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专题 11.9 三角形章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 确定第三边的取值范围】..........................................................................................................................1
【题型2 三角形的三边关系的应用】......................................................................................................................1
【题型3 利用三角形的中线求长度】......................................................................................................................2
【题型4 三角形的高与面积有关的计算】..............................................................................................................3
【题型5 三角形的稳定性】......................................................................................................................................4
【题型6 三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】.............................................................................5
【题型7 三角形的内角和与外角有关的计算】.....................................................................................................6
【题型8 多边形内角和、外角和有关的计算】.....................................................................................................8
【题型9 多边形截角、少（多）算一个角问题】.................................................................................................9
【题型10 多边形外角和的实际应用】....................................................................................................................10
【题型1 确定第三边的取值范围】
【例1】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）一个三角形的3边长分别是xcm、(3x-3)cm，(x+2)cm，
它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）
5 5
A． <x<5 B．5<x≤8 C． <x≤8 D．1<x<5
3 3
【变式1-1】（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足
，且 为方程 的解，则 的周长为 ．
|b-2|+(c-3) 2=0 a |a-5|=1 △ABC
【变式1-2】（2023春·河南郑州·八年级郑州中学校联考期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小
棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（2023春·河南周口·八年级统考期末）三角形的三边长分别为2，2x-1，5，则x的取值范围
是 ．
【题型2 三角形的三边关系的应用】
【例2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）如图，用五个螺丝将五条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、3、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．
若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-1】（2023春·山东济南·八年级统考期末）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是5km和
3km，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（ ）
A．1km B．2km C．3km D．8km
【变式2-2】（2023秋·新疆和田·八年级统考期末）已经有两根木条，长分别是2cm和6cm，现要用3根木
条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（ ）
A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm
【变式2-3】（2023春·北京西城·八年级统考期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A
和景点B的坐标分别是(6,0)和(4,4)．如图1，甲的游览路线是：O→B→A，其折线段的路程总长记为
l ．如图2，景点C和D分别在线段OB,BA上，乙的游览路线是：O→C→D→A，其折线段的路程总
1
长记为l ．如图3，景点E和G分别在线段OB,BA上，景点F在线段OA上，丙的游览路线是：
2
O→E→F→G→A，其折线段的路程总长记为l ．下列l ，l ，l 的大小关系正确的是（ ）
3 1 2 3
A．l =l =l B．l <l 且l =l C．l <l <l D．l >l 且l =l
1 2 3 1 2 2 3 2 1 3 1 2 1 3
【题型3 利用三角形的中线求长度】
【例3】（2023春·云南·八年级云南师大附中校考期末）已知，已知ΔABC的周长为33cm，AD是BC边上
3
的中线，AB= AC．
2（1）如图，当AC=10cm时，求BD的长．
（2）若AC=12cm，能否求出DC的长？为什么？
【变式3-1】（2023秋·全国·八年级期中）在 ABC中，AD是BC边上的中线， ADC的周长比 ABD的
周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为△（ ） △ △
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3-2】（2023秋·山东德州·八年级校考期中）如图， ABC的周长为24 cm，AD，BE分别是BC，
AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于△点F，且BD＝4 cm，AE＝3.5 cm，求AF的长．
【变式3-3】（2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线
AB=9cm,AC=12cm，BC=15cm，∠BAC=90°．试求：
(1)△ABE的面积；
(2)AD的长度；
(3)△ACE与△ABE的周长的差．
【题型4 三角形的高与面积有关的计算】
【例4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期末）在△ABC中，AD是高，
AD=6，CD=1，若△ABC的面积为12，则线段BD的长度为 ．
【变式4-1】（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知△ABC．(1)画出△ABC的三条高AD、BE、CF（不写画法）；
(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=3，CF=2，则AD=______．
【变式4-2】（2023春·上海宝山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，按下列要求画图并填空：
(1)画△ABC边AB上的高CD；
(2)E在CD上，连接BE，使得S =S ，请画出点E；
△ABC △EBC
(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么点C到直线AB的距离为_______，△ADC的面积为_______．
【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图是由边长都是1的小正方形
组成的网格．图中各点均在格点上，请按以下要求画图．①所画顶点必须在格点上；②标清指定的字母；
③不得出格．
(1)在图甲中面出△ABC中BC边上的高AD；
(2)在图乙中画出一个Rt△EBC，且△EBC的面积是图甲中△ABC面积的2倍；
(3)在图丙中画出一个锐角三角形△MBC，且面积为15．
【题型5 三角形的稳定性】
【例5】（2023秋·北京·八年级校考期中）下列图形中不具备稳定性的是（ ）A． B．
C． D．
【变式5-1】（2023秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末）如图，某中学的电动伸缩校门利用
的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性
【变式5-2】（2023秋·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）要使四边形木架不变形，至少要再
钉几根木条（ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
【变式5-3】（2023春·广东惠州·八年级统考期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，
考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求：
（1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案．
（2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用．
（3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是．【题型6 三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】
【例6】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，
AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：
①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AD＝2.4．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【变式6-2】（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，
BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF=∠EFB；③AC∥BE；④
∠E=∠ABE．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式6-3】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，CE是
∠ACB的平分线.
（1）若∠A=40∘，∠B=76∘，求∠DCE的度数；
（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）
（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，
∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.【题型7 三角形的内角和与外角有关的计算】
【例7】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．点F与A位于
线段BC所在直线的两侧，分别延长AB、AC至点D、E．
【特殊化思考】
若∠A=∠F时，请尝试探究：
（1）当F在∠A内部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；
（2）当F在∠A外部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；
（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．无论点F在∠A内部（如图③）还是∠A外部（如图④）时，
都有CG∥BH，请选择一幅图进行证明；
【一般化探究】
若∠A<∠F时，请尝试探究：
（4）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），且
1 1
∠ECG= ∠ECF，∠HBD= ∠DBF．当CG∥BH时，直接写出∠A与∠F需满足的条件：
n n
__________．
【变式7-1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，已知，CD∥AB，点E在BD延长线上，且
∠BEF=70°，点H在AB上，HF交BD于G点．(1)求证：∠AHF>∠CDE；
(2)若∠AHF-∠CDE=30°，求∠F的度数
【变式7-2】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）已知，在△ABC中，
∠ACB=∠CDB=m°(0<m<180)，AE是角平分线，D是AB上的点，AE、CD相交于点F．
(1)若m=90时，如图所示，求证：∠CFE=∠CEF；
(2)若m≠90时，试问∠CFE=∠CEF还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较∠CFE和∠CEF的
大小，并说明理由．
【变式7-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将
△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图1，当DE∥AC时，求证：AE⊥BC
(2)若∠C=∠B+10°，∠BAD=x°（0<x<50）
①如图2，当DE⊥BC时，求x的值．
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．【题型8 多边形内角和、外角和有关的计算】
【例8】（2023秋·河北邢台·八年级校考期中）已知一个多边形的内角和与外角和的差为1440°．
(1)求这个多边形的边数；
(2)如这个多边形是正多边形，则它的每一个内角是___________．
【变式8-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．
（1）求这个多边形的边数和内角和；
（2）从该多边形的一个顶点作对角线，则所作的对角线条数为 ，此时多边形中有 个三角形．
【变式8-2】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）按要求完成下列各小题．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．
(2)如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数．
【变式8-3】（2023春·山东聊城·八年级统考期末）在五边形ABCDE中，∠A=130∘，∠B=110∘，
∠E=100∘．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分∠BCD与∠CDE的外角，试求出∠CPD的度数．
【题型9 多边形截角、少（多）算一个角问题】
【例9】（2023秋·河南周口·八年级校联考期中）解决多边形问题：
(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？
(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170°，这个多边形是几边形？
【变式9-1】（2023·山西阳泉·八年级阳泉市第三中学校校考期中）某同学在进行多边形内角和计算时，求
得内角和为2750°，当发现了之后重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角是多少度?并求这个多边形是几边形．
【变式9-2】（2023春·河南开封·八年级统考期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻
外角的3倍还大20°．
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【变式9-3】（2023春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角
（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝470°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．
【题型10 多边形外角和的实际应用】
【例10】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方
向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场ABCDE的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若
MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小红身体转过的角度的和（图∠3+∠4+∠5的值）．
【变式10-1】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校联考期末）在学习多边形的内角和外角知识
以后，2班的小朋友们在操场做了一个实验，如图，张梓佑从A点出发沿直线前进8米到达B点后向左旋转
α度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转α度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，她共走了72米，请计算出张梓佑每次旋转的角度α为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【变式10-2】（2023春·江苏徐州·八年级校考阶段练习）如图所示，分别以六边形的顶点为圆心，以1cm
为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．2πcm2 B．πcm2 C．6πcm2 D．12πcm2
【变式10-3】（2023春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，小玲从点A出发，前进3米后向右转20°，
再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个
多边形．
(1)小玲一共走了多少米？
(2)求这个多边形的内角和．
