文档内容
第 04 讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：垂直性质的简单判定............................................................................................................2
题型二：证明线线垂直........................................................................................................................2
题型三：证明线面垂直........................................................................................................................4
题型四：证明面面垂直........................................................................................................................5
题型五：面面垂直的性质定理............................................................................................................7
题型六：垂直关系的综合应用............................................................................................................8
题型七：鳖臑几何体中的垂直..........................................................................................................11
02 重难创新练....................................................................................................................................13
03 真题实战练....................................................................................................................................19题型一：垂直性质的简单判定
1．设 、 是两个平面， 、 是两条直线，且 ．下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则 ，
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
2．（2024·四川成都·三模）已知直线 、 、 与平面 、 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ， ，则
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 ， 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，下列命题
为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D． ， ， ，则
题型二：证明线线垂直
4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ，
， ，点E为线段 的中点，点F在线段AB上，且 ．
(1)求证： ；(2)求三棱锥 的体积．
5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台 中，底面四边形ABCD为菱形，
平面ABCD.
证明： ；
6．如图，三棱柱 中，侧面 是边长为2的正方形， ， ．
证明： ；
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形 中， ， ，垂足为
，将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
题型三：证明线面垂直
8．如图所示， 是 的直径，点 是 上异于 ， 平面ABC， 、 分别为 ， 的中点，
求证：EF⊥平面PBC；
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 是 上的点，且 平面 ．
求证： 平面 ；10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面 是边长为2的正方形， 是 的中点.
(1)求该圆柱体的体积；
(2)证明： 平面 ；
11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥 中，已知 是
的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，点 是 的中点，求点 到平面 的距离.
题型四：证明面面垂直
12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中， ， ，E，F
分别为AB，AC的中点.(1)证明：平面 平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， 为 中点，求三棱锥 的体积．
14．（2024·广西·模拟预测）在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ，
．求证：平面 平面AEF；
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， 为边 上
的点， ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且三棱柱 的体积为 .
证明：平面 平面 ；
题型五：面面垂直的性质定理
16．如图，在四边形 中， 是边长为2的正三角形， .现将 沿 边折
起，使得平面 平面 ，点 是 的中点.
求证： 平面 ；17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱 的各棱长均为 ， 侧棱 与底面
所成角为 ，且侧面 底面 ．
证明：点 在平面 上的射影 为 的中点；
18．如图1，在矩形 中，点 在边 上， ，将 沿 进行翻折，翻折后
点到达 点位置，且满足平面 平面 ，如图2．
(1)若点 在棱 上， 平面 ，求证： ；
(2)求点 到平面 的距离．
19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱 中，侧面 平面 ，
，侧面 为菱形，且 为 中点．证明： 平面 ；
题型六：垂直关系的综合应用
20．如图，在直三棱柱： 中， ， ， 是 的中点， 在 上，
为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使 平面 ？并证明你的结论.① 为 的中点；
② ；③ .
21．如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， 为 的中点．(1)求证： ；
(2)若 为 边的中点，能否在棱 上找到一点 ，使 ？请证明你的结论．
22．已知正方体 的棱长为 ， 分别是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由；
(3)求 到平面 的距离．
23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱 中，侧面 是矩形，侧面 是菱
形， ， 、 分别为棱 、 的中点， 为线段 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在一点 ，使平面 平面 ？若存在，请指出点 的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.
24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，且
分别为棱 的中点，平面 与平面 交于直线 .
(1)求证： ；
(2)若 与底面 所成角为 ，当 满足什么条件时， 平面 .
题型七：鳖臑几何体中的垂直
25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形 中， ， ， 是 上一点，
， ， ，将 沿着 翻折，使 运动到点 处，得到四棱锥 ．证明： ；
26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，
可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，
在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解
立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，
其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体
中，PA⊥平面ACB.
(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE 平面ABC；
(2)如图2，若 ，垂足为C，且 ，求直线PB与平面APC所成角的
大小；
(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体 为鳖臑.
27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马 中，侧棱 底面ABCD，且 ，点
E是PC的中点，连接DE、BD、BE.证明： 平面 .试判断四面体 是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若
不是，请说明理由；
28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角
三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的
中点 ，作 交 于点 ，连接 .
证明： 平面 ；
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 ， 的一点，
则下面结论中错误的是（ ）A．
B． 平面
C．平面 平面
D． 平面
2．（2024·江西景德镇·三模）已知 ， 是空间内两条不同的直线， ， ， 是空间内三个不同的平面，
则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则 或
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线 ， 和平面 ， ， ， ，则 的必要不充
分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点，平面
与棱 交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形 是平行四边形；②四边形 可能是正方形；③存在平面 与直线 垂直；④
任意平面 都与平面 垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ， ，则
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知 ， 为异面直线，直线 与 ， 都垂直，则下列说法不正确的是
（ ）
A．若 平面 ，则 ，
B．存在平面 ，使得 ， ，
C．有且只有一对互相平行的平面 和 ，其中 ，
D．至少存在两对互相垂直的平面 和 ，其中 ，
7．（2024·广东·一模）已知点 分别在平面 的两侧，四棱锥 与四棱锥 的所有
侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形 可能是 的菱形
B．四边形 一定是正方形
C．四边形 不可能是直角梯形
D．平面 不一定与平面 垂直
8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．
如图，已知直三棱柱 是堑堵，其中 ，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面
C． D． 为锐角三角形
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥 的平面展开图中， ， 分别是 ，
的中点，正方形 的边长为2，则在三棱锥 中（ ）A． 的面积为 B．
C．平面 平面 D．三棱锥 的体积为
10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正
确的有（ ）
A．若 ， ， ，则
B． ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体 中，底面 是正方形，
为 与 的交点，则下列条件中能成为“ ”的必要条件有（ ）
A．四边形 是矩形
B．平面 平面
C．平面 平面
D．直线 所成的角与直线 所成的角相等
12．（2024·陕西·三模）如图，四边形 是圆柱的轴截面， 是底面圆周上异于 的一点，则下面
结论中正确的序号是 ．（填序号）① ；② ；③ 平面 ；④平面 平面 ．
13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形 ，其中 ， ，点D沿着对角线 进行翻折，
形成三棱锥 ，如图所示，则下列说法正确的是 （填写序号即可）．
①点D在翻折过程中存在 的情况；
②三棱锥 可以四个面都是直角三角形；
③点D在翻折过程中，三棱锥 的表面积不变；
④点D在翻折过程中，三棱锥 的外接球的体积不变．
14．如图，在平行四边形 中， ， ，且 交 于点 ，
现沿折痕 将 折起，直至折起后的 ，此时 的面积为 ．
15．（2024·四川·一模）如图，在矩形 中， ， ，点 为线段 的中点，沿直线 将
翻折，点 运动到点 的位置．当平面 平面 时，三棱锥 的体积为 ．
16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，侧面
是菱形， ，平面 平面 ．(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱 的侧棱垂直于底面， ， ，
点 ， 分别为 和 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)设 ，当 为何值时， 平面 ？试证明你的结论．
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱 中，平面 和平面 均垂直于平
面 ．(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为 的中点，底面 是正方形， ，求三棱锥 的体积．
19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台 中， 在 边上，平面 平面 ，
， ， ， ， .
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 ，求三棱锥 的体积.1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，
， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱 中， 平面
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，求四棱锥 的高．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．(1)证明： ；
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体 中， ，
E为AC的中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．，所以 ，
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．
（1）证明：平面 平面 ；
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点， .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）已知D为棱 上的点，证明： .
13．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形，
，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点．（1）证明： ；
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
M为 的中点，且PB⊥AM．
（1）证明：平面PAM⊥平面 ；
（2）若PD=DC=1，求四棱锥 的体积．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
为 的中点.（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，
求三棱锥 的体积.
