文档内容
专题 15.10 分式全章专项复习【3 大考点 11 种题型】
【人教版】
【考点1 分式】..........................................................................................................................................................1
【题型1 分式有、无意义及值为0的条件】..........................................................................................................3
【题型2 分式的基本性质】......................................................................................................................................3
【题型3 分式在规律问题中的运用】......................................................................................................................3
【考点2 分式的运算】..............................................................................................................................................4
【题型4 分式的混合运算】......................................................................................................................................5
【题型5 分式的化简求值】......................................................................................................................................5
【题型6 整数指数幂的运算】..................................................................................................................................6
【题型7 分式运算的实际应用】..............................................................................................................................6
【考点3 分式方程】..................................................................................................................................................7
【题型8 解分式方程】..............................................................................................................................................7
【题型9 利用分式方程的解的情况确定字母的值或取值范围】.........................................................................8
【题型10 利用分式方程解决实际问题】..................................................................................................................8
【题型11 与分式方程有关的探究性问题】..............................................................................................................9
【考点1 分式】
1.分式的定义
一般地，若A与B均是整式且B中含有字母，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。
分式满足的三个条件:①式子一定是 的形式；②A与B一定是整式；③B中一定含有字母。
简单理解.分母中含有字母的式子就是分式。
2.分式有意义的条件
即要求分式的分母不能为 0。即 中，B不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进行因式分
解，让每一个因式都不为0。
3.分式的值以及分式值为0的条件
(1)分式的值为0的条件分式的值为0的条件为要求分子必须为0，同时要求分母不为0。即 中，A＝0，B≠0。
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的值不
等于0。
(2)分式的值.
若分式 的值是正的，则 ，即A与B同号；若分式 的值是负的，则
，即A与B异
号。
4.分式的性质
(1)分式的性质:
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即. （A、B、C均是整式且C≠0）
(2)分式的符号改变法则:
分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意两个符号分式不会发生改变。
即.
5.约分与通分
(1)公因式
①公因式的概念:一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。
②公因式的求法:对分子分母进行因式分解，然后求出系数的最大公因数与相同式子的最低次幂。他们的乘
积为公因式。
(2)最简分式的概念
分子分母没有公因式的分式叫做最简公因式。
(3)约分
①约分的概念.根据分式的基本性质，把分子分母的公因式约去，这个过程叫约分。
②约分的步骤
Ⅰ对分式中能因式分解的分子或分母先进行因式分解。
Ⅱ约去分子分母的公因式即可。
(4)通分①通分的概念.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值相等的同分母的分式的过
程叫做通分。这个相同的分母叫做最简公分母。
②最简公分母的求法.
最简公分母＝所有系数的最小公倍数×所有因式的最高次幂。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确
定所含有的因式。
③通分的步骤
Ⅰ.将所有能分解因式的分母分解因式；
Ⅱ.求出最简公分母;
Ⅲ.利用分式的性质在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成最简公分母；
【题型1 分式有、无意义及值为0的条件】
|x)−2
【例1】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）要使分式 的值为0，则x应满足（ ）
x−2
A．x＝2 B．x=−2 C．x≠±2 D．x=±2
1
【变式1-1】（23-24八年级·广西百色·期末）当x 时，分式 没有意义．
x+2
1 1
【变式1-2】（23-24八年级·四川绵阳·期末）已知式子 − 有意义，则x的取值范围是 ．
x x−1
a2
【变式1-3】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）已知分式 的值为正数，则a的取值范围 ．
1−2a
【题型2 分式的基本性质】
【方法总结】将分式的分子与分母中各项系数化“整”的方法：
(1)当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同 乘分子和分母中所含分数的分母的最
小公倍数；(2)当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的 分子、分母同乘 10的正整
数倍(特殊情况下也可以乘其他数的正整数倍).
【例2】（23-24八年级·山西·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
a a 0.2a+b 2a+b
A． =− B． =
−a−b a−b 0.3a+b 3a+b
b−a 1 a2+b2
C． =− D． =a−b
a2−b2 a+b a+b
0.25a−0.2b
【变式2-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）系数化成整数且结果化为最简分式： = ．
0.1a+0.3b
【变式2-2】（23-24八年级·河南周口·期末）下列分式中，最简分式是（ ）
A．12(x−y) B．y2−x2 C． y2+x2 D． x2−y2
15(x−y) x+ y x2y+x y2 (x+ y) 2【变式2-3】（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持
不变的是（ ）
2x+6 2x2 x+ y x+ y
A． B． C． D．
3 y+6 y 3x−2y 2x−1
【题型3 分式在规律问题中的运用】
【例3】（23-24八年级·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：2x 4x2 6x3 8x4 10x5，…．第n
, , , ,
y2 y4 y6 y8 y10
个分式是（ ）
A．n2xn B．2nxn C．2nxn D．2nx2n
y2n y2n y2n yn
1 3 4
【变式3-1】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）小苗探究了一道有关分式的规律题， ， ， ，
x+3 x+5 x+7
7 11 29
， ， ， ，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式．
x+9 x+11 x+15
1 1 1
【变式3-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）观察下列等式：a =n，a =1− ，a =1− ，a =1− ，
1 2 a 3 a 4 a
1 2 3
…根据其蕴含的规律得（ ）
n−1 1 1
A．a =n B．a = C．a = D．a =
2022 2022 n 2022 n−1 2022 1−n
【变式3-3】（23-24八年级·贵州铜仁·期末）已知一列分式，x2， x5，x10， x17 ,x26 , x37 …，观察
− − −
y y3 y6 y10 y15 y21
其规律，则第n个分式是 ．
【考点2 分式的运算】
1.分式的乘除运算
（1）分式的乘法
①运算法则：同分数的乘法运算法则，分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母；即
。②具体步骤：
Ⅰ.对能因式分解的分子分母进行因式分解。
Ⅱ.分子分母有公因式的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。
Ⅲ.再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。
（2）分式的除法
除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式，变成乘法运算。即. ＝ .
2.分式的加减运算
（1）分式的加减法运算法则
①同分母的分式相加减.分母不变，分子相加减。
②异分母的分式相加减.先通分，变成同分母的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。
（2）具体步骤
第一步,通分.将异分母分式转化为同分母分式。
第二步,加减.分母不变，分子相加减。
第三步,合并.分子去括号，然后合并同类项。
第四步,约分.分子分母进行约分，把结果化成最简分式。
分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。
3.科学计数法表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中|a|的取值范围为1≤|a|＜10，n为由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。
【题型4 分式的混合运算】
(1 1) 2
【例4】（23-24·河北承德·模拟预测）若 − ÷ 的运算结果为整式，则“○”中的式子可能为
a b ○
（ ）
A．a−b B．a+b C．ab D．a2−b2
【变式4-1】（23-24八年级·四川宜宾·期末）计算：[2 4 ) x ．
− ÷ =
x x(x+2) x+2
【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期末）计算：
( 1 ) x
(1) 1− ÷ .
1−x x−1
(2) b b3 ab+b2．
+ ÷
a−b a3−2a2b+ab2 b2−a2
【变式4-3】（23-24八年级·江苏泰州·期末）按要求填空：小华计算( x+1) x2−1的过程如下：
1− ÷
x x2−x
解：( x+1) x2−1
1− ÷
x x2−x
(x x+1) (x+1)(x−1)
= − ÷ …………………………第一步
x x x(x−1)
x−x+1 x+1
= ÷ ………………………………………第二步
x x
1 x
= ⋅ …………………………………………………第三步
x x+1
1
= ……………………………………………………第四步
x+1
(1)小华计算的第一步是_______（填所有符合要求的序号：①通分，②约分，③因式分解，④合并同类
项），计算过程的第_______步出现错误；
(2)直接写出正确的计算结果是_______．
【题型5 分式的化简求值】
【方法总结】解决此类问题的关键是掌握因式分解、通分、约分，同时要注意解题的步骤.
1 1 a−2ab−b
【例5】（23-24八年级·北京·期中）已知 − =4，则 的值等于（ ）
a b 2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．−6 D．6
15 7
【变式5-1】（23-24·湖南益阳·中考模拟）先化简，再求值：( a2−4 1 ) 2 ，其中， 是
− ÷ a
a2−4a+4 2−a a2−2a
方程x2+3x+1=0的根．
【变式5-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）如果 b a ，那么 (a+b) 2 的值为（ ）
+ =4
a b (a−b) 2
A．1 B．1.5 C．2 D．3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
【变式5-3】（23-24八年级·江苏南通·期末）已知 + = , + = , + = ，则 =
a b 2 b c 3 a c 4 ab+bc+ac
．【题型6 整数指数幂的运算】
【例6】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）计算
(a−2) 3 (ab2) −2
，并把结果化为只含有正整数指数幂的形
式为（ ）
A． 1 B．b4 C．b4 D． 1
a6b4 a6 a8 a8b4
【变式6-1】（23-24八年级·河南信阳·期末） 计算∶ ( a−2 ) −2 ( b2 ) ( 1 ) −4．
− × − ÷
b a ab
【变式6-2】（23-24八年级·湖北黄石·期末）等式 的条件是（ ）
(a+1) −1=1
A．a≠−1 B．a≠0 C．a≠1 D．a=−1
【变式6-3】（23-24八年级·四川绵阳·期末）计算：
(−2x2y) 2 ÷(2x−1y)⋅(x−5y−1)=
．
【题型7 分式运算的实际应用】
【方法总结】找准各个量的关系，正确列出式子是关键，注意列出的分式一定要有意义.
【例7】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米(m>1)的正方形
去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(m−1)米的正方
形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为
P千克/米
❑
2和Q千克/米
❑
2．下列说法：
m−1
①P>Q；②P=Q；③P0，所以a>−4，
问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须a≠0才行．
(1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______；
x+m 3m
(2)已知关于x的方程 + =3的解为非负数，求m的取值范围；
x−3 3−x
3−2x nx−2
(3)若关于x的方程 + =−1无解，求n的值．
x−3 x−3
【题型10 利用分式方程解决实际问题】
【例10】（23-24八年级·山西临汾·期末）某新建高铁站站前广场需要绿化的面积为66000m2，甲施工队在
绿化了22000m2后，由于赶工期，临时调乙施工队加入施工，乙施工队每天的工作量是甲施工队的1.2倍，
结果提前12天完成了该项绿化工程．(1)甲施工队每天完成多少m2？
(2)高铁站给付工程款的标准是15元/m2，求甲、乙施工队分别可得多少工程款．
【变式10-1】（23-24八年级·广东清远·期末）某中学在开学前去商场购进A，B 两款书包奖励班级表现优
秀的学生，购买A 款书包共花费 6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A 款书包数量是购买B
款书包数量的3倍，已知购买一个B 款书包比购买一个A 款书包多花30元． 求购买一个A 款书包、 一
个B 款书包各需多少元？
【变式10-2】（23-24八年级·北京·期末）甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行
时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
【变式10-3】（23-24八年级·湖北荆门·期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，
经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在
不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱?还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省
钱?
(3)在（2）的条件下怎么安排两队工作，既可以在规定时间内完成任务又使工程款最少?（两队工作天数取
整数天）
【题型11 与分式方程有关的探究性问题】
【例11】（23-24·广东·中考模拟）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
1 1 1 1 1 1 1 1
=1− ， = − ， = − ，…
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1
(1) + + + + ．
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6
1 1 1 1
(2)探究 + + +⋯+ = ．（用含有n的式子表示）
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1 17
(3)若 + + +⋯+ 的值为 ，求n的值．
1×3 3×5 5×7 (2n−1)(2n+1) 35
【变式11-1】（23-24八年级·山西临汾·阶段练习）综合与探究ab
我们把形如x+ =a+b（a，b不为零），且两个解分别为x =a，x =b的方程称为“十字分式方程”．
x 1 2
3 1×3
例如：x+ =4为“十字分式方程”，可化为x+ =1+3，∴x =1，x =3．
x x 1 2
8 (−2)×(−4)
再如：x+ =−6为“十字分式方程”，可化为x+ =(−2)+(−4)，∴x =−2，x =−4．
x x 1 2
应用上面的结论，解答下列问题：
12
(1)若x+ =−7为“十字分式方程”，则x =______，x =______．
x 1 2
6 n m
(2)若十字分式方程，x− =−3的两个解分别为x =m，x =n，求 + 的值．
x 1 2 m n
3k2+15k
(3)若关于x的“十字分式方程”x− =2k−8的两个解分别为x ,x （k>0，且x >x ），求
x+3 1 2 1 2
x +3的值．
1
x +8
2
【变式11-2】（23-24八年级·全国·专题练习）增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方
程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解
题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
3x m
探究1：m为何值时，方程 +5= 有增根．
x−3 3−x
3x m
探究2：m为何值时，方程 +5= 的根是−1．
x−3 3−x
3x m
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 +5= 的三个根中两个根之和等于第三个根；
x−3 3−x
探究4：你发现满足“探究3”条件的m 、m 、m 的关系是______．
1 2 3
【变式11-3】（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有这样一个问题：
1 x−1 1 x−1
计算代数式 − (其中x≠0)的值后填入下表．并根据表格所反映出的 − (其中x≠0)的值与x之间
2 2x 2 2x
的变化规律进行探究．
… …
x 0.25 0.5 1 10 100 1 000 10 000
… …1 x−1 … …
−
2 2x … …
1 x−1
下面是小东计算代数式 − (其中x≠0)的值后填入表格，并根据表格进行探究的过程，请补充完整：
2 2x
… …
x 0.25 0.5 1 10 100 1 000 10 000
… …
1 x−1 … 1 1 1 1 …
− 2 1
2 2x … 2 200 2000 20000 …
填空：
1 x−1 1 x−1
（1）上表是 − (其中x≠0)与x的几组对应值．直接写出x=10时，代数式 − 的值为 ；
2 2x 2 2x
1 x−1
（2）随着x值的增大，代数式 − 的值是 （填“增大”或“减小”）；
2 2x
1 x−1
（3）当x值无限增大时，代数式 − 的值无限趋近于一个数，这个数是 ；
2 2x
（4）当代数式的值为，则对应的的值是 ．（用含代数式表示）
