文档内容
专题 28.6 锐角三角函数全章专项复习【2 大考点 10 种题型】
【人教版】
【考点1 锐角三角函数】..........................................................................................................................................1
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】.........................................................................................................2
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】.................................................................................................6
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】...............................................................................................12
【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】...........................................................................................15
【考点2 解直角三角形】........................................................................................................................................20
【题型5 解直角三角形】........................................................................................................................................22
【题型6 构造直角三角形解斜三角形】................................................................................................................26
【题型7 与仰角、俯角有关的问题】....................................................................................................................31
【题型8 与方位角有关的问题】............................................................................................................................37
【题型9 与坡角、坡度有关的问题】....................................................................................................................44
【题型10 方案设计问题】........................................................................................................................................54
【考点1 锐角三角函数】
1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.
2.在直角三角形中，一个锐角的 邻 边 与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .
3.在直角三角形中，一个锐角的对边与 邻 边 的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.
∠A的对边 a
sinA= =
斜边 c
B
正弦：
∠A的邻边 b c a
cosA= = 斜边
斜边 c 对边
余弦： ；
A
b 邻边 C
∠A的对边 a
tanA= =
∠A的邻边 b
正切： 。
常见三角函数值：
锐角
α 30° 45° 60°
三角函数1 √2 √3
sinα
2 2 2
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】
【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=7，BC=9，现把矩形纸片折叠，
使得点C落在AB边上的点C′处（不与A，B重合），点D落在D′处，此时，C′D′交AD边于点E，设折痕
为PQ．若△PBC′≌△C′ AE，则cos∠BC′P的值为（ ）
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 7 5 7
【答案】A
【分析】设BC′=m，由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠得PC′=PC，
∠PC′E=∠C=90°，则∠BC′P=∠AEC′=90°−∠AC′E，因为△PBC′≌ △C′ AE，所以
BP=AC′=7−m，BC′=AE=m，可求得C′E=2+m，由勾股定理得m2+(7−m) 2=(2+m) 2，求得符合
BC′ 3
题意的m值为3，则BC′=3，PC′=5，所以cos∠BC′P= = ，于是得到问题的答案．
PC′ 5
【详解】解：设BC′=m，
∵四边形ABCD是矩形，AB=7，BC=9，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
由折叠得PC′=PC，∠PC′E=∠C=90°，
∴∠BC′P=∠AEC′=90°−∠AC′E，∵△PBC′≌ △C′ AE，
∴BP=AC′=7−m，BC′=AE=m，
∵PC′=C′E，且PC′=PC=9−(7−m)=2+m，
∴C′E=2+m，
∵AE2+AC′2=C′E2，
∴m2+(7−m) 2=(2+m) 2，
解得m =3，m =15（不符合题意，舍去），
1 2
∴BC′=3，PC′=2+3=5，
BC′ 3
∴cos∠BC′P= = ，
PC′ 5
故选：A．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直
角三角形等知识，掌握轴对称的性质是关键．
【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，则tanA
的值为 ．
5
【答案】
12
【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设BC=5x,AB=13x，利用勾股定理求出
AC=12x，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，
求解即可．
【详解】解：如图：
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC:AB=5:13，
∴可设BC=5x,AB=13x，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√(13x) 2−(5x) 2=12x，
BC 5
故tan A= = ．
AC 125
故答案为： ．
12
【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，
∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分线交CD于E，连接AE，则tan∠AEB=
．
【答案】2
【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，
即△ABE是直角三角形，过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示，由矩形的判定与性质得到
FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中及在Rt△ADE中，有勾股定理得到AE的长，在Rt△ABE中，由正
切定义代值求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
∵ CD ∠ABC
是 的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
{
AB=BC
)
∠ABE=∠CBE
BE=BE
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即△ABE是直角三角形，
过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示：
∴∠AFB=∠BCD=90°
，
∵ AD∥BC，∴∠ADC=∠BCD=90°，即四边形AFCD是矩形，
∴FC=AD,AF=DC，
在Rt△ABF中，AB=5，BF=BC−CF=BC−AD=5−2=3，则由勾股定理可得
AF=❑√AB2−BF2=4，则DC=4，
设AE=CE=x，则DE=4−x，
5
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+DE2=AE2，即22+(4−x) 2=x2，解得x= ，
2
AB 5
tan∠AEB= = =2
在Rt△ABE中， AE 5 ，
2
故答案为：2．
【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性
质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性
质及判定是解决问题的关键．
【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，
2❑√5
cos∠ABC= ，则sin∠BAD= ．
5
3
【答案】 /0.6
5
【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，设CD=a,BD=3a，则BC=4a，由
2❑√5 6❑√5
cos∠ABC= 可得AB=2❑√5a，BE= a，利用勾股定理求出AD,DE，根据正弦的定义即可求
5 5
解．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，
∵3CD=BD，
∴设CD=a,BD=3a，
∴BC=4a，
2❑√5
∵cos∠ABC= ，
5
BC 2❑√5 BE 2❑√5
∴ = , = ，
AB 5 BD 5
4a 2❑√5 BE 2❑√5
∴ = , = ，
AB 5 3a 5
6❑√5
∴AB=2❑√5a,BE= a，
5
6❑√5 4❑√5
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√ (2❑√5a) 2 −(4a) 2=2a,AE=AB−BE=2❑√5a− a= a，
5 5
∴AD=❑√AC2+CD2=❑√(2a) 2+a2=❑√5a，
∴DE=❑√AD2−AE2=❑ √ (❑√5a) 2 − (4❑√5 a ) 2 = 3❑√5 a，
5 5
3❑√5
a
∴ DE 5 3，
sin∠BAD= = =
AD ❑√5a 5
3
故答案为： ．
5
【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，
那么sin∠ACB的值为（ ）❑√5 ❑√5 2❑√5 1
A． B． C． D．
2 5 5 3
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．
也考查了等腰三角形的三线合一性质．
【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，设小正方形的边长为a，
∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，
∴AB=❑√a2+(3a) 2=❑√10a，BC=❑√a2+(3a) 2=❑√10a，AC=❑√(2a) 2+(2a) 2=2❑√2a，
∴AB=BC，
∵BM⊥AC，
∴点M是AC的中点，
1 1
∴CM= AC= ×2❑√2a=❑√2a，
2 2
在Rt△BCM中，BM=❑√BC2−CM2=❑√(❑√10a) 2 −(❑√2a) 2=2❑√2a，
BM 2❑√2a 2❑√5
∴sin∠ACB= = = ，
BC ❑√10a 5
2❑√5
∴sin∠ACB的值为 ．
5
故选：C．
【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，将正方形ABCD折
叠，使点D与点E重合，MN为折痕，则sin∠MNB的值是（ ）2❑√5 ❑√5 ❑√3 3
A． B． C． D．
5 5 2 5
【答案】A
【分析】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，连接DE交MN与O，设正方形
❑√5
的边长为2a，由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得DO=EO= a，DM=ME，DE⊥MN，
2
5
由勾股定理可求DM= a，由锐角三角函数可求解．
4
【详解】
解：如图，连接DE交MN与O，
设正方形的边长为2a，
∵点E为AB边的中点，
∴AE=a，
∴DE=❑√AD2+AE2=❑√4a2+a2=❑√5a,
∵将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，
❑√5
∴DO=EO= a，DM=ME，DE⊥MN，
2
∵M E2=AE2+AM2，
∴DM2=(2a−DM) 2+a2，5
∴DM= a，
4
∵AD∥BC，
∴∠DMN=∠BNM，
❑√5
a
DO 2 2❑√5
∴sin∠MNB=sin∠DMN= = = ，
DM 5 5
a
4
故选：A．
【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，
7 ❑√14
∠ABD＝2∠CBD，若BC＝ ，CD＝ ，则cos∠CBD＝ ．
2 2
❑√14
【答案】
4
【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠CDB＝2∠CBD，
∵DM＝DC，
∴∠DCM＝∠M，
∴∠CDB＝2∠M，
∴∠CBD＝∠M，
∴CB＝CM，
∵CQ⊥BD，
∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，在△ABP和△CDQ中，
{∠APB=∠COD
)
∠ABP=∠CDQ ，
AB=CD
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴BP＝DQ，
❑√14
∴PQ＝CD＝ ，
2
设BP＝DQ＝x，
∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，
7 2 ❑√14 ❑√14
∴( ) ﹣（x+ ）2＝（ ）2﹣x2，
2 2 2
3❑√14
解得x＝ ，
8
3❑√14
∴BP= ，
8
3❑√14 ❑√14 7❑√14
∴BQ= + = ，
8 2 8
7❑√14
BQ 8 ❑√14
∴cos∠CBD＝ ＝ ．
BC 7 4
2
❑√14
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，等知识．灵活
运用平行四边形性质证明全等三角形是本题关键．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A′重合，连接EA′并延长
分别交BD，BC于点G，F，且BG=BF．（1）若∠AEB=55°，则∠EBD= ．
AB 3
（2）若 = ，则tan∠ABE的值为 ．
BC 4
❑√10−1
【答案】 40°
3
【分析】（1）根据折叠的性质可得∠AEB=∠A′EB，进而求出∠AE A′=∠AEB+∠A′EB=110°，则
∠≝=∠BFG=70°，根据等边对等角可得∠BGF=∠BFG=70°，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，得到四边形ABHE、EHCD均为矩形，根据BG=BF得到
∠BGF=∠BFG，由平行线的性质得∠DEG=∠BFG，由对顶角相等得∠BGF=∠DGE，则
∠DEG=∠DGE，进而得到DE=DG，根据勾股定理求出BD=5x，设BG=BF= y，则
DG=DE=5x−y，AE=BH= y−x，FH=x，再根据勾股定理求得EF=❑√10x，根据折叠的性质可得，
AB=A′B=3x，AE=A′E= y−x，∠A=∠BA′E=90°，于是A′F=(❑√10+1)x−y，∠BA′F=90°，
在Rt△A′BF中，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解
题关键．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠≝=∠BFG，
根据折叠的性质可得，∠AEB=∠A′EB，
∵∠AEB=55°，
∴∠AEA′=∠AEB+∠A′EB=110°，
∴∠≝=70°，
∴∠BFG=70°，
∵BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG=70°，
∴∠GBF=180°−∠BGF−∠BFG=40°；故答案为：40°；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ ABCD AB=3x BC=4x
四边形 为矩形，设 ， ，
∴AD=BC=4x，AB=CD=3x，∠A=90°，AD∥BC，
∵EH⊥BC，
∴四边形ABHE、EHCD均为矩形，
∴AE=BH，AB=EH=3x，DE=CH，
∵BG=BF，
∴∠BGF=∠BFG，
∵AD∥BC，
∴∠DEG=∠BFG，
∵∠BGF=∠DGE，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DE=DG，
在Rt△ABD中，AB=3x，AD=4x，
∴ BD=❑√AB2+AD2=❑√(3x) 2+(4x) 2=5x，
设BG=BF= y，则DG=DE=5x−y，
∴AE=AD−DE=4x−(5x−y)= y−x，
∴BH=AE= y−x，
∴FH=BF−BH= y−(y−x)=x，
在Rt△EFH中，EF=❑√EH2+FH2=❑√(3x) 2+x2=❑√10x，
根据折叠的性质可得，AB=A′B=3x，AE=A′E= y−x，∠A=∠BA′E=90°，
∴A′F=EF−A′E=❑√10x−(y−x)=(❑√10+1)x−y，∠BA′F=90°，
在Rt△A′BF中，A′B2+A′F2=BF2，
∴ (3x) 2+[(❑√10+1)x−y) 2 = y2，解得：y=❑√10x，
AE ❑√10x−x ❑√10−1
∴tan∠ABE= = =
AB 3x 3
❑√10−1
故答案为：
3
【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】
【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0变形为(x+a) 2=b的形式，那么以a，b
长为直角边的 Rt△ABC中cosB的值是（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
【答案】B
【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题
关键．根据配方法可求出a=3，b=4，结合勾股定理可求出Rt△ABC的斜边长为5，最后根据余弦的定
义求解即可．
【详解】解：方程x2+6x+5=0变形为(x+a) 2=b的形式为(x+3) 2=4，
∴a=3，b=4．
∵Rt△ABC以a，b长为直角边，
∴Rt△ABC的斜边长为❑√a2+b2=5，
3
∴cosB= ．
5
故选 ．
B 1
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若cosα， 是关于x的方程3x2−5kx+2k−1=0的两个
cosα
实数根，则cosα=（ ）
❑√3 1 1
A． B．3 C． D．3或
3 3 3
【答案】C
1 2k−1
【分析】利用根与系数的关系得出cosα⋅ = =1，进而得出k，将k代入一元二次方程求出方
cosα 3
程的根即可．1
【详解】解：∵cosα， 是关于x的方程3x2−5kx+2k−1=0的两个实数根，
cosα
1 2k−1
∴cosα⋅ = =1，解得：k=2，
cosα 3
即：3x2−10x+3=0，则(3x−1)(x−3)=0，
1
解得x = ，x =3，
1 3 2
∵01.2，
∴水柱不能喷射到护栏上；
（3）①∵河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE）
AE
∴ =i=1:0.5，
BE
即BE=2.5，
则点B与原点O的水平距离为：3.5+2.5=6，
∴点B的坐标为(6,−5)，
又∵点A的坐标为(3.5,0)，
设AB的解析式为y =kx+b(k≠0)
1
{3.5k+b=0)
∴
6k+b=−5
{k=−2)
解得：
b=7
∴y =−2x+7(3.5≤x≤6)．
1
3
∴−2x+7=− (x−2) 2+3
4
14
解得：x =2（不合题意，舍去），x = ，
1 2 3
14 7
当x= 时，y=− ，
3 3
7
即：河水离地平面AD距离为 米时，水柱刚好落在水面上；
3
3
②将抛物线y=− (x−2) 2+3向上平移m米，
4
3
则可得新的抛物线解析式为：y=− (x−2) 2+3+m，
4
当坝中水面离地平面距离为h米，则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为：−ℎ，如图，
结合坝面AB的坡比为i=1:0.5，根据①中求解点B坐标的方法同理可求出点G的坐标为：
( 1 )
3.5+ ℎ,−ℎ ，
2
3
∵点G在抛物线y=− (x−2) 2+3+m的图象上，
4
3( 1 ) 2
∴− 3.5+ ℎ−2 +3+m=−ℎ，
4 2
整理得：3ℎ 2+2ℎ−21=16m，
即m与h的关系式为：3ℎ 2+2ℎ−21=16m．
【变式9-1】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学
社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台ED上架设测角仪EF，从F处测得塔的最高点
A的仰角为42°，测出DE=BC=23m，台阶可抽象为线段CD，CD=20❑√3m，台阶的坡角为30°，测角
仪EF的高度为2.5m，塔身可抽象成线段AB．
(1)求测角仪EF与塔身AB的水平距离；
(2)求塔身AB的高度．（结果精确到0.1）（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，
❑√3≈1.73）【答案】(1)76m
(2)53.6m
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）延长AB交ED的延长线于点G，过点F作FH⊥AG于点H，过点C作CM⊥DG于点M，则
1
GM=BC=23m，BG=CM，易得CM= CD=10❑√3(m)，根据勾股定理得出
2
DM=❑√CD2−CM2=30(m)，最后FH=DE+DM+BC即可解答；
（2）由（1）可知，FH=76m，根据题意得出GH=EF=2.5m，BG=CM=10❑√3m，∠AFG=42°，
AH
则tan∠AFH= =tan42°≈0.90，AH≈0.90FH，根据AB=AH+GH−BG，即可解答．
FH
【详解】（1）解：如图，延长AB交ED的延长线于点G，过点F作FH⊥AG于点H，过点C作
CM⊥DG于点M，
则GM=BC=23m，BG=CM，
由题意可知，∠CDM=30°，CD=20❑√3m，
1
∴CM= CD=10❑√3(m)，
2
∴DM=❑√CD2−CM2=❑√(20❑√3) 2 −(10❑√3) 2=30(m)，
∴FH=DE+DM+BC=23+30+23=76(m)，
答：测角仪EF与塔身AB的水平距离为76m；
（2）解：由（1）可知，FH=76m，
由题意可知，GH=EF=2.5m，BG=CM=10❑√3m，∠AFG=42°，
AH
∵tan∠AFH= =tan42°≈0.90，
FH
∴AH≈0.90FH=0.90×76=68.4(m)，
∴AB=AH+GH−BG≈68.4+2.5−10❑√3≈53.6(m)，
答：塔身AB的高度约为53.6m．【变式9-2】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测
量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C
的仰角为 31°，塔底 B 的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米， OA=300米，
图中的点O， B， C， A， P在同一平面内．
(1)求P到OC的距离；
(2)求山坡的坡度tanα．（参考数据∶ sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50，sin31°≈0.52，
tan31°≈0.60）
【答案】(1)点P到OC的距离为400米
(2)0.4
【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
（1）过点P作PH⊥OC于点H，得出CH=0.6PH，BH=0.5PH，根据BC=40米，得出
CH−BH=40，列出方程求解即可；
（2）过点P作PG⊥OA于点G，先求出BH=PH⋅tan26.6°=200米，则OH=OB−BH=40米，通过
证明四边形PGOH为矩形，得出PG=OH=40米，PH=OG=400米，进而得出AG=OG−OA=100米，
PG
最后根据tanα= 即可解答．．
AG
【详解】（1）解：过点P作PH⊥OC于点H，∵∠CPH=31°,∠BPH=26.6°，
∴CH=PH⋅tan∠CPH=PH⋅tan31°≈0.6PH，
BH=PH⋅tan∠BPH=PH⋅tan26.6°≈0.5PH，
∵BC=40米，
∴CH−BH=40，即0.6PH−0.5PH=40，
解得：PH=400，
答：点P到OC的距离为400米．
（2）解：过点P作PG⊥OA于点G，
∵PH=400米，∠BPH=26.6°，
∴BH=PH⋅tan26.6°=200米，
∵OB=240米，
∴OH=OB−BH=40（米），
∵PG⊥OA，PH⊥OC，∠O=90°，
∴四边形PGOH为矩形，
∴PG=OH=40米，PH=OG=400米，
∵OA=300米，
∴AG=OG−OA=100米，
PG 40
∴tanα= = =0.4．
AG 100【变式9-3】（2024·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置
后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，
BE=20m，DE=2m，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子
移动至E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE =2m；再将镜子移动至E 处，恰好通过镜
1 1 2
子看到广告牌的底端A，测出DE =3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m，BD=10m，求这
2
个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如
图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子
平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测
8
出坡比为8:15（即tan∠ADG= ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整
15
数）．【答案】[问题背景] AB=17m；[活动探究] AG=3.5m；[应用拓展] AB≈20m
【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答
案；
[活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，
作差求解即可得到答案；
AM AB
[应用拓展] 过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，证△DCN∽△ABM，得 = ，
DN CD
AM 8 15a 15b
再由锐角三角函数定义得tan∠ABM= = ，设DN=am，AM=bm，则CN= ，BM= ，
BM 15 8 8
BM EM
进而由勾股定理求出a=0.8m，然后由相似三角形的性质得 = ，即可解决问题．
CN EN
【详解】解：[问题背景]如图所示：
∵ ∠CEF=∠AEF AB⊥BD,FE⊥BD,CD⊥BD
， ，
∴∠AEB=∠CED,∠B=∠D=90°，
∴△ABE∽△CDE，
AB CD
∴ = ，
BE DE
∵ CD=1.7m，BE=20m，DE=2m，AB 1.7
∴ = ，解得AB=17m；
20 2
[活动探究]如图所示：
∵ GB⊥BD,CD⊥BD
，
∴∠B=∠D=90°，
∵∠GE B=∠CE D
1 1
∴△GBE ∽△CDE ，
1 1
GB CD
∴ = ，
BE DE
1 1
∵ DE =2m，BD=10m，
1
∴ BE =BD−DE =10−2=8m，
1 1
∵CD=1.7m，
GB 1.7
∴ = ，解得GB=6.8m；
8 2
∵ GB⊥BD,CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∵∠AE B=∠CE D
2 2
∴△ABE ∽△CDE ，
2 2
AB CD
∴ = ，
BE DE
2 2
∵ DE =3.4m，BD=10m，
2
∴ BE =BD−DE =10−3.4=6.6m，
2 2
∵CD=1.7m，
AB 1.7
∴ = ，解得GB=3.3m；
6.6 3.4
∴AG=GB−AB=6.8−3.3=3.5m；
[应用拓展] 如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，BG⊥DG CD⊥DG
由题意得： ， ，
∴∠AGD=∠CDG=∠BMA=∠CND=90°，
∵∠BAM=∠GAD，
∴90°−∠BAM=90°−∠GAD，
即∠ABM=∠ADG，
∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ADG+∠CDN=90°，
∴∠CDN=∠DAG，
∴90°−∠CDN=90°−∠DAG，
即∠DCN=∠ADG，
∴∠DCN=∠ADG=∠ABM，
∴△DCN∽△ABM，
AM AB
∴ = ，
DN CD
由题意得：AE=AD−DE=17−2.8=14.2(m)，
8
∵tan∠ADG= ，
15
DN 8 AM 8
∴tan∠DCN= = ，tan∠ABM= = ，
CN 15 BM 15
15a 15b
设DN=am，AM=bm，则CN= ，BM= ，
8 8
∵CN2+DN2=CD2，
∴
(15a) 2
+a2=1.72 ，
8
解得：a=0.8(m)（负值已舍去），
15×0.8
∴EN=DE−DN=2.8−0.8=2(m)，CN= =1.5(m)，
8b AB
∴ = ，
0.8 1.7
17b
∴AB= ，
8
同【问题背景】得：△BME∽△CNE，
BM EM
∴ = ，
CN EN
15b
∴ 8 14.2+b，
=
1.5 2
426
解得：b= (m)，
45
17 426
∴AB= × ≈20(m)，
8 45
答：信号塔AB的高度约为20m．
【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知
识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键．
【题型10 方案设计问题】
【例10】（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中
国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校
综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告：
测量
应县木塔
对象
测量
学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题
目的
测量
无人机
工具
1.先将无人机从地面的点G处垂直上升100m至点P，测得塔的顶端A的俯角为16°；
测量
方案
2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行60m至点C，然后沿垂直方向上升20m至点Q，测得塔的
顶端A的俯角∠DQA=45°，图中各点均在同一竖直平面内．
测量
示意
图请根据以上测量数据，求应县木塔AB的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，
cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）．
【答案】67.3m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，延长BA交QD于点E，延长PC交BE于点F，
根据题意可得：PG=BF=100m，QC=EF=20m，PC=60m，QE=CF，BE⊥QD，PF⊥BE，然
后设QE=CF=x m，则PF=(x+60)m，分别在Rt△APF和Rt△AQE中，利用锐角三角函数的定义求出
AF和AE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：延长BA交QD于点E，延长PC交BE于点F，
由题意得：PG=BF=100m，QC=EF=20m，PC=60m，QE=CF，BE⊥QD，PF⊥BE，
设QE=CF=x m，
∴PF=PC+CF=(x+60)m，
在Rt△APF中，∠APF=16°，
∴AF=PF⋅tan16°≈0.29(x+60)m，
在Rt△AQE中，∠AQE=45°，
∴AE=QE⋅tan45°=x(m)，
∵AF+EF=AE，
∴0.29(x+60)+20=x，
解得：x≈52.68，
∴AE=52.68m，
∴AB=BF+EF−AE=100+20−52.68≈67.3(m)，
∴应县木塔AB的同度约为67.3m．
【变式10-1】（2024·贵州安顺·二模）森林防火不仅是政府和相关部门的责任，每个公民应当参与到森林
防火工作中，了解相关防火知识并在日常生活中做出相应的贡献．如图所示，AC在一条笔直公路上，公
路两旁是林地，位于森林防火卡点A的北偏东55°方向的B处发生火灾，防火员从卡点A去火灾处救援有两
种方案，方案1：防火员立即骑车沿正东方向行驶800米到达离B点最近的C处再跑步到B点救援；方案
2：防火员从卡点A直接跑步前往B处救援．若防火员的跑步速度为5m/s，骑车的速度为20m/s．（参考
数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
(1)AB的长为__________米（结果保留整数）；
(2)防火员必须在两个方案中选择一个，请问选择哪个方案更合理，请通过计算说明理由．
【答案】(1)976
(2)选择方案一更合理．见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键．
（1）在Rt△ABC中，直接根据正弦函数关系即可求出AB；
（2）求出BC，再分别求出两种方案下所用时间较少，从而作出判断，并说明理由．
【详解】（1）解：由题意，知AC=800米，∠B=55°，
在Rt△ABC中，
AC 800
AB= ≈ ≈976（米），
sin55° 0.82
故答案为：976；
（2）解：选择方案一更合理．
理由：在Rt△ABC中，
AC 800
BC= = ≈559（米），
tan55° 1.43
AC BC 800 559
方案一需要时间为： + ≈ + ≈151.8(s)，
20 5 20 5
AB 976
方案二需要时间为： ≈ =195.2(s)，
5 5
∵151.8<195.2，
∴选择方案一更合理．
【变式10-2】（2024·甘肃天水·模拟预测）苦水高高跷是甘肃省兰州市永登县传统民俗文化之一，起源于
元末明初，至今已有700余年的历史，也是国家非物质文化遗产之一．如图1，表演者穿着传统戏剧服饰，
画上秦腔剧目中的人物脸谱，手持道具，凌空飞舞，被业内人士称为行走的“空中戏剧”．2024年春节，
永登县连城镇牛站村社火团队表演了醉关公．某校综合实践研究小组开展了“测量高跷关公腿多长”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图2，某人垂直踩在地面上，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数
（A，D，B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为3.9m，∠CAD=42°，∠CBD=58°．
解决问题：求高跷关公腿CD高度．
根据上述方案及数据，完成求解过程．（结果精确到0.1米．参考数据sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，
tan42°=0.90，sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°≈1.60．
【答案】2.3m
【分析】本题考查解直角三角形的应用，由题意得，CD⊥AB，设AD=xm，DB=(3.9−x)m，在
Rt△ACD中，利用锐角三角函数可得CD=xtan42°，在Rt△CDB中，利用锐角三角函数求得
CD=(3.9−x)tan58°，从而可得0.9x=1.6(3.9−x)，再求解即可．
【详解】解：由题意得，CD⊥AB，
设AD=xm，DB=(3.9−x)m，
CD CD
在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，即tan42°= ，
AD x
∴CD=xtan42°，
CD CD
在Rt△CDB中，tan∠CBD= ，即tan58°= ，
BD 3.9−x
∴CD=(3.9−x)tan58°，
∴xtan42°=(3.9−x)tan58°，即0.9x=1.6(3.9−x)，
解得x≈2.5，
∴CD=xtan42°=2.5×0.9≈2.3m，
答：高跷关公腿CD高度为2.3m．
【变式10-3】（2024·甘肃·模拟预测）某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题．
课
探究物理实验装置中的几何测量问题
题成
组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx
员
实
验
测角仪，皮尺，摄像机等
工
具
方
案
方案一 方案二
设
计
测
量
方
案
示 （已知 （已知
意 PC⊥AC） PB⊥AC）
图
说 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到
明 达水平面的位置，点C为木块的位置．
测
AB=4米，∠PBC=40°， AC=5.9米，∠PCB=40°，
量
数 ∠PAB=15°． ∠PAB=22°．
据
请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据
tan40°≈0.84，tan15°≈0.27，tan22°≈0.40）
【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线AB的竖直距离1.6米
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键；
选择方案一：在Rt△PBC中，有PC=BC⋅tan∠PBC；在Rt△PAC中，有PC=(BC+AC)tan∠PAB，
由此建立方程，求得BC，即可求得PC的长；
选择方案二：在Rt△PBC中，有PB=BC⋅tan∠PCB；在Rt△PAB中，有PB=(AC−BC)tan∠PAB，
由此建立方程，求得BC，即可求得PB的长；
【详解】解：选择方案一：在Rt△PBC中，有PC=BC⋅tan∠PBC=BC⋅tan40°；
在Rt△PAC中，有PC=(BC+AC)tan∠PAB=(BC+4)tan15°，
即：BC⋅tan40°=(BC+4)tan15°，
4tan15°
∴BC= ，
tan40°−tan15°
4tan15°⋅tan40°
∴PC=BC⋅tan40°= ≈1.6（米）；
tan40°−tan15°选择方案二：在Rt△PBC中，有PB=BC⋅tan∠PCB=BC⋅tan40°；
在Rt△PAB中，有PB=AB⋅tan∠PAB=(AC−BC)⋅tan∠PAB=(5.9−BC)⋅tan22°，
即(5.9−BC)⋅tan22°=BC⋅tan40°，
5.9⋅tan22°
BC= ，
tan40°+tan22°
5.9⋅tan22°tan40°
∴PB= ≈1.6（米）；
tan40°+tan22°
答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米．
