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第 13 课 用函数观点看一元二次方程
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课程标准
(1)会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
(2)会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
(3)经历探索验证二次函数 与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去
看方程和用数形结合的思想去解决问题．
知识精讲
知识点01 二次函数与一元二次方程的关系
求二次函数 (a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求 中x的值的
问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与 x轴的交点的个
数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0
有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切
一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
在实数范围内 无解 ( 或称无实数根 )
【注意】
二次函数图象与x轴的交点的个数由
b2 −4ac
的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，
Δ=b2 −4ac>0
，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，
Δ=b2 −4ac=0
，方程有两个相等的实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，
Δ=b2 −4ac<0
，方程没有实根.
知识点02 抛物线与直线的交点问题
抛物线与 x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线
(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数 的交点问题．
抛物线 (a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线 (a≠0)与一次函数 (k≠0)的交点个数由方程组 的解的个
数决定．
当方程组有两组不同的解时 两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时 两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时 两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
【注意】
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程
组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
知识点03 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解
用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线 与x
轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格
的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次
方 的近似根．【注意】
求一元二次方程 的近似解的方法(图象法)：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与 x 轴交点的横坐标 就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线 图象交点的横坐
标就是方程的根；
(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，在同一坐标系中
画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为方程 的根.
知识点04 抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线 与x轴的两个交点为A( ，0)，B( ，0)，则 、 是一元二次
方程 的两个根．由根与系数的关系得 ， ．
∴
即 ( ＞0)．
△
知识点05 抛物线与不等式的关系
二次函数 (a≠0)与一元二次不等式 (a≠0)及 (a≠0)之间的关
系如下 ：
判别式
抛物线 与 不等式 的解
不等式 的解集
x轴的交点 集
△＞0
或△＝0
( 或 )
无解
△＜0 全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
【注意】
抛物线 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式
的解集；
在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式 的解集．
不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
能力拓展
考法01 二次函数图象与坐标轴交点
【典例1】已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为(﹣1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标
是( )
A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣5，0) D．(5，0)
【答案】C
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c(c为常数)的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，
∴1-6+c=0．
∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+5．
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x=-1，x=-5．
1 2
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(-5，0)．
故选：C．
【即学即练】二次函数 的部分图像如图所示，对称轴方程为 ，图像与x轴相交于点
(1，0)，则方程 的根为( )A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【详解】解：∵二次函数 的对称轴方程为 ，图像与x轴相交于点(1，0)，
∴另一个交点为( ，0)，
∴方程 的两个根为1和 ，
由根与系数的关系，得 ，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，
∴当 ， 符合题意，
故选：C
【典例2】抛物线y＝x2－2x+3与y轴的交点坐标是( )
A．(0，2) B．(0，3) C．(2，0) D．(3，0)
【答案】B
【详解】令x=0，则y＝3，
∴该抛物线与y轴的交点坐标是(0，3)．
故选B．
【即学即练】关于二次函数y＝2x2＋4x﹣1，下列说法正确的是( )
A．图象与y轴的交点坐标为(0，1) B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为(﹣1，﹣3) D．图象的对称轴在y轴的右侧
【答案】C
【详解】当x＝0时，y＝-1，故选项A错误；∵ ，
该函数的对称轴是直线x＝-1，开口向上
当x<-1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；
图象的顶点坐标为(-1，-3)，故选项C正确；
图象的对称轴是直线x＝-1在y轴的左侧，故选项D错误．
故选C．
考法02 利用图象法求一元二次方程的解
【典例3】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A(5，0)，对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c
＞16a时，x的取值范围是( )
A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7
【答案】C
【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴ 2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0(两边同除以a，不等号方向改变)，
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
(x﹣7)(x+3)＝0，
∴x＝7，x＝﹣3，
1 2
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
【即学即练】如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A(﹣1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2+mx+c＞
n的解集为( )
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
【答案】C
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A(﹣1，p)，B(3，q)两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于(1，p)，(﹣3，q)两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【典例4】如图，抛物线 的对称轴是 ，与x轴的一个交点为 ，则不等式
的解集为___________．【答案】﹣3＜x＜5
【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，
根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即
抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与(﹣3，0)关于直线x＝1对称，
∴另一个交点的坐标为(5，0)，
∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．
故答案为﹣3＜x＜5．
【即学即练】如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是
______．
【答案】 ##5＞x＞﹣1
【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线x＝2，
与x轴一个交点坐标(5，0)，
由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是(﹣1，0)，
∴ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜5，
故答案为：﹣1＜x＜5
考法03 二次函数与一元二次方程的综合运用
【典例5】已知二次函数 ( )的图象如图所示，有下列 个结论：( )
① ；② ；③ ；④ ；
⑤若方程 有四个根，则这四个根的和为 ．
其中正确的结论有( )A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【详解】解：∵图象开口向下，
∴ ，
∵对称轴x=1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交于 轴正半轴，
∴ ，
∴ ， ，
故①②错误；
∵根据图象可知，当 时， ，
即 ，
∴ ，
∴结合 ，有 ，
∴ ，
故③正确；
∵ 时，有 ，且此时y值达到最大，
又∵ 时，有 ，
∴ ，
∴ 成立，
故④正确．
根据 有四个根，
可得 和 各有两个根，
当 时，有 ，此时有 ，
当 时，有 ，此时有 ，则有 ，
∵ ，
∴ ，
即： 的四个根和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：A．
【即学即练】已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，有以下结论：①
；②若t为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方程 的两根
为 ， ( )，则 ，其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ (t为任意实数)，即 ，所以②正确；
∵图象经过点 时，代入解析式可得 ，
方程 可化为 ，消a可得方程的两根为 ， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数 与直线 的另一个交点为 ，， 代入可得 ，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【典例6】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0．下列四个结论：
①抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
②若抛物线经过点(－1，0)，则b＝0；
③若b＝c，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有根x＝－2；
④点A(x，y)，B(x，y)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x＞x＞1时，y＞y．
1 1 1 1 1 2 1 2
其中正确的是____________(填写序号)．
【答案】②
【详解】解：∵当x=1时，a+b+c=0，
∴ ，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故①不正确；
当抛物线过(-1，0)时，
a-b+c=0，
∵a+b+c=0，
两式相减得，2b=0，
∴b=0，
故②正确，
当b=c时，由a+b+c=0得，
a+2c=0，
∴a=-2c，
当x=-2时， ，
故③不正确，
∵0＜a＜c，
∴ ＞1，抛物线开口向上，
∴抛物线对称轴在点(1，1)右侧，
∵对称轴x=- 位置不确定， 跟对称轴的位置关系不确定，
∴ 和 的大小无法确定，故④不正确．
故答案为：②．
【即学即练】如图，抛物线 的开口向下，对称轴为 ，与x轴的一个交点在(－3，0)、(－2，0)之间，其部分图像如图所示，则下列结论：① ；② ；③若点( ， )、(－
， )、( ， )是该抛物线上的点，则 ；④ ，其中正确结论为________．
【答案】①②④
【详解】①由函数图像可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x＝﹣1，
∴ ，
∴2a＝b，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，点 在抛物线上，
∴ ．
∵ ，且抛物线对称轴左边图像y值随x的增大而增大，
∴y＜y＜y．
1 3 2
∴③错误；
④∵当x＝﹣3时，y＜0，且对称轴为 ，
∴当 与x=-3的函数值相同，
∴④正确；
故答案为①②④．
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线 与y轴的交点坐标为( )
A．(7，0) B．(－7，0) C．(0，7) D．(0，－7)【答案】D
【详解】解：当x=0时，y=-x2+2x-7=-7，
∴抛物线y=-x2+2x-7与y轴的交点坐标为(0，-7)，
故选：D．
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为(2，4)，有以下结论：①当a>0时，b2－4ac>0；②当a>0时，
ax2＋bx＋c≥4；③若点(-2，m),(3，n)在抛物线上，则m<n；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一
根为－1，则另一根为5．其中正确的是( )
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【详解】解：①当a＞0，顶点为(2，4)时，因为开口向上，与x轴没有交点，
所以Δ＜0，故①错误；
②当a＞0时，因为顶点坐标(2，4)，开口向上，y有最小值，最小值为4，则y≥4，
∴ax2+bx+c≥4；故②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴点(﹣2，m)与(6，m)是对称点，
当a＞0时，x＞2时，y随x的增大而增大，
当a＜0时，x＞2时，y随x的增大而减小，
而点(6，m)，(3，n)在抛物线上，所以m与n的大小不能确定，
故③错误；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的一根为﹣1，
由对称性可得：另一根为5．
所以④正确；
其中正确的是：②④；
故选：D．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，对称轴为直线 ．若 ，
则x的取值范围是( )
A． B．
C． D． 或
【答案】D【详解】解：∵抛物线 经过点 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线与x轴的另一交点为 ，
由图象可知， 时，x的取值范围是 或 ．
故选：D．
4．二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴交点的情况是( )
A．没有公共点 B．有一个公共点
C．有两个公共点 D．与a的值有关
【答案】C
【详解】∵
∴二次函数y = x2 +(a + 2)x + a的图象与x轴有两个不同的公共点
故选：C
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为( )
A．x＝﹣4，x＝2 B．x＝﹣3，x＝﹣1
1 2 1 2
C．x＝﹣4，x＝﹣2 D．x＝﹣2，x＝2
1 2 1 2
【答案】A
【详解】解：根据图象知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点是(2，0)，对称轴是直线x＝−1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是(x，0)．
则 ，
解得，x＝－4 ，
即该抛物线与x轴的另一个交点是(－4，0)．
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根为x＝−4，x＝2．
1 2
故选：A．
6．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣2m+2021的值为( )
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【详解】解： 抛物线y＝x2﹣2x﹣1与x轴的一个交点为(m，0)，故选C
7．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为
_____．
【答案】x＝﹣4，x＝2
1 2
【详解】解：根据图象可知，二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的部分图象经过点(﹣4，0)，所以该点适合方程y＝
﹣x2﹣2x+m，代入，得
(﹣4)2+2×(﹣4)+m＝0
解得，m＝8 ①
把①代入一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0，得
﹣x2﹣2x+8＝0，②
解②，得
x＝﹣4，x＝2
1 2
∴关于x的一元二次方程﹣x2﹣2x+m＝0的解为x＝﹣4，x＝2
1 2
故答案为x＝﹣4，x＝2．
1 2
8．二次函数 ( 为常数)与 轴的一个交点为(－1，0)，则另一个交点为___________．
【答案】(-5，0)
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ,
而抛物线与x轴的一个交点为(-1，0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点为(-5，0)．
故答案为：(-5,0)．
9．抛物线 与 轴交于点(0，3)．
(1)求 的值及抛物线与 轴的交点坐标；
(2) 取什么值时，抛物线在 轴下方？
(3) 取什么值时， 的值随着 的增大而增大？
【答案】(1) ＝3， (-1，0)，(3，0)；(2)x＜－1或x＞3；(3) ．
【详解】(1)将点 代入 得：则二次函数的解析式为
令 得：
解得
则抛物线与 轴的交点坐标为 ， ；
(2)二次函数 的开口向下
结合(1)可得：当 或 时，抛物线在 轴下方；
(3)二次函数 的顶点式为
二次函数的增减性为：当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小
则当 时， 的值随着 的增大而增大．
10．已知二次函数的图象经过点 和点 ，且有最小值为 .
(1)求这个函数的解析式、函数的开口方向、对称轴；
(2)当 时，x的取值范围.
【答案】(1) ，抛物线开口向上，对称轴为： ；(2) 或 ．
【详解】解：(1)∵ 和点 是抛物线与x轴的交点，
∴函数的对称轴为 ，
又因为有最小值为 .
∴抛物线的顶点为(1，-2)，则函数的表达式为： ，
把点 坐标代入上式得 ，解得： ，
则函数的表达式为：
，抛物线的开口向上，
对称轴为： ；
(2)由函数图象可知：
当 时， 的取值范围为： 或 ．题组B 能力提升练
1．已知函数 的图象如图，那么关于x的方程 的根的情况是( )
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根
【答案】C
【详解】解：由函数图象可得： 的图象与y＝－2有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右
侧，
∴关于x的方程 即 有两个同号不等实数根，
故选：C．
2．如表中列出的是二次函数y＝a ＋bx＋c中x与y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是( )A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧
C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
D．方程a ＋(b＋2)x＋c＝﹣4的解为 ＝0， ＝1
【答案】D
【详解】解：∵抛物线经过点(0，-4)，(3，-4)，
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
而x=1时，y=-6＜-4，
∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x= ，
∴当x＞ 时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；
∵点(0，-4)，(1，-6)在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，
即y=a +bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为(0，-4)，(1，-6)，∴方程a +bx+c=-2x-4的解为 =0， =1，
即方程a +(b+2)x+c=-4的解为 =0， =1，所以D选项符合题意．
故选：D．
3．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是( )
A．k＞－ 且k≠0 B．k＞－
C．k≥－ 且k≠0 D．k≥－
【答案】C
【详解】解：∵二次函数 的图象和x轴有交点，
∴ ，
∴k≥- 且k≠0．
故选：C．
4．若抛物线y= 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为( )
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
【详解】解：令y=0，则可得方程 =0，
解得： =6， =-2，
故它与x轴的两个交点分别是：(-2，0)，(6，0)，
当x=0时，y=-12，
故它与y轴的交点是：(0，-12)，
∴该三角形的面积为 ．
故选：C．
5．如图，若二次函数 图象的对称轴为 ，与 轴交于点 ，与 轴交于点 、点
，则①二次函数的最大值为 ；② ；③ ；④当 时， ；
其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解： 由图可知：x=1是抛物线的对称轴，且抛物线的开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴ ，当x=1时，y的最大值为y=a+b+c，故①正确；
∴ ，
∴ ，故②正确；
由图象可知，函数图像与x轴有两个不同的交点，故 ，故③错误；
由函数图象可知当 时， 故④正确；
故选C．
6．二次函数y＝ax2+bx的图像如图，若一元二次方程ax2+bx+m＝0有实数根，则m的最大值为( )
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：由图可知：二次函数y=ax2+bx的最小值是y=-3，
∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，
∴一元二次方程ax2+bx=-m有实数根，
y=ax2+bx与y=-m有交点，
∴-m≥-3，
解得：m≤3，
∴m的最大值是3，
故选：D．
7．已知抛物线 与x轴的一个交点为 ，则代数式 _____________．
【答案】15
【详解】解：把点 代入二次函数解析式得： ，则有 ，
∴ ；
故答案为15．
8．如图，过点D(1，3)的抛物线y=-x2+k的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则
PC+PD的最小值为____．【答案】
【详解】解：连接PB，
对于抛物线y=-x2+k，
对称轴是y轴，
∴PC=PB，
∴当D、P、B在同一直线上时，PC+PD的值最小，最小值为BD的长，
∵抛物线y=-x2+k过点D(1，3)，
∴把x=1，y=3代入y=-x2+k，解得：k=4，
把y=0代入y=-x2+4，解得：x=2或x=-2，
所以点B的坐标为(-2，0)，
所以BD= ，
故答案为： ．
9．已知二次函数y＝ －(m＋2)x＋2m－1
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与y轴交于点(0，3)，求当0＜x＜5时，求y的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】(1)解：令 则
＞0
方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与 轴总有两个交点；
(2) 函数的图象与y轴交于点(0，3)．抛物线的解析式为：
抛物线的开口向上，当 时，函数y的最小值为
当 时，
当 时，
当0＜x＜5时，y的取值范围为： ．
10．如图，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且与 轴交于点
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求 的面积；
(3)该二次函数图象上是否存在点 ，使 与 的面积相等？若存在，请求出 点的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)10
(3)存在， 或 或
【详解】(1)解：∵二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
即 ，
；
(2)存在， 或 或 ，
理由如下，由 ，令 ，
即 ，
解得 ，
，
；
(3)设 ，边 上的高为 ，
与 的面积相等，
，
是 上的点，
则 ，
或 ，
解得 或 .，
或 或 ．
题组C 培优拔尖练
1．若 ， 是方程 (c为常数)两个不相等的实数根，且满足 ，则c的取值范围是
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ， 是方程 (c为常数)两个不相等的实数根，
∴ ，解得： ，
设 ，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵ ，
∴当x=1时，y＞0，
∴ ，解得： ，
∴c的取值范围是 ．
故选：C2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a为常数，且a≠0)的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜
3，则下列结论正确的是( )
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab(m为任意实数) D．﹣1＜a＜﹣
【答案】D
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴ (m为任意实数)，
∴ ，
∵a＜0，
∴ (m为任意实数)
故不正确，不符合题意；
D．∵- =1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
故选：D．
3．在平面直角坐标系中，已知函数 ， ， ，其中a＝2，b、c都
是正实数，且满足b2＝ac．设y，y，y 的图象与x轴的交点个数分别为M，M，M，则下列结论错误的
1 2 3 1 2 3
是( )
A．若M＝1，M＝1，则M＝2 B．若M＝1，M＝1，则M＝1
1 2 3 1 2 3C．若M＝1，M＝0，则M＝0或1或2 D．若M＝1，M＝2，则M＝2
1 2 3 1 2 3
【答案】B
【详解】解：∵a＝2，
∴y＝x2+2x+1＝(x+1)2，
1
∴抛物线顶点坐标为(﹣1，0)，
∴M＝1，
1
∵y＝x2+bx+2，
2
∴ ，
当M＝1时，b2﹣8＝0，
2
∴b2＝ac＝8，
∴c＝4，
∴y＝x2+4x+3，
3
∵ ，
∴M＝2，故A选项正确,B错误；
3
当M＝0时，b2﹣8＜0，
2
∴b2＝ac＜8，
∴c＜4，
∴ ，
∴M＝0或1或2，故C正确；
3
当M＝2时， ，
2
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴M＝2，故D选项正确；
3
故选：B．
4．已知抛物线 与 轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为 ，则抛物线的顶点 关于
轴对称的点 的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为(x，0)，(x，0)，
1 2
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，
∴(x﹣x)2＝(x+x)2﹣4xx＝36， ，
1 2 1 2 1 2
∴(﹣b)2﹣4×c＝36，b＝﹣6，
解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝(x﹣3)2﹣9，
∴顶点P的坐标为(3，﹣9)，
∴点P关于x轴的对称点的坐标是(3，9)，
故选：A．
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＞0；③(a+c)2-b2＜0；④a+b≤m(am+b)(m为实数)．其中结论正确的为( )
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=- =1＞0，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错误；
∵x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0，
∴②正确；
∵(a+c)2-b2=(a+b+c)(a-b+c)，且a+b+c＜0，a-b+c＞0，
∴(a+c)2-b2＜0，③正确；
∵x=1时，y=a+b+c为最小值，
∴a+b≤m(am+b)，④正确．
故选：B．
6．下表记录了二次函数 中两个变量x与y的6组对应值，其中 ．
x … 1 3 …
y … m 0 2 0 n m …
根据表中信息，当 时，直线 与该二次函数图像有两个公共点，则k的取值范围为( )．A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由 可得抛物线对称轴 ，
又由 以及对称轴 可得 ，
，则设抛物线交点式为 ，
与 对比可得 ，解得 ，
二次函数表达式为 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
，当 时，直线 与该二次函数图像有两个公共点，
，
故选：C．
7．若函数 的图象与坐标轴有两个不同的交点，则m的值为____．
【答案】-2或-1或0或1
【详解】解：∵函数 的图象与坐标轴有两个不同的交点，
①当函数为一次函数时，则m+1=0 即m=-1，
此时y=-2x- ，与坐标轴有两个交点；
②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：
当抛物线经过原点时，y= =0，即m=0，
此时 =x(x-2)，
则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；当抛物线不经过原点时，△=(-2)2-4×(m+1)× m=0，
解得：m=-2或1．
综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，
故答案为：-2或-1或0或1．
8．已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点 和 ，如
图所示，则使不等式 成立的 的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】解： 二次函数 与一次函数 的图象相交于点 和
，
由图象可得：使不等式 成立的 的取值范围是 ，
故答案为： ．
9．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ +bx+c经过(﹣1， +2m+1)、(0， +2m+2)两点，其中
m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝ +bx+c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设(a， )、(a+2， )是抛物线y＝ +bx+c上的两点，请比较 ﹣ 与0的大小，并说明理由．
【答案】(1)b＝2，c＝
(2)m＝﹣1
(3)a≥﹣2时， ，a＜﹣2时， ，理由见解析
【详解】(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过(﹣1，m2+2m+1)、(0，m2+2m+2)两点，
∴ ，
∴ ，
即：b＝2，c＝ ，
(2)由(1)得y＝ ，令y＝0，得 +2m+2＝0，
∵抛物线与x轴有公共点，
∴ ＝4﹣4( +2m+2)≥0，
∴ ≤0，
∵ ≥0，
∴m+1＝0，
∴m＝﹣1；
(3)由(1)得，y＝ ，
∵(a， )、(a+2， )是抛物线的图象上的两点，
∴ ， ，
∴
＝4(a+2)
当a+2≥0，即a≥﹣2时， ，
当a+2＜0，即a＜﹣2时， ．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．已知
，该抛物线的对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求点 、 的坐标；
(3)将线段 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在 轴上，若将点 、 平
移后的对应点分别记为点 、 ，求以 、 、 、 为顶点的四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【详解】(1)解：∵抛物线的对称轴为直线 且过点 ，∴
解得： ，
∴该抛物线的函数表达式为： ；
(2)令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
(3)由平移的性质可知， 且 ，
∴四边形 为平行四边形，
如图，符合条件的四边形有三个，
即□ ，□ ，□ ，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴□ 的面积最大，
令 ，得 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
