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专题 22.3 二次函数的性质【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】.........................................................................................................2
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】..............................................................................................................4
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】.........................................................................................7
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】.........................................................................................9
【题型5 根据二次函数的性质求最值】................................................................................................................12
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】...........................................................................................15
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】...........................................................................................18
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】...........................................................................................................21
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】.......................................................................................................25
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。|a|越
大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
（− ，
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
）
顶点
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大
4ac−b2
值。 最小值(或最大值)为0(k或 )。
4a
b b
x<0(h或− )时，y随x的增大而减小；x>0(h或− )时，y随x的增大而增大。
2a 2a
a>0
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
大。
减
性 b b
x<0(h或− )时，y随x的增大而增大；x>0(h或− )时，y随x的增大而减小。
a<0 2a 2a
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线y=−2(x−1) 2+3，有下列四个判断：（1）抛物线的
开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是(−1，3)；（3）对称轴为直线x=1；（4）当x=3时，y>0．其
中，正确的判断个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当
a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x= ℎ，顶点坐标为(ℎ，k)．
【详解】解：∵抛物线解析式为y=−2(x−1) 2+3，−2<0，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1，3)，对称轴为直线x=1，故（1）（3）正确，（2）错误，
当x=3时，y=−2(3−1) 2+3=−8+3=−5<0，故（4）错误，
故选C．
1
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数y=− x2 ，下列说法正确的是（ ）
2
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
1
C．函数图象的对称轴是直线x=−
2
D．当x<0时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
1
【详解】∵y=− x2 ，
2
1
∴a=− <0，抛物线的开口向下，顶点坐标是(0，0)，经过三、四象限，故选项A错误；
2
函数图象有最高点(0，0)，故选项B正确；
对称轴是x=0，故选项C错误；
抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x<0时，y随x的增大而增大，故D错误；故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为
x=0，顶点坐标为(0，0)．
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶
点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x=1，x=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题
1 2
正确；
b
③抛物线的对称轴x=− =0，是y轴，故本小题正确；
2a
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线y=(x+3) 2−1有下列说法：①顶点坐标为(3,−1)；②开
口方向向上；③当x>−3时，y随x的增大减小；④与x轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数图像和判别式的性质，依次对各个选项分析，即可得到答案．【详解】∵y=(x+3) 2−1顶点坐标为：(−3,−1)
∴①的结论错误；
∵y=(x+3) 2−1的二次项系数为：1
∴开口方向向上，②结论正确；
∵当x>−3时，y随x的增大而增大
∴③的结论错误；
∵判断y=(x+3) 2−1和x轴有两个不同交点，即判断(x+3) 2−1=0有两个不相等的实数根
∵Δ=62−4×8=4>0
∴(x+3) 2−1=0有两个不相等的实数根
∴y=(x+3) 2−1与x轴有两个不同交点
∴④的结论正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程判别式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元
二次方程判别式的性质，从而完成求解．
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,m)和点(−2,n)在抛物线y=ax2+bx
上，若a<0，点．(−3,y )，(1,y )，(4,y )在该抛物线上．若m0，y −0=a+b−0=a+b<0
1 2
y −y =9a−3b−(a+b)=8a−4b=12a−4b−4a>0，
1 2
y −y =9a−3b−(14a+4b)=−5a−7b>0，y −y =a+b−(14a+4b)=−13a−3b>0，
1 3 2 3
∴y >y ，y >y ，y >y ，y <0，
1 2 1 3 2 3 1
∴y |x +2)，则（ ）
2 2 1 2 1 2
A．y y
1 2 1 2
C．y = y D．y 、y 的大小不确定
1 2 1 2
【答案】A
【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的性质可进行求解．
−8
【详解】解：由二次函数y=−2x2−8x+m可知对称轴为直线x=− =−2，
2×(−2)
∵x <−2|x +2)，
1 2 1 2
∴|x −(−2))>|x −(−2))，
1 2
∴点A离二次函数的对称轴更远，
∵二次函数的开口向下，离抛物线对称轴越近其所对的函数值越大，
∴y 3，则下列关于y ，y ，y 三者的大小关
1 2 3 1 2 3
系判断一定正确的是（ ）A．y 可能最大，不可能最小 B．y 可能最大，也可能最小
1 3
C．y 可能最大，不可能最小 D．y 不可能最大，可能最小
3 2
【答案】B
【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距
离，结合开口方向分析即可．
【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，
−2a
对称轴为直线x=− =1，
2a
令ax2−2ax−3a=0，解得：x =−1，x =3，
1 2
∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，
∵−13，
1 2 3
∴(x ,y )离对称轴最远，(x ,y )离对称轴最近，
3 3 2 2
当a>0时，开口向上，
∴y >y >y ；
3 1 2
当a<0时，开口向下，
∴y 8，则下列大小比较正确的是（ ）
1 2 1 2
A．y >y >m B．y >y >m C．m>y >y D．m>y >y
1 2 2 1 1 2 2 1
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x−4) 2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线
x=4，根据x <48，设A(x ,y )的对称点为A (x ，y )，得出x +x =8，则在对称轴右
1 2 1 2 1 1 1 0 1 1 0
侧，y随x的增大而减小，则当4y >y ．
0 2 1 2
【详解】解：∵y=−(x−4) 2+m，∴a=−1<0，
∴当x=4时，有最大值为y=m，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y=−(x−4) 2+m对称轴为直线x=4，
设A(x ,y )的对称点为A (x ，y )，即x >4，
1 1 1 0 1 0
x +x
∴ 1 0=4，
2
∴x +x =8，
1 0
∵x +x >8，
1 2
∴x +x >x +x ，
1 2 1 0
∴x >x ，
2 0
∴4y >y ．
1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则
b
抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=− ，在对称轴左侧，
2a
y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x，y）、B（x，y）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象
1 1 2 2
上，当x ＝1，x ＝3时，y = y ．若对于任意实数x、x 都有y + y ≥2，则c的范围是（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【答案】A
【分析】由当x ＝1，x ＝3时，y＝y 可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解
1 2 1 2
析式化为顶点式可得y＋y 的最小值，进而求解．
1 2
【详解】∵当x ＝1，x＝3时，y = y ．
1 2 1 2
b
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
2
∴b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x＋c＝(x−2) 2＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y＝y＝c﹣4时，y＋y 取最小值为2c﹣8，
1 2 1 2
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及
不等式的关系．
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点M(x ,y )，N(x ,y )在抛物线y=mx2−(2m2−m)x+m
1 1 2 2
上，当x +x >4且x 4且x 0且 ≤2，解得00)经过A(2,0)，B(4,0)两
点．若P(5,y )，Q(m,y )是抛物线上的两点，且y 5【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键．
2+4
根据抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(2,0)，B(4,0)，求出对称轴 =3，再根据抛物线性质即可
2
解答．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(2,0)，B(4,0)，
2+4
∴对称轴为x= =3，
2
∵a>0，
∴当x<3时，y随x增大而减小，当x>3时，y随x增大而增大，
∵P(5,y )，Q(m,y )是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且y 5．
故答案为：m<1或m>5．
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点A(4m+t−1,n)，点B(t+3,n)都在关于x的函数
1
y=− x2+mx−m2−4m+3的图象上，且−2−13
【分析】根据抛物线的对称轴，求出t的值，进而得到n关于m的二次函数，再根据二次函数的性质，进行
求解即可．
1
【详解】解：∵y=− x2+mx−m2−4m+3，
4
m
x=− =2m
∴对称轴为： 1 ，
−
2
∵点A(4m+t−1,n)，点B(t+3,n)都在抛物线上，且函数值相同，
∴两个点关于对称轴对称，
∴4m+t−1+t+3=2⋅2m，解得：t=−1；
∴B(2,n)，
1
∴n=− ×22+2m−m2−4m+3=−(m+1) 2+3，
4
∵−1<0，对称轴为m=−1，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵−22时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
13
【答案】m≤
2
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．先求出对称轴，再
2m−1
根据当x>2时，y随x的增大而减小，得出 ≤2，求出结果即可．
6
【详解】解：∵y=−3x2+(2m−1)x+1，
2m−1
∴对称轴为x= ，且抛物线开口向下，
6
2m−1
∴当x> 时，y随x的增大而减小，
6
∵当x>2时，y随x的增大而减小，
2m−1
∴ ≤2，
6
13
解得：m≤ ．
2
13
故答案为：m≤ ．
2
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数y=x2−4ax+a2+1，当x≥2时，y随x的增大
而增大、已知此二次函数的图象上有一点A(1,m)，则m的取值范围为 .
【答案】m≥−1/−1≤m
【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线x=2a，再根据当x≥2时，y随x的增
大而增大，可得a≤1．根据题意有m=12−4a×1+a2+1，即m=12−4a×1+a2+1=(a−2) 2−2，问题随
之得解．
【详解】解：y=x2−4ax+a2+1=(x−2a) 2−3a2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2a，
∵当x≥2时，y随x的增大而增大，
∴2a≤2，即a≤1．
∵点A(1,m)在二次函数y=x2−4ax+a2+1的图象上，
∴m=12−4a×1+a2+1，即m=12−4a×1+a2+1=(a−2) 2−2，∵a≤1，
∴a−2≤−1，
∴(a−2) 2≥1，
∴m=(a−2) 2−2≥−1，
故答案为：m≥−1．
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 y=ax2−2ax−1过四个点
(0，y )，(2，y )，(3，y )，(4，y )，若y ，y ，y ，y 四个数中有且只有一个大于零，则a
1 2 3 4 1 2 3 4
的取值范围为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．a< B．a≥ C． 0和a<0两种情形讨论，结合y1，y2，y3，y4四个数
2
中有且只有一个大于零，即可判断得解．
−2a
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x=− =1．
2a
又当x=0时，y=−1，
∴y =−1，且当x=1+1=2时，y=−1．
1
∴y =−1．
2
①若a>0，则当x>1时，y随x的增大而增大．
∵3<4，
∴y 0．
3 4
{9a−6a−1≤0)
∴ ．
16a−8a−1>0
1 1
∴ 1时，y随x的增大而减小．
∵2<3<4，
∴y = y =−1>y >y ．
1 2 3 4
∴y ，y ，y ，y 四个数中没有一个大于0，不合题意．
1 2 3 4
故选：D．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数y=a(x+m)(x+m−k)（a<0，m，k是实数），
则（ ）
A．当k=2时，函数y的最大值为−4a B．当k=2时，函数y的最大值为−2a
C．当k=4时，函数y的最大值为−4a D．当k=4时，函数y的最大值为−2a
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数y=a(x+m)(x+m−k)与
−m−m+k −2m+k
x轴的交点坐标是(−m，0),(−m+k，0)．得到二次函数的对称轴是直线x= = ．根
2 2
据开口方向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令y=0，
∴a(x+m)(x+m−k)=0，
∴x =−m，x =−m+k．
1 2
∴二次函数y=a(x+m)(x+m−k)与x轴的交点坐标是(−m，0),(−m+k，0)．
−m−m+k −2m+k
∴二次函数的对称轴是：直线x= = ．
2 2
∵a<0，
∴y有最大值．
−2m+k
当x= ，y最大，
2
(−2m+k
)
−2m+k k2
即y=a +m ( +m−k)=− a
2 2 4
当k=4时，函数y的最大值为−4a；
当k=2时，函数y的最大值为−a．
综上，C选项正确．
故选：C．【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点P(t,n)在以直线x=1为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象
上，则t−n的最大值等于 ．
7
【答案】−
4
【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出a=−2，把P(t,n)代入解析式得n=t2−2t+4，
用含t的式子表示出t−n，找到最大值即可．
【详解】解：∵二次函数y=x2+ax+4的对称轴为直线x=1，
a
∴− =1，
2
∴a=−2，
∴y=x2−2x+4，
把P(t,n)代入y=x2−2x+4，得n=t2−2t+4，
∴t−n
=t−(t2−2t+4)
=−t2+3t−4
( 3) 2 7
=− t− − ，
2 4
3 7
∴当t= 时，t−n取最大值，最大值为− ，
2 4
7
故答案为：− ．
4
【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数y=ax2+bx+3的最大值是5，则
y=−a(x+2023) 2−b(x+2023)+1的最小值为 ．
【答案】−1
b
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，由题意得出a<0，当x=− 时，y最
2a
b2 b2
大，为− +3，从而得出 =−2，将y=−a(x+2023) 2−b(x+2023)+1化为
4a 4a
[ b ) 2 b2
y=−a (x+2023)+ + +1，利用二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此
2a 4a题的关键．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+3有最大值，
∴a<0，
∵y=ax2+bx+3=a ( x+ b ) 2 − b2 +3，
2a 4a
b b2
∴当x=− 时，y最大，为− +3，
2a 4a
∵二次函数y=ax2+bx+3的最大值是5，
b2
∴− +3=5，
4a
b2
∴ =−2，
4a
∵y=−a(x+2023) 2−b(x+2023)+1=−a [ (x+2023)+ b ) 2 + b2 +1，
2a 4a
∴−a>0，抛物线开口向上，
b b2
∴当x+2023=− 时，y最小，为 +1=−2+1=−1，
2a 4a
故答案为：−1．
【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−4,k−2)，
B(−2,k)，C(2,k)．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p−q（ ）
1 1
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
24 24
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为y
轴是解题的关键．
1 2
由题意可知对称轴为y轴，则函数为y=ax2+c，利用待定系数法求得y=− x2+k+ ，由当
6 3
1 2 1 2
0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，即可得出p=− m2+k+ ，q=− (m+1) 2+k+ ，
6 3 6 3
1 1 1 1
进一步求的p−q=− m2+ (m+1) 2= m+ ，
6 6 3 6
1
得到p−q的最小值为 ，无最大值．
6【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(−4,k−2)，B(−2,k)，C(2,k)，
−2+2
∴对称轴为直线x= =0，
2
b
∴ − =0，b=0，
2a
∴ y=ax2+c，
{16a+c=k−2)
把A(−4,k−2)，B(−2,k)代入得 ，
4a+c=k
1 2
解得：y=− x2+k+ ．
6 3
∵当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，
1 2
∴ x=m时，取最大值p=− m2+k+ ，
6 3
1 2
x=m+1时，取最小值q=− (m+1) 2+k+ ，
6 3
1 1 1 1
∴ p−q=− m2+ (m+1) 2= m+ ，
6 6 3 6
又∵ m≥0，
1 1 1
∴ m+ ≥
3 6 6
1
∴ p−q的最小值为 ，无最大值．
6
故选B．
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（23-24·河北邢台·三模）点A(a,b )，B(a+2,b )在函数y=−x2+2x+3的图像上，当
1 2
a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b ，则a的取值范围是（ ）
1
A．0≤a≤2 B．−1≤a≤2 C．−1≤a≤1 D．−1≤a≤0
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点(1,4)重合时；②当点
A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围．
本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键．
【详解】由y=−x2+2x+3=−(x−1) 2+4，得抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为(1,4)．由题意得A点在B点的左边．
如图3，当点B与顶点(1,4)重合时，a+2=1，解得a=−1；
当点A，B对称时，a=0．此时若函数的最大值为4，最小值为b ；
1
当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近，
∴1−a>(a+2)−1，
解得a<0，
∴a的取值范围是−1≤a≤0．
故选D．
【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax−4(a>0)，当m0，
∴开口向上，∵当m0，
∴b=2❑√5，
故抛物线解析式为：y=x2+2❑√5x+3．
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】
【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数y=−x2−2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接EC和EA，则EC+EA的最小值是 ．
【答案】3❑√2
【分析】
本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点 C关于抛物
线对称轴的对称点D，连接ED，连接AD，根据EC+EA=ED+EA≥AD确定最小值，再求出点A，C的
坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案．
【详解】
解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接ED，连接AD E′，则EC+EA=ED+EA≥AD，
令y=−x2−2x+3=0，
解得x =1，x =−3，
1 2
∴A(1，0)．
令x=0，则y=3，
∴C(0，3)．
−2
又∵抛物线对称轴为直线x=− =−1，点C与点D关于对称轴对称，
2×(−1)
∴D(−2,3)，
∴AD=❑√(−2−1) 2+(3−0) 2=3❑√2，
∴EC+EA的最小值是3❑√2．
故答案为：3❑√2．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线y=a(x+1)(x−3)与x轴交于A，B两点（点A
在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），BD为△ABC的AC边上的高线，抛物线顶
点E与点D的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
3 3 9
【答案】y= x2− x−
4 2 4【分析】根据题意可确定出A，B两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE最小则D点必在对
称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．
【详解】解：如图所示，使DE最小则D点必在对称轴x=1上，过点E作EF⊥AB，则AF=BF，
∴AD=BD，
∵BD为△ABC的AC边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴DF=BF=2．
当x=1时，y=-4a，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴EF=4a．
∵DE=1，
∴4a-2=1
3
解得：a= ．
4
3
∴抛物线解析式为y= (x+1)(x−3)
4
3 3 9
即y= x2− x−
4 2 4
3 3 9
故答案为：y= x2− x− ．
4 2 4
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于
A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存
在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求
线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)存在，P(1,−2)
9 (3 15)
(3)MN取得最大值为 ，M ,−
4 2 4
【分析】（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式；
（2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的
PA+PC即为最小值；
（3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数
式，再求这个代数式的最大值即可．
【详解】（1）将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)得：
{
a−b+c=0
)
9a+3b+c=0
c=−3
{
a=1
)
解得： b=−2
c=−3∴二次函数的解析式为：y=x2−2x−3；
（2）存在点P，使△PAC的周长最小
连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图：
∵ A(−1,0)，C(0,−3)
∴AC=❑√10
由y=x2−2x−3得抛物线对称轴是x=1
∵ A(−1,0)，B(3,0)关于抛物线对称轴对称
∴PA=PB
∴PA+CP=BP+CP
而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小，
因AC=❑√10，故此时△PAC的周长最小
设直线BC为y=kx+b，将B(3,0)，C(0,−3)代入得：
{3k+b=0)
b=−3
{ k=1 )
解得：
b=−3
∴直线BC解析式为：y=x−3
令x＝1时，得y＝－2
∴ P(1,−2)
（3）如图：设Q(m,0)，M(m,m2−2m−3)，N(m,m−3)
MN=m−3−(m2−2m−3)=−m2+3m
b 3
该函数为开口向下的二次函数，且在m=− = 时取得最大值
2a 2
又Q在OB上，
∴00,a2−4a−12<0，由PC⊥y轴可得点P
( 5) 2 73 5 73
(0,a2−4a−12)，可求CP+OP=− a− + ，当a= 时，CP+OP最大值为 ；
2 4 2 4
（3）根据抛物线函数关系式可知D(2,−16)，分两种情况，当点M在D点下方时，过点M作x轴平行
线，分别过点N、N′，向所画直线作垂线，分别交于E、F，同理可知当点M在D点上方时，过N′作
N′G⊥对称轴于G，可证△ENM≌△FM N′（AAS），求出N′坐标为(−14−m,4+m)，代入抛物线函数
关系式解方程，求出点M坐标综合即可．【详解】解：（1）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，
{36+6b+c=0,)
由题意得
4−2b+c=0.
{b=−4,)
解得
c=−12.
所以函数关系式为y=x2−4x−12；
（2）设点C坐标为(a,a2−4a−12)，点C在第四象限，a>0,a2−4a−12<0，
∴点P(0,a2−4a−12)，
CP+OP=−a2+5a+12=− ( a− 5) 2 + 73 ，
2 4
5 73
∴a= 时，CP+OP最大值为 ；
2 4
（3）根据抛物线函数关系式可知D(2,−16)，
当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、N′，向所画直线作垂线，分别交于E、F，
∵∠NEM=∠DFN′=90°∠NMN′=90º，
∴∠N+∠NME=90°，∠NME+∠N′MF=90°，
∴∠N=∠N′MF，
∵NM=N′M，
∴△ENM≌△FM N′（AAS），
设点M(2,m)，EM=FN′=4，EN=DM=MF=−16−m，
则N′坐标为(−14−m,4+m)，代入抛物线函数关系式，4+m=(−14−m) 2−4(−14−m)−12，
m2+31m+236=0，
△=312-4×236=17，
−31+❑√17 −31−❑√17
解得m = （舍去），m = ，
1 2 2 2
同理可知当点M在D点上方时，设点M(2,m)，ND=MG=4，GN′=DM=m+16，
则N′坐标为(−m−14,m+4)，代入抛物线函数关系式，
4+m=(−m−14) 2−4(−m−14)−12，
m2+31m+236=0，
△=312-4×236=17，
−31+❑√17 −31−❑√17
m = ,m = （舍去），
1 2 2 2
( −31+❑√17) ( −31−❑√17)
综上可知M 2, 或M 2, ．
2 2
【点睛】本题考查抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，
一元二次方程及其解法，掌握抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判
定与性质，一元二次方程及其解法，关键是引辅助线构造图形是解题关键．
