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22.3 实际问题与二次函数
【提升训练】
一、单选题
1．如果一个矩形的周长与面积的差是定值 ，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩
形 中， ， ， ，那么这个“定差值矩形”的对角线 的长的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点 是菱形 边上的动点，它从点 出发沿 路径匀速运动到点 ，设
的面积为 ，点 的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为（ ）A． B． C． D．
3．如图，四边形 是边长为1的正方形，点E是射线 上的动点（点E不与点A，点B重合），
点F在线段 的延长线上，且 ，连接 ，将 绕点E顺时针旋转 得到 ，连接
．设 ，四边形 的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（
）
A． B． C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 在直线 上运动，设
的面积为 ，则下列图象中，能反映 与 的函数关系的是（ ）．A． B． C． D．
5．如图．正方形 中， ，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别从 ， 两点
同时出发，以 的速度沿 ， 运动，到点 ， 时停止运动，设运动时间为 ， 的
面积为 ，则 与 的函数关系可用图象表示为（ ）
A． B．C． D．
6．如图，菱形 的边长为 ，其中 ，动点 同时从点A都以 的速度出发，点
沿 路线，点 沿 路线运动．连接 ．设运动时间为 ， 的面积为
，则下列图像中能大致表示S与 的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，点P是边长为1的正方形 对角线 上一动点（P与点A、C不重合），点E在上，且 ，设 ， 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（
）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E是边AB上的一动点，一直角边过点
D，另一直角边与BC交于F，若AE=x，BF=y，则y关于x的函数关系的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距
离为 时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高是 ，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数 的图象与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点C，点C
关于 轴的对称点为D点，若四边形 为正方形，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）
m．
A．3 B．6 C．8 D．9
12．在平面直角坐标系中，先将抛物线 作关于x轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于
y轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
13．正方形 的边长为 ，动点 从 出发，以 的速度沿 向 运动；同
时动点 以 的速度沿着 向 运动．如果一个点到达终点，则另一个点也停止运动．设运动时间
为 秒， 的面积为 ，则大致反应 与 变化关系的图像是（ ）A． B．
C． D．
14．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关
系式是 ．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
15．已知 中， ，正方形 中， 和 在同一直线
上，将 向右平移，则 和正方形 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
16．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度 与旋转时 之间的关系可以近似地用 来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时 和离地面高度 的
三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（
）
A． B． C． D．
17．如图，平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线
与抛物线交于点D，与直线 交于点E．连接 ， ．若 ，则a
的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图所示，正方形 的边长为 ，点 是 的中点，动点 从点 向点 运动，速度为
，到点 时停止运动；同时，动点 从点 出发，沿 运动，点 的速度为 ．
设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ，能大致刻画 与 的函数关系的图象是（ ）．A． B． C． D．
19．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别是 ，抛物线
的图象经过点 ，将 沿 轴向右平移 个单位，使点 平移到点 ，然
后绕点 顺时针旋转 ，若此时点 的对应点 恰好落在抛物线上．则 的值为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为
C ，将C 向右平移得到C ，C 与x轴交于点B、D，C 的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积
1 1 2 2 2
为（ ）A．4 B．3 C．6 D．π
21．如图1， 的边BC与长方形DEFG的边DE都在直线l上，且点C与点D重合， ，
将 沿着射线DE移动至点B与点E重合时停止，设 与长方形DEFG重叠部分的面积是y，
CD的长度为x，y与x之间的关系图象如图2所示，则长方形DEFG的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．7
22．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平
面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达
到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处
有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是
（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣ x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
23．如图，在 中， ， ， ．动点P沿 从点A向点B移动（点P
不与点A，点B重合），过点P作 的垂线，交折线 于点Q．记 ， 的面积为y，
则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P从点B出发沿线段BC向点C运动，线段AP的垂直平
分线分别交AB，DC于点M，N，设BM＝y，BP＝x，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
25．如图， 是边长为4的等边 的中位线，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿
折线 向点E运动；同时动点Q以相同的速度，从点B出发，沿 向点C运动，当点P到达终点时，点Q同时停止运动．设运动时间为 四点围成图形的面积S与时间t之间的函数图象是（
）
A． B． C． D．
26．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的
圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计
重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（ ）cm B．（ ）cm C．（ ）cm D．（ ）cm
27．如图， 中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D为AB中点，点E和点F同时分别从点D和点C
出发，沿AB、CB边向点B运动，点E和点F的速度分别为1cm/s和2cm/s，则 的面积ycm2与点F
运动时间x/s之间的函数关系的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
28．如图，在矩形 中， ， ，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径
运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，
连接 ．设点P的运动路程为x， 为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B．C． D．
29．如图，已知抛物线 的对称轴在 轴右侧，抛物线与 轴交于点 和点 ，与
轴的负半轴交于点 ，且 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④当
时，在 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 ， （点 在点 左边），
使得 ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．如图，直线 ， 都与直线 垂直，垂足分别为 ， ， ，正方形 的边长为 ，对
角线 在直线 上，且点 位于点 处，将正方形 沿 向右平移，直到点 与点 重合为止．记
点 平移的距离为 ，正方形 位于直线 ， 之间部分（阴影部分）的面积为 ，则 关于 的函
数图象大致为（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
31．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）
与水平距离x（米）之间的函数关系式为 ，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手
点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
32．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt 4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，
初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图1）；小球落地后，竖直向上
1 1 1
弹起，初速度为v，经过时间t 落回地面，运动过程中小球的最大高度为h（如图2）．若h＝2h，则
2 2 2 1 2
t：t＝_____．
1 233．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断
下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义
菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，
2），（0， 2），P是二次函数 图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线 于点Q，
则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是_________．（填序号）
34．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承
了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为 ，
高度分别为 和 ，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（ 的长）为
_________m．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线上位于直线 下方一动点，当 时，点 的坐标为__________．
三、解答题
36．某商店在五一期间购进了600个旅游纪念品，进价每个6元，第一天以每个10元的价格售出了200个；
第二天若以每个10元的价格仍可售出200个，但为了适当增加销量，决定降价销售，已知单价每降低1元，
可多售出50个；第三天商店对剩下的旅游纪念品做清仓处理，以每个4元的价格全部售出．设第二天旅游
纪念品单价降低x元 ，这批旅游纪念品的销售利润为y元（利润=售价-成本），请解决以下问
题：
（1）用含x的代数式表示第三天的销售量
（2）若第三天销售量不超过前两天销售量之和的 ，求当第二天旅游纪念品的销售单价降低多少元时，
这批旅游纪念品的销售总利润最大?最大值是多少？
37．某商贸公司购进某种商品的成本为20元/ ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y
（元/ ）与时间x（天）之间的函数关系式为： 且x为整数，且日销量
与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天） 1 3 6 10 …
日销量 142 138 13 124 …2
填空：
（1）m与x的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 商品就捐赠n元利润（ ）给当地福利院，后发
现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
38．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横
截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 处，另一端固定在离地面高2米的墙体
处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 （米）与其离墙体
的水平距离 （米）之间的关系满足 ，现测得 ， 两墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出 ， 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土
地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
39．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为
60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，
设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
40．“科学防控疫情，文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有”现有一瓶洗手液如图1所示．
已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧 和 ，它们的圆心分别为点D和点C，下部分是矩形
，且 ，点E到台面 的距离为 ，如图2所示，若以 所在的直线
为x轴， 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，当手按住项部才下压时，洗手液从喷口B流出，
其路线呈抛物线形，此时喷口B距台面 的距离为 ，且到 的距离为 ，此时该抛物线形的
表达式为 ，且恰好经过点E．
（1）请求出点E的坐标，并求出b，c的值．
（2）接洗手液时，当手心R距 所在直线的水平距离为 时，手心R距水平台面 的高度为多少？
（3）如果该洗手液的路线与 的交点为点P，请求出 的正切值．
41．某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售单件利润定为600元时，销售量为0件，单件利润每减少1元销售量增加1件．另需支付其它成
本5 000元；线下销售单件利润500元．另需支付其它成本12 500元．(注：净利润＝销售商品的利润－其他成本)
（1）线上销售100件的净利润为 元；线下销售100件的净利润为 元；
（2）若销售量为x件，当0＜x≤600时，比较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售
多少件？
42．为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30天内，帮助茶农集中销售．
设第 天（ 为整数）的售价为 （元/斤），日销售额为 （元）．据销售记录知：
销量：第1天销量为42斤，以后每天比前一天多销售2斤；
价格：前12天的价格一直为500元/斤，从第13天开始价格每天比前一天少10元．
请根据以上信息，解决问题：
（1）当 时，写出 关于 的函数表达式；
（2）当 为何值时日销售额 最大，最大为多少？
（3）若要保证第13天到第22天的日销售额 随 增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨
元/斤，求整数 的最小值．（直接写出结果）
43．已知，足球球门高 米，宽 米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离
地面 米，即 米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离 为6米时，球恰
好到达最高点D，即 米．以直线 为x轴，以直线 为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为 （如图3），请直接写出
m的取值范围．44．为了减少农产品的库存，某网红在某网络平台上进行直播销售龙泉山牌香菇，每日销售量 与销
售单价x（元/ ）满足关系式： ．销售单价不低于成本价且不高于30元/ ．经销售
发现，当每日销售量不低于 时，该香菇的成本价格为5元/ ，当每日销售量低于 时，该
香菇的成本价格为6元/ ．设香菇公司销售该香菇的日获利为w（元）．
（1）求当日销售量为 时的销售单价x（元/ ）及当日获利w（元）；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种香菇日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当 元时，网络平台将向香菇公司收取a元/ （ ）的相关费用，若此时日获利的最
大值为44100元，求a的值．
45．如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测
得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
46．某校了解学生午餐排队情况，发现学生排队累计的人数 （人）随时间 （分钟）的变化情况满足关系式 ，其中 ． 与 的部分对应值如表；
时间 （分钟） 0 1 2 …
累计人数 （人） 0 58 112 …
（1）求 与 之间的函数解析式；
（2）若食堂就餐排队窗口每分钟可减少排队人数32人，求排队等待的学生人数最多时有多少人？（排队
等待的学生人数 排队累计的人数 减少的排队人数）
47．某板栗经销商在销售板栗时，经市场调查：板栗若售价为10元/千克，日销售量为34千克，若售价每
提高1元/千克，日销售量就减少2千克，现设板栗售价为x元/千克（ 且为正整数）．
（1）若某日销售量为24千克，直接写出该日板栗的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过15元/千克，设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w
的最大值和最小值．
（3）若政府每日给板栗经销商补贴a元后（a为正整数）发现只有4种不同的单价使日收入不少于395元
且不超过400元，请直接写出a的值，（日收入＝销售额＋政府补贴）
48．某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量 （单位：万
件）与销售单价 （单位：元）之间有如下表所示关系：
… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 …
… 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 …（1）根据表中的数据，在图中描出实数对 所对应的点，并画出 关于 的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出 关于 的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为 （单位：万元）．
①写出 关于 的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不
得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
49．某人做跑步健身运动，每千米消耗的热量y（单位：kcal）与其跑步的速度x（单位：km/h）之间的函
数关系如图所示，其中线段AB的表达式为y＝2x＋50（2.5≤x≤10），点C的坐标为（14，82），即步行速
度为14 km/h时他每步行1 km的消耗热量是82 kcal．
（1）求线段BC的表达式；
（2）若从甲地到乙地全程为26 km，其中有6 km是崎岖路，他步行的最高速度是5km/h，20 km是平坦路，
他步行的最高速度是12 km/h，那么在不考虑其他因素的情况下，他从甲地到乙地至多消耗多少kcal的热
量？
50．去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为
此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关
系式： ，下表是某4个月的销售记录．每月销售量 （万件）与该月销售价x（元/件）
之间成一次函数关系 ．
四
月份 … 二月 三月 五月 …
月
销售价x（元件） … 6 7 7.6 8.5 …
该月销售量y（万件） … 30 20 14 5 …（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
51．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发
现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数
据如下表：
时间x（分
0 5 10 15 20 25 30
钟）
人数y
0 275 500 675 800 875 900
（人）
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2个，每个测温点每分钟检测20人，学生按要求排队
测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？
（3）检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1个人工体温检测点，已知人工每
分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
52．某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，
每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用
（万元）与月销售量 （辆）（ ）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
4 5 6 7 8
0 0.5 1 1.5 2
(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出 与 的关系式 ________；
(2)每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价- -进价)x，请你根据上
述条件，求出月销售量 为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
53．某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲
商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最
大？最大利润是多少？
54．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆
沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数
相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少
售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元 表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x
的函数解析式并求最大利润．
55．为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种
植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地
种植该作物的成本 （元）与种植面积 （亩）之间满足一次函数关系，且当 时， ；当
时， ．
（1）求 与 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达
到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润
＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）
56．某商场销售甲、乙两种产品，其中甲商品进价为20元． 在销售过程中发现，甲商品每天的销售利润
w （单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：w ＝－x2＋bx－1260，当x＝30时，w ＝330；
1 1 1
乙商品每天的销售利润w （单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系w ＝－z2＋102z＋c，当z
2 2
＝50时，w ＝440．其中x、z均为整数，并且销售单价均高于进价．
2
（1）求b，c的值；
（2）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5倍，当两种商品每天获得的利润相同时，甲、乙两种商品
销售单价分别为多少；
（3）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2倍，当这两种商品每天销售利润的和最大时，请直接写出此
时甲的销售单价．
57．为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间
符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x） 1 3 6 10
每件成本p（元） 7.5 8.5 10 12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y＝
．设李师傅第x天创造的产品利润为W元．
（1）求p与x的函数关系式；
（2）直接写出W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
58．在平面直角坐标系中，点 ，点 （ 为常数，且 ），将点 绕线段 中点顺
时针旋转 得到点 .经过A、B、 三点的抛物线记为 .
（1）当 时，求抛物线 所对应的函数表达式.
（2）用含 的式子分别表示点 的坐标和抛物线 所对应的函数表达式．（直接写出即可）
（3）当抛物线 在直线 和 之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8
时，直接写出 的取值范围．
（4）连结 ，点 在线段 上，过点 作 轴的平行线与抛物线 交于 、 两点，连结 、
．当点 将线段 分成1：3两部分，且 的面积为 时，求 的值．
59．如图①，小明和小亮分别站在平地上的 两地先后竖直向上抛小球 （抛出前两小球在同一水
平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面． 两球到地面的距离 和 与小球A离开小明手掌后运动的时间 之间的函数图像分别是图②中的抛物线 ．已知抛物线 经过点
，顶点是 ，抛物线 经过 和 两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出 与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
60．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线
经过坐标原点和点 ，顶点为点 ．
（1）求抛物线的关系式及点 的坐标；
（2）点 是直线 下方的抛物线上一动点，连接 ， ，当 的面积等于 时，求 点的坐
标；（3）将直线 向下平移，得到过点 的直线 ，且与 轴负半轴交于点 ，取点 ，
连接 ，求证： ．
