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专题 24.13 圆章末十大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 巧用圆的半径相等】..................................................................................................................................1
【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】..............................................................................................................2
【题型3 弧、弦、角、之间的关系】......................................................................................................................3
【题型4 垂径定理】..................................................................................................................................................5
【题型5 圆周角定理】..............................................................................................................................................6
【题型6 圆内接四边形】..........................................................................................................................................7
【题型7 直线与圆的位置关系】..............................................................................................................................8
【题型8 切线长定理的运用】................................................................................................................................10
【题型9 弧长的计算】............................................................................................................................................11
【题型10 扇形面积的计算】....................................................................................................................................12
【题型1 巧用圆的半径相等】
【方法点拨】解决此类问题的关键是连接半径，抓住圆的半径相等是关键.
【例1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的弦，OD为⊙O半径．OC⊥AB，垂
足为C，OD∥AB，OD=2OC，则∠ODB为（ ）度
A．60 B．65 C．70 D．75
【变式1-1】（2023秋·河北唐山·九年级统考期中）如图，半圆O的直径AB=10，将半圆O绕点B顺时针
旋转45°得到半圆O'，与AB交于点P，那么AP=（ ）A．2.5 B．5 C．10-5√2 D．10√2-5
【变式1-2】（2023秋·河北唐山·九年级唐山市第十二中学校考期末）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延
长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（ ）
A．42° B．28° C．21° D．20°
【变式1-3】（2023秋·天津南开·九年级南开翔宇学校校考期末）如图，⊙O 的半径为 2，AB 为圆上一
动弦，以 AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值 ．
【题型2 由点与圆的位置关系求求范围】
【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；
当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
【例2】（2011秋·江苏泰州·九年级统考期中）直角坐标系中，已知点A(1,0)，⊙A的半径是5，若点
D(-2,a)在⊙A外，则a的范围是( )
A．a>4 B．a>4或a<-4 C．a<-4 D．-45时，点B在⊙A外
【变式2-2】（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考期末）对于平面直角坐标系xOy中的图
形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最
大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．
已知点N（3，0），A（1，0），B（0，√3），C（√3，﹣1）．
(1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 ；
②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；
(2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．
【变式2-3】（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，
1cm为半径画圆，点P是⊙B上一个动点，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连接BP'，
在点P移动的过程中，BP'长度的取值范围是 cm．
【题型3 弧、弦、角、之间的关系】
【方法点拨】在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等，其中圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
【例3】（2023秋·河北廊坊·九年级校考期中）如图，B´C=C´D=D´E，已知AB是⊙O的直径，
∠COD=35°，那么∠AOE的度数是（ ）A．40° B．70° C．75° D．105°
【变式3-1】（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB、DE为⊙O的直径，C是⊙O
上一点，且A´D=C´E．
（1）BE与CE有什么数量关系？为什么？
（2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形？请说明理由．
【变式3-2】（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，
且AB=CD．
(1)求证：BE=CE；
(2)若AE=1，CE=3，求⊙O的半径．
【变式3-3】（2023秋·浙江杭州·九年级期末）已知⊙O的直径AB=4，弦AC与弦BD交于点E．且
OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求EF:DF
【题型4 垂径定理】
【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦
对的两条弧．
【例4】（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB=24，则CD的长为 ___________．
(2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB=EF，求证CD=GH．
【变式4-1】（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，⊙O的半径为6cm，AB是弦，
OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠，交OC于点D，若D是OC的中点，则AB的长为 ．
【变式4-2】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，
∠DEB=30°，AE=2，EB=6，求CD的长．
【变式4-3】（2023秋·湖北宜昌·九年级统考期末）如图，在平行四边行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
【题型5 圆周角定理】
【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【例5】（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点P是Rt△ABC外接
圆上的一点，且∠ACP=45°
(1)如图1，求证：AP=BP；
(2)如图2，连接BP，AP．点M为弧AP上一点，过P作PD⊥BM于D点，求证：BD= MD+AM；
BQ-AQ
(3)如图3，点Q是弧AP上一动点（不与A，P重合），连PQ，AQ，BQ．求 的值．
PQ
【变式5-1】（2023春·山东济宁·九年级统考期末）如图，将A´C沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则
∠AOC= 度．
【变式5-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，AD是△ABC的外角平分线，与△ABC的外接
圆交于点D，连接BD交AC于点F，且BC=CF，则下列结论错误的是（ ）A．∠ADB=∠CDB B．3∠ACB+∠ACD=180°
C．3∠BDC+2∠ABD=180° D．3∠BAD+∠ABD=360°
【变式5-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期中）如图， ▱OABC的顶点A、B、C都在⊙O上，点D
为⊙O上一点，且点D不在A´B上，则∠ADB的大小为 °．
【题型6 圆内接四边形】
【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角.
【例6】（2023秋·浙江温州·九年级期末）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点
E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝( )
A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN
【变式6-1】（2023秋·福建泉州·九年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AC,∠ADB=90°，
过A,B,D三点的圆交BC边于点E．（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC=2CD，求证：∠BCD=2∠ABD．
【变式6-2】（2023秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝
120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式6-3】（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，
AB=BC，连接OD，BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA=∠ACD．
(1)求∠EDO的度数．
(2)若AD=3，CD=4，求AB，BD的长．
(3)若AD=a，CD=b，直接写出BD的长．
【题型7 直线与圆的位置关系】
【方法点拨】直线和圆的三种位置关系 ：
（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时的直线叫做圆的割线；（2）相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；
（3）直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.
1
【例7】（2023春·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线y= x2-1上
3
运行，当⊙P与y轴相切时，圆心P的坐标为 ．
【变式7-1】（2023秋·湖北鄂州·九年级校联考期末）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C
为圆心所作的圆与边AB仅一个交点，则半径r为 ．
【变式7-2】（2023秋·江苏泰州·九年级校联考期中）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为
2，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 ．
【变式7-3】（2023秋·江苏南京·九年级统考期中）如图，已知∠AOB=45°，M是射线OB上一点，
OM=√2．以点M为圆心、r为半径画⊙M．
(1)当⊙M与射线OA相切时，求r的值；(2)写出⊙M与射线OA的公共点的个数及对应的r的取值范围．
【题型8 切线长定理的运用】
【方法点拨】切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角.
【例8】（2023春·浙江·九年级期中）小明准备以“青山看日出”为元素为永嘉县某名宿设计标志示意图，
如图所示，他利用两个等边三角形和一个圆分别表示青山和日出，已知点B，E，C，F在同一条直线上，
且BE=EC=2CF，四边形ABEG和四边形GCFD的面积之差为7√3，则CF的长是 ；连结AD，
若⊙O是△ADG的内切圆，则圆心O到BF的距离是 ．
【变式8-1】（2023·北京·九年级专题练习）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切
点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
(1)求证：∠AOC=2∠PAC；
(2)连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC=6，求AP的长．
【变式8-2】（2023·山西大同·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，
若∠ACE=25°，则∠D的度数是 ；
【变式8-3】（2023秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA
的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线：
(2)求⊙O的半径．
【题型9 弧长的计算】
【方法点拨】解决此类问题掌握弧长的计算公式是关键.
【例9】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若
∠AEC=120°，AC=4，则A´D与B´C长度之和的最小值为（ ）
4 2
A．4π B．2π C． π D． π
3 3
【变式9-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，D为BC的中点，AD´ B交AC
于点E，若AB＝2，则D´E的长为 ．
【变式9-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，分别以正方形ABCD的顶点D，C为圆心， 以AB长
为半径画AC，BD．若AB=2，则阴影部分的周长为 （结果保留π）．【变式9-3】（2023秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC=60°，
直线AD∥BC，AB=AD，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求劣弧BC的长．
【题型10 扇形面积的计算】
【方法点拨】解决此类问题掌握扇形面积的计算公式是关键.
【例10】（2023秋·贵州黔西·九年级校考期中）如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，
BC//AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（ ）
2π 1 π √3 π √3 2π √3
A． - B． + C． - D． -
3 2 3 4 2 2 3 2
【变式10-1】（2023春·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=2√3，
∠ABC=120°，把菱形ABCD绕着顶点A逆时针旋转30°得到菱形AB'C'D'，点C的运动轨迹为弧CC'，
则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【变式10-2】（2023·重庆·校联考二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°,点C为半径OA的中点，以
点О为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则
阴影部分的面积为 ．
【变式10-3】（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD的长为
半径画弧，交AB于点F，再以B为圆心，BA的长为半径画弧，交CD于点E．已知AB=2√2，AD=2，
则图中阴影部分的面积为 ．
