文档内容
专题 22.8 二次函数中的存在性问题【十三大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】.....................................................................................................1
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】.....................................................................................................3
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】.................................................................................................5
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】.................................................................................................7
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】.................................................................................................8
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.......................................................................................10
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】...............................................................................................12
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】...........................................................................................................13
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】...........................................................................................................15
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】.......................................................................................................17
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】............................................................................................................19
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】...................................................................................................22
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】...................................................................................................23
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(0,−3)，(−b,c)两点，其
中a，b，c为常数，且ab>0．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是−4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点
E，连接 ， ， ．是否存在点P，使S 3？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说
PC CB BE △PCE=
S 8
△CBE
明理由．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，其中B(1,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和
△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
8
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+ x+c
3
的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
5
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于 ？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请
2
说明理由．【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
1 m−1 m
y=− x2+ ⋅x+ (m>0)与x轴交于A(−1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C，并且OC=2OA，
2 2 2
连接BC．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
2
(2)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的 ？若存
15
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
连接AC，BC．(1)求△ABC的面积；
(2)直线y=2x−3与抛物线交于点C、D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？如果
存在，请求出点P坐标；如不存在，请说明理由．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，
B(−3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若
存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、
在 轴上，且 ， ，抛物线 经过 三点，直线
D y OB=OC=3 OA=OD=1 y=ax2+bx+c(a≠0) A、B、C
AD与抛物线交于另一点M．(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点P
的坐标和△AMP面积的最大值．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点
A(0,5)和B(1,12)．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当−6≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，
过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D，使△DMF的周长最
大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
1
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+x+4的图象与x轴交于
2
A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是
否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线L：y=x2+3x−4与y轴交于点A，抛物线L′与L关于x轴
对称．
(1)求抛物线L′的函数表达式；
(2)O为坐标原点，点B是y轴正半轴上一点，OB=OA，点C是x轴负半轴上的动点，点P是第二象限抛物
线L′上的动点，连接OP,BP,是否存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等？若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴
交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点P(m,n)在抛物线上，当−1
