文档内容
第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解空间中直线与直 选择题、填空题中考查直线、平面
2022年乙卷（文）第9题，5分
线、直线与平面、平面与 位置关系判断；解答题第一问中多
2022年乙卷（文）第18题，12分
平面的垂直关系． 考查平行、垂直的证明．证明一些
2021年浙江卷第6题，4分
（2）掌握直线与平面、平 空间位置关系，利用性质定理、判
2021年II卷第10题，5分
面与平面垂直的判定与性 定定理探究平行、垂直位置关系的
质，并会简单的应用． 存在性问题．
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言一条直线与一
个平面内的两条相
判断定理 交直线都垂直，则
该直线与此平面垂
直
两 个 平 面 垂
直，则在一个平面 _
面⊥面⇒线⊥
内垂直于交线的直
面 _a
线与另一个平面垂
直
一条直线与两 _
平行平面中的一个
平行与垂直的
平面垂直，则该直
关系
线与另一个平面也
垂直
两平行直线中 _a _b
平行与垂直的 有一条与平面垂
关系 直，则另一条直线
与该平面也垂直
知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
_a _b
垂直于同一平面
性质定理
的两条直线平行
文字语言 图形语言 符号语言
_
垂直于同一
垂直与平行的
直线的两个平面
关系
平行
如果一条直
线垂直于一个平
线垂直于面的
面，则该直线与
性质
平面内所有直线
都垂直
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若 ，且 ，则 ）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过
另一个平面的垂 _
线，则这两个平
面垂直
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
性质定理 两 个 平 面 垂
直，则一个平面内
_
垂直于交线的直线
_a
与另一个平面垂直
【解题方法总结】
判定定理 判定定理
线线 性质定理 线面 性质定理 面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质 ；
⑦平行线垂直直线的传递性（ ）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（ ）；③面面垂直的性质（ ）；
平行线垂直平面的传递性（ ）；
⑤面面垂直的性质（ ）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（ ）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位
置．
线∥面
判定 判定
性质 判定 性质
线∥线 面∥面
性质
判定 判定
线⊥线 线⊥面 面⊥面
性质 性质
题型一：垂直性质的简单判定
例1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列说法正
确的是（）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
例2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线， ， ， 表示不同的平面，则下列四
个命题正确的是（）
A．若 ，且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ，且 ，则 D．若 ， ， ，则
例3．（2023·陕西咸阳·统考二模）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，有以下四个
命题：
①若 ∥ ， ，则 ∥ ， ②若 ， ，则 ，
③若 ， ，则 ∥ ， ④若 ， ， ，则
其中正确的命题是（）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列命题
中正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
变式2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形 中， 对角线
交于点 ，将 沿 折到 位置，使平面 平面 .以下命题:
① ；
②平面 平面 ；
③平面 平面 ；
④三棱锥 体积为 .
其中正确命题序号为（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④
变式3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知l，m，n是三条不同的直线， ， 是不同的平
面，则下列条件中能推出 的是（）
A． ， ，且
B． ， ， ，且 ，
C． ， ， ，且
D． ， ，且
【解题方法总结】
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
题型二：证明线线垂直
例4．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ，
．(1) 证明： ；
例5．（2023·广东深圳·统考二模）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
，点 是 的中点.
(1) 证明： ；
例6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知三棱柱 中，
是 的中点， 是线段 上一点.
(1) 求证： ；
变式4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）图1是由直角梯形ABCD和以CD为直径的半圆组成的平面图形，， ， ．E是半圆上的一个动点，当△CDE周长最大时，将半圆沿着
CD折起，使平面 平面ABCD，此时的点E到达点P的位置，如图2．
(1) 求证： ；
变式5．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，已知三棱柱 中， ，
， ， 是 的中点， 是线段 上一点.
(1)求证： ；
(2)设 是棱 上的动点（不包括边界），当 的面积最小时，求棱锥 的体积.
变式6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）在梯形 中， ， ， ，
，如图1.沿对角线 将 折起，使点 到达点 的位置， 为 的中点，如图2.
(1) 证明： .【解题方法总结】
题型三：证明线面垂直
(1)求证： 平面 ；
(2)求四棱锥 的体积.
例7．（2023·云南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知
， .
(1)证明： 平面 ；例8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 平面ABD，E为AB的中点，
， .
(1)证明： 平面CED；
例9．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）如图1，在五边形 中，四边形 为正方形，
， ，如图2，将 沿 折起，使得A至 处，且 ．
(1)证明： 平面 ；
变式7．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，在三棱锥 中，已知 平面 ，平面
平面 ．(1)证明： 平面 ；
变式8．（2023·广东广州·统考三模）如图，在几何体 中，矩形 所在平面与平面 互
相垂直，且 ， ， ．
(1)求证： 平面 ；
变式9．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱 中，平面
平面 ， 是 的中点，且 .(1)证明： 平面 ；
【解题方法总结】
垂直关系中线面垂直是重点．
①垂直两条相交线；
②垂直里面作垂线；
线垂面哪里找
③直（正）棱柱的侧棱是垂线；
④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线.
①垂直面里所有线（证线线垂直）；
线垂面有何用
②过垂线作垂面（证面面垂直）.
证明线面垂直常用两种方法．
方法一：线面垂直的判定．
线线垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
方法二：面面垂直的性质．
面面垂直 线面垂直，符号表示为： ，那么 ．
题型四：证明面面垂直
例10．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱
形， ， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
例11．（2023·贵州贵阳·校联考三模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，， ， ， ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
例12．（2023·西藏日喀则·统考一模）如图，已知直角梯形 与 ，
， ， ，AD⊥AB， ，G是线段 上一点.
(1)平面 ⊥平面ABF
变式10．（2023·广东梅州·统考三模）如图所示，在几何体 中， 平面 ，点 在平面
的投影在线段 上 ， ， ， ， 平面 .
(1)证明：平面 平面 .变式11．（2023·河北张家口·统考三模）如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，
.
(1)证明：平面 平面 ；
变式12．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在长方体 中，
为棱 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)画出平面 与平面 的交线，并说明理由；
(3)求过 三点的平面 将四棱柱分成的上、下两部分的体积之比．变式13．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图， 为圆锥的顶点，A， 为底面圆 上两点，
， 为 中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明：平面 平面 ；
变式14．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在如图所示的空间几何体中， 与
均是等边三角形，直线 平面 ，直线 平面 ， .
(1)求证：平面 平面 ；
【解题方法总结】
主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直 面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找
平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．
题型五：垂直关系的综合应用
例13．（2023·贵州铜仁·统考二模）如图，在直三棱柱 中， ， ．(1)试在平面 内确定一点H，使得 平面 ，并写出证明过程；
例14．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在正三棱柱 （侧棱垂直于底面，且底面三角形
是等边三角形）中， ， 、 、 分别是 ， ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点 使 平面 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，也请说明理
由．
例15．（2023·天津·耀华中学校考二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱
BD上，AB＝AD＝ ，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（1）求证：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．
变式15．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在正方体 中， ，
.
（1）求证： ；
（2）在线段 上，是否存在点 ，使得 平面 ？并说明理由.
变式16．（2023·江西赣州·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面
是菱形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.
变式17．（2023·安徽淮北·统考一模）如图，已知四棱锥 的底面是平行四边形，侧面PAB是等
边三角形， ， ， ．
(1)求证：面 面ABCD；
(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且 平面BEQF，是否存在点Q，使
得平面 平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．
变式18．（2023·河北邯郸·统考二模）如图，直三棱柱ABCABC 中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点
1 1 1
F在棱CC 上，已知AB＝AC，AA＝3，BC＝CF＝2．
1 1（1）求证：C E 平面ADF；
1
（2）设点M在棱BB 上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF．
1
【解题方法总结】
（1）三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
（2）对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定
理、性质进行推理论证．
1．（2022•乙卷（文））在正方体 中， ， 分别为 ， 的中点，则
A．平面 平面 B．平面 平面
C．平面 平面 D．平面 平面
2．（2021•浙江）如图，已知正方体 ， ， 分别是 ， 的中点，则
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
3．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）如图，下列正方体中， 为底面的中心， 为所在棱的中点， ，
为正方体的顶点，则满足 的是
A． B．C． D．
