专题 22.8 二次函数中的存在性问题【十三大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】.....................................................................................................1
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】.....................................................................................................3
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】.................................................................................................5
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】.................................................................................................7
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】.................................................................................................8
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】.......................................................................................10
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】...............................................................................................12
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】...........................................................................................................13
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】...........................................................................................................15
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】.......................................................................................................17
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】............................................................................................................19
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】...................................................................................................22
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】...................................................................................................23
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过(0,−3)，(−b,c)两点，其
中a，b，c为常数，且ab>0．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是−4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点
E，连接 ， ， ．是否存在点P，使S 3？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说
PC CB BE △PCE=
S 8
△CBE
明理由．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，其中B(1,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和
△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
8
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+ x+c
3
的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
5
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于 ？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请
2
说明理由．【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
1 m−1 m
y=− x2+ ⋅x+ (m>0)与x轴交于A(−1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C，并且OC=2OA，
2 2 2
连接BC．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
2
(2)点P是直线BC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使得△POC的面积等于△PAB面积的 ？若存
15
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，在y轴上是否存在点P，使得∠PAB=2∠DAB？若存在，请直接
写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
连接AC，BC．(1)求△ABC的面积；
(2)直线y=2x−3与抛物线交于点C、D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？如果
存在，请求出点P坐标；如不存在，请说明理由．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，
B(−3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若
存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、
在 轴上，且 ， ，抛物线 经过 三点，直线
D y OB=OC=3 OA=OD=1 y=ax2+bx+c(a≠0) A、B、C
AD与抛物线交于另一点M．(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，
请说明理由；
(3)点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，当线段PE的长度最大时，请求出点P
的坐标和△AMP面积的最大值．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点
A(0,5)和B(1,12)．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当−6≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，
过点D作DE⊥OC于点E，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D，使△DMF的周长最
大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
1
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=− x2+x+4的图象与x轴交于
2
A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．(1)求点A、P的坐标；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是
否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线L：y=x2+3x−4与y轴交于点A，抛物线L′与L关于x轴
对称．
(1)求抛物线L′的函数表达式；
(2)O为坐标原点，点B是y轴正半轴上一点，OB=OA，点C是x轴负半轴上的动点，点P是第二象限抛物
线L′上的动点，连接OP,BP,是否存在点P，使得以点O,P,C为顶点的三角形与△OPB全等？若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴
交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点P(m,n)在抛物线上，当−1<m<3时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为(2,3)，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与
△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．1
【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线y= x2−2x+3与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点
4
为C，对称轴为直线l，l交x轴于点D．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这
样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若
不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线 与 轴交于点
y=ax2+bx+c(a≠0) x
A(−3，0)，B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴与x轴交于点H．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PHC是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由．
(3)若M是线段OA上一动点（不与点O，A重合），连接AC，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交
AC于点E，在点M的运动过程中，是否存在线段DE=CE？若存在，请求出点M的横坐标；若不存在，
请说明理由．
【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线w:y=ax2+bx−3（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于
点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，将抛物线w向右平移一个单位得到抛物线w′；(1)求抛物线w的函数表达式；
(2)连接AC，探究抛物线w′的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三
角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线y=−x2+bx+c（b，c是常数）的顶点坐标为A(1,4)，
与y轴交于点B．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 y=x²+bx+c的图象与 x 轴交于A(−1,0)、
B(3,0)两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 △DBC的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交
于点A(−1，0)和点B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．点D为直线BC上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，当点D在线段BC上时，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，
记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，
若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数y 的图象的顶点在二次函数为y 的图象上，同时二
1 2
次函数y 的图象的顶点在二次函数y 的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
2 1
(1)若二次函数 与二次函数 互为“顶点相容函数”，则 _______．
y =x2−2x−3 y =−x2+bx−7 b=
1 2
1
(2)如图，已知二次函数y = (x+1) 2−2的图象的顶点为M，点P是x轴正半轴上的一个动点，将二次函
1 4
数y 的图象绕点P旋转180°得到一个新的二次函数y 的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函
1 2
数”，且y 的图象的顶点为N．
2
①求二次函数y 的解析式；
2
②点Q为y轴上一点，是否存在一点Q，使得△MNQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存
在，请说明理由．
【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点A(−2,0)，点B(8,0)，点C(0,4)，抛物线y=ax2+bx+c过
A，B，C三点．点P在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若∠CAP=45°，求点P的坐标；(3)当∠CAP=45°时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使△PBM为直角三角形．若存在请求出点
M的坐标，若不存在请说明理由．
【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数y=x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于
点C，且点A(−1，0)，C(4，0)，AC=BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长
度最大时，求点E的坐标及S ；
△ABF
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所
有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于点A，
C，抛物线y=−x2+bx+c过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线AC交于点D，若P是直线AC上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重
合），求△PAD面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得△ANM是以AN为直角边的
等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A(−1,0)和点B(4,0)，与y轴交于点C，过动点D(0,m)作平行于x轴的直线l
，直线l与抛物线y=ax2+bx−2相交于点E，F．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求m的取值范围；
(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存
在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，
∠ACB=90°，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点D，E．求
证：△ACD≌△CBE；
【类比迁移]（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB与y轴交于点D，点C的坐标为
(0,−4)，点A的坐标为(8,0)，求B，D两点的坐标；
1
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线y= x2−2x−6与x轴交于点A(−2,0)，点B(6,0)，与y轴交于点C，
2
点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使△PMB是以PM为斜边的等腰直角三角形?
若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B(1,0)，与y轴交于点A，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的角平
分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出
其最大值；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等
腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B，
交y轴于点C．连接BC、AC．已知A(−1,0)，B(5,0)，tan∠BCO=2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BD、CD．连接AD，分别交y轴与BC于点E、
F．当四边形ABCD的面积最大时，求直线AD的表达式及此时△BEF的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形ABCD的面积最大时，抛物线的对称轴x=m上是否存在点Q，
使得四边形CDPQ为平行四边形？若存在，请求出平行四边形CDPQ的面积；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点
A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD
相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,−5),C(−4,0)，以
( 3 )
OC,OA为边作矩形OABC，点D − ,−5 为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，点B恰好落在
2
OA边上的点E处．
(1)求经过O,D,C三点的抛物线的解析式；
(2)求四边形CDEO的面积；
(3)一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒
1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，
DP=DQ；
(4)若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以
M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由
【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为A(−2,0)、B(4,0)，点C的坐标为(0,6)．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为m(0<m<4)，连接BC、DC、DB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形BOCD的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使
得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说
明理由．
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点
A(3,0),B(0,−3)两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M、交x轴于点N．
设点P的横坐标为t；
(1)分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，若PM=ON，求此时点P的坐标；
(3)点C是平面直角坐标系中的一点，当点M在第四象限时，是否存在这样的点M，使得以A、C、B、M
为顶点组成的以AB为边的矩形?若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
y=ax2+bx−2(a≠0)交x轴于A(−1，0)、B两点，交y轴于点C，其对称轴为x=1.5，(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积
的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线y=ax2+bx−2(a≠0)向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线
的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出
点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)交x
轴于点A(4,0)和点B(−2,0)，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线AC下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点
D，交x轴于点E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标及PD+PE最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且AC为一条边的四边形
为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于
A(3,0),B(−1,0)两点，交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式和对称轴．
1
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足S = S ，求R的坐标．
ΔRAC 2 ΔABC
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为
顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】
【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点O(0,0)，B(−1,−1)，C(1,m)在抛物线上y=ax2(a≠0)，则a=________；m=
_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且AD∥x轴，是否存在四边形ABCD为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y=ax2（a为常数，且a<0）的图象上，点D在点
B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
1
【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y= x2+2x−6 与x轴交于A，B两点（点A在
2
点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．(1)求出直线AC，BC的函数表达式．
(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．在直线l上是否
存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明
理由．
【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x
轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(−4,5)两点，且与直线DC交于另一点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边
形是以BE、BF或EB、EF边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否
存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于A(−2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点
C(0,4)，点P是抛物线上的动点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线BC的上方运动时，连接AP，交直线BC于点D，交y轴于点E．
①若△ABD的面积是△PBD面积的3倍，求点P的坐标；
②当CD=CE时，求CE的长．
(3)过点P作PF∥y轴交直线BC于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是
菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】
【例10】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线y=x2+2x−3的图像与坐标轴分别交于
A、B、C三点，连接AC，点M是AC的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线FM．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线FM下方抛物线上动点，过点P作PQ∥y轴，交直线FM于点Q，当△PQM为直角三角
形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正
方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
1 1
【变式10-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线y= x2− x−3的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于
4 2
点B．(1)求点A、B的坐标；
(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面
内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请
说明理由．
【变式10-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2)，连接OA
，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°，点A的对应点为点B．
(1)求经过B,O,A三点的抛物线L的表达式；
(2)将抛物线L沿着x轴平移到抛物线L′，在抛物线L′上是否存在点D，使得以B,O,A,D为顶点的四边形为
正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于
A(−3，0)，B(4，0)，交y轴于点C(0，4)．(1)求抛物线的函数表达式；
3 9
(2)直线y= x+ 与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M(m，0)是线段AB上的动点，
4 4
过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
1
①当S = S 时，求m的值；
△EOG 2 △AOE
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理
由．
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】
【例11】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线y=ax²+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线BC下方的抛物线上有一动点M，过点M作y轴平行线交BC于N，过点M作BC的垂线，
垂足为H，求△HMN周长的最大值；
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一1 1
点F，使得当经过点F的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有 + 为定值？若存在，
FS2 FT2
求出点F坐标及定值，若不存在，请说明理由．
1
【变式11-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A点在B点的
2
左边），点A(−2,0)，M(6,8)在抛物线上．
(1)填空：b=________，c=________，点B的坐标为________；
(2)如图1，在抛物线上存在一点N，使S =S ，求点N的横坐标；
△AMN △BMN
(3)如图2，点C是x轴下方的抛物线上任意一点，D是线段AB上的一个定点（点D不与点A、B重合），
AD
过点D作y轴的平行线与射线BC，AC分别交于E，F两点，若DE+5DF为定值，求 的值．
BD
【变式11-2】（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线y=x2+(a−1)x+a−2．
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
(2)当a=−1时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点P是x轴上的动点，当|PD−PC)取最大值时，求△PBD的面积；
②小聪研究发现：如图（2），E，F是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线CE与直线BF的交点始终
在直线y=2x−9上，那么在直线EF存在点Q，使得△QCE，△QAC，△QAF中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【变式11-3】（2024·广东·一模）综合应用．
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如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=− x2+ x+2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B
3 3
的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使∠PCB=∠ABC？若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M
始终位于x轴上方，作直线AM，BM，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DE+DF的值是否为
定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】
1
【例12】（2024·云南红河·一模）已知抛物线y=− x2+bx+c，经过点(−2,2)和点(0,2)，抛物线上有一
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个点A，它的横坐标为−4．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求OA的长；
(3)若点P是x轴上方、y轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使∠POA=45°？如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
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【变式12-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2− x+c与x轴交于A(−3,0),B两点，与
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y轴交于点C(0,4)，点E是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)连接AC，当∠CEA=90°时，求所有符合条件的点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由．
【变式12-2】（2024春·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于
B、C两点，抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使△MBC的面积为27？若存在，求出M点坐标；若不存在，
请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请
说明理由．
【变式12-3】（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交
于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线BC上方抛物线上一动点，连接PB、PC，求四边形PBOC面积的最大值以及此时点
P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线AC的方向平移2❑√2个单位长度得到新抛物线y ，Q为新抛物线y 上一动点，
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作直线BQ交AC所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件∠ADB+∠ABC=∠CAB，若存在，请写出
所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】
【例13】（2024春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(−8,0)，C(2,0)两点，与y轴交于点D(0,4)．点E是第二象限内抛物线上的一个动点，设点E的横坐标
为n，过点E作直线EB⊥x轴于点B，作直线AD交EB于点F．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当△EFD是以FD为底边的等腰三角形时，求点E的坐标；
(3)如图2，连接CD，过点E作直线l∥CD，交y轴于点H，连接BH．试探究：在点E运动的过程中，是
否存在点E，使得FD=BH，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线y=ax2+bx+c过A(−1,0)，
B(2,0)，C(0,2)三点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，连接PB、PC，求△PBC面积的最大值和此时点P的坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MB−MC)的值最大？若存在，请求出点M的坐标，若
不存在请说明理由．
【变式13-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数 的图象过 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) A(−1,0) B(3,0)
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，C(0,−3)三点，点D是二次函数图象上一点，点D的横坐标是m，直线x= m与x轴交于点E，且
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0<m<3．
(1)求二次函数的表达式；
1
(2)过点D，作DG⊥直线x= m于点G，作DF⊥x轴于点F，并交BC于点H．
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①当m= 时，求DH的长；
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②是否存在点D，使DG+DH最大？若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由．
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【变式13-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c与直线AB
2交于点A(0,−4)，B(4，0)．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，
求的最大值及此时点P的坐标．
