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第 13 课 用函数观点看一元二次方程
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课程标准
(1)会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
(2)会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
(3)经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去
看方程和用数形结合的思想去解决问题．
知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x的值的
问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交点的个
数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0
有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
在实数范围内 无解 ( 或称无实数根 )
【注意】
二次函数图象与x轴的交点的个数由
b2 −4ac
的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，
Δ=b2 −4ac>0
，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，
Δ=b2 −4ac=0
，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，
Δ=b2 −4ac<0
，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的解的个
数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【注意】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程
组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线 与x
轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格
的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次
方 的近似根．【注意】
求一元二次方程 的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标 就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点的横坐
标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标系中
画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为方程 的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元二次
方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 ( ＞0)．
△
知识点05 抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)之间的关
系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或△＝0
( 或 )
无解
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【注意】
抛物线 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式 的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为(﹣1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标
是( )
A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣5，0) D．(5，0)
【答案】C
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c(c为常数)的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，
∴1-6+c=0．
∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+5．
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x=-1，x=-5．
1 2
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(-5，0)．
故选：C．
【即学即练】二次函数 的部分图像如图所示，对称轴方程为 ，图像与x轴相交于点
(1，0)，则方程 的根为( )A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【详解】解：∵二次函数 的对称轴方程为 ，图像与x轴相交于点(1，0)，
∴另一个交点为( ，0)，
∴方程 的两个根为1和 ，
由根与系数的关系，得 ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，
∴当 ， 符合题意，
故选：C
【典例2】抛物线y＝x2－2x+3与y轴的交点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，3) C．(2，0) D．(3，0)
【答案】B
【详解】令x=0，则y＝3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标是(0，3)．
故选B．
【即学即练】关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1) B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为(﹣1，﹣3) D．图象的对称轴在y轴的右侧
【答案】C
【详解】当x＝0时，y＝-1，故选项A错误；∵ ，
该函数的对称轴是直线x＝-1，开口向上
当x<-1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；
图象的顶点坐标为(-1，-3)，故选项C正确；
图象的对称轴是直线x＝-1在y轴的左侧，故选项D错误．
故选C．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A(5，0)，对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c
＞16a时，x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7
【答案】C
【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴ 2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0(两边同除以a，不等号方向改变)，
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
(x﹣7)(x+3)＝0，
∴x＝7，x＝﹣3，
1 2
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
【即学即练】如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A(﹣1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2+mx+c＞
n的解集为( )
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
【答案】C
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A(﹣1，p)，B(3，q)两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于(1，p)，(﹣3，q)两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【典例4】如图，抛物线 的对称轴是 ，与x轴的一个交点为 ，则不等式
的解集为___________．【答案】﹣3＜x＜5
【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(﹣3，0)关于直线x＝1对称，
∴另一个交点的坐标为(5，0)，
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．
故答案为﹣3＜x＜5．
【即学即练】如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是
______．
【答案】 ##5＞x＞﹣1
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线x＝2，
与x轴一个交点坐标(5，0)，
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是(﹣1，0)，
∴ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例5】已知二次函数 ( )的图象如图所示，有下列 个结论：( )
① ；② ；③ ；④ ；
⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为 ．
其中正确的结论有( )A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【详解】解：∵图象开口向下，
∴ ，
∵对称轴x=1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交于 轴正半轴，
∴ ，
∴ ， ，
故①②错误；
∵根据图象可知，当 时， ，
即 ，
∴ ，
∴结合 ，有 ，
∴ ，
故③正确；
∵ 时，有 ，且此时y值达到最大，
又∵ 时，有 ，
∴ ，
∴ 成立，
故④正确．
根据 有四个根，
可得 和 各有两个根，
当 时，有 ，此时有 ，
当 时，有 ，此时有 ，则有 ，
∵ ，
∴ ，
即： 的四个根和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：A．
【即学即练】已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，有以下结论：①
；②若t为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方程 的两根
为 ， ( )，则 ，其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ (t为任意实数)，即 ，所以②正确；
∵图象经过点 时，代入解析式可得 ，
方程 可化为 ，消a可得方程的两根为 ， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数 与直线 的另一个交点为 ，， 代入可得 ，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【典例6】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点(－1，0)，则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；
④点A(x，y)，B(x，y)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x＞x＞1时，y＞y．
1 1 1 1 1 2 1 2
其中正确的是____________(填写序号)．
【答案】②
【详解】解：∵当x=1时，a+b+c=0，
∴ ，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故①不正确；
当抛物线过(-1，0)时，
a-b+c=0，
∵a+b+c=0，
两式相减得，2b=0，
∴b=0，
故②正确，
当b=c时，由a+b+c=0得，
a+2c=0，
∴a=-2c，
当x=-2时， ，
故③不正确，
∵0＜a＜c，
∴ ＞1，抛物线开口向上，
∴抛物线对称轴在点(1，1)右侧，
∵对称轴x=- 位置不确定， 跟对称轴的位置关系不确定，
∴ 和 的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②．
【即学即练】如图，抛物线 的开口向下，对称轴为 ，与x轴的一个交点在(－3，0)、(－2，0)之间，其部分图像如图所示，则下列结论：① ；② ；③若点( ， )、(－
， )、( ， )是该抛物线上的点，则 ；④ ，其中正确结论为________．
【答案】①②④
【详解】①由函数图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x＝﹣1，
∴ ，
∴2a＝b，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点 在抛物线上，
∴ ．
∵ ，且抛物线对称轴左边图像y值随x的增大而增大，
∴y＜y＜y．
1 3 2
∴③错误；
④∵当x＝﹣3时，y＜0，且对称轴为 ，
∴当 与x=-3的函数值相同，
∴④正确；
故答案为①②④．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线 与y轴的交点坐标为( )
A．(7，0) B．(－7，0) C．(0，7) D．(0，－7)【答案】D
【详解】解：当x=0时，y=-x2+2x-7=-7，
∴抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标为(0，-7)，
故选：D．
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为(2，4)，有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，
ax2＋bx＋c≥4；③若点(-2，m),(3，n)在抛物线上，则m
