专题 22.2 二次函数的图象【八大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的配方法】..................................................................................................................................1
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】..............................................................................................................3
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】..............................................................................................................9
【题型4 二次函数图象的平移】............................................................................................................................12
【题型5 二次函数图象的对称变换】....................................................................................................................14
【题型6 二次函数图象的旋转变换】....................................................................................................................16
【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】...........................................................................................19
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】.......................................................................................23
知识点1：一元二次方程的定义
y=ax2+bx+c(a≠0)
=a ( x2+ b x+ c) ①提取二次项系数；
a a
=a [ x2+ b x+ ( b ) 2 − ( b ) 2 + c] ②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
a 2a 2a a
[( b ) 2 4ac−b2]
=a x+ + ③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
2a 4a2
( b ) 2 4ac−b2
=a x+ + ④化简：去掉中括号.
2a 4a2
( b ) 2 4ac−b2
二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)配方成顶点式y=a x+ + ，由此得到二次函数对
2a 4a2
称轴为 ，顶点坐标为 ．【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（23-24九年级·山东德州·阶段练习）将二次函数y=x2−4x+5化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，则
ℎ = ，k= ．
【答案】 2 1
【分析】利用配方法将函数解析式化成顶点式即可解答．
【详解】解：∵y=x2−4x+5=(x2−4x+4)−4+5=(x−2) 2+1，
∴ℎ =2,k=1．
故答案为①2，②1．
【点睛】本题主要考查了将二次函数的解析式化成顶点式，掌握配方法是解题关键．
【变式1-1】（23-24九年级·广东江门·期中）已知二次函数y=x2−4x−1，用配方法化为
y=a(x−ℎ) 2+k的形式是 ．
【答案】y=(x−2) 2−5
【分析】本题考查了二次函数的解析式化为顶点式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的
一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，注意加了多少就要减去多少．
【详解】解：y=x2−4x−1
=x2−4x+4−4−1
=(x−2) 2−5，
故答案为：y=(x−2) 2−5．
【变式1-2】（23-24九年级·广西贺州·期末）把二次函数y=2x2−8x+3用配方法化成y=a(x+ ℎ) 2+k的
形式应为（ ）
A．y=2(x−2) 2+5 B．y=2(x−2) 2−1
C．y=2(x−2) 2−5 D．y=2(x−2) 2+7
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把二次函数一般式化为顶点式是解题的关键．利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【详解】解：y=2x2−8x+3
=2x2−8x+8−8+3
=2(x2−4x+4)−5
=2(x−2) 2−5，
故选：C．
【变式1-3】（23-24九年级·河北承德·期末）学完一元二次方程和二次函数后，同学们发现一元二次方程
的解法有配方法，二次函数也可以用配方法把一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x−ℎ) 2+k的形
式．现有甲、乙两位同学通过配方法将二次函数y=x2−4x+5化成y=a(x−ℎ) 2+k的形式如下：
两位同学做法正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】C
【分析】此题根据配方的步骤结合利用到的等式性质判断即可．
【详解】解：两位同学做法都正确，甲同学利用配方的要求只对函数式右边的整式同时加或者减同一个数
原式结果不变进行配方；乙同学对利用等式的性质对函数式两边同时进行加减配方，故都正确；
故答案选：C．
【点睛】此题考查了配方法的实际配方过程，涉及到等式性质，难度一般．
知识点2：五点绘图法作二次函数的图象
利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点
坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与
轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.
【题型2 五点绘图法作二次函数的图象】
【例2】（23-24九年级·四川自贡·阶段练习）已知二次函数y=(x−1) 2−4．
(1)作出函数的图象；
(2)求此函数图象与x轴的交点坐标；
(3)根据图象直接写出当y>0时和当y<0时，x的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)(−1,0)和(3,0)；
(3)当y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>3；当y<0时，自变量x的取值范围是−1<x<3．
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解
题关键．
（1）根据五点法画出图象即可；
（2）令y=0，求出x的值，即得出该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）由当y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即
可解答；由当y<0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，再结合图象即可解答．
【详解】（1）解：二次函数y=(x−1) 2−4，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(1,−4)；
令y=0，则(x−1) 2−4=0，
解得：x =−1，x =3，
1 2
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)；
令x=0，则y=−3；令x=2，则y=−3；
∴该二次函数还经过点(0,−3)和(2,−3)，
∴在坐标系中画出图象如下：
；
（2）解：令y=0，则(x−1) 2−4=0，
解得：x =−1，x =3，
1 2
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)；
（3）解：当y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴上方时x的取值范围，
∵该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，
∴当x<−1或x>3时，二次函数图象在x轴上方，
∴当y>0时，自变量x的取值范围是x<−1或x>3；
当y<0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，
∵该二次函数图象与x轴的交点坐标为(−1,0)和(3,0)，
∴当−1<x<3时，二次函数图象在x轴下方，
∴当y<0时，自变量x的取值范围是−1<x<3．【变式2-1】（23-24九年级·福建漳州·期中）已知二次函数y=x2−2x−3．
(1)用配方法将解析式化为y=a(x−ℎ) 2+k的形式；
(2)二次函数y=x2−2x−3中的x和y满足下表：
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 −3 −4 −3 m …
求m的值；
(3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象．
【答案】(1)y=(x−1) 2−4；
(2)m=0；
(3)见解析
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）通过配方法求解；
（2）将x=3代入解析式求解；
（3）根据（2）的表格描点、连线作图．
【详解】（1）解：y=x2−2x−3=(x−1) 2−4；
（2）解：当x=3时，y=(3−1) 2−4=0，
∴m=0；
（3）解：描点、连线，作图如下：【变式2-2】（23-24九年级·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①y=x2；②y=2x2；③y=−x2；④y=−2x2．
从图象对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？
【答案】作图见解析，a的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；|a)越大，开口越小
【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的作图．根据描点法，可得函
数图象，观察图象即可得出二次项系数a对抛物线的形状有什么影响．
【详解】解：列表如下：
x −2 −1 0 1 2
y=x2 4 1 0 1 4
y=2x2 8 2 0 2 8
y=−x2 −4 −1 0 −1 −4
y=−2x2 −8 −2 0 −2 −8
描点：见表中的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出，
连线：用平滑的线连接，如图所示：由图象可知：a的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同；|a)越大，开口越小．
【变式2-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）已知二次函数y=x2−4x+5．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当0<x<3时，则y的取值范围是____________．
【答案】(1)y=(x−2) 2+1，顶点坐标为(2,1)
(2)见解析
(3)1≤ y<5
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象求解．
【详解】（1）解：∵y=x2−4x+5=(x−2) 2+1，∴抛物线顶点坐标为(2,1)；
（2）解：列表：
x ⋯ 0 1 2 3 5 ⋯
y ⋯ 5 2 1 2 5 ⋯
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当0<x<3时，1≤ y<5．
故答案是：1≤ y<5．
【题型3 二次函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24九年级·全国·课后作业）若二次函数y=mx2+x+m(m−2)的图象经过原点，则m的值为
（ ）
A．2 B．1 C．0或2 D．1或2
【答案】A
【分析】本题中已知了二次函数经过原点(0，0)，即m(m−2)=0，由此可求出m的值，结合二次项系数
m不能为0，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=mx2+x+m(m−2)的图象经过原点，
∴m(m−2)=0，
∴m=0或m=2，
∵二次项系数不能为0，
所以m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键．
【变式3-1】（23-24九年级·广东湛江·期中）抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点的坐标为(m,0)，则代
数式m2−m+2023= ．【答案】2024
【分析】考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．把(m,0)代入
y=x2−x−1，得出m2−m=1，然后整体代入求解即可．
【详解】解：抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点的坐标为(m,0)，
则m2−m−1=0，
∴m2−m=1，
∴m2−m+2023=1+2023=2024．
故答案为：2024．
【变式3-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期末）下列各点中，一定不在抛物线y=mx2−2mx+2上的是
（ ）
A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3）
【答案】C
【分析】分别计算出x=1或x=2时的函数值，从而求得m的值，然后根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：当x=1时，y=−m+2=1，此时解得m=1，
∴点（1，1）可以在抛物线y=mx2−2mx+2上，故选项A不符合题意；
当x=2时，y=4m−4m+2=2，
∴点（2，2）在抛物线y=mx2−2mx+2上，故选项B不符合题意；
当x=1时，y=−m+2=2，此时解得m=0，此时抛物线解析式不成立，
∴点（1，2）一定不在抛物线y=mx2−2mx+2上，故选项C符合题意；
当x=1时，y=−m+2=3，此时解得m=-1，
∴点（1，3）可以在抛物线y=mx2−2mx+2上，故选项D不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式并且理解
二次函数解析式中二次项系数不能为零是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级·吉林长春·期中）已知点M(m,n)，N(4−m,n)是二次函数y＝ax2+bx+2
图像上的两个不同的点，则当x=4时，其函数值等于 ．
【答案】2
b m+(4−m)
【分析】根据M、N横坐标不同纵坐标相同，可得关于对称轴的等式x=− = ，当x=4时，
2a 2
b b b
正好等于m+(4−m)=− ，即对称轴的一半，则x=4=m+(4−m)=− ，将x=− 代入二次函数可得
a a a函数值为2，即当x=4时函数值也为2．
【详解】解：∵ 当x=m和x=4−m时，y 的值相等，
b m+(4−m)
∴ 二次函数对称轴x=− = =2，
2a 2
b
当x=4时，即x=m+(4−m)=− ，
a
b 2 b
则y=a(− ) +b(− )+2=2，
a a
∴当x=4时，二次函数的值为2．
故答案为：2．
【点睛】此题考查二次函数图像上点的坐标特征，根据两点纵坐标相等得二次函数的对称轴，用对称轴表
示x的值代入二次函数是解题的关键．
知识点3：二次函数图象的平移
方法一：在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：
方法二：
⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成
（或 ）
【题型4 二次函数图象的平移】
【例4】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知二次函数y=−x2+mx+n．(1)请利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标；
(2)如果将该二次函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的函数的对称轴为y轴，求m的
值．
m (m m2 )
【答案】(1)二次函数的对称轴为x= ，顶点坐标为 , +n
2 2 4
(2)m=−2
【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解题的关键是
熟知二次函数的性质；
（1）通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而求解；
( m ) 2 m2
（2）根据平移的性质得出新抛物线的解析式为y=− x− −1 + +n−2，然后由平移后的函数的对
2 4
m
称轴为y轴得到 +1=0，最后求解即可．
2
【详解】（1）解：配方：y=−x2+mx+n=−(x2−mx)+n
=− [ x2−mx+ (m) 2 − (m) 2 ) +n=− ( x− m) 2 + m2 +n，
2 2 2 4
m (m m2 )
所以二次函数的对称轴为x= ，顶点坐标为 , +n ；
2 2 4
( m ) 2 m2
（2）由题意得：平移后的二次函数表达式为y=− x− −1 + +n−2，
2 4
m
所以对称轴为x= +1，
2
因为平移后的二次函数对称轴是y轴，
m
所以 +1=0，
2
解得m=−2．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知二次函数y=2x2，若其图象抛物线不动，把x轴、y轴
分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是 ．【答案】y=2(x+2) 2−2
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据平移确定出新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标，然后
根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，根据顶点坐标写出解析式即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化解答抛物线的变化，准确找出新坐标系中顶点的坐
标是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，
∵x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为(−2，−2)，
∴新坐标系下抛物线的解析式是y=2(x+2) 2−2．
故答案为y=2(x+2) 2−2．
【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期中）抛物线y=x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y=x2 B．y=x2−4 C．y=x2+x−3 D．y=7x2+x+1
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练通过配方法，将一般式化成顶点式是解答本题的关键．
( 1) 2 3
由平移的性质可知：抛物线经过平移后，a的值不变．将y=x2+x+1化成顶点式y= x+ + ，再通过
2 4
各选项比较，得到各自平移方法，最后分析出y=7x2+x+1无法通过平移抛物线y=x2+x+1得到．
【详解】解：A．∵ y=x2+x+1= ( x+ 1) 2 + 3 ，∴抛物线y=x2+x+1向右平移 1 ，再向下平移 3 得到抛
2 4 2 4
物线y=x2，故不符合题意；
B．∵ y=x2+x+1= ( x+ 1) 2 + 3 ， ∴抛物线y=x2+x+1向右平移 1 ，再向下平移 19 得到抛物线
2 4 2 4
y=x2−4，故不符合题意；
C．∵ y=x2+x+1= ( x+ 1) 2 + 3 ，y=x2+x−3= ( x+ 1) 2 − 13 ，∴抛物线y=x2+x+1向下平移 16 得
2 4 2 4 4
到抛物线y=x2+x−3，故不符合题意；
D．y=7x2+x+1，由平移的性质，a的值变为7，无法通过平移得到，故符合题意．
故选D．
1
【变式4-3】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，将函数y= (x−2) 2+1的图象沿y轴向上平移得到一
2条新函数的图象，其中点A(1,m)，B(4,n)平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9
（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
1 1
A．y= (x−2) 2+2 B．y= (x−2) 2+7
2 2
1 1
C．y= (x−2) 2+5 D．y= (x−2) 2+4
2 2
【答案】D
【分析】曲线段AB扫过的面积=(x −x )×A A′=3A A′=9，则A A′=3，然后根据平移规律即可求解．
B A
【详解】解：曲线段AB扫过的面积=(x −x )×A A′=3A A′=9，
B A
则AA′=3，
1
故抛物线向上平移3个单位，则y= (x−2) 2+4
2
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出A A′是解
题关键．
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】（23-24九年级·四川达州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=−(x+1) 2+2关于y轴对称
的抛物线的解析式为( )
A．y=−(x−1) 2+2 B．y=−(x+1) 2−2
C．y=(x+1) 2−2 D．y=(x−1) 2+2
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于y轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答．
【详解】解：抛物线y=−(x+1) 2+2关于y轴对称的抛物线的解析式为，y=−(x−1) 2+2
即解析式为：y=−(x−1) 2+2．
故选：A．
【变式5-1】（23-24九年级·安徽淮北·阶段练习）求抛物线y=x2−2x−1关于直线x=−1对称的抛物线的
函数表达式．
【答案】y=x2+6x+7
【分析】先求出抛物线y=x2−2x−1的顶点坐标，从而得到它关于直线x=−1的对称点为(−3,−2)，进
而即可求解．
【详解】解：配方得y=(x−1) 2−2．
其顶点为(1,−2)，
它关于直线x=−1的对称点为(−3,−2)，
所以，所求抛物线的函数表达式为y=(x+3) 2−2即：y=x2+6x+7．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的轴对称变换，求出二次函数的图像的顶点坐标，是解题的关键．
1
【变式5-2】（23-24九年级·黑龙江绥化·期中）将函数y= (x+2) 2 的图像沿x轴翻折后得到的函数解析式
5
1
是 ；将函数y= (x+2) 2 的图像沿y轴翻折后得到的函数解析式是 ．
5
1 1
【答案】 y=− (x+2) 2 y= (x−2) 2
5 5
【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，根据关于x轴和y轴对称的点的坐标特点进行解答即
可．解题的关键是抓住关于x轴对称的点的坐标特点，即关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反
数．
【详解】解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，
1 1
∴函数y= (x+2) 2 的图象沿x轴翻折后得到的图象的解析式为y=− (x+2) 2 ；
5 5
∵关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
1 1
∴函数y= (x+2) 2 的图象沿y轴翻折后得到的图象的解析式为y= (x−2) 2 ．
5 51 1
故答案为：y=− (x+2) 2 ，y= (x−2) 2 ．
5 5
1
【变式5-3】（23-24·湖北武汉·一模）直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线y=－ x2-4x在直线y=m上
2
侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图像，若新的函数图像刚好与直
线y=－x有3个交点，则满足条件的m的值为
25
【答案】6或
4
1
【分析】根据题意直线y=-x与抛物线y=－ x2-4x相交，交点坐标为（-6，6），m=6时满足条件，当翻折
2
后的抛物线与直线y=-x只有一个交点时，也满足条件，根据Δ=0，构建方程即可解决问题；
【详解】解：根据题意
1 1
∵y=- x2-4x=- （x+4）2+8，
2 2
∴顶点为（-4，8），
∴在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分的顶点为（-4，-8+2m），
1
∵直线y=-x与抛物线y=- x2-4x相交
2
{
y=−x
)
∴ 1
y=− x2−4x
2
{x =−6) {x =0)
1 2
解得， ，
y =6 y =0
1 2
∴交点坐标为（-6，6），（0，0）
∴m=6时，新的函数图象刚好与直线y=-x有3个交点
1
翻折后的抛物线的解析式为y= （x+4）2-8+2m，
2
{y＝ 1 (x+4) 2−8+2m)
由题意： 2 ，
y＝−x
消去y得到：x2+10x+4m=0，
由题意Δ=0时，满足条件，
∴100-16m=0，25
∴m= ，
4
25
综上所述，m=6或 ．
4
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的部分的顶点坐标是解题的关
键．
【题型6 二次函数图象的旋转变换】
【例6】（23-24·广东中山·一模）如图，一段抛物线y=−x2+8x(0≤x≤8)记为C ，它与x轴交于点O，
1
A 两点；将C 绕点A 旋转180°得到C ，交x轴于点A ；将C 绕点A 旋转180°得到C ，交x轴于点A ，
1 1 1 2 2 2 2 3 3
…，如此下去，得到一条“波浪线”．若点M(2023,m) 在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．−8 B．8 C．−7 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛
物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析
式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．从图象看，可以把0≤x≤16当成一个周期，则
2023÷16=126余7，即可求解．
【详解】解：∵一段抛物线C :y=−x(x−8)(0≤x≤8)，
1
∴图象C 与x轴交点坐标为：(0,0)，(8,0)，
1
∵将C 绕点A 旋转180°得C ，交x轴于点A ，
1 1 2 2
∴抛物线C :y=(x−8)(x−16)(8≤x≤16)，
2
从图象看，可以把0≤x≤16当成一个周期，
则2023÷16=126余7，当x=7时，y=−x2+8x=7，
即m=7，
故选：D．
【变式6-1】（23-24九年级·山东济南·期中）将二次函数y=(x−2) 2+1的图象绕点(2,1)旋转180°得到的图
象满足的解析式为（ ）
A．y=(x−2) 2+1 B．y=(x+2) 2+1
C．y=−(x−2) 2+1 D．y=−(x+2) 2−1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛
物线的顶点坐标以及绕点(2,1)旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利
用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵抛物线y=(x−2) 2+1的顶点坐标为(2,1)，开口向上
∴绕点(2,1)旋转180°后的抛物线的顶点坐标为(2,1)，开户口向下，
∴所得到的图象的解析式为y=−(x−2) 2+1，
故选：C．
1
【变式6-2】（23-24九年级·河南新乡·阶段练习）抛物线y=− x2+x+1经过平移、旋转或轴对称后，不
2
可能得到的抛物线是（ ）
1 1
A．y=− x2+x B．y= x2−x−1
2 2
1
C．y=− x2+2021x−2022 D．y=−x2+x+1
2
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，通过了解经过平移、旋转或轴对称后过程，得到二次函数平移
过程中不改变开口大小，所以|a)不变，选出答案即可．
1
【详解】解：抛物线y=− x2+x+1经平移后，不改变开口大小，所以|a)不变，
2
而D选项中a=−1，不可能是经过平移、旋转或轴对称得到，
故选：D．【变式6-3】（23-24·陕西榆林·二模）二次函数y=m(x+3) 2−3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点
A．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图像与y轴交于点B，若AB=12，则m的
值为（ ）
1 1
A．1或− B．1或−3 C．3 D．
3 3
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，中心对称的性质，先求解A的坐标，再求解旋转后的解析
式及B的坐标，再利用AB=12，再建立方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数y=m(x+3) 2−3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．
∴当x=0时，y=9m−3，
∴A(0,9m−3)，
∵二次函数y=m(x+3) 2−3的图象以原点为旋转中心旋转180°，
∴旋转后的解析式为：−y=m(−x+3) 2−3即y=−m(x−3) 2+3，
当x=0时，y=−9m+3，
∴B(0,−9m+3)，
∵AB=12，
∴|9m−3−(−9m+3))=12，即|18m−6)=12，
1
解得：m=1或m=− ；
3
故选A
知识点4：二次函数图象与各项系数之间的关系
1、a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小．
2、b的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左
同右异”
3、c决定了抛物线与 轴交点的位置
字母的符号 图象的特征
a＞0 开口向上
a
a＜0 开口向下b＝0 对称轴为y轴
b ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0 经过原点
c c＞0 与y轴正半轴相交
c＜0 与y轴负半轴相交
【题型7 二次函数的图象与各项系数之间的关系】
【例7】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点A(−1,0)，与y轴的交点
C在(0,3)，(0,4)之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线x=1，有以下结论：
①abc>0；
②3a+c=0；
16
③抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ；
3
其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对
称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0．
b
又∵对称轴是直线x=− =1，
2a
∴b=−2a>0．
∴abc<0，故①错误．
又抛物线的对称轴为直线x=1，且过点A(−1,0)，∴a−b+c=0，即a−(−2a)+c=0，
∴3a+c=0，故②正确．
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴顶点坐标为(1,a+b+c)，
又b=−2a，3a+c=0，
c 2
∴a=− ，b= c，
3 3
4
∴a+b+c= c．
3
∵3<c<4，
4 16
∴4< c< ，
3 3
16
∴抛物线顶点的纵坐标大于4小于 ．故③正确．
3
故选：B．
【变式7-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点
A(a,b+c)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数系数与图象的关系．注意二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线
开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线确定的．由开口向下，可得a<0，由抛物线与y轴交于正
半轴，可得c>0，又由对称轴在y轴右侧，即可得a，b异号，继而求得答案．
【详解】解：∵开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，即b>0，∴b+c>0，
∴点A(a,b+c)在第二象限．
故选：B．
【变式7-2】（23-24九年级·广东汕尾·期中）如图所示的二次函数y=ax²+bx+c图象中，有以下信息：
①c>0；②abc<0；③a−b+c>0；④b2>4ac；⑤2a=−2b．其中正确的有
________（填序号）
【答案】③④⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x轴交
点个数即可得出二次函数系数满足条件．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c
的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线交y轴于负半轴，则c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；
b
∵对称轴在y轴右侧，对称轴为x=− >0，
2a
又∵a>0，
∴b<0；
故abc>0，故②错误；
③结合图象得出x=−1时，对应y的值在x轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确；
④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2−4ac>0，故④正确；
b 1
⑤由图象可知：对称轴为x=− = ，则2a=−2b，故⑤正确；
2a 2
故正确的有：③④⑤．
故答案为：③④⑤．
【变式7-3】（23-24九年级·云南昭通·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是
直线x=−1，且过点(−3,0)，下列说法：①bc<0；②2a−b=0；③若(−4,y ),(−2,y )是抛物线上两
1 2点，则y <y ；④4a+2b+c>0；⑤3a+c=0，其中正确的有（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系，以及二次函数的对称性．开口向上，
则a>0；反之，a<0．对称轴在y轴左侧，则a,b同号；反之，则a,b异号；图象与y轴交点在x轴上方，
则c>0；反之，则c<0；据此即可进行判断．
【详解】解：∵二次函数对称轴是直线x=−1，且过点(−3,0)，
∴二次函数还过点(1,0)，
补全二次函数的图象，如图所示：
∵图象开口向上，则a>0，
b
∵对称轴是直线x=− =−1，
2a
∴b=2a>0
即：2a−b=0，故②正确；
∵图象与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴bc<0，故①正确；
∵−4<−2<−1，由图象可知，当x<−1时，y随x的增大而减小．
∴y >y ，故③错误；
1 2
由图象可知：当x=2时，y=4a+2b+c>0，
故④正确；
∵当x=1时，y=a+b+c=0，
又∵b=2a
∴3a+c=0，故⑤正确；
故选：D
【题型8 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】
【例8】（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数
y=ax2+bx的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定a，b的符号是解题关键．直接
利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、三、四象限，
∴a>0，b<0，
b
∴− >0，
2a∴二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在y轴右侧，
故选：D．
【变式8-1】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，已知抛物线 y=ax2+bx，则直线y=ax+b不经过的
象限是 ．
【答案】第二象限
【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的
象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断．
【详解】解：由二次函数的图象可知a>0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b<0，由直线y=ax+b
应经过一、三、四象限，故直线y=ax+b不经过第二象限．
故答案为：第二象限．
【变式8-2】（23-24·四川德阳·二模）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象
一定不经过 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到
a<0，b>0，据此可得一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵二次函数开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
b
∴− >0，
2a
∴b>0，
∵1>0，∴一次函数y=x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故答案为：四．
【变式8-3】（23-24·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数y=−ax+b与二次函数
y=ax2−b(a≠0)的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可．
本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键．
{−a<0) {a>0) { a>0 )
【详解】A. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即
b<0 b<0 −b<0
{a>0)
；不一致，不符合题意；
b>0
{−a>0) {a<0) { a>0 ) {a>0)
B. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一
b>0 b>0 −b<0 b>0
致，不符合题意；
{−a<0) {a>0) { a<0 ) {a<0)
C. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ；不一
b<0 b<0 −b>0 b<0
致，不符合题意；
{−a<0) {a>0) { a>0 ) {a>0)
D. 根据一次函数图象分布，得 即 ；根据二次函数图象分布，得 即 ； 一
b>0 b>0 −b<0 b>0
致，符合题意，
故选D.
