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专题 22.2 二次函数的图象【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的配方法】..................................................................................................................................1
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】..............................................................................................................3
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................9
【题型4 二次函数图象的平移】............................................................................................................................12
【题型5 二次函数图象的对称变换】....................................................................................................................14
【题型6 二次函数图象的旋转变换】....................................................................................................................16
【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】...........................................................................................19
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.......................................................................................23
知识点1：一元二次方程的定义
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a ( x2+ b x+ c) ①提取二次项系数；
a a
=a [ x2+ b x+ ( b ) 2 − ( b ) 2 + c] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
a 2a 2a a
[( b ) 2 4ac−b2]
=a x+ + ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
2a 4a2
( b ) 2 4ac−b2
=a x+ + ④化简：去掉中括号.
2a 4a2
( b ) 2 4ac−b2
二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)配方成顶点式y=a x+ + ，由此得到二次函数对
2a 4a2
称轴为 ，顶点坐标为 ．【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）将二次函数y=x2−4x+5化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，则
ℎ = ，k= ．
【答案】 2 1
【分析】利用配方法将函数解析式化成顶点式即可解答．
【详解】解：∵y=x2−4x+5=(x2−4x+4)−4+5=(x−2) 2+1，
∴ℎ =2,k=1．
故答案为①2，②1．
【点睛】本题主要考查了将二次函数的解析式化成顶点式，掌握配方法是解题关键．
【变式1-1】（23-24九年级·广东江门·期中）已知二次函数y=x2−4x−1，用配方法化为
y=a(x−ℎ) 2+k的形式是 ．
【答案】y=(x−2) 2−5
【分析】本题考查了二次函数的解析式化为顶点式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的
一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，注意加了多少就要减去多少．
【详解】解：y=x2−4x−1
=x2−4x+4−4−1
=(x−2) 2−5，
故答案为：y=(x−2) 2−5．
【变式1-2】（23-24九年级·广西贺州·期末）把二次函数y=2x2−8x+3用配方法化成y=a(x+ ℎ) 2+k的
形式应为（ ）
A．y=2(x−2) 2+5 B．y=2(x−2) 2−1
C．y=2(x−2) 2−5 D．y=2(x−2) 2+7
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【详解】解：y=2x2−8x+3
=2x2−8x+8−8+3
=2(x2−4x+4)−5
=2(x−2) 2−5，
故选：C．
【变式1-3】（23-24九年级·河北承德·期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程
的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x−ℎ) 2+k的形
式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式如下：
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】C
【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．
【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数
原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；
故答案选：C．
【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．
知识点2：五点绘图法作二次函数的图象
利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点
坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与
轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】
【例2】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知二次函数y=(x−1) 2−4．
(1)作出函数的图象；
(2)求此函数图象与x轴的交点坐标；
(3)根据图象直接写出当y>0时和当y<0时，x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)(−1,0)和(3,0)；
(3)当y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>3；当y<0时，自变量x的取值范围是−10时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即
可解答；由当y<0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，再结合图象即可解答．
【详解】（1）解：二次函数y=(x−1) 2−4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,−4)；
令y=0，则(x−1) 2−4=0，
解得：x =−1，x =3，
1 2
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)；
令x=0，则y=−3；令x=2，则y=−3；
∴该二次函数还经过点(0,−3)和(2,−3)，
∴在坐标系中画出图象如下：
；
（2）解：令y=0，则(x−1) 2−4=0，
解得：x =−1，x =3，
1 2
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)；
（3）解：当y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴上方时x的取值范围，
∵该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，
∴当x<−1或x>3时，二次函数图象在x轴上方，
∴当y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>3；
当y<0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，
∵该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，
∴当−10；
②3a+c=0；
16
③抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ；
3
其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对
称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0．
b
又∵对称轴是直线x=− =1，
2a
∴b=−2a>0．
∴abc<0，故①错误．
又抛物线的对称轴为直线x=1，且过点A(−1,0)，∴a−b+c=0，即a−(−2a)+c=0，
∴3a+c=0，故②正确．
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴顶点坐标为(1,a+b+c)，
又b=−2a，3a+c=0，
c 2
∴a=− ，b= c，
3 3
4
∴a+b+c= c．
3
∵30，又由对称轴在y轴右侧，即可得a，b异号，继而求得答案．
【详解】解：∵开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即b>0，∴b+c>0，
∴点A(a,b+c)在第二象限．
故选：B．
【变式7-2】（23-24九年级·广东汕尾·期中）如图所示的二次函数y=ax²+bx+c图象中，有以下信息：
①c>0；②abc<0；③a−b+c>0；④b2>4ac；⑤2a=−2b．其中正确的有
________（填序号）
【答案】③④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交
点个数即可得出二次函数系数满足条件．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c
的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；
b
∵对称轴在y轴右侧，对称轴为x=− >0，
2a
又∵a>0，
∴b<0；
故abc>0，故②错误；
③结合图象得出x=−1时，对应y的值在x轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确；
④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2−4ac>0，故④正确；
b 1
⑤由图象可知：对称轴为x=− = ，则2a=−2b，故⑤正确；
2a 2
故正确的有：③④⑤．
故答案为：③④⑤．
【变式7-3】（23-24九年级·云南昭通·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是
直线x=−1，且过点(−3,0)，下列说法：①bc<0；②2a−b=0；③若(−4,y ),(−2,y )是抛物线上两
1 2点，则y 0；⑤3a+c=0，其中正确的有（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系，以及二次函数的对称性．开口向上，
则a>0；反之，a<0．对称轴在y轴左侧，则a,b同号；反之，则a,b异号；图象与y轴交点在x轴上方，
则c>0；反之，则c<0；据此即可进行判断．
【详解】解：∵二次函数对称轴是直线x=−1，且过点(−3,0)，
∴二次函数还过点(1,0)，
补全二次函数的图象，如图所示：
∵图象开口向上，则a>0，
b
∵对称轴是直线x=− =−1，
2a
∴b=2a>0
即：2a−b=0，故②正确；
∵图象与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴bc<0，故①正确；
∵−4<−2<−1，由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小．
∴y >y ，故③错误；
1 2
由图象可知：当x=2时，y=4a+2b+c>0，
故④正确；
∵当x=1时，y=a+b+c=0，
又∵b=2a
∴3a+c=0，故⑤正确；
故选：D
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例8】（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键．直接
利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
b
∴− >0，
2a∴二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
【变式8-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，已知抛物线 y=ax2+bx，则直线y=ax+b不经过的
象限是 ．
【答案】第二象限
【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的
象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断．
【详解】解：由二次函数的图象可知a>0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b<0，由直线y=ax+b
应经过一、三、四象限，故直线y=ax+b不经过第二象限．
故答案为：第二象限．
【变式8-2】（23-24·四川德阳·二模）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象
一定不经过 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到
a<0，b>0，据此可得一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
b
∴− >0，
2a
∴b>0，
∵1>0，∴一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
【变式8-3】（23-24·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数
y=ax2−b(a≠0)的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．
本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．
{−a<0) {a>0) { a>0 )
【详解】A. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即
b<0 b<0 −b<0
{a>0)
；不一致，不符合题意；
b>0
{−a>0) {a<0) { a>0 ) {a>0)
B. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一
b>0 b>0 −b<0 b>0
致，不符合题意；
{−a<0) {a>0) { a<0 ) {a<0)
C. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一
b<0 b<0 −b>0 b<0
致，不符合题意；
{−a<0) {a>0) { a>0 ) {a>0)
D. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ； 一
b>0 b>0 −b<0 b>0
致，符合题意，
故选D.
