文档内容
专题 22.11 二次函数全章专项复习【3 大考点 12 种题型】
【人教版】
【考点1 二次函数的图象和性质】..........................................................................................................................1
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】.........................................................................................................3
【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】.....................................................................................4
【题型3 二次函数的图象与各项系数之间的关系】.............................................................................................8
【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】.......................................................................................14
【题型5 二次函数与几何图形问题的综合探究】...............................................................................................18
【考点2 二次函数与一元二次方程】....................................................................................................................26
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】...................................................................................................27
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】...................................................................................30
【题型8 二次函数与一次函数的综合应用】.......................................................................................................34
【题型9 抛物线与直线的交点问题】....................................................................................................................43
【考点3 实际问题与二次函数】............................................................................................................................48
【题型10 利用二次函数解决最大利润问题】.......................................................................................................48
【题型11 利用二次函数解决抛物线形的实际问题】...........................................................................................55
【题型12 利用二次函数解决最大面积问题】.......................................................................................................64
【考点1 二次函数的图象和性质】
1、二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函
数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式： y ＝ a ( x － h ) 2 ＋ k ( a ≠0) ，
它直接显示二次函数的顶点坐标是 ( h ， k ) ；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.2、二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛
物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k)
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
值。最小值(或最大值)为0(k或 )。
x<0(h或 )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
性
x<0(h或 )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
3、二次函数的平移：
方法一：
在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：方法二：
(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位，
（或 ）
4、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左
同右异”
3、c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下
b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【题型1 根据二次函数的定义求字母的值】
【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）当m= 时，函数y=(m2+m)xm2−2m−1是关于x的二
次函数．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得m2+m≠0且m2−2m−1=2，解方程
即可得到答案；一般地，形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．
【详解】解：∵函数y=(m2+m)xm2−2m−1是关于x的二次函数，
∴m2+m≠0且m2−2m−1=2，
解得m=3，故答案为：3．
【变式1-1】（2024·广东广州·一模）二次函数y=(k−1)x2−k的图象开口向 ．
【答案】下
【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可．
【详解】∵y=(k−1)x2−k为二次函数，
∴2−k=2，
∴k=0，
∴二次函数解析式为y=−x2，
∵−1<0，
∴该二次函数的图象开口向下．
故答案为：下．
【变式1-2】（23-24九年级上·四川凉山·期中）已知y=(m+2)x|m)+4x+3m+1是关于x的二次函数，则
m的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出|m)=2且m+2≠0，再求出答案即可．
【详解】解：∵y=(m+2)x|m)+4x+3m+1，是关于x的二次函数，
∴|m)=2且m+2≠0，
∴m=2，
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）若二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值，则k=
．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数的定义，属于简单题，求出二次函数的顶点坐
标是解题关键．根据二次函数定义求出k的值，再根据二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值确定k的值即
可．
【详解】解：∵二次函数y=kxk2−2k−1+1有最小值，{k2−2k−1=2)
∴
k>0
解得：k=3．
故答案为：3．
【题型2 在规定范围内与二次函数的最值有关的问题】
【例2】（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象上有两点
A(m，y )，B(2m，y )，若y >y >0，则当m0，由y >y >0得在第一象限，x越大y越小即可判断．
1 2
【详解】解：y=ax2−2ax=ax(x−2)
令y=0，则x=0或x=2
即二次函数与x轴的交点为(0,0),(2,0)
∵当my >0
1 2
∴m>0，且在第一象限，x越大y越小
其图象大致如下：
∴该函数有最大值，无最小值．
故选：B．
【变式2-1】（2024·四川达州·一模）二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上有最小值−4，则a的值为
．1−❑√17
【答案】5或
2
【分析】本题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法：分三种情况考虑：对称轴在x=−1的左边，
对称轴在−1到2的之间，对称轴在x=2的右边，当对称轴在x=−1的左边和对称轴在x=2的右边时，可根
据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x的值，然后把此时的x的值与y=−4代入二次函数解析式即可
求出a的值；当对称轴在−1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于−4，列出关于a的方程，
求出方程的解即可得到满足题意a的值．此题是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
【详解】解：分三种情况：
当−a<−1，即a>1时，二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上为增函数，
所以当x=−1时，y有最小值为−4，把(−1，−4)代入y=x2+2ax+a中解得：a=5；
当−a>2，即a<−2时，二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上为减函数，
8
所以当x=2时，y有最小值为−4，把(2，−4)代入y=x2+2ax+a中解得：a=− >−2，舍去；
5
当−1≤−a≤2，即−2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
4a−4a2 1−❑√17 1+❑√17
所以顶点的纵坐标为 =−4，解得：a= 或a= >1，舍去．
4 2 2
1−❑√17
综上，a的值为5或 ．
2
1−❑√17
故答案为：5或
2
【变式2-2】（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点
P为完美点．已知二次函数y=ax2+bx−
9
（a,b是常数，且a≠0）的图象上有且只有一个完美点
(3
,
3)
4 2 2
，且当0≤x≤m时，函数y=ax2+bx−3的最小值为−8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．−1≤m≤0 B．2≤m≤5 C．m≤5 D．m≥2
【答案】B
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用
待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到
(3 3)
判别式等于0，再根据完美点为 , ，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数y=ax2+bx−3的
2 2
解析式，画出函数的图形即可得到答案．9
【详解】解：当y=x时，x=ax2+bx−
，
4
9
整理得ax2+(b−1)x− =0，
4
根据题意得Δ=(b−1) 2+9a=0，
(3 3)
∵二次函数经过点 , ，
2 2
9 3 9
∴ a+(b−1)× − =0，
4 2 4
{(b−1) 2+9a=0)
整理得 ，
9a+6b−15=0
{a=−1)
解方程组得 ，
b=4
∴函数y=ax2+bx−3的解析式为：y=−x2+4x−3，
整理得：y=−(x−2) 2+1，
函数的图像如下：
∵y=−8时，−8=−x2+4x−3时，解得x=−1或x=5，当y=1时，x=2，
∴2≤m≤5，
故选：B．
【变式2-3】（23-24九年级上·浙江湖州·期中）二次函数y=−(x−2) 2+k的图象上有两点M(x ,y )、
1 1
N(x ,y )，满足x −x =3且这两点在对称轴两侧，当x ≤x≤x 时，y的最大值和最小值的差为−k，则k
2 2 2 1 1 2的取值范围是 .
9
【答案】−92，
1 2 2
∵x −x =3，
2 1
1
∴−10；②9a+c>3b；③4a+b=0；④当y>0时，−10时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位
置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c
决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，
∴开口向下，a<0
∵图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，
b
∴− =2
2a
∴b=−4a>0
∵抛物线与y轴交点在A(0,1)和B(0,2)之间（不与AB重合）．
∴10
∴4a+b=0
故③正确；
∵如图：
则图象过点(−1,0)，抛物线开口向下
把x=−3代入y=ax2+bx+c(a≠0)
∴y=9a−3b+c<0
∴9a+c<3b故②错误；
∵则图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5，0)
∵抛物线开口向下
∴当y>0时，−10；②4ac−b2<−4a；③ 0，− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∵当x=0时，y=c<0，
∴bc>0，所以①正确；
∵抛物线与y轴的交点B在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−20，
∴b2−4ac−4a=4a2−4ac−4a=4a(a−c−1)>0，
∴b2−4ac>4a，
∴4ac−b2<−4a，所以②正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x =−1，x =3，
1 2
c
∴x ⋅x = ，即c=−3a，
1 2 a
∵−20；②2a+b=0；③4a+c<0；④❑√b2−4ac=4a；⑤ 0，
∵点B在(0，−2)和(0，−1)之间，
∴c<0，
∴ac<0，①错误；
b
②∵− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②正确；
③∵抛物线过A(−1，0)，
∴a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴3a+c=0，
∴a>0，
∴4a+c>0，故③错误；
④∵3a+c=0，
∴c=−3a，
∵b=−2a，∴❑√b2−4ac=❑√16a2，
∵a>0，
∴❑√b2−4ac=4a，故④正确；
⑤∵图象与y轴的交点B在(0，−2)和(0，−1)之间，
∴−20；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线
x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，
y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直线
b
x=− =−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，二次函数有最大值为
2a
2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，所以①错误；
∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D(−1,2)，
∴a−b+c=2，
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b=2a，
∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；
∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当
b
a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=− ；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛
2a
物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交
点．
【题型4 二次函数与其他函数相结合的双图象问题】
【例4】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数
1
y =kx+m(k≠0)的图象相交两点，则二次函数y=(k−b)x2+ax+c−m的图象可能为（ ）
2A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数
的关系等，由一次函数y =kx+m(k≠0)与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)图象相交于两点，得出函数
2 1
y=ax2+(b−k)x+c−m与x轴有两个交点，两个交点为(−1,0),(2,0)，利用对称轴即可进行判断
y=(k−b)x2+ax+c−m的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由一次函数y =kx+m(k≠0)与二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)图象相交于两点的横坐标可
2 1
得：
函数y=ax2+(b−k)x+c−m与x轴有两个交点，两个交点为(−1,0),(2,0)，
b−k −1+2 1
∴− = = ，
2a 2 2
即b−k=−a，
∵a>0，
∴b−k<0，
∴k−b>0
a
∴− <0，
2(k−b)
故二次函数y=(k−b)x2+ax+c−m的图象开口向上，对称轴在y轴左边，只有A选项的图象符合条件，
故选：A．
【变式4-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数y=ax2+bx(a≠0)与y=ax+b的图象可能是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况
进行讨论．
根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第
一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断．
【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限，
b
当ax2+bx=0时，即x =0，x =− ，
1 2 a
b
当ax+b=0时，即x=− ，
a
b
则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为(− ,0)
a
A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意．
B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意．
C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意．
D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式4-2】（2024·河南周口·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线y =−2x+k和抛物线
1
y =ax2+bx+c(a≠0)，如图所示，m ，m 是方程ax2+(b+2)x+c−k=0的两个根，且m |y|,则说明x 是近似根;反之,则说明x 是近似根.从图象上观察,(x,y)离x轴越
1 2 1 2 2 1
近,y值越接近0,而y=0时x的值就是方程的确切根.
3、利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤
(1)将一元二次不等式化为ax2+bx+c＞0(或＜0)的形式；
(2)明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧,并计算b2-4ac的值；
(3)作出不等式对应的二次函数y=ax2+bx+c的草图；
(4)二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零,在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 二次函数图象和坐标轴的交点问题】
1
【例6】（23-24九年级上·全国·单元测试）若函数y=(m+1)x2−2x+ m的图象与坐标轴有两个不同的
2
交点，则m的值为 ．
【答案】-2或-1或0或1
【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分
两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不
经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．
1
【详解】解：∵函数y=(m+1)x2−2x+ m的图象与坐标轴有两个不同的交点，
2
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，
1
此时y=-2x- ，与坐标轴有两个交点；
2
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
1
当抛物线经过原点时，y= m=0，即m=0，
2此时y=x2−2x=x(x-2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；
1
当抛物线不经过原点时， =（-2）2-4×(m+1)× m=0，
2
△
解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无
根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
【变式6-1】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，
则b满足的条件是 ．
【答案】−1或0
【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知
识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关
键．
由题意知，分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x
轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−b的图象与坐标轴有两个公共点，
∴分①二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点；②二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个
公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；
①当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有1个公共点时，Δ=22−4(−b)=0，
解得b=−1；
②当二次函数y=x2+2x−b的图象与x轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，b=0，
∴y=x2+2x=x(x+2)，与x轴有2个公共点，为(−2，0)或(0，0)，
综上所述，b的值为−1或0，
故答案为：−1或0．
【变式6-2】（2024·湖北荆州·一模）已知函数y=kx2−(k+2)x+2与x轴的交点横坐标为正整数，则整数
k的值为
【答案】0或1或2
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求一次函数与x轴的交点坐标，当k=0时，原函数为一次函数，可求得y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；当k≠0时，原函数为二次函
2 2
数，可求得原函数与x轴的交点的横坐标为x= 或x=1，由此可得 是正整数，则k=1或k=2．
k k
【详解】解：当k=0时，则y=−2x+2，在y=−2x+2中，当y=−2x+2=0时，x=1，即函数
y=−2x+2与x轴的交点的横坐标为1，符合题意；
当k≠0时，则当y=kx2−(k+2)x+2=0时，有(kx−2)(x−1)=0，
2
解得x= 或x=1，
k
∵函数y=kx2−(k+2)x+2与x轴的交点横坐标为正整数，
2
∴x= 是正整数，
k
2
∴ 是正整数，
k
∴k=1或k=2；
综上所述，整数k的值为0或1或2，
故答案为：0或1或2．
5
【变式6-3】（2024·四川泸州·一模）抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴的一个交点为A(m,0)，若
4
−2≤m≤1，则实数k的取值范围是（ ）
21 9 21
A．− ≤k≤ B．k≤− 或k≥1
4 8 4
9 21 9
C．−5≤k≤ D．k≤− 或k≥
8 4 8
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数与一元
二次方程的关系，二次函数的图象与性质是解题的关键．
由抛物线y=−x2+kx+k− 5 与x轴有交点，可得Δ=k2−4×(−1)× ( k− 5) ≥0，可求k≤−5或k≥1，对
4 4
k
称轴为直线x= ，当k≤−5时，抛物线的对称轴在直线x=−2左侧，抛物线图象如图1，当x=−2时，
2
5 1
y=−(−2) 2−2k+k− ≥0，计算求出满足要求的解即可；当k≥1时，抛物线的对称轴在直线x= 右
4 25
侧，抛物线图象，如图2，当x=−2时，y=−(−2) 2−2k+k− ≤0，计算求出满足要求的解，然后作答
4
即可．
5
【详解】解：∵抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴有交点，
4
∴Δ=k2−4×(−1)× ( k− 5) ≥0，
4
解得，k≤−5或k≥1，
k
∴对称轴为直线x= ，
2
当k≤−5时，抛物线的对称轴在直线x=−2左侧，
∴A(m,0)在对称轴的右侧，抛物线图象如图1，
5
∴当x=−2时，y=−(−2) 2−2k+k− ≥0，
4
21
解得，k≤− ；
4
1
当k≥1时，抛物线的对称轴在直线x= 右侧，
2
抛物线图象，如图2，5
∴当x=−2时，y=−(−2) 2−2k+k− ≤0，
4
21
解得，k≥− ；
4
∴k≥1；
21
综上所述，k≤− 或k≥1，
4
故选：B．
【题型7 二次函数与一元二次方程的根的关系的应用】
【方法总结】通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标;反过来,也可以
由函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
【例7】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2−3x−1=0的两个不相等的实
数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是
9
【答案】− 0时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．xb C．ab
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据题意可得
二次函数开口向上，与x轴的两个交点坐标为(a，0)，(b，0)，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=x2+mx+n，1>0，
∴二次函数开口向上，
∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x =a，x =b(a0时，x的取值范围是xb，
故选D．
【变式7-2】（2024·江苏扬州·一模）若关于x的方程x2−(m+3)x+m+6=0的两根x ，x 满足
1 213，根据二
次函数y= ( x−
m+3) 2
−
(m+1) 2
+4，得到 x<
m+3
时，y随x的增大而减小，根据x 在对称轴的左侧，
2 4 2 1
(m+1) 2 9
10，
∴m>3，或m<−5，
∵x +x =m+3>1+2=3，
1 2
∴m>0，
∴m>3，
∵二次函数y=x2−(m+3)x+m+6= ( x−
m+3) 2
−
(m+1) 2
+4，
2 4
m+3 (m+3 (m+1) 2 )
∴对称轴为直线x= ，顶点为 ,− +4 ，图象开口向上，
2 2 4
m+3
∴当x< 时，y随x的增大而减小，
2
∵x 在对称轴的左侧，10
②若c<0，a>0，则两实数根x ，x 满足x x <0
1 2 1 2
1 7
③若b=2，c= ，则 0，b=2−a，x 0，再
1 2 a
1 2
将b=2，c= 代入可得a<4，设−1−2，根据根与系数的关系得x +x =− ，解得
4 1 2 1 2 1 2 a
b 2−a 2
a<0或a>1，以此即可判断；④根据根与系数的关系可得x +x =− =− =1− <1，以此即可判
1 2 a a a
断．
【详解】解：当a>0时，抛物线开口向上，
∵一元二次方程y=ax2+bx+c的两个不相等的实数根均大于−1，
∴当x=−1时，y>0，
当a<0时，抛物线开口向下，
∵一元二次方程y=ax2+bx+c的两个不相等的实数根均大于−1，
∴当x=−1时，y<0，
故①错误；
∵c<0，a>0，
c
∴x x = <0，
1 2 a
故②正确；
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根，
∴b2−4ac>0，
1
∵b=2，c= ，
4∴4−a>0，
∴a<4，
设−1−2，
1 2 1 2
2
∵x +x =− ，
1 2 a
2
∴− >−2，
a
1
∴ <1，
a
∴a<0或a>1，
∴10，b=2−a，
b 2−a 2
∴x +x =− =− =1− ，
1 2 a a a
2
∴1− <1，
a
∵x c时，求证：直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c一定还有另一个异于点A的交点；
(3)当cc，c=−2a，求得a>0，故Δ=(3a+2) 2>0，方
程有两个不相等实数根，即直线与抛物线除了点A还有另一个交点．
（3）由cc，c=−2a，
∴a>−2a，
∴a>0，
∴3a+2>0，
∴ Δ=(3a+2) 2>0，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴直线与抛物线还有另一个异于点A的交点；
（3）解：∵c0，
−(2−a)±❑√(3a+2) 2 −(2−a)±(3a+2)
∴x= = ，
2a 2a
2
∴x =2（即点A横坐标），x =−1− ，
1 2 a
( 2) 4
∴y =−2 −1− +4= +6，
2 a a
( 2 4 )
∴直线y=kx+4与抛物线y=ax2−bx+c的另一个交点B的坐标为 −1− , +6 ，
a a
∵抛物线y=ax2−ax−2a=a ( x− 1) 2 − 9 a，
2 4
(1 9 ) 1
∴顶点M ,− a ，对称轴为直线x= ，
2 4 2
(1 )
∴抛物线对称轴与直线y=−2x+4的交点N ,3 ，
2
( 9 ) 9
∴如图，MN=3− − a =3+ a，
4 4
25
∴S= S −S
9 △AMN △BMN
25 1 ( 1) 1 (1 )
= × MN⋅ x − − MN⋅ −x
9 2 A 2 2 2 B
25( 9 )( 1) 1( 9 )(1 2)
= 3+ a 2− − 3+ a +1+
18 4 2 2 4 2 a
( 9 )(75 3 1)
= 3+ a − −
4 36 4 a3 7
=3a− + ，
a 4
∵00，解出可得m的取值；由根与系数的关系得：
4
1
a+b=1，ab= m，把n=ab−2b2+2b+1变形后，得3m=4n−4，即可得出答案，运用了恒等变换的
4
思想．掌握一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质是解题的关键．
1
【详解】解：令x2+ m=x，
4
1
∴x2−x+ m=0，
4
1
∵抛物线y=x2+ m与直线y=x有两个不同的交点，
4
1
∴Δ=(−1) 2−4×1× m>0，
4
∴m<1，∵两个交点的横坐标是分别为a、b，
1
∴a+b=1，ab= m，
4
∴a=1−b，
∴n=ab−2b2+2b+1
=b(a−2b)+2b+1
=b(1−b−2b)+2b+1
=b−3b2+2b+1
=3b−3b2+1
=3b(1−b)+1
=3ab+1
3
= m+1，
4
∴3m=4n−4，
4n−4
∴m= ，
3
4n−4
∴m= <1，
3
7
∴n< ．
4
7
故答案为：n< ．
4
1 45
【变式9-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，抛物线y= x2−7x+ 与x轴交于点A、B，把抛物线
2 2
1
在x轴及其下方的部分记作C ，将C 向左平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，若直线y= x+m与C 、
1 1 2 2 2 1
C 共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )
2
45 5 29 1 29 5 45 1
A．− 0，
∴当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
当10＜x≤30时，
w= y(2x+40)=(−10x+600)(2x+40)=−20(x−20) 2+32000，
∵−20<0，
∴当x=20时，w取最大值为32000，
综上所述，当x=20时，w取最大值为32000，
答：当x为第20天时日销售额w最大，最大为32000元；
（3）当1≤x≤10时，w=500(2x+40)=1000x+20000，
当x=10时，w取最大值为：1000×10+20000=30000，
∵31680>30000，
∴1≤x≤10时不可能获得较大利润．
当10 ，
2 2
解得n>1，
∵n<2，
∴12+3，
25 25
∴该巡逻船能安全通过大孔；
（3）解：∵NC=6，
∴点F的纵坐标为6，
2
∴当y=6时，− x2+8=6，
25
解得x =−5，x =5，
1 2
∴由抛物线对称性可得E(−5,6)，F(5,6)，
∴EF=5−(−5)=10m，
答：大孔的水面宽度EF为10m．
【变式11-2】（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部
为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相
关数据如图1所示，其中支架DE=BC，OF=DF=BD，这个大棚用了400根支架．为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图2所示，调
整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），需要增加经费32000元．
(1)分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当CC′=1米，求GG′的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
1 2
【答案】(1)①y=− x2+x+1；② 米
10 3
(2)1.6米
【分析】（1）①设改造前的函数解析式为y=ax2+bx+c，根据所建立的平面直角坐标系得到A(0,1)，
E(4,3.4)，C(6,3.4)，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C′、E′的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出G′、E′的坐标得到a的不等式，进而得到CC′的最大值．
【详解】（1）解：①如图，以O为原点，分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直
角坐标系，
由题意可知：A(0,1)，E(4,3.4)，C(6,3.4)，
设改造前的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
{
c=1
)
∴ 16a+4b+c=3.4 ，
36a+6b+c=3.4
1
{ a=− )
10
解得： ，
b=1
c=11
∴改造前的抛物线的函数表达式为y=− x2+x+1；
10
②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
1
由①知改造前抛物线的解析式为y=− x2+x+1，
10
1
x=− =5
∴对称轴为直线 ( 1 ) ，
2× −
10
设改造后抛物线解析式为：y =cx2+dx+1，
2
∵调整后C与E上升相同的高度，且CC′=1，
d
∴对称轴为直线x=5，则有− =5，
2c
当x=6时，y=4.4，
∴36c+6d+1=4.4，
17 17
∴c=− ，d= ，
120 12
17 17
∴改造后抛物线解析式为：y =− x2+ x+1，
2 120 12
当x=2时，
1 13
改造前：y =− ×22+2+1= ，
1 10 5
17 17 49
改造后：y =− ×22+ ×2+1= ，
2 120 12 15
49 13 2
∴GG′= y −y = − = （米），
2 1 15 5 3
2
∴GG′的长度为 米；
3（2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为y=ax2−10ax+1，
∵当x=2时，y=a×22−10a×2+1=−16a+1，
当x=4时，y=a×42−10a×4+1=−24a+1，
∴G′(2,−16a+1)，E′(4,−24a+1)，
∴EE′+GG′=−24a+1−16a+1− ( 3.4+ 13) =−40a−4，
5
由题意可列不等式：(−40a−4)×200×60≤32000，
1
解得：a≥− ，
6
∵CC'=EE'=−24a+1−3.4，
要使最大，需a最小，
1
∴当a=− 时，CC′的值最大，最大值为1.6米．
6
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一
次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．
【变式11-3】（2024·山西·模拟预测）学科实践
问题情境：
某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在
校园科技节主题活动当天进行投石试验展示．
试验步骤：
第一步：如图，在操场上放置一块截面为△OCD的木板，该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度
CD=0.5米，将投石机固定在点O处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落
地，其中点A到地面的高度OA=0.3米，测得BC=0.7米．
试验数据：
科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5
米，飞行的水平距离OE为4米．
问题解决：
已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，OG所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．
（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；
（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；
拓展应用：
（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木
杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？
【答案】（1）y=−0.075(x−4) 2+1.5（2）01.2，
设BF=n，
∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴FG=BD=1.2米，则F(5+n，1.2)，
∴把F(5+n，1.2)代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
得1.2=−0.075(5+n−4) 2+1.5，
∴−0.3=−0.075(1+n) 2，
解得n=1或者n=−3（舍去），
∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围为00，
2
8 8
故：当x> 时，S随x的增大而增大，当x< 时，S随x的增大而减小，
3 3| 8) | 8)
又 4− > 2− ，
3 3
3
∴当x=4时，S取最大值，S= ×42−8×4+64=56，
2
即S最大值为56．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用—图形的面积问题，熟练掌握二次函数的性质，开口向上在顶点
处取最大值 ，开口向下在离对称轴远的点的位置取最大值是解题的关键．
【变式12-1】（23-24九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，用长为45m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可
用长度是20m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2
)．
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？
25
【答案】(1)S=−3x2+45x( ≤x<15)；
3
25 500
(2)当AB为 m时，面积最大为 m2 ．
3 3
【分析】（1）根据面积关系列函数表达式即可；
（2）利用（1）中的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）根据题目数量关系得S=(45−3x)x=−3x2+45x，
根据题意
{0<45−3x
) ，解得：
25
≤x<15，
45−3x≤20 3
25
∴S=−3x2+45x( ≤x<15)；
3
25
（2）由（1）得：S=−3x2+45x( ≤x<15)，
3
∴S=−3
[
x2−15x+
(15) 2 )
+
675
，
2 4( 15) 2 675
=−3 x− + ，
2 4
15 25
∵当x> 时，S随x的增大而减小， ≤x<15，
2 3
∴当x=
25
时，S有最大值为−3×
(25) 2
+45×
25
=
500
(m2)．
3 3 3 3
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，理解题意，确定相等关系建立函数关系
式与方程是解题的关键．
【变式12-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）问题情境:有一堵长为am的墙，利用这堵墙和长为60m的
篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？
题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
特例分析:
（1）当a=12时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 m2；若按图②的方案设计，则
该方案中养鸡场的最大面积是 m2．
（2）当a=20时，解决“问题情境”中的问题．
解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案．
【答案】（1）288，324；（2）当a=20时，该养鸡场围成一个边长为20m的正方形时面积最大，最大面
积是400(m2)；（3）当a≥30时，当矩形的长为30m，宽为15m时，养鸡场最大面积为450(m2)
【分析】（1）根据a=12,分类讨论即可,见详解,（2）表示出S =−2(x−15) 2+450,根据二次函数的
矩 形ABCD
性质即可解题,（3）根据养鸡场的一边靠墙或包含墙分类讨论,再利用二次函数的性质求出最值即可解题.
1
【详解】解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30- x）米,面积为S,依题意得：
2
1 1 1
S=x·（30- x）=- x2+30x=- (x−30) 2+450,(x≤12)
2 2 2
∴当x=12时,矩形有最大值为288m2如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得：
S=x·（36-x）=-(x−18) 2+324,
∴当x=18时,矩形有最大值为324m2
综上,矩形的面积为288，324．
（2）如图①，设AB=xm，则BC=(60−2x)m．
所以S =x(60−2x)=−2(x−15) 2+450．
矩 形ABCD
根据题意，得20≤x<30．
因为−2<0，
所以当20≤x<30时，S 随x的增大而减小．
矩 形ABCD
即当x=20时，S 有最大值，最大值是400（m2）.
矩 形ABCD
如图②，设AB=xm，则BC=(40−x)m．
所以S =x(40−x)=−2(x−20) 2+400．
矩 形ABCD
根据题意，得00，
3
∴x<46∴自变量x的取值范围为0
