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专题 05 二次函数章末易错必刷题型专训（57 题 19 个考点）
【易错必刷一 二次函数的识别】
1．（24-25九年级上·重庆江北·期末）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如 ，这样的函数叫做二次函数进行判断即
可．
【详解】解：A、最高次数为3，不是二次函数，不符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、原函数化简为： 是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
故选C．
2．（24-25九年级上·全国·期中）二次函数 的一次项是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数 （其中a、b、c是常数，且 ）
中， 叫做二次项， 叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案．
【详解】解：二次函数 的一次项是 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）下列函数中，哪些是二次函数？
(1) ．(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
【答案】(1)是二次函数
(2)不是二次函数
(3)是二次函数
(4)不是二次函数
(5)是二次函数
【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如 、 、 是常数， 的函数，
叫做二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义进行解答即可．
【详解】（1）解： 是二次函数，符合题意；
（2）解： 不是二次函数，不符合题意；
（3）解： 是二次函数，符合题意；
（4）解： 不是二次函数，不符合题意；
（5）解： 是二次函数，符合题意．
【易错必刷二 y=ax²的图象和性质】
4．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线 不具有的性质是（ ）
A．开口向上 B．与 轴不相交
C．对称轴是 轴 D．最低点是坐标原点
【答案】B
【分析】本题考査二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意．根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确即可．
【详解】解：∵ ，
∴开口向上，
∴顶点坐标为 ，对称轴是y轴，有最低点为原点，与x轴交于 点，
故选B．
5．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，大正方形的边长为 ，以正方形的中心为原点建立平面
直角坐标系，作出函数 与 的图像，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，根据解析式 与 判断出两函
数图象关于x轴对称是解答本题的关键．根据题意，观察图形，利用割补法可知图中的阴影部分的面积是
图中正方形面积的一半，而正方形面积为6，由此可以求出阴影部分的面积．
【详解】解：∵函数 与 的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
∵边长为 的正方形面积为6，
∴图中的阴影部分的面积为3，
故答案为：3．
6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的 的值；
(2)当 为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点的坐标．【答案】(1) 或2
(2)当 时，该抛物线有最低点，最低点的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的二次函数的性质，以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
（1）根据二次函数的定义得到 且 ，进而可得到满足条件的m的值；
（2）根据二次函数的性质得到当 时，抛物线开口向上，函数有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得， 且 ，
解得 或 ；
∴ 的值为 或2；
（2）解：当 时， ，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
此时抛物线解析式为 ，则最低点坐标为 ，
答：当 时，该抛物线有最低点，最低点的坐标为 ．
【易错必刷三 根据二次函数的定义求参数】
7．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如果函数 是二次函数，那么k等于
（ ）
A．3 B．0 C．－2 D．－1
【答案】B
【分析】本题考查二次函数定义．根据题意利用二次函数一般形式：形如“ （ ，a、
b、c为常数”的函数为二次函数，即可列方程求解得到本题答案．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
8．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若 是关于x的二次函数，则 ．【答案】
【分析】此题考查了二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．根据定义解答即可，
熟记定义是解此题的关键．
【详解】解：∵函数 是二次函数，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
9．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）已知函数 （m为常数）是二次函数，求m的值．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根
据二次函数的定义可得出一元二次方程，解之即可得到答案．
【详解】解：由题意得 ，
解得 或 ，
∴ 或 时，函数 是二次函数．
【易错必刷四 y=ax²+k的图象和性质】
10．（25-26九年级上·天津·阶段练习）若 ，点 都在抛物线 上，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数 时，在对称轴的左边， 随 的
增大而减小，在对称轴的右边， 随 的增大而增大； 时，在对称轴的左边， 随 的增大而增大，在对称轴的右边， 随 的增大而减小．先求出抛物线的对称轴，抛物线 的对称轴为 轴，即直
线 ，图象开口向上，当 时， ，在对称轴左边， 随 的增大而减小，由此可
判断 ， ， 的大小关系，根据二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解： 当 时， ，
而抛物线 的对称轴为直线 ，开口向上，
三点都在对称轴的左边， 随 的增大而减小，
．
故选：C．
11．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如果一条抛物线的形状与 的形状相同，且
顶点坐标为 ，那么它所对应函数关系式是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知抛物线形状相同，则二次项系数的绝对值
相同．
根据抛物线形状相同，则二次项系数的绝对值相同，然后根据顶点坐标为 可得答案．
【详解】解：∵一条抛物线的形状与 的形状相同，
∴抛物线的二次项系数 ，
∵顶点坐标为 ，
∴它所对应函数关系式是 或 ．
故答案为： 或 ．
12．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知 是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；(2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【答案】(1)2或
(2) 时，抛物线有最低点， ，当 时，y随着x的增大而增大
【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，二次函数图象的性质，解题的关键是掌握以上知识
点．
对于（1），根据二次函数的定义可知 ，且 ，求出解即可；
对于（2），根据抛物线由最低点可知 ，即可得出关系式，从而解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得 ，且 ，
解得： ．
所以满足条件的m的值为2或 ；
（2）解：当 ，即 时，抛物线有最低点，
当 时，此时抛物线的关系式为 ，
该抛物线的最低点即顶点坐标为 ，
当 时，函数值y随着x的增大而增大．
【易错必刷五 y=a（x-h）²的图象和性质】
13．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的
大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出 ， 的值，比较大小即
可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点 ， 在抛物线 上，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
故选：C．
14．（24-25九年级上·浙江·阶段练习） ， ， 三点都在二次函数 的
图象上，则 ， ， 的大小关系为 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】本题考查二次函数的增减性．掌握增减性的影响因素是解题关键．根据二次函数的开口方向和对
称轴即可求解．
【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为：直线 ，
点 在对称轴左侧，距离对称轴1个单位长度；
点 为顶点；
点 在对称轴右侧，距离对称轴3个单位长度．
因为二次函数的开口向下，故离对称轴越远的点纵坐标越小
故 ，
故答案为： ．
15．（24-25九年级上·天津东丽·阶段练习）已知二次函数 的图象经过点 ，对称轴是直
线 ．
(1)求a，h的值；
(2)x取什么值时，y随x的增大而减小？
【答案】(1)
(2) 时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数过点P和二次函数的对称轴为 ，可得出关于 的二元一次方程组，解
方程组即可得出a，h的值；
（2）由二次函数的a的值大于0，结合函数的增减性，即可得出结论．【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，
把点 代入 ，
得
解得： ；
（2）∵ ，
∴抛物线开口向上，当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，
故当 时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是运用待定系数法求二次函数的解析式．
【易错必刷六 y=a（x-h）²+k的图象和性质】
16．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状
（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，左轮廓 所在抛物线的解析式为 ．则右
轮廓 所在抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地理解题意是解题的关键．先根据左边抛物线的解析式得出其
顶点C的坐标，进而可得右边抛物线的顶点F的坐标，再根据左右轮廓相同可得右轮廓 所在抛物线
的解析式．【详解】解：∵左轮廓 所在抛物线的解析式为 ，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为 ，
∴右边抛物线的顶点F的坐标为 ，
故右边抛物线的解析式为 ，
故选：B．
17．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段练习）若点 在抛物线 上，则
（填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，注意：拋物线 的对称轴是直线 ，
顶点坐标为 ．根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向上，对称轴为直线 ，然后
根据点 离对称轴的远近即可求解．
【详解】解：∵拋物线 ， ,
∴拋物线 的开口向上，对称轴为直线 ，
，
，
故答案为： ．
18．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)求出函数的对称轴和顶点坐标．
(2)指出何时函数有最值，最值是多少？
【答案】(1)对称轴为直线 ，顶点坐标为
(2)当 时，函数有最小值，最小值为
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将原函数解析式化为顶点式，即可求解对称轴以及顶点坐标；（2）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解： ，
∴对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，
∴由（1）可得，当 时，函数有最小值，最小值为 ．
【易错必刷七 y=ax²+bx+c的图象与性质】
19．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）已知 在二次函数 的图象上，
则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点
的横坐标求出对应函数值来比较大小．
直接将三点的横坐标 、 、 分别代入二次函数 的解析式，计算出 、 、 的具体数
值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高
效．
【详解】解：分别将 、 、 代入二次函数 ：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∵ ，
∴
故选：B．20．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点 在函数 的图象上，那么
的大小关系是（用“ ”连接） ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数增减性的知识点，确定二次函数对称轴是解决本题的关键．
求出二次函数的对称轴后，再比较大小．
【详解】解：在函数 中，
对称轴为： ，抛物线开口向上，
点 在函数 的图象上，
又 ，
∴
故答案为： ．
21．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象；
(2)根据图象回答：①当 时， 的取值范围是_____；
②判断 在二次函数图象上方还是下方?（需要过程）
【答案】(1)作图见详解
(2)① ；② 在二次函数图象上方
【分析】本题考查二次函数图象与性质，利用描点法作出二次函数图象是解决问题的关键．
（1）先列表，再描点、最后连线即可作出二次函数图象；
（2）由（1）中二次函数图象，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数 ，列表：
0 1 2
5 0
作出函数图象：
；
（2）解：根据图象：
①当 时， 的取值范围是 ，
故答案为： ；
②在二次函数 中，当 时， ，
，
即点 在点 正上方，在坐标系中描点 ，如图所示：
在二次函数图象上方．
【易错必刷八 一次函数、二次函数图象综合判断】
22．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数 和二次函数
的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
本题可先由二次函数 图象得到字母系数的正负，再与一次函数 的图象相比较看是
否一致．【详解】解∶A、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项符
合题意；
B、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不合题意；
C、由抛物线可知， ， ，得 ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知， ，由直线可知， ，故本选项不合题意．
故选∶A．
23．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，抛物线 与直线 相交于点 ，
，则关于x的方程 的解为 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程
的解是解此题的关键．根据 ， 两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可．
【详解】解：∵抛物线 与直线 相交于点 ，
∴关于 的方程 的解为 ，
故答案为： ．
24．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，二次函数 的图象与直线 相交于点 ，
B．已知点A的横坐标为 ．求：
(1)该二次函数的表达式．
(2)点B的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的
性质．
（1）直接利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；
（2）令 即可得出交点的横坐标，进一步代入得到交点的纵坐标．
【详解】（1）解： 点A的横坐标为 ，且点A在直线 上，
点A的纵坐标为 ，
点A的坐标为 ．
又 点 在二次函数 的图象上，
，解得 ，
∴该二次函数的表达式为 ;
（2）解：令 ，解得 ．
将 代入 ，得 ，
∴点B的坐标为 ．
【易错必刷九 二次函数图象与各项系数符号】
25．（2025·四川达州·模拟预测）如图所示的抛物线的解析式是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过观察抛物线的开口方向确定二次项系数a大于0，
然后根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，判断出常数项c大于0，
再根据对称轴的位置推断b的符号与a的符号相反.
【详解】解：首先，观察抛物线的图象，抛物线开口向下，则二次项系数a必须小于0.
抛物线与y轴的正半轴相交，则常数项c必须大于0.
由于抛物线的对称轴在原点的右侧，那么a和b的符号相反，可以推断b必须大于0.
由此，只有选项C符合.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握各项系数符号与二次函数图像的关系是解题的关键.
26．（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线 如图所示，现有下列四个结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出 ，再观察函数，得出 ，整理得 ，故 ，观察函数图象，当 时，
则 ，得 ，又因为 ， ，故 ，即可作答．
【详解】解：观察函数图象，得出函数 的开口向上，
故 ，
函数 与 轴交于负半轴，
∴ ，
函数 的对称轴位于 轴的正半轴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故①是正确的；
图象对称轴为直线 ，观察函数，得出
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故③是正确的；
观察函数图象，当 时，则 ，
即 ，
∴ ，
故④是错误的；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
故②是正确的；
故答案为：①②③
27．（24-25九年级上·广西防城港·期中）写出抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】向下，直线 ，
【分析】本题主要考查了 的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌
握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由二次函数的图象与系数的关系可得抛物线 的开口方向，由 的图象与性质可
得其对称轴和顶点坐标．
【详解】解： ，
抛物线开口向下，
由 的图象与性质可知：
抛物线 的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，
综上，抛物线 的开口方向是向下，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
【易错必刷十 y=ax²+bx+c的最值】
28．（24-25九年级上·广西河池·期末）二次函数 有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利
用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数 ，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线 ，∴当 时，该函数有最大值 ，
故选：A．
29．（25-26九年级上·河北·阶段练习）已知抛物线 ．
（1）若点 ， 在抛物线 上，则 ， 的大小关系是 ．
（2）当 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的
图像与性质．
结合点 ， 在抛物线 上和抛物线的解析式，求出 ， 的值，再比较大小即可；结合抛物
线的图像即可求出 时， 的取值范围．
【详解】解： 点 ， 在抛物线 上，
， ，
，
，
抛物线 的对称轴为 轴，且开口向下，
则当 ， 时取最大值 ；
时取最小值 ，
即当 ， 的取值范围是 ．
故答案为：① ；② ．
30．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）已知点 与点 都在二次函数 的图象上．
(1)求 和 的值，并直接写出该拋物线的对称轴、顶点坐标和开口方向．
(2)当 时，直接写出 的最大值和最小值．
【答案】(1) ，拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上；
(2)最小值为0，最大值为32
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的最值等知识，掌握这些基础知识是关键；
（1）把点A的坐标代入二次函数中，即可求得a的值，从而确定二次函数，再把点B的坐标代入二次函数
式中，可求得t的值，最后可确定抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；（2）当 时，函数在原点取得最小值，在 取得最大值，求出最大值即可．
【详解】（1）解：把点 代入 中，得： ，
解得： ，
∴二次函数为 ；
把点 代入 中，得： ；
∵二次函数为 ，
∴拋物线的对称轴为y轴、顶点坐标为原点、开口方向向上；
（2）解：当 时，
函数在原点取得最小值，即最小值为0；
函数在 取得最大值，最大值为 ．
【易错必刷十一 已知二次函数的函数值求自变量的值】
31．（24-25九年级上·河南·期中）根据下列表格的对应值：
判断方程 （ ， ， ， 为常数）一个近似解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据表格，得出当 时， 的值为 ，当 时， 的值为 ，再根
据 ，即可得出方程 （ ， ， ， 为常数）的一个近似解应大于 且
小于 ，再结合选项，即可得出结果．
【详解】解：∵由表格可知，当 时， 的值为 ，当 时， 的值为 ，
又∵ ，
∴方程 （ ， ， ， 为常数）的一个近似解应大于 且小于 ，
又∵ ，
∴方程 （ ， ， ， 为常数）一个近似解为 ．故选：D
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的近似解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当
于在二次函数 的函数值为 时，自变量 的值．
32．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）已知函数 ，当函数值为1时，自变量的取值为
．
【答案】0或
【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得 ，解方程即可得出
答案．
【详解】解：根据题意得 ，
∴ ，即 ，
解得 或 ，
即当函数值为1时，自变量的取值为0或 ．
故答案为：0或 ．
33．（2025九年级·全国·专题练习）利用图象回答下列问题：
(1)在所给的平面直角坐标系中画出函数 的图象．
(2)方程的解是什么？(3)x取什么值时，函数值小于0？
(4)x取什么值时，函数值大于5？
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)
(4) 或
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，正确画出二次函数图象是解题关键．
（1）利用十字相乘法将函数 变形为 ，可知该函数图象与x轴的交点为
和 ，开口方向向上，对称轴为直线 ，以此画出函数图象；
（2）方程 的解即为函数 的图象与x轴的交点的横坐标；
（3）根据图象即可求解；
（4）通过解方程 ，根据结果求解．
【详解】（1）解： ，
可知该函数图象与x轴的交点为 和 ．
对称轴为直线 ；
当 时， ．
顶点坐标是 ．
函数图象如图（2）解：由图像可知
方程 的解是 ， ．
（3）解：由图像可知，当 ，函数值小于0．
（4）解：当 时，即 ．
移项得
因式分解得
解得 ， ．
因为抛物线开口向上，所以当 或 时，函数值大于5．
【易错必刷十二 图象法确定一元二次方程的近似根】
34．（24-25九年级上·山东青岛·期中）根据下列表格对应值：判断关于 的方程 的一
个解 的范围是（ ）
3.24 3.25 3.26
0.01 0.03
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据表中数据得到 时， ；时， ，于是可判断 在 和 之间取某一值时， ，由此得
到方程 的一个解 的范围．
【详解】解： 时， ；
时， ，
∴当 时， 的值可以等于0，
∴方程 的一个解 的范围是 ．
故选：B．
35．（2025·吉林长春·模拟预测）如图是抛物线 的图象，结合图象，可知方程
有 个实数根．
【答案】3
【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即
可．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出 与 的图象，结合图像可得有三个交点，
∴方程 有3个实数根．
故答案为：3．36．（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）已知二次函数 ．
… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 ______ 3 2 ______ －6 …
(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据表格结合函数图象，直接写出方程 的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
【答案】(1)表见解析，图见解析
(2)两个近似根分别在 之间和 之间
【分析】（1）根据表格数据代入解析式即可求解，然后根据描点法画出函数图象即可；
（2）根据表格结合函数图象，根据抛物线与 轴的交点，即可直接写出方程 的近似解在哪
两个连续整数之间．
【详解】（1）解：由 ，令 ， ，
令 ，
填表如下：… －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
… －6 －1 2 3 2 － 1 －6 …
所画图象如图：
（2）由图象可知，方程 的两个近似根分别在 之间和 之间．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，求函数值，图象法解一元二次方程，数形结合是解题的关键．
【易错必刷十三 图象法解一元二次不等式】
37．（24-25九年级上·广东广州·期中）二次函数 的部分图象如图所示，则关于x的不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】由函数图象得对称轴为 ，然后可得点 关于 的对称点的坐标，进而可得答案．【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为 ，
∴点 关于 的对称点的坐标为 ，
∴关于x的不等式 的解集是
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
38．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图像
与 轴交于点 ，顶点坐标为 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与
x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数 的顶点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，
又∵该函数的图像与 轴交于点 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为： ，
由图象可知：当 时， ，
∴不等式 的解集为，
故答案为： ．
39．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知，二次函数 的图象如图所示，且该图象经过点
．(1)c______0（填“ ”、“ ”或“ ”）；
(2)直接写出 时，自变量x的取值范围；
【答案】(1) ；
(2) 或 ．
【分析】（1）观察图象，抛物线与 轴交点在 轴下方，即可得到答案；
（2）观察函数图象即可得到答案．
【详解】（1）解：观察图象，抛物线与 轴交点在 轴下方，
，
故答案为： ；
（2）解：根据函数图象，抛物线与 轴的交点为 、 ，
时，自变量x的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【易错必刷十四 实际问题与二次函数应用--销售问题】
40．（2025·山西晋中·模拟预测）某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售
价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件．求当每件的定价
为多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？小颖的想法是根据“销售利润=（售价-成本）×销售
量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，把二次函数解析式转化为顶点式
进行解答．这种解法体现的数学思想是（ ）
A．整体思想 B．函数思想 C．方程思想 D．公理化思想
【答案】B【分析】利用二次函数的性质求最值体现了函数思想．
【详解】解：根据二次函数的性质求最值体现了函数思想，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用二次函数的性质求最值，这种方法是函数思想的运用．
41．（24-25九年级上·广东广州·期末）某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足
，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．
【答案】2
【分析】 知 的最大值在 时取得，值为 ．
【详解】解：
根据函数图像性质可知在 时， 最大且取值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题．解题的关键将二次函数化成顶点式．
42．（25-26九年级上·江西宜春·阶段练习）某商场销售一种商品，已知进价40元．当这种商品定价为60
元时，每天可售出300件．现商场为了获取更大的利润，采取涨价措施，已知每涨1元，销量减少10件．
设涨价为 元，利润为 元．
(1)若使每天利润为6000元，该商品的售价应上涨多少元？
(2)该商品要获得最大利润，该商品的售价应上涨多少元？
【答案】(1)该商品的售价应上涨 元
(2)该商品要获得最大利润，该商品的售价应上涨 元
【分析】本题主要考查一元二次方程，二次函数的综合运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）根据题意得到涨价后的定价为 元，每件的利润为 （元），涨价后的销量为
件，由此列式求解即可；
（2）根据题意得到 ，结合二次函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：当这种商品定价为60元时，每天可售出300件，已知每涨1元，销量减少10件，设涨
价为 元，∴涨价后的定价为 元，每件的利润为 （元），涨价后的销量为 件，
∴ ，
整理得， ，
解得， ，
∵获取更大的利润，
∴该商品的售价应上涨 元；
（2）解： ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴该商品要获得最大利润，该商品的售价应上涨 元．
【易错必刷十五 实际问题与二次函数应用--增长率问题】
43．（24-25九年级上·河南周口·期末）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两
次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设两次的平均降价率为x，根据增长率问题，得出函数关系式即可求解．
【详解】解：设两次的平均降价率为x，根据题意得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
44．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为
，则该工厂3月份的产值y关于x的函数解析式为 ．
【答案】【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率 ，即可列出函数解析式．
【详解】依题意得：
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率 =现有量， 表示增长的次数．
45．（24-25九年级上·全国·课后作业）某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增
加相同的百分率x，写出第3年的销售量y关于每年增加的百分率x的函数解析式．
【答案】y＝5000x2＋10000x＋5000．
【分析】根据增长率第2年的销量=第1年的销量+增加百分率x×第1年的销量=(1+x)×第1年的销量，第3
年的销售量y=第2年的销量+增加百分率x×第2年的销量=(1+x)×第2年的销量=(1+x)2×第1年的销量即可．
【详解】解：由题意可知y＝500(1＋x)2＝5000x2＋10000x＋5000，
∴y＝5000x2＋10000x＋5000．
【点睛】本题考查增长率问题，利用增长率求函数解析式，掌握增长率的公式是解题关键．
【易错必刷十六 实际问题与二次函数应用--图形运动问题】
46．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， ， ，点 在
线段 上，记 最小值的平方为 ，当点 沿 轴正向从点 运动到点 时（设点 的横坐标为
）， 关于 的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】过点 作 ，过点 作 ，两线交于点 ，如图所示（见详解），作点 关于
的对称点 ，交 与点 ，则 转换为 ，求直线 与点 的横坐标 的关系，由此
即可求解．
【详解】解：如图所示，作点 关于 的对称点 ， ， ，
∴ ，
当 在点 处， 取到最大值，即为 ，即 是关于 的一元二
次方程，
∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查根据正方形的性质求线段的最小值，根据题意构造正方形 ，并找出点 的对
称点 在正方形的 边上，由此列出 是关于 的一元二次方程是解题的关键．
47．（24-25九年级上·金山南通·期中）如图，在 中， ， ， ，点P从
点A出发，以 的速度沿 运动；同时，点Q从点B出发，以 的速度沿 运动，当点Q到达
C时，P、Q两点同时停止运动，则 的最大面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，设动点运动的时间为t s，从而 ，故
，再结合二次函数的性质可以判断得解．
【详解】解：根据题意，点 运动的时间为 ，点 运动的时间为 ，设动点运动的时
间为 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的最大面积为： ，
故答案为： ．
48．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知函数 的图像记作M．
（1）当 时，y随x增大而增大，则m的取值范围是_______．
（2）当 时，求M与x轴的交点坐标．
（3）若 ､ ，M与线段 有公共点，求m的取值范围．
（4）点 ､ ，以 为边向下作矩形 ，点E､F落在x轴上，当M与矩形 有
两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1） ；（2）交点坐标为 ； （3） ；（4） 或 或
【分析】（1）根据二次函数的性质来回答即可；
（2）把 代入 ，求方程 解，问题可解；（3）将根据点 ､ ，求出AB解析式，将点 和点 代入
求出m的值，然后确定m的取值范围；
（4）分情况讨论：分 或 两种情况讨论．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为： ，
∵ ，
∴ 时，y随x的增大而增大，
∵当 时，y随x增大而增大，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） 时，
由 ，
解得 ，
∴交点坐标为 ；
（3）如图，∵ ､ ，
∴线段AB的解析式为： ，
当 ， ，
将 代入抛物线得： ，
解得， ，
把 代入 ，
解得 ，
∴ ；
（4）如图，当 时，
①∵ ､ ，
由2m=m-1，得
∴
∴当 时，抛物线M与矩形CDEF无公共点；
②把x=2m=0代入抛物线M，y=1，
∴（2m，1）在矩形CDEF上，
∴当 时，抛物线M与矩形CDEF有两个公共点；
当 时，
①如图，由 得， ，∴当 时，抛物线M与矩形CDEF有三个公共点；
②如图，
当 ，抛物线M与矩形CDEF有两个交点；
③当 ，时，抛物线M与矩形CDEF有两个交点，
综上所述，当 或 或 抛物线与矩形CDEF有两个交点；
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，函数的增减性及图像的公共点问题等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用图象解决问题，属于中考常考题型．
【易错必刷十七 实际问题与二次函数应用--拱桥问题】
49．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高 ，跨度 ，相
邻两支柱间的距离均为 ，请根据所给的数据，则支柱 的长度为（ ）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标 ，B点坐标为 ，C点坐标为 ，N点横坐标为5，
设抛物线解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
∴当 时， ，
∴支柱 的高度 m，
故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
50．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，我校为科技节获奖的同学举办颁奖典礼，颁奖现场入口为一
个抛物线形拱门．小丽要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个
大字，要求 ，最高点的五角星（点 E）到 的距离为 0.25米， 米， 米，则点C
到 的距离为 米．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解．
【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∵最高点的五角星（点 E）到 的距离为0.25米，
∴ ，代入解析式得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，代入解析式得，
，∴ ，即点C到 的距离为2.25-0.25=2米．
51．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直
角坐标系，其中 是图象上的点，当水面离桥拱顶的高度 是 时，求这时水面宽度 ．
【答案】20
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数解析式的求解是
解决本题的关键．
先根据点 是图象上的点，求解出二次函数解析式，再根据 的长度是 ，可求解点A与点B的坐
标，由此可求解水面宽度 ．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为 ，
∵高度 是 时，
当 时， ，
解得： ，
∴点 ，点 ，.
即当水面离桥拱顶的高度 是 时，这时水面宽度 为20．
【易错必刷十八 实际问题与二次函数应用--投球问题】
52．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：
s）具有 的函数关系，下列解释正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C．小球从飞出到落地要用4s
D．小球的飞行高度可以达到25m
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出 的两根，两根之差即为小球的
飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程 的意义为
时所用的时间，据此解答．
【详解】解： 的两根 与 ，即 时所用的时间，
∴小球的飞行高度是 时，小球的飞行时间是1s或3s，故A不符合题意；
，
∴对称轴直线为： ，最大值为20，故D不符合题意；
时， ，此时小球继续下降，故B不符合题意；
∵当 时， ， ，
，
∴小球从飞出到落地要用4s，故C符合题意．
故选：C．53．（2025·广西·模拟预测）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心
球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可求出解
析式；当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立平面直
角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，
解得， （舍去）， ，
即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
54．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为
时，达到最大高度 ，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求球运动路线的函数表达式．
(2)球被抛出多远？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为： ，
把 代入得 ，
抛物线解析式为： ；
（2）解：由（1） ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
抛物线与 轴的交点为 ， ，
球被抛出 ．
【易错必刷十九 实际问题与二次函数应用--喷水问题】
55．（24-25九年级·浙江·阶段练习）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，
喷水管的高度为 ，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心 时，水柱的最高点为 ，则水柱
落地的位置与喷水池中心的距离为（ ）A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】A
【分析】由题意可设抛物线解析式为 ，代入 求出抛物线解析式，再求出抛物线与x
轴的交点横坐标即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ，
设抛物线解析式为 ，
把 代入到 中得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时，则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴水柱落地的位置与喷水池中心的距离为 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键．
56．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期末）某种礼炮的升空高度 与飞行时间 的关系式是
，则这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
s；
【答案】6
【分析】把二次函数的一般式写成顶点式，找出顶点坐标，即可知道多长时间后得到最高点．
【详解】解：＝− （t−6）2＋91，
∵− ＜0
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当t＝6时，升到最高点．
故答案为：6．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
57．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图是广场喷泉的示意图，喷泉有一个竖直的喷水枪 ，喷水口
为 ，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点 到 所在直线的距离为 ，且到地面的距离
为 ，水流的落地点 到喷水枪底部 的距离为 ，喷水枪 应为多长？请你在以 所在直线为
轴， 所在直线为 轴的平面直角坐标系中解决问题．
【答案】 米
【分析】用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点 的坐标即可得出结果；
【详解】解：由题意可得：
，
设该抛物线的解析式为：
将 代入得：
解得：
∴设该抛物线的解析式为：
当 时，
∴
即： （米）答：喷水枪 的长为 米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用；根据实际问题建立合适的坐标系得出函数解析式是解决问题的
关键．
