠DGE，则
∠DEG=∠DGE，进而得到DE=DG，根据勾股定理求出BD=5x，设BG=BF= y，则
DG=DE=5x−y，AE=BH= y−x，FH=x，再根据勾股定理求得EF=❑√10x，根据折叠的性质可得，
AB=A′B=3x，AE=A′E= y−x，∠A=∠BA′E=90°，于是A′F=(❑√10+1)x−y，∠BA′F=90°，
在Rt△A′BF中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解
题关键．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠≝=∠BFG，
根据折叠的性质可得，∠AEB=∠A′EB，
∵∠AEB=55°，
∴∠AEA′=∠AEB+∠A′EB=110°，
∴∠≝=70°，
∴∠BFG=70°，
∵BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG=70°，
∴∠GBF=180°−∠BGF−∠BFG=40°；故答案为：40°；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ ABCD AB=3x BC=4x
四边形 为矩形，设 ， ，
∴AD=BC=4x，AB=CD=3x，∠A=90°，AD∥BC，
∵EH⊥BC，
∴四边形ABHE、EHCD均为矩形，
∴AE=BH，AB=EH=3x，DE=CH，
∵BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG，
∵AD∥BC，
∴∠DEG=∠BFG，
∵∠BGF=∠DGE，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DE=DG，
在Rt△ABD中，AB=3x，AD=4x，
∴ BD=❑√AB2+AD2=❑√(3x) 2+(4x) 2=5x，
设BG=BF= y，则DG=DE=5x−y，
∴AE=AD−DE=4x−(5x−y)= y−x，
∴BH=AE= y−x，
∴FH=BF−BH= y−(y−x)=x，
在Rt△EFH中，EF=❑√EH2+FH2=❑√(3x) 2+x2=❑√10x，
根据折叠的性质可得，AB=A′B=3x，AE=A′E= y−x，∠A=∠BA′E=90°，
∴A′F=EF−A′E=❑√10x−(y−x)=(❑√10+1)x−y，∠BA′F=90°，
在Rt△A′BF中，A′B2+A′F2=BF2，
∴ (3x) 2+[(❑√10+1)x−y) 2 = y2，解得：y=❑√10x，
AE ❑√10x−x ❑√10−1
∴tan∠ABE= = =
AB 3x 3
❑√10−1
故答案为：
3
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】
【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0变形为(x+a) 2=b的形式，那么以a，b
长为直角边的 Rt△ABC中cosB的值是（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】B
【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题
关键．根据配方法可求出a=3，b=4，结合勾股定理可求出Rt△ABC的斜边长为5，最后根据余弦的定
义求解即可．
【详解】解：方程x2+6x+5=0变形为(x+a) 2=b的形式为(x+3) 2=4，
∴a=3，b=4．
∵Rt△ABC以a，b长为直角边，
∴Rt△ABC的斜边长为❑√a2+b2=5，
3
∴cosB= ．
5
故选 ．
B 1
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若cosα， 是关于x的方程3x2−5kx+2k−1=0的两个
cosα
实数根，则cosα=（ ）
❑√3 1 1
A． B．3 C． D．3或
3 3 3
【答案】C
1 2k−1
【分析】利用根与系数的关系得出cosα⋅ = =1，进而得出k，将k代入一元二次方程求出方
cosα 3
程的根即可．1
【详解】解：∵cosα， 是关于x的方程3x2−5kx+2k−1=0的两个实数根，
cosα
1 2k−1
∴cosα⋅ = =1，解得：k=2，
cosα 3
即：3x2−10x+3=0，则(3x−1)(x−3)=0，
1
解得x = ，x =3，
1 3 2
∵0<cosα<1
1
∴cosα= ，
3
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的取值范围及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根与
b c
系数的关系：x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
【变式3-2】（2024·云南临沧·二模）如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt ABC的两条边， ABC最
小的角为A，那么tanA的值为（ ） △ △
3 3 4 3 3
A． B． C． D． 或
4 5 5 4 5
【答案】D
【分析】首先解出方程的解为3或5，接着分情况讨论：①当3和5为直角边时；②当5为斜边时，另一直
角边为4，再根据tan函数的定义即可得出答案.
【详解】x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
则x﹣3＝0，x﹣5＝0，
解得x＝3或5，
3
①当3和5为直角边时：tanA＝ ．
5
3
②当5为斜边时，另一直角边为4，tanA＝ ．
4
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程以及锐角三角函数，关键是要掌握正切：锐角A的对边a与邻边
b的比叫做∠A的正切.
【变式3-3】（2024·四川成都·二模）关于x的方程2x2−5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角△ABC的一个内角；关于y的方程y2−10 y+m2−4m+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，则
△ABC的周长是 ．
【答案】16或10+2❑√5
4
【分析】根据方程2x2−5xsinA+2=0有两个相等的实数根，求得sinA= ；根据y的方程
5
y2−10y+m2−4m+29=0的两个根判定m=2，得证△ABC是等腰三角形，分类计算即可．
【详解】∵方程2x2−5xsin A+2=0有两个相等的实数根，
∴(−5sin A) 2−4×2×2=0，
4 4
∴sinA= ，sinA=- （舍去），
5 5
∵方程y2−10y+m2−4m+29=0有两个根，
∴(−10) 2−4×(m2−4m+29)≥0，
∴(m−2) 2≤0，
∵(m−2) 2≥0，
∴m-2=0，
∴方程有两个相等的实数根，
10
∴y = y = =5，
1 2 2
当∠A为等腰三角形的顶角时，过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1:
4
∵AB=AC=5，sinA= ，
54
∴BD=ABsinA=5× =4，AD=❑√52−42=3，
5
∴DC=2，
∴BC=❑√BD2+CD2=❑√22+42=2❑√5，
∴△ABC的周长是10+2❑√5；
当∠A为等腰三角形的底角时，过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图2:
4
∵AB=BC=5，sinA= ，
5
4
∴BE=ABsinA=5× =4，AE=❑√52−42=3，
5
∴AE=CE=3，
∴AC=6，
∴△ABC的周长是10+6=16；
故答案为：16或10+2❑√5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，实数的非负性，等腰三角形的分类思想，锐角三角函数，
利用方程根的特点确定角的正弦，实数的非负性，确定三角形是等腰三角形是解题的关键．
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】
【例4】（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为
4
(10,4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE= ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积
3
分成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）3 5
A．y=3x B．y=− x+ C．y=−2x+11 D．y=−2x+12
4 2
【答案】D
【分析】如图，连接AC，BO交于点D，连接AE，BF交于点H，连接DH，过E作EG⊥AB于点G，由
题意知，EG=8，EB=EF=AB=10，∠EGB=90°，D，H分别为线段OB，FB的中点，在
Rt△EGB中，由勾股定理求BG的值，可得AG的值，则可确定E，F的坐标，进而可得D，H的坐标，
由题意知，直线DH将矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，设直线DH的解析
式为y=kx+b，待定系数法求k，b的值，进而可得直线解析式．
【详解】解：如图，连接AC，BO交于点D，连接AE，BF交于点H，连接DH，过E作EG⊥AB于点G，
由题意可得：∠EGB=90°，D，H分别为线段OB，FB的中点，
4
∵顶点B的坐标为(10,4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=
3
∴EB=EF=AB=10，EG=8，在Rt△EGB中，由勾股定理得，BG=❑√EB2−EG2=6，
∴AG=AB−BG=4，
∴E(4，12)，F(−6，12)，
(10+0 4+0) (−6+10 12+4)
∴D ， ，H ， ，即D(5，2)，H(2，8)，
2 2 2 2
由题意知，直线DH将矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，设直线DH的解析式为y=kx+b，
{2=5k+b)
将D(5,2)，H(2,8)代入得， ，
8=2k+b
{k=−2)
解得， ，
b=12
∴直线DH的解析式为y=−2x+12，即为直线l的解析式，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形、菱形的性质、勾股定理、坐标与图形、中点坐标、求一次函数解析式，解题的
关键在于明确直线l即为直线DH．
【变式4-1】（2024·山东德州·二模）将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中
∠OBA=90°，∠A=30°，顶点A的坐标为(1,❑√3)，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第
2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为 ．
【答案】(−1,❑√3)
【分析】先确定6次一个循环，再确定第2023次旋转的位置，再构建直角三角形求解即可．
【详解】解：∵A(1,❑√3)，∠ABO=90°，
∴OB=1，AB=❑√3，
∵∠A=30°，
∴OA=2OB=2，
∵ 将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，
∴ 旋转6次回到原位置，
∵2023÷6=337······1,
所以旋转2023次的位置如图示，由题意可得：tan∠AOB=❑√3,
∴∠AOB=∠A′OB′=60°,∠A′OH=60°,
过A′作A′H⊥OB于H，
1
∴OH= A′O=1,A′H=❑√22−12=❑√3,
2
∴第2023次旋转结束时，点A对应点的坐标为(−1,❑√3)，
故答案为(−1,❑√3)．
【点睛】本题考查图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握探究规律
的方法，属于中考常考题型．
【变式4-2】（2024·湖北恩施·三模）蜂巢结构精巧，左图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，右图
中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐标系，已知P(0,−2)，
则Q点坐标为（ ）
A．(−2❑√3,3) B．(−2❑√3,4) C．(−❑√3,3) D．(−❑√3,4)
【答案】B
180°×4
【分析】如图，由正六边形，可得∠BAP= =120°，∠OAP=∠OPA=∠OAB=60°，则
6
△AOP是等边三角形，OA=AP=OP=2，则CD=OD=OA⋅sin60°=❑√3，QC=4，OC=2❑√3，进而
可得Q点坐标．【详解】解：如图，
∵正六边形，
180°×4
∴∠BAP= =120°，∠OAP=∠OPA=∠OAB=60°，
6
∴△AOP是等边三角形，OA=AP=OP=2，
∴CD=OD=OA⋅sin60°=❑√3，QC=4，
∴OC=2❑√3，
∴Q(−2❑√3,4)，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标等知识．熟练掌握正多边
形的内角，等边三角形的判定与性质，正弦，点坐标是解题的关键．
【变式4-3】（2024·湖北武汉·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、D在第一象限内且点
A(a−1,3a)，点C(−1,0)点B(2,0)，∠ACD=45°，点B到射线CD的最小值是 ．
3❑√5 3
【答案】 / ❑√5
5 5
【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，设直线
AC交y轴于点E，过点C作CN⊥AC，过点B作BM⊥CD于点M，交CN于点N，过点B作BF⊥CN
于点F，CN交y轴于点G，求出直线AC的解析式，得OE=3，然后根据勾股定理可得CE=❑√10，证明
∠CEO=∠BCF，根据已知条件证明△MCN和△BFN都是等腰直角三角形，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，设直线AC交y轴于点E，过点C作CN⊥AC，过点B作BM⊥CD于点M，交CN于点N，过点B作BF⊥CN于点F，CN交y轴于点G，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵点A(a−1,3a)，点C(−1,0)，
{k(a−1)+b=3a)
∴ ，
−k+b=0
{k=3)
解得， ，
b=3
直线AC的解析式为y=3x+3，
当x=0时，y=3,
∴E(0,3)，
∴OE=3
∵C(−1,0)
∴OC=1,
∴CE=❑√OC2+OE2=❑√12+32=❑√10,
OC 1 OC ❑√10
∴tan∠CEO= = ，sin∠CEO= = ，
OE 3 CE 10
∵∠CEO+∠ECO=90°，∠BCF+∠ECO=90°，
∴∠CEO=∠BCF，
❑√10
∴sin∠BCF= ，
10
∵B(2，0)，
∴OB=2,
∴BC=OC+OB=1+2=3，
3❑√10
∴BF=BC•sin∠BCF= ，
10
BF 1
∵tan∠BCF=tan∠CEO= = ，
CF 33❑√10 9❑√10
∴CF=3× = ，
10 10
∵∠ACD=45°，
∴∠MCN=∠MNC=45°=∠NBF，
∴△MCN和△BFN都是等腰直角三角形，
3❑√5 3❑√10
∴BN=❑√2BF= ，FN=BF= ，
5 10
6
∴CN=CF+FN= ❑√10，
5
❑√2 ❑√2 6 6
∴MN= CN= × ❑√10= ❑√5，
2 2 5 5
6❑√5 3❑√5 3❑√5
∴BM=MN−BN= − = ．
5 5 5
3❑√5
∴点B到射线CD的最小值是 ．
5
3❑√5
故答案为： ．
5
【考点2 解直角三角形】
1.解直角三角形
解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。除直角外，共5个元素(三
边、两锐角)，若知道其中2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
a2 +b2 =c2
（1）三边之间的关系： （勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
2.解直角三角形的类型
已知条件 解 法
两直角边(如a，b) 由tan A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；c＝
斜边、一直角边(如c，a) 由sin A＝，求∠A；∠B＝90°－∠A；b＝
一锐角与邻边(如∠A，b) ∠B＝90°－∠A；a＝b·tan A；c＝一锐角与对边(如∠A，a) ∠B＝90°－∠A；b＝； c＝
斜边与一锐角(如c，∠A) ∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A； b＝c·cos A
3.锐角三角函数的实际应用
1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有
较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：
(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的
已知条件，画出它的平面图或截面示意图．
(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等．
(3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分
割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．
(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．
(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．
4.锐角三角函数实际应用中的相关概念
(1)仰角、俯角
如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做
俯角．
(2)坡度(坡比)、坡角
如图②，坡面的高度h和水平距离l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tan α＝，坡面与水平面的夹角α叫
坡角．
(3)方向角
指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如
图③，OA是表示北偏东60°方向的一条射线．
注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏
西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西
右东。
(4)方位角
从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角.
5.三角函数常见模型图1 图2
如图1是基本图形，若B、C、D在同一直线上，且∠ABC等于90°，∠ACB=α，∠ADB=β，CD=a，
AB=x，则有x=BD·tanβ，x=CB·tanα，
∴ ， ；变式为图2，则结论为
【题型5 解直角三角形】
1
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠BAD= ，
2
1
tan∠CAD= ，则∠BAC的度数是( )
3
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形,根据题意画出图形, 令AD=x，勾股定理求得AB,AC，根据等面积法求
EC
得CE，根据sin∠BAC= ，即可求解．
AC
【详解】解：△ABC如图所示，
1 1
∵tan∠BAD= tan∠CAD=
2 3
， ，
则令AD=x，
1 1
∴BD= x，CD= x．
2 3在Rt△ABD中，
AB= ❑ √ x2+ (1 x ) 2 = ❑√5 x，
2 2
❑√10
同理可得，AC= x．
3
过点C作AB的垂线，垂足为E，
1 1
则 AB⋅CE= BC⋅AD，
2 2
❑√5
∴CE= x．
3
在Rt△ACE中，
❑√5
x
CE 3 ❑√2
sin∠BAC= = = ，
AC ❑√10 2
x
3
∴∠BAC=45°．
故选： ．
B 4
【变式5-1】（23-24九年级·河北石家庄·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sin A= ，则AB的
5
值为（ ）
A．4.8 B．9 C．7.5 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦函数的定义即可直接求解，解题的关键是掌握在直角
三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
【详解】解：如图，
BC 4
∵sin A= = ，
AB 5
∴设BC=4x，AB=5x，∴由勾股定理得：AC=❑√AB2−BC2=❑√(5x) 2−(4x) 2=3x=6，
解得：x=2，
∴AB=5x=10，
故选：D．
【变式5-2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，△ABC与△≝¿均为等边三角形，O为BC，EF的中点，
点D在边AC上，则AD:BE的值 ．
【答案】❑√3
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，连接OA、OD，由已知可以推
OD OA
出 = =❑√3，推出△DOA∽△EOB，根据锐角三角函数即可推出AD:BE的值．
OE OB
【详解】解：连接OA、OD，如图，
∵△ABC，△≝¿均为等边三角形，O为BC，EF的中点，
∴∠OED=60°，∠ABC=60°，AO⊥BC，DO⊥EF，
∴∠DOE=∠AOB=90°，
OD OA
∴ = =tan60°=❑√3，
OE OB
∵∠DOE=∠AOB=90°，
∴∠DOE−∠EOA=∠AOB−∠EOA，
即∠DOA=∠EOB，
OD OA
∵ = =❑√3．
OE OB∴△DOA∽△EOB，
∴AD:BE=AO:OB=DO:EO=❑√3．
故答案为：❑√3．
【变式5-3】（2024·浙江杭州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=3，D为边AB上
EF
一点，且AD=2BD，过点D作DE⊥DC，交BC于点F，连接CE，若∠DCE=∠B，则 的值为
DF
．
7
【答案】
4
【分析】本题考查了勾股定理，三角函数，过点F作FG⊥AB，可得BD=2，CD=5，由∠DCE=∠B
DE AC 1 1 5
得tan∠B=tan∠DCE= = = ，即得DE= CD= ，又由∠A=∠CDF=90°可得
CD AB 2 2 2
AD FG 4
∠ACD=∠FDG，得到 = = ，DG=3t，则FG=4t，DF=5t，同理可得
AC DG 3
FG AC 1 2
tan∠B= = = ，得到BG=2FG=8t，即可得BD=DG+BG=11t=2，得到t= ，进而得到
BG AB 2 11
10 35
DF=5t= ，EF=DE−DF= ，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
11 22
【详解】解：如图，过点F作FG⊥AB，
∵AD=2BD，
2
∴AD= AB=4，BD=AB−AD=2，
3
在Rt△ACD中，CD=❑√AC2+AD2=5，∵∠DCE=∠B ，
DE AC 1
∴tan∠B=tan∠DCE= = = ，
CD AB 2
1 5
∴DE= CD= ，
2 2
∵∠A=∠CDF=90°，
∴∠ACD+∠ADC=∠ADC+∠EDG=90°，
∴∠ACD=∠FDG，
AD FG 4
∴tan∠ACD=tan∠FDG，即 = = ，
AC DG 3
设DG=3t，则FG=4t，
在Rt△DGF中，DF=❑√DG2+FG2=5t，
FG AC 1
同理可得，tan∠B= = = ，
BG AB 2
∴BG=2FG=8t，
∴BD=DG+BG=11t=2，
2
解得t= ，
11
10
∴DF=5t= ，
11
5 10 35
∴EF=DE−DF= − = ，
2 11 22
35
EF 22 7
∴ = = ，
DF 10 4
11
7
故答案为： ．
4
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】
【例6】（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，
则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．【答案】8❑√3
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作AM⊥BC于M，
AN⊥CD于N，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得AM=AN，即可
AN
得到四边形ABCD是菱形，再解Rt△ADN可得AD= =2❑√3cm，即可求解，得出四边形ABCD是
sin60°
菱形是解题的关键．
【详解】解：过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，则∠∧=90°，
∵两张纸条的对边平行，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴AM=AN，
∵S =BC·AM=CD·AN，
▱ABCD
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
在Rt△ADN中，∠ADN=60°，AN=3cm，
AN 3
AD= = =2❑√3cm
∴ sin60° ❑√3 ，
2
∴四边形ABCD的周长为2❑√3×4=8❑√3cm，
故答案为：8❑√3．3❑√10 4
【变式6-1】（2024·江苏常州·一模）在锐角△ABC中，sinA= ，cosB= ，若AB=15，则AC=
10 5
．
【答案】3❑√10
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，学会作出辅助线构造直角三
角形解决问题．过点C作CD⊥AB构造直角三角形，再根据三角函数定义解直角三角形即可．
【详解】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，
BD 4
∵cosB= = ，
BC 5
∴设BD=4k，BC=5k，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
CD2=(5k) 2−(4k) 2，
∴CD=3k，
CD 3❑√10
∵sinA= = ，
AC 10
∴AC=❑√10k，
由勾股定理得：AD=k，
∴AB=k+4k=5k=15，
∴k=3，∴AC=3❑√10．
故答案为：3❑√10
【变式6-2】（2024·河南周口·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，AB=6，点E是∠BAC的平分线
AD上的一动点，连接CE，将点E绕点C顺时针旋转60°得到点F，连接CF，BF．若△BCF是直角三角
形，则线段AE的长为
【答案】3❑√3或4❑√3
【分析】根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得AC=BC，∠CAD=30°，再根据旋转的性质可得
∠ACB=∠ECF=60°，EC=FC，利用等量代换可得∠ACE=∠BCF，证得△ACE≌△BCF(SAS)，
可得∠CAE=∠CBF=30°，∠AEC=∠BFC，∠ACE=∠BCF，由△BCF是直角三角形，分类讨论：
∠AEC=∠BFC=90°或∠ACE=∠BCF=90°进行求解即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴AC=BC，∠CAD=30°，
∵将点E绕点C顺时针旋转60°得到点F，
∴∠ACB=∠ECF=60°，EC=FC，
∴∠ACE+∠ECB=60°，∠BCF+∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF(SAS)，
∴∠CAE=∠CBF=30°，∠AEC=∠BFC，∠ACE=∠BCF，
∵△BCF是直角三角形，
当∠AEC=∠BFC=90°，
1
在Rt△AEC中，EC= AC=3，
2
∴AE=❑√62−32=3❑√3，当∠ACE=∠BCF=90°时，
AC 6
在Rt△ACE中，cos∠CAE= ，即cos30°= ，
AE AE
∴AE=4❑√3，
故答案为：3❑√3或4❑√3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、
勾股定理、锐角三角函数及旋转的性质，熟练掌握相关定理证得△ACE≌△BCF，进行分类讨论是解题的
关键
【变式6-3】（2024·湖南·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=❑√3，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为 ．
3
【答案】 /1.5
2
【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线段最短等等，
在AC上截取AH=AN，连接BH、MH，易证明△AHM≌△ANM(SAS)，得到HM=NM，则
BM+MN=BM+HM，故当B、M、H三点共线，且BH⊥AC时，BM+HM最小， 即此时
BM+MN最小，最小值即为BH的长，解直角三角形求出BH的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，在AC上截取AH=AN，连接BH、MH，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
又∵AH=AN，AM=AM，
∴△AHM≌△ANM(SAS)，
∴HM=NM，
∴BM+MN=BM+HM，
∴当B、M、H三点共线，且BH⊥AC时，BM+HM最小， 即此时BM+MN最小，最小值即为BH
的长，
∴此时∠AHB=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABH=30°，
❑√3 3
∴BH=AB⋅cos∠ABH=❑√3× = ，
2 2
3
∴BM+HM的最小值为 ，
2
3
故答案为： ．
2
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】
【例7】（2024九年级·山东青岛·专题练习）小智测量广场上篮球筐距地面的高度．如图，已知篮球筐的直
径AB约为0.45m，小智站在C处，先仰视篮球筐直径的一端 A处，测得仰角为 42°，再调整视线，测得
篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°．若小智的目高OC为1.6m，求篮球筐距地面的高度AD．(结果精
确到0.1m，参考数据：tan42°≈0.9,tan35°≈0.7 ,tan48°≈1.1 ,tan55°≈1.4)【答案】篮球筐距地面的高度AD约为3.0m
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用——仰俯角问题，恰当构造直角三角形，正确应用锐角三角函
数的定义式是解题的关键．
过点B作BG⊥CD，交CD的延长线于点G，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交 BG于点 F，
OE=xm，解Rt△AOE可得AE=0.9x，解Rt△BOF，建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过点B作BG⊥CD，交CD的延长线于点G，过点O作OE⊥AD于点E，延长OE交
BG于点 F．
由题意得AB=EF=0.45m，OC=ED=1.6m，AE=BF．
设OE=xm，则OF=(x+0.45)m．
AE AE
在Rt△AOE中，∠AOE=42°，tan42°= = ≈0.9，
OE x
解得AE=0.9x，
∴BF=0.9xm．
在Rt△BOF中，∠BOF=35°，OF·tan35°=BF，
∴(x+0.45)×0.7=0.9x,
解得x=1.575，
∴AE=0.9x=1.4175m，
∴AD=AE+ED=3.0175≈3.0(m)．
答：篮球筐距地面的高度AD约为3.0m．
【变式7-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线
与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，
小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地
面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底
端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．
（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75）
(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；
(2)求“美”字AG的高度．
【答案】(1)1.5，2
(2)41.2m
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）证明△DCE是等腰直角三角形，即可求得DC=CE=1.5m，解直角三角形即可求得CF=2m；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=BE=163.3m，进一步求得BF=162.8m，然后解直角三角形即
可求得BG=122.1m，即可求得AG=41.2m．
【详解】（1）解：∵∠MDE=45°，
∴∠DEC=45°，
∵DC⊥BC，
∴ △DCE是等腰直角三角形，
∴DC=CE=1.5m，
在Rt△DCF中，∠DFC=36.9°，DC=1.5m，
DC 1.5
∴DF= = =2.5(m)，
sin36.9° 0.60
∴CF=❑√DF2−DC2=❑√2⋅52−1⋅52=2(m)；
故答案为：1.5，2；
（2）∵∠DEC=45°，
∴∠AEB=45°，∴∠BAE=45°，
∴AB=BE=163.3m，
由题意可知∠MDF=36.9°，
∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°
∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m)，
∴BF=163.3−0.5=162.8(m)，
在Rt△BFG中，
BG=tan∠GFB⋅BF≈0.75×162.8=122.1(m)，
∴AG=163.3−122.1=41.2(m)，
即“美”字的高度AG约为41.2m．
【变式7-2】（2024·山西大同·二模）2024年是甲辰龙年，在山西太原汾河景区有一条名为“中华第一巨
龙”的景观灯，某数学兴趣小组准备用所学的知识测量这条“巨龙”的龙头头顶A距离地面的高度AB
（如图），下面是他们的测量过程：小组成员在点C处测得BC与人行道的夹角为45°，测得龙头头顶A
的仰角为28°；沿着人行道直行43m到达点D处，此时测得BD与人行道的夹角恰好也是45°．已知B，
C，D三点在同一水平面上，A，B两点在垂直于水平面的同一竖直直线上，即AB⊥BC，AB⊥BD，测
角仪距地面的高度忽略不计，请根据以上测得的数据，估计龙头头顶A距离地面的高度AB．（结果精确
到0.1m；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，❑√2≈1.41）
【答案】16.1m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先证明△BCD是等腰直角三角形，求得BC的长，在Rt△ABC
中，解直角三角形即可求解．
【详解】解：根据题意，得∠BCD=∠BDC=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，CD=43，
43❑√2
∴BC=CD⋅sin45°= ，
2∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
AB
在Rt△ABC中，∠ACB=28°，tan∠ACB= ，
BC
43❑√2
∴AB=BC⋅tan28°≈ ×0.53≈16.1(m)．
2
答：龙头头顶A距离地面的高度AB约为16.1m．
【变式7-3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利
用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为3，山坡上点D处测得顶点A的仰角
7
∠ADG的正切值为 ．斜坡CD的坡比为1:2.4，两观测点CD的距离为26m．
9
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算C，D两点的垂直高度差．
任务2：求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆AB的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
2
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为 ；
3
1
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为 ．
15
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度．
【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米
【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，解直角三角形的应用−坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键．
任务一，过点D作DH⊥CF，垂足为H，利用勾股定理求出CD，再求出DH的长即可；
任务二，延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，CM=x米，则DN=(x+24)米，利用三
角函数求出AN和MN，即可求出AM；
任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可．
【详解】解：任务1：过点D作DH⊥CF，垂足为H，
∵斜坡CD的坡比为1:2.4，
∴设DH=x米，则CH=2.4x米，
在Rt△CDH中，CD=❑√CH2+DH2=2.6x（米)，
∵CD=26
米，
∴2.6x=26，
解得：x=10，
∴DH=10米，CH=24米，
∴C，D两点的垂直高度差为10米；
任务2:
延长AB交FE的延长线于点M，延长DG交AB于点N，
由题意得：DH=NM=10米，DN=MH，
设CM=x米，
∵CH=24米，
∴DN=MH=CM+CH=(x+24)米，
在Rt△ACM中，tan∠ACM=3，∴AM=CM⋅tan∠ACM=3x )
（米 ，
7
在Rt△ADN中，tan∠ADN= ，
9
7
∴AN=DN⋅tan∠ADN= (x+24)米，
9
∵AM=AN+MN，
7
∴3x= (x+24)+10，
9
解得：x=12.9，
∴AM=3．x=38.7（米)，
∴顶点A到水平地面的垂直高度为38.7米；
任务3:
若选择小组一的方案：
2
在Rt△BCM中，tan∠BCM= ，CM=12.9米，
3
2
∴BM=CM⋅tan∠BCM=12.9× =8.6（米)，
3
∴AB=AM−BM=38.7−8.6=30.1（米)，
∴旗杆AB的高度为30.1米；
若选择小组二的方案：
1
在Rt△DNB中，tan∠NDB= ，DN=MH=CM+CH=24+12.9=36.9（米)，
15
1
∴BN=DN⋅tan∠NDB=36.9× =2.46（米)，
15
7
在Rt△ADN中，tan∠ADN ，
9
7
∴AN=DN⋅tan∠ADN=36.9× =28.7（米)，
9
∴AB=AN+BN=28.7+2.46=31.16（米)，∴旗杆AB的高度为31.16米．
【题型8 与方位角有关的问题】
【例8】（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关
研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A A A A A A A A 的边长为
1 2 3 4 5 6 7 8
❑√2
km，南门O设立在A A 边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A A 在BM上（门宽
2 6 7 6 7
及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A 处测得雕塑在北
1
偏东45°方向上，在A 处测得雕塑在北偏东59°方向上．
2
(1)∠C A A = __________°，∠C A A = __________°；
1 2 2 1
(2)求点A 到道路BC的距离；
1
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不
会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：❑√2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，
sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
【答案】(1)90°，76°
(2)2.0km
(3)24km
【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
❑√2
（2）过点A 作A D⊥BC，垂足为D，解Rt△C A A ，求出C A =A A ⋅cot14°≈ ×4.00=2❑√2，
1 1 2 1 1 1 2 2
❑√2
解Rt△C A D，求出A D=C A ⋅cos45°=2❑√2× =2.0km，即可；
1 1 1 2
（3）连接C A 并延长交BM于点E，延长A A 交BE于点G，过点A 作A F⊥BC，垂足为F，解
8 1 8 8 8
Rt△A A G，求出A G，证明Rt△C A F∽Rt△CEB，列出比例式进行求解即可．
7 8 8 8360°
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为： =45°，
8
∴∠C A A =45°+45°=90°，∠C A A =180°−45°−59°=76°；
1 2 2 1
（2）解：过点A 作A D⊥BC，垂足为D．
1 1
∵∠C A A =90°
1 2
❑√2
∴在Rt△C A A 中，A A = ，∠C A A =76°，
2 1 2 1 2 2 1
∴∠A C A =90°−76°=14°，
1 2
❑√2
∴C A =A A ⋅cot14°≈ ×4.00=2❑√2(km)．
1 1 2 2
在Rt△C A D中，∠C A D=90°−45°=45°，
1 1
❑√2
∴A D=C A ⋅cos45°=2❑√2× =2.0(km)．
1 1 2
答：点A 到道路BC的距离为2.0千米．
1
（3）解：连接C A 并延长交BM于点E，延长A A 交BE于点G，过点A 作A F⊥BC，垂足为F．
8 1 8 8 8
∵正八边形的外角均为45°，
❑√2 1
∴在Rt△A A G中，A G=A A × = ．
7 8 8 7 8 2 2
1
∴FB=A G= ．
8 2
❑√2
又∵A F=A D=CD=2，DF=A A = ，
8 1 1 8 2
5+❑√2
∴CB=CD+DF+FB= ．
2
∵∠CF A =∠B,∠FC A =∠BCE，
8 8
∴Rt△C A F∽Rt△CEB，
8❑√2
2+
CF A F 2 2
∴ = 8 ，即 = ，
CB EB 5+❑√2 EB
2
∵❑√2≈1.41，
∴EB≈2.4km．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本
题的关键．
【变式8-1】（2024·山东东营·一模）如图，某海岸线M的方向为北偏东75°，甲、乙两船同时出发向C处
海岛运送物资．甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，其中乙船
的平均速度为v．若两船同时到达C处海岛，求甲船的平均速度（结果用v表示）．
【答案】甲船的平均速度约为❑√2v．
【分析】本题考查了解直角三角形，30°角的直角三角形的性质，过点C作CD⊥AM，垂足为D，构造
直角三角形，可得△ACD是含有30°角的直角三角形，△BCD是含有45°角的直角三角形，设CD=a，则
BD=a，BC=❑√2a，AC=2CD=2a，再根据时间相等即可求出甲船的速度，掌握直角三角形的边角关
系，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】如图，过点C作CD⊥AM，垂足为D，
由题意，得∠CAD=75°−45°=30°，∠CBD=75°−30°=45°，
设CD=a，
CD CD
∴BD= =a，BC= =❑√2a，AC=2CD=2a，
tan45° sin45°∵两船同时到达C处海岛，
AC BC
=
∴ ，
v v
甲 乙
2a ❑√2a
∴ = ，
v v
甲
2av
∴v = =❑√2v，
甲 ❑√2a
答：甲船的平均速度约为❑√2v．
【变式8-2】（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图所示为某景区五个景点A、B、C、D、E的平面示意
图，B在A的正东方方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C
在A的北偏东45°方向上，C、E均在B的正北方向．
(1)填空：∠CAD= 度，∠ADE= 度；
(2)求景点B、E之间的距离；
(3)求景点A、C之间的距离．
【答案】(1)15，150；
(2)150米；
(3)150❑√6+140❑√2（米）
【详解】（1）解：如图：
由题意得：∠FAD=60°，∠FAC=45°，∠FAB=90°，DE∥AB，∴∠CAD=∠FAD−∠FAC=15°，∠DAB=∠FAB−∠FAD=30°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=180°−∠DAB=150°，
故答案为：15，150；
（2）解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，
由题意得：DH=BE，AD=300米，
在Rt△ADH中，∠DAH=30°，
1
∴DH= AD=150（米)，
2
∴BE=DH=150米，
∴景点B、E之间的距离为150米；
（3）解：由题意得：DE=BH=140米，BC⊥AB，
在Rt△ADH中，∠DAH=30°，DH=150米，
∴AH=❑√3DH=150❑√3（米)，
∴AB=AH+BH=(150❑√3+140)米，
在Rt△ABC中，∠CAB=∠FAB−∠FAC=45°，
AB 150❑√3+140
∴AC= = =(150❑√6+140❑√2)
cos45° ❑√2 米，
2
∴景点A、C之间的距离为(150❑√6+140❑√2)米．
【变式8-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台A处
向正南方向走200米到达亚洲餐台B处，再从B处向正东方向走500米到达中餐餐台C处，然后从C处向北
偏西37°走到就餐区D处，最后从D回到A处，已知就餐区D在A的北偏东73°方向，求中餐台C到就餐区
19 29 10
D（即CD）的距离．（结果保留整数，参考数值：sin73°≈ ，cos73°≈ ，tan73°≈ ，
20 100 33 4 3
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 4
【答案】约为357米
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．过点D作DM⊥BC，
1500
垂足为M，过点A作AN⊥DM，垂足为N，根据三角函数值计算得出MC= m，再根据
7
MC
sin∠MDC= 即可得到答案．
DC
【详解】解：如图，过点D作DM⊥BC，垂足为M，过点A作AN⊥DM，垂足为N，由题意得，
AB=200m，BC=500m,∠DAE=73°,∠DCF=37°，
则四边形ABMN、ANDE、CFDM都是矩形，
∴∠ADN=∠DAE=73°,∠MDC=∠DCF=37°，
设MC=x米，则BM=AN=(500−x)米，
在Rt△ADN中，
AN 10 500−x
∵tan∠ADN= ，即 = ，
DN 3 DN
1500−3x
∴DN= 米，
10在Rt△DMC中，
MC 3 x
∵tan∠MDC= ，即 = ，
DM 4 DM
4x
∴DM= 米，
3
又∵DM−DN=MN=AB=200米，
4x 1500−3x
∴ − =200，
3 10
1500
解得x= ，
7
1500
即MC= 米，
7
在Rt△DMC中，
1500
MC
∵sin∠MDC= ，即3 7 ，
DC =
5 DC
2500
∴DC= ≈357米，
7
答：中餐台C到就餐区D(即CD)的距离约为357米．
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打
造喷水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿
道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），当水柱离
喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水
花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，
喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．
3
【答案】(1)y=− (x−2) 2+3
4
(2)不能，理由见详解
7
(3)① 米，②3ℎ 2+2ℎ−21=16m
3
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，坡度比，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能运用待定系数
法求解析式是关键．
（1）依据题意得：二次函数的顶点坐标为(2,3)．故设该二次函数的解析式为：y=a(x−2) 2+3，再结合
经过原点，求出a即可得解；
3 21
（2）依据题意，由（1）该二次函数的解析式为：y=− (x−2) 2+3，从而可得当x=3.5时，y= ，进
4 16
而可以判断得解；
（3）①先求出A(3.5,0)，B的坐标为(6,−5)，再设AB的解析式为y =kx+b(k≠0)，建立方程组可得k，
1
b进 而可得直线AB，再与抛物线解析式建立方程组，进而计算可以判断得解；②根据平移可得新的抛物
3
线解析式为：y=− (x−2) 2+3+m，结合坝面AB的坡比为i=1:0.5，根据①中求解点B坐标的方法同理
4
可求出点G的坐标为： ( 3.5+ 1 ℎ,−ℎ ) ，根据点G在抛物线y=− 3 (x−2) 2+3+m的图象上，问题即可
2 4
得解．
【详解】（1）由题意得：二次函数的顶点坐标为(2,3)．
∴设该二次函数的解析式为：y=a(x−2) 2+3(a≠0)，
∵二次函数经过原点，
∴4a+3=0，3
解得：a=− ．
4
3
∴该二次函数的解析式为：y=− (x−2) 2+3；
4
（2）水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
3 21
当x=3.5时，y=− (x−2) 2+3= =1.3125，
4 16
∵1.3125>1.2，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）①∵河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE）
AE
∴ =i=1:0.5，
BE
即BE=2.5，
则点B与原点O的水平距离为：3.5+2.5=6，
∴点B的坐标为(6,−5)，
又∵点A的坐标为(3.5,0)，
设AB的解析式为y =kx+b(k≠0)
1
{3.5k+b=0)
∴
6k+b=−5
{k=−2)
解得：
b=7
∴y =−2x+7(3.5≤x≤6)．
1
3
∴−2x+7=− (x−2) 2+3
4
14
解得：x =2（不合题意，舍去），x = ，
1 2 3
14 7
当x= 时，y=− ，
3 3
7
即：河水离地平面AD距离为 米时，水柱刚好落在水面上；
3
3
②将抛物线y=− (x−2) 2+3向上平移m米，
4
3
则可得新的抛物线解析式为：y=− (x−2) 2+3+m，
4
当坝中水面离地平面距离为h米，则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为：−ℎ，如图，
结合坝面AB的坡比为i=1:0.5，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：
( 1 )
3.5+ ℎ,−ℎ ，
2
3
∵点G在抛物线y=− (x−2) 2+3+m的图象上，
4
3( 1 ) 2
∴− 3.5+ ℎ−2 +3+m=−ℎ，
4 2
整理得：3ℎ 2+2ℎ−21=16m，
即m与h的关系式为：3ℎ 2+2ℎ−21=16m．
【变式9-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学
社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台ED上架设测角仪EF，从F处测得塔的最高点
A的仰角为42°，测出DE=BC=23m，台阶可抽象为线段CD，CD=20❑√3m，台阶的坡角为30°，测角
仪EF的高度为2.5m，塔身可抽象成线段AB．
(1)求测角仪EF与塔身AB的水平距离；
(2)求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，
❑√3≈1.73）【答案】(1)76m
(2)53.6m
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长AB交ED的延长线于点G，过点F作FH⊥AG于点H，过点C作CM⊥DG于点M，则
1
GM=BC=23m，BG=CM，易得CM= CD=10❑√3(m)，根据勾股定理得出
2
DM=❑√CD2−CM2=30(m)，最后FH=DE+DM+BC即可解答；
（2）由（1）可知，FH=76m，根据题意得出GH=EF=2.5m，BG=CM=10❑√3m，∠AFG=42°，
AH
则tan∠AFH= =tan42°≈0.90，AH≈0.90FH，根据AB=AH+GH−BG，即可解答．
FH
【详解】（1）解：如图，延长AB交ED的延长线于点G，过点F作FH⊥AG于点H，过点C作
CM⊥DG于点M，
则GM=BC=23m，BG=CM，
由题意可知，∠CDM=30°，CD=20❑√3m，
1
∴CM= CD=10❑√3(m)，
2
∴DM=❑√CD2−CM2=❑√(20❑√3) 2 −(10❑√3) 2=30(m)，
∴FH=DE+DM+BC=23+30+23=76(m)，
答：测角仪EF与塔身AB的水平距离为76m；
（2）解：由（1）可知，FH=76m，
由题意可知，GH=EF=2.5m，BG=CM=10❑√3m，∠AFG=42°，
AH
∵tan∠AFH= =tan42°≈0.90，
FH
∴AH≈0.90FH=0.90×76=68.4(m)，
∴AB=AH+GH−BG≈68.4+2.5−10❑√3≈53.6(m)，
答：塔身AB的高度约为53.6m．【变式9-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测
量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C
的仰角为 31°，塔底 B 的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米， OA=300米，
图中的点O， B， C， A， P在同一平面内．
(1)求P到OC的距离；
(2)求山坡的坡度tanα．（参考数据∶ sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50，sin31°≈0.52，
tan31°≈0.60）
【答案】(1)点P到OC的距离为400米
(2)0.4
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）过点P作PH⊥OC于点H，得出CH=0.6PH，BH=0.5PH，根据BC=40米，得出
CH−BH=40，列出方程求解即可；
（2）过点P作PG⊥OA于点G，先求出BH=PH⋅tan26.6°=200米，则OH=OB−BH=40米，通过
证明四边形PGOH为矩形，得出PG=OH=40米，PH=OG=400米，进而得出AG=OG−OA=100米，
PG
最后根据tanα= 即可解答．．
AG
【详解】（1）解：过点P作PH⊥OC于点H，∵∠CPH=31°,∠BPH=26.6°，
∴CH=PH⋅tan∠CPH=PH⋅tan31°≈0.6PH，
BH=PH⋅tan∠BPH=PH⋅tan26.6°≈0.5PH，
∵BC=40米，
∴CH−BH=40，即0.6PH−0.5PH=40，
解得：PH=400，
答：点P到OC的距离为400米．
（2）解：过点P作PG⊥OA于点G，
∵PH=400米，∠BPH=26.6°，
∴BH=PH⋅tan26.6°=200米，
∵OB=240米，
∴OH=OB−BH=40（米），
∵PG⊥OA，PH⊥OC，∠O=90°，
∴四边形PGOH为矩形，
∴PG=OH=40米，PH=OG=400米，
∵OA=300米，
∴AG=OG−OA=100米，
PG 40
∴tanα= = =0.4．
AG 100【变式9-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置
后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，
BE=20m，DE=2m，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子
移动至E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE =2m；再将镜子移动至E 处，恰好通过镜
1 1 2
子看到广告牌的底端A，测出DE =3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m，BD=10m，求这
2
个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如
图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子
平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测
8
出坡比为8:15（即tan∠ADG= ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整
15
数）．【答案】[问题背景] AB=17m；[活动探究] AG=3.5m；[应用拓展] AB≈20m
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答
案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，
作差求解即可得到答案；
AM AB
[应用拓展] 过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，证△DCN∽△ABM，得 = ，
DN CD
AM 8 15a 15b
再由锐角三角函数定义得tan∠ABM= = ，设DN=am，AM=bm，则CN= ，BM= ，
BM 15 8 8
BM EM
进而由勾股定理求出a=0.8m，然后由相似三角形的性质得 = ，即可解决问题．
CN EN
【详解】解：[问题背景]如图所示：
∵ ∠CEF=∠AEF AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD
， ，
∴∠AEB=∠CED,∠B=∠D=90°，
∴△ABE∽△CDE，
AB CD
∴ = ，
BE DE
∵ CD=1.7m，BE=20m，DE=2m，AB 1.7
∴ = ，解得AB=17m；
20 2
[活动探究]如图所示：
∵ GB⊥BD,CD⊥BD
，
∴∠B=∠D=90°，
∵∠GE B=∠CE D
1 1
∴△GBE ∽△CDE ，
1 1
GB CD
∴ = ，
BE DE
1 1
∵ DE =2m，BD=10m，
1
∴ BE =BD−DE =10−2=8m，
1 1
∵CD=1.7m，
GB 1.7
∴ = ，解得GB=6.8m；
8 2
∵ GB⊥BD,CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∵∠AE B=∠CE D
2 2
∴△ABE ∽△CDE ，
2 2
AB CD
∴ = ，
BE DE
2 2
∵ DE =3.4m，BD=10m，
2
∴ BE =BD−DE =10−3.4=6.6m，
2 2
∵CD=1.7m，
AB 1.7
∴ = ，解得GB=3.3m；
6.6 3.4
∴AG=GB−AB=6.8−3.3=3.5m；
[应用拓展] 如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，BG⊥DG CD⊥DG
由题意得： ， ，
∴∠AGD=∠CDG=∠BMA=∠CND=90°，
∵∠BAM=∠GAD，
∴90°−∠BAM=90°−∠GAD，
即∠ABM=∠ADG，
∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ADG+∠CDN=90°，
∴∠CDN=∠DAG，
∴90°−∠CDN=90°−∠DAG，
即∠DCN=∠ADG，
∴∠DCN=∠ADG=∠ABM，
∴△DCN∽△ABM，
AM AB
∴ = ，
DN CD
由题意得：AE=AD−DE=17−2.8=14.2(m)，
8
∵tan∠ADG= ，
15
DN 8 AM 8
∴tan∠DCN= = ，tan∠ABM= = ，
CN 15 BM 15
15a 15b
设DN=am，AM=bm，则CN= ，BM= ，
8 8
∵CN2+DN2=CD2，
∴
(15a) 2
+a2=1.72 ，
8
解得：a=0.8(m)（负值已舍去），
15×0.8
∴EN=DE−DN=2.8−0.8=2(m)，CN= =1.5(m)，
8b AB
∴ = ，
0.8 1.7
17b
∴AB= ，
8
同【问题背景】得：△BME∽△CNE，
BM EM
∴ = ，
CN EN
15b
∴ 8 14.2+b，
=
1.5 2
426
解得：b= (m)，
45
17 426
∴AB= × ≈20(m)，
8 45
答：信号塔AB的高度约为20m．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知
识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
【题型10 方案设计问题】
【例10】（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中
国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校
综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量
应县木塔
对象
测量
学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
目的
测量
无人机
工具
1.先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P，测得塔的顶端A的俯角为16°；
测量
方案
2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行60m至点C，然后沿垂直方向上升20m至点Q，测得塔的
顶端A的俯角∠DQA=45°，图中各点均在同一竖直平面内．
测量
示意
图请根据以上测量数据，求应县木塔AB的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，
cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）．
【答案】67.3m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，延长BA交QD于点E，延长PC交BE于点F，
根据题意可得：PG=BF=100m，QC=EF=20m，PC=60m，QE=CF，BE⊥QD，PF⊥BE，然
后设QE=CF=x m，则PF=(x+60)m，分别在Rt△APF和Rt△AQE中，利用锐角三角函数的定义求出
AF和AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长BA交QD于点E，延长PC交BE于点F，
由题意得：PG=BF=100m，QC=EF=20m，PC=60m，QE=CF，BE⊥QD，PF⊥BE，
设QE=CF=x m，
∴PF=PC+CF=(x+60)m，
在Rt△APF中，∠APF=16°，
∴AF=PF⋅tan16°≈0.29(x+60)m，
在Rt△AQE中，∠AQE=45°，
∴AE=QE⋅tan45°=x(m)，
∵AF+EF=AE，
∴0.29(x+60)+20=x，
解得：x≈52.68，
∴AE=52.68m，
∴AB=BF+EF−AE=100+20−52.68≈67.3(m)，
∴应县木塔AB的同度约为67.3m．
【变式10-1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林
防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，AC在一条笔直公路上，公
路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东55°方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两
种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离B点最近的C处再跑步到B点救援；方案
2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度为5m/s，骑车的速度为20m/s．（参考
数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
(1)AB的长为__________米（结果保留整数）；
(2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．
【答案】(1)976
(2)选择方案一更合理．见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键．
（1）在Rt△ABC中，直接根据正弦函数关系即可求出AB；
（2）求出BC，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由．
【详解】（1）解：由题意，知AC=800米，∠B=55°，
在Rt△ABC中，
AC 800
AB= ≈ ≈976（米），
sin55° 0.82
故答案为：976；
（2）解：选择方案一更合理．
理由：在Rt△ABC中，
AC 800
BC= = ≈559（米），
tan55° 1.43
AC BC 800 559
方案一需要时间为： + ≈ + ≈151.8(s)，
20 5 20 5
AB 976
方案二需要时间为： ≈ =195.2(s)，
5 5
∵151.8<195.2，
∴选择方案一更合理．
【变式10-2】（2024·甘肃天水·模拟预测）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于
元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，
画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，
永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数
（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为3.9m，∠CAD=42°，∠CBD=58°．
解决问题：求高跷关公腿CD高度．
根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，
tan42°=0.90，sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°≈1.60．
【答案】2.3m
【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意得，CD⊥AB，设AD=xm，DB=(3.9−x)m，在
Rt△ACD中，利用锐角三角函数可得CD=xtan42°，在Rt△CDB中，利用锐角三角函数求得
CD=(3.9−x)tan58°，从而可得0.9x=1.6(3.9−x)，再求解即可．
【详解】解：由题意得，CD⊥AB，
设AD=xm，DB=(3.9−x)m，
CD CD
在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，即tan42°= ，
AD x
∴CD=xtan42°，
CD CD
在Rt△CDB中，tan∠CBD= ，即tan58°= ，
BD 3.9−x
∴CD=(3.9−x)tan58°，
∴xtan42°=(3.9−x)tan58°，即0.9x=1.6(3.9−x)，
解得x≈2.5，
∴CD=xtan42°=2.5×0.9≈2.3m，
答：高跷关公腿CD高度为2.3m．
【变式10-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课
探究物理实验装置中的几何测量问题
题成
组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
员
实
验
测角仪，皮尺，摄像机等
工
具
方
案
方案一 方案二
设
计
测
量
方
案
示 （已知 （已知
意 PC⊥AC） PB⊥AC）
图
说 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到
明 达水平面的位置，点C为木块的位置．
测
AB=4米，∠PBC=40°， AC=5.9米，∠PCB=40°，
量
数 ∠PAB=15°． ∠PAB=22°．
据
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据
tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40）
【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离1.6米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键；
选择方案一：在Rt△PBC中，有PC=BC⋅tan∠PBC；在Rt△PAC中，有PC=(BC+AC)tan∠PAB，
由此建立方程，求得BC，即可求得PC的长；
选择方案二：在Rt△PBC中，有PB=BC⋅tan∠PCB；在Rt△PAB中，有PB=(AC−BC)tan∠PAB，
由此建立方程，求得BC，即可求得PB的长；
【详解】解：选择方案一：在Rt△PBC中，有PC=BC⋅tan∠PBC=BC⋅tan40°；
在Rt△PAC中，有PC=(BC+AC)tan∠PAB=(BC+4)tan15°，
即：BC⋅tan40°=(BC+4)tan15°，
4tan15°
∴BC= ，
tan40°−tan15°
4tan15°⋅tan40°
∴PC=BC⋅tan40°= ≈1.6（米）；
tan40°−tan15°选择方案二：在Rt△PBC中，有PB=BC⋅tan∠PCB=BC⋅tan40°；
在Rt△PAB中，有PB=AB⋅tan∠PAB=(AC−BC)⋅tan∠PAB=(5.9−BC)⋅tan22°，
即(5.9−BC)⋅tan22°=BC⋅tan40°，
5.9⋅tan22°
BC= ，
tan40°+tan22°
5.9⋅tan22°tan40°
∴PB= ≈1.6（米）；
tan40°+tan22°
答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米．
