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第 04 讲 二次函数的实际应用
课程标准 学习目标
1. 根据题目的已知条件设二次函数的不同形式解决求
①待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式的题目。
②二次函数的实际应用 2. 学会利用二次函数解决实际问题。
3. 能够熟练掌握二次函数的综合题目。
知识点01 待定系数法求二次函数解析式
1. 二次函数的三种形式：
一般式： 。
顶点式： 。
两点式： 。
2. 待定系数法求函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式。
特别说明：若已知条件为任意三点则设一般式。
若已知条件为顶点坐标或对称轴则设顶点式。若已知条件为与x轴的交点坐标则设两点式。
（2）找点：找函数图像上的点。
（3）带入：把点带入函数解析式得到方程。
（4）求解方程。
（5）反带入：把求出的字母的值带入解析式。
题型考点：①计算根的判别式的值判断方程的根的情况。②根据方程的根的情况求值
【即学即练1】
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式．
（1）已知抛物线的顶点是（﹣1，﹣2），且过点（1，10）；
（2）已知抛物线过三点：（0，﹣2），（1，0），（2，3）．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点（﹣1，﹣2），
∴设所求二次函数关系式为y＝a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入上式，得10＝a（1+1）2﹣2．
∴a＝3，
∴所求二次函数关系式为y＝3（x+1）2﹣2，即y＝3x2+6x+1．
（2）设所求二次函数关系为y＝ax2+bx+c，
把（0，﹣2），（1，0），（2，3）分别代入y＝ax2+bx+c，
得 ，
解得：
∴此抛物线的函数解析式为：y＝ ．
【即学即练2】
2．经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
【解答】解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣ ，
则抛物线解析式为y＝﹣ （x+2）（x﹣4）＝﹣ x2+ x+3，
故答案为y＝﹣ x2+ x+3．
知识点02 二次函数的实际应用1. 二次函数与图形面积问题：
【即学即练1】
3．如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷
宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，则下列所列方程正确的
是（ ）
A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝（5﹣x）（3﹣x）
C．y＝3x+5x D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2
【解答】解：设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2，根据题意可得：
y＝（5﹣x）（3﹣x），
故选：B．
【即学即练2】
4．某家禽养殖场，用总长为200m的围栏靠墙（墙长为65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形EAGH
与矩形HGBF面积相等，矩形EAGH面积等于矩形DEFC面积的二分之一，设AD长为xm，矩形区域
ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形EAGH和矩形DEFC区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40元/平方米
和20元/平方米，若要使安装成本不超过30000元，请直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝ AD＝ xm，
DC＝AB＝ （200﹣ x）＝（100﹣ x）m，
故y＝x（100﹣ x）＝﹣ x2+100x，
自变量x的取值范围为：28≤x＜80；
（2）由题意可得：∵y＝﹣ x2+100x＝﹣ （ x2﹣80x）＝﹣ （ x﹣40）2+2000，
又∵28≤x＜80，
∴当x＝40时，y有最大值，最大值为2000平方米；
（3）由题意得，S矩形EAGH ＝AG•AE＝ （100﹣ x） x＝﹣ x2+25x，S矩形DEFC ＝DC•DE＝（100
﹣ x）• x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为w元，则w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
令w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，
解得x＝60或20，
∵28≤x＜80，
∴60≤x＜80时，安装成本不超过30000元．
知识点03 二次函数的实际应用
2. 二次函数中的商品销售问题：
【即学即练1】
5．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出
500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与
x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）] D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）
【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：
y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．
故选：D．
【即学即练2】
6．某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240
件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润
最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【解答】解：设销售单价上涨x元，月销售利润为y元．
∵每件商品售价不能高于40元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x）＝﹣10x2+140x+2400
＝﹣10（x﹣7）2+2890，
∴当x＝7时，y最大 ＝2890，
∴每件商品售价为30+7＝37（元），
故选：C．
【即学即练3】
7．开福车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费18000元购进的甲种水果
与24000元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果的单价；
（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头的总成本为15元，调查发现，以28元的
定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，
当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？
【解答】解：（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是（x+2）元，
，
解得，x＝6，
经检验，x＝6是原分式方程的解，
∴x+2＝8，
答：甲、乙两种水果的单价分别是6元、8元；
（2）设售价是a元，总利润是y元，
y＝（a﹣15）[3000+1000（28﹣a）]＝﹣1000a2+46000a﹣465000＝﹣1000（a﹣23）2+64000．
∴当售价是23元时，利润最大是64000元．
知识点04 二次函数的实际应用
3. 二次函数在建筑中的实际应用：
【即学即练1】
8．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面
宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y＝﹣2x2 B．y＝2x2 C．y＝﹣ x2 D．y＝ x2
【解答】解：设此函数解析式为：y＝ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．
则﹣2＝4a
即得a＝﹣ ，
那么y＝﹣ x2．
故选：C．
【即学即练2】
9．如图，从某建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面
垂直）．如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，则水流落地点B离墙的距离OB是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+ ，由题意，得
10＝a+ ，
a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣ （x﹣1）2+ ．
当y＝0时，
0＝﹣ （x﹣1）2+ ，
解得：x ＝﹣1（舍去），x ＝3．
1 2
OB＝3m．
故选：B．
【即学即练3】
10．如图，某城区公园有直径为7m的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心O处修喷水装置，喷出水呈
抛物线状，当水管OA高度在6m处时，距离OA水平距离1m处喷出的水流达到最大高度为8m．
（1）求抛物线解析式，并求水流落地点距离O点的距离；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，若使水流落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考虑边宽），则如何调节水管OA的高度？
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，8），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
把A（0，6）代入可得a＝﹣2，
∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，
当y＝0时，x＝3或﹣1（舍去），
答：解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+8，水流落地点距离O点的距离是3米；
（2）抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣1）2+k，
把（3.5，0）代入可得k＝12.5，
∴解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+12.5，
当x＝0时，y＝10.5，
答：水管OA的高度调整为10.5米．
知识点05 二次函数的实际应用
4. 二次函数与动点问题：
【即学即练1】
11．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面
积最大值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：作PM⊥AD于M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF ＝ AF•PM，
∴S△APF ＝ ×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF 有最大值4，
故选：C．
【即学即练2】
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6mm，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的
速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．
如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．0.5 B．1.5 C．3 D．4
【解答】解：∵△ABC面积为定值，
∴当△PBQ面积最大时，四边形APQC的面积最小，
设时间为t秒，则BP＝6﹣2t，BQ＝4t，
∴S△PBQ ＝ ＝ ×（6﹣2t）×4t，
∴S△PBQ ＝﹣4t2+12t＝﹣4（t﹣ ）2+9，
∴当t＝ 时，△PBQ面积最大，此时四边形APQC的面积最小．
故选：B．
【即学即练3】
12．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线
AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设菱形的高为h，
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
∴h＝ ，
若设AP＝x，则PB＝1﹣x，
∵PQ⊥AB，
AQ＝2x，PQ＝ x，
∴DQ＝1﹣2x，
∴S△CPQ ＝S菱形ABCD ﹣S△PBC ﹣S△PAQ ﹣S△CDQ
＝1× ﹣ （1﹣x）• ﹣ x• x﹣ （1﹣2x）•
＝﹣ x2+ x
＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，∴△CPQ面积有最大值为 ，
故选：D．
题型01 二次函数的实际应用
【典例1】
某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额
为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B
种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销
售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，
由题意可得： ，
解得 ，
答：（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30﹣m≥24，
解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，
答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．
【典例2】
过山车（图1）是一项富有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣，有惊无险的快感令不少人着迷，同时也成
为了很多青少年进游乐场的首选项目之一、过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以近似看作是抛
物线的一部分，过山车在这段路线上运行时，某个位置距离地面的竖直高度 y（单位；m）与该段路线
最初位置的水平距离x（单位：m，以下简称“水平距离”）之间的函数图象如图2所示，顶点坐标为
（3，10），根据图象解答下列问题：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这段路线中，当车尾的水平距离为5米时，求此时车尾距离地面的高度；（3）已知过山车最中间部分到达该段路线最高点时，车尾的水平距离为 2米，求此时车头距离地面的
高度．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+10（a≠0），
把（1，8）代入解析式得：8＝a（1﹣3）2+10，
解得a＝﹣ ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣ （x﹣3）2+10＝﹣ x2+3x+ ；
（2）当x＝5时，y＝﹣ ×（5﹣3）2+10＝8，
∴车尾距离地面的高度为8米；
（3）当x＝4时，y＝﹣ ×（4﹣3）2+10＝ ，
即此时车尾距离地面的高度为 米，
由抛物线是关于直线x＝3对称的图形可得，此时车头距离地面的高度为 米．
【典例3】
植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为6米的墙，现准备用20米的篱笆围一间矩形花圃，小俊设计
了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）按图甲的方案，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
①求y与x之间的函数关系式；
②求矩形ABCD的面积y（m2）的最大值．
（2）甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大为是多少？请说明理由．
【解答】解：（1）①设BC的长是x米，则AB＝ （20﹣x）＝（10﹣ x）米，根据题意，得y＝（10﹣ x）x＝﹣ x2+10x，
∵墙长为6米，
∴0＜x≤6，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣ x2+10x（0＜x≤6）；
②y＝﹣ x2+10x＝﹣ （x﹣10）2+50，
∵﹣ ＜0，
∴当x＜10时，y随x的增大而增大，
∵0＜x≤6，
当x＝6时，y有最大值，最大值为42米2．
答：能围成的最大面积为42米2；
（2）按乙方案：设BC的长是n米，矩形花圃的最大面积是S平方米，
则AB＝ [20﹣n﹣（n﹣6）]＝（13﹣n）米，
根据题意得，
S＝n（13﹣n）＝﹣（n﹣ ）2+ ，
∵13﹣n＞0，
∴n＜13，
∵﹣1＜0，6＜n＜13，
∴当x＝ 时，y有最大值，最大值为 ，
∵42＜ ．
∴按图乙的方案施工，围成的矩形花圃的最大面积，最大面积是 平方米．
【典例4】
如图是一个宣传广告牌，其上部是抛物线的一部分AED，下部是一个矩形支架ABCD，矩形支架的长BC
为4m，高AB为1.5m．该广告牌的最大高度为3.5m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线
所在的直线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．
（1）直接写出抛物线的解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）现需要在广告牌上张贴一幅矩形MNPQ宣传画，边MN在广告牌矩形支架的边AD上，顶点Q在
抛物线AED上；
①宣传画按如图（2）方式张贴，顶点P也在抛物线AED上．若宣传画刚好是一个正方形，求宣传画
的周长；②宣传画按如图（3）方式张贴，顶点P在y轴上，点M到点A的距离不小于0.5m，求宣传画周长l的
取值范围．
【解答】解：（1）根据题意知，A（﹣2，1.5），D（2，1.5），
又∵E（0，3.5）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+3.5，
将A（﹣2，1.5）代入，得1.5＝4a+3.5，
解得a＝﹣0.5，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣0.5x+3.5；
（2）①由题意可设 P（m，﹣0.5m2+3.5），Q（﹣m，﹣0.5m2+3.5），M（﹣m，1.5），N（m，
1.5），
∴MN＝2m，PN＝﹣0.5m2+3.5﹣1.5＝﹣0.5m2+2，
∵宣传画刚好是一个正方形，
∴2m＝﹣0.5m2+2，
解得m＝﹣2+2 或m＝﹣2﹣2 （舍去），
∴4×2m＝﹣16+16 ，
答：宣传画的周长为（﹣16+16 ）米；
②由题意设Q（n，﹣0.5n2+3.5），M（n，1.5），N（0，1.5），P（0，﹣0.5n2+3.5），
∴MN＝PQ＝﹣n，QM＝PN＝﹣0.5n2+3.5﹣1.5＝﹣0.5n2+2，
∴l＝2MN+2PN＝﹣2n+2（﹣0.5n2+2）＝﹣n2﹣2n+4＝﹣（n+1）2+5，
∵点M到点A的距离不小于0.5m，
∴n﹣（﹣2）＝n+2≥0.5，
∴0＞n≥﹣1.5，
∵﹣1＜0，
∴当n＝﹣1时，l有最大值，最大值为5；
当n＝﹣1.5时，l有最小值，最小值为4 ，∴宣传画周长l的取值范围为4 ≤l≤5．
【典例5】
某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第x（1≤x≤48）天的售价与日销售量的相
关信息如表：
时间x（天） 1≤x＜30 30≤x≤48
售价 x+30 60
日销售量（kg） ﹣2x+120
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠n元利润（n＜9）给“希望工程，若每天扣
除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【解答】解：（1）当1≤x＜30时，
y＝（x+30﹣20）•（﹣2x+120）＝﹣2x2+100x+1200，
当30≤x≤48时，
y＝（60﹣20）•（﹣2x+120）＝﹣80x+4800，
∴y＝ ；
（2）当1≤x＜30时，
y＝﹣2（x﹣25）2+2450，
∴当x＝25时，y ＝2450，
max
当30≤x≤48时，
∵k＝﹣80＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝30时，y ＝﹣80×30+4800＝2400，
max
∴在第25天时，利润最大为2450元；
（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为：w元，
w＝﹣2x2+100x+1200﹣（﹣2x+120）•n＝﹣2x2+（100+2n）x+（1200﹣120n），
∵对称轴x＝﹣ ＝ ≥28时，w随x的增大而减小，
∴n≥6，
∴6≤n＜9．
【典例6】
某公司投入研发费用120万元（120万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品，产品正式投产后，
生产成本为8元/件．经试销发现年销售量y（万件）与售价x（元/件）有如表对应关系．x（元/件） 1 3 5
y（万件） 39 37 35
（1）直接写出y关于x的函数关系式： y ＝﹣ x +4 0 ．
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W
最大，其最大值是多少？
（3）为了提高利润，第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发（此费用计入第二年成本），使
产品的生产成本降为5元/件，但规定第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，在年销售量y
（万件）与售价x（元/件）的函数关系不变的情况下，若公司要求第二年的利润不低于166万元，求该
公司第二年售价x（元/件）应满足的条件．
【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，39），（3，37）代入，得： ，
解得 ，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+40，
故答案为：y＝﹣x+40；
（2）∵每件商品的利润率不得超过150%，
∴x≤8（1+150%），即x≤20，
由题意得：
W＝（x﹣8）（﹣x+40）﹣120
＝﹣x2+48x﹣440
＝﹣（x﹣24）2+136，
∵﹣1＜0，x≤20在对称轴直线x＝24左侧，W随x的增大而增大，
∴当x＝20时，年利润W最大，W ＝﹣（20﹣24）2+136＝120，
max
∴售价x为20元时，年利润W最大，其最大值是120万元；
（3）∵第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，
∴第二年产品的售价x≤20×（1+20%），即x≤24，
根据题意得：（x﹣5）（﹣x+40）﹣120≥166，
解得18≤x≤27，
∴该公司第二年售价x（元/件）应满足的条件是18≤x≤24．
【典例7】
“五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需
支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月的“每天降价 1元”的促
销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的
日销售量y（件）与第x天（1≤x≤31，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对
应关系如下表：第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
（1）直接写出y与x的函数关系式 y ＝ 2 x +4 0 ；
（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润
是多少元？
（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，
求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？
【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，
把（5，50），（10，60）代入得：
，
解得： ，
∴y与x的函数关系式y＝2x+40，
故答案为：y＝2x+40；
（2）根据题意可得，W＝（140﹣x﹣75﹣5）（2x+40）＝﹣2x2+80x+2400＝﹣2（x﹣20）2+3200，
∵﹣2＜0，1≤x≤31，
∴当x＝20时，W有最大值为3200元；
∴第20天利润最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意，当x＞20时，
W＝[140﹣x﹣（75﹣4）﹣5]（2x+40）＝﹣2（x﹣22）2+3528，
当W＝3430时，﹣2（x﹣22）2+3528＝3430，
解得x＝15或x＝29，
∵x＞20，且x为整数，
∴21≤x≤29时，W≥3430，
即从第21天开始到第29天日销售利润不低于3430元；
由（2）知，当x≤20时，日销售利润均低于3430元，
∴这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3430元的共有9天．1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是（1，3），当x＞1时，y随x的增大而增大，则抛物线解析
式可以是（ ）
A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2+3
C．y＝﹣2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣1）2+3
【解答】解：由题意得：抛物线的顶点是（1，3），开口向上，
故选：D．
2．已知抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣5
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，
∴ ，
即 （3m﹣1）2+12m＝16（3m+1）2＝163m+1＝±4，
∴m ＝1， ，
1
当m＝1时，抛物线为y＝x2+2x﹣3．
故选：B．
3．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣ （x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝ （x﹣2）2﹣1
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a＝1，
所以y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
4．小英在用“描点法”探究二次函数性质时，画出了以下表格，不幸的是，部分数据已经遗忘（如表所
示），小英只记得遗忘的三个数中（如M，R，A所示），有两个数相同．根据以上信息，小英探究的
二次函数解析式可能是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … M R ﹣4 ﹣3 A …
A．y＝x2﹣3x﹣2 B．
C．y＝2x2﹣5x﹣1 D．
【解答】解：A、y＝x2﹣3x﹣2的对称轴为直线 ，
B、 的对称轴为直线 ，
C、y＝2x2﹣5x﹣1的对称轴为直线 ，
D、 的对称轴为直线 ，
若M与R相同，则抛物线的对称轴为直线 ，只有B选项符合，
将点（1，﹣4），（2，﹣3）代入解析式，均符合；
若M与A相同，则抛物线的对称轴为直线x＝1，没有选项符合；
若R与A相同，则抛物线的对称轴为直线 ，选项A、D符合，
但将点（1，﹣4），（2，﹣3）代入解析式，却不符合；
∴M与R相同，B选项符合，
故选：B．
5．如图1，质量为m的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为10cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹
簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 v（cm/s）和弹簧被压缩的长度Δl（cm）之间的
关系图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为4cm
C．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
D．当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
【解答】解：由图象可知，弹簧压缩2cm后开始减速，故选项A不合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为 6cm时，此时弹簧的长度为10﹣6＝4
（cm），故选项B符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为0，故选项B的说法正确，选项C不合题意：
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩2cm，此时弹簧的长度为10﹣2＝8cm，故选D不合题意．
故选：B．
6．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为 40元．已知每千克售价不低
于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每
上涨1元，每天的销量就减少2千克．为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（ ）
A．20 B．60 C．70 D．80
【解答】解：设每千克的售价应定为x千克，每天的销售利润为y元，
根据题意得，y＝（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
答：当为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为70元，
故选：C．
7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣ x2+ x+1的一部分（如图所示，水
平地面为x轴，单位：m），则下列说法不正确的是（ ）
A．出球点A离点O的距离是1 m
B．羽毛球横向飞出的最远距离是3 mC．羽毛球最高达到 m
D．当羽毛球横向飞出 m时，可到达最高点
【解答】解：A、当x＝0时，y＝1，
则出球点A离地面点O的距离是1m，故A正确；
B、当y＝0时，0＝﹣ x2+ x+1，
解得：x ＝﹣1（舍去），x ＝4≠3．故B错误；
1 2
C、∵y＝﹣ x2+ x+1，
∴y＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴此次羽毛球最高可达到 m，故C正确；
D、∵y＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴当羽毛球横向飞出 m时，可达到最高点．故D正确．
∴只有B是错误的．
故选：B．
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90° AB＝12cm，AD＝36cm，BC＝40cm，点P从点A出发，
以3cm/s的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到
达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，下列结论错误的是（ ）
A．当t＝9时，PQ∥DC
B．当t＝10时，PQ⊥BC
C．当t＝9或11.5时，PQ＝CD
D．当t＝12时，四边形ABQP的最大面积为384cm2
【解答】解：A、当t＝9时，PD＝36﹣3×9＝9，CQ＝9，四边形PQCD是平行四边形，PQ∥DC，正确，
不符合题意；
B、当t＝10时，AP＝30，BQ＝40﹣10＝30，四边形ABQP是矩形，PQ⊥BC正确，不符合题意；
C、当t＝9或11.5时，当t＝9时，四边形PQCD是平行四边形，当t＝11.5时，如图CF＝4，QE＝6，
PE＝DF，四边形PQCD是梯形，但PQ≠CD，原命题不正确，符合题意；
D、当t＝12时，因为AP∥BQ，∠B＝90°，四边形ABQP是直角梯形，S＝ （AP+BQ）•AB＝（36+28）×12＝384cm2，原命题正确，不符合题意．
故选：C．
9．东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的
零售价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取最大利润，则应降价 元．
【解答】解：设降价x元时，则日销售可以获得最大利润为W，由题意，得
W＝（100﹣70﹣x）（20+x），
∴W＝﹣x2+10x+600，
∴W＝﹣（x﹣5）2+625，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝5时，W最大 ＝625．
故答案为：5．
10．已知二次函数y＝x2+bx+c．当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，该二次函数的对称轴为x＝
m，则m的取值范围是 ．
【解答】解：二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣ ，
当﹣1≤x≤1时，y的取值范围是﹣1≤y≤1，如图，
当抛物线y＝x2+bx+c过点（1，1）时，则1+b+c＝1，
此时﹣1≤﹣ ＜0，即0＜b≤2，
解得：c＝﹣b，
∴抛物线为：y＝x2+bx﹣b＝（x+ ）2﹣b﹣ ，
此时函数的最小值必为﹣1，∴﹣b﹣ ＝﹣1，
解得：b ＝﹣2+2 ，b ＝﹣2﹣2 （舍去），
1 2
此时m＝﹣ ＝1﹣ ，
同理，当抛物线y＝x2+bx+c过点（﹣1，1）时，则1﹣b+c＝1，
此时0＜﹣ ≤1，即﹣2≤b＜0，
解得：c＝b，
∴抛物线为：y＝x2+bx+b＝（x+ ）2+b﹣ ，
此时函数的最小值必为﹣1，
∴b﹣ ＝﹣1，
解得：b ＝2﹣2 ，b ＝2+2 （舍去），
1 2
此时m＝﹣ ＝ ﹣1，
∴1﹣ ≤m≤ ﹣1，
故答案为：1﹣ ≤m≤ ﹣1．
11．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物
线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时，达到最大
高度2米的B处，则小丁此次投掷的成绩是 米．
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：A（0，1.68），B（2，2），点B为抛物线的顶点，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把A（0，1.68）代入得：
4a+2＝1.68，
解得a＝﹣0.08，
∴y＝﹣0.08（x﹣2）2+2，
令y＝0，得﹣0.08（x﹣2）2+2＝0，
解得x ＝7，x ＝﹣3（舍），
1 2
∴小丁此次投掷的成绩是7米．
故答案为：7．
12．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承
了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．
则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为 ．
【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标
系，如图：
∴A（﹣40，0），B（40，0），E（0，200），设内侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），
将（0，200）代入，得：200＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣ ，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣ x2+200，
将y＝150代入得：﹣ x2+200＝150，
解得：x＝±20，
∴C（﹣20，150），D（20，150），
∴CD＝40m，
故答案为：40米．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）
（1）求二次函数解析式；
（2）画出该二次函数图象；
（3）当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围 ．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把C点的坐标代入得，3＝a（（0﹣1）（0﹣3），
解得a＝1．
故抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数的顶点坐标为（2，﹣1）
如图所示：（3）∵对称轴为x＝2，且过点C（0，3）
∴点C关于x＝2的对称点为（4，3）
∴当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
14．兰兰家新建了一个蔬菜大棚，大棚的样式如图1，大棚入口的外形呈抛物线形状，宽度是8m，最高点
距地面2m．现要在大棚的入口正中间加3根木条做一个简易的长方形门框，如图2．
（1）若门框的高不低于1.5m，且长方形门框的宽AB的长度不小于2m，则长方形门框的宽度AB应该
在什么范围内？
（2）在（1）的条件下，为了节省木料，求3根木条长度和的最小值．
【解答】解：（1）如图，以大棚入口的左端点为原点建立直角坐标系，由题意知顶点C坐标为（4，
2），D点坐标为（8，0）．
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣4）2+2，
将D点坐标代入，得 a（8﹣4）2+2＝0，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 y＝1.5 时，x ＝6，x ＝2，
1 2则AB的长度最大为6﹣2＝4（m），
∴AB的范围为2≤AB≤4；
（2）设A点的横坐标为x，则B点的横坐标为8﹣x，AB的长度为（8﹣2x）m，
∵2≤AB≤4，
∴2≤8﹣2x≤4，得2≤x≤3．
点A的纵坐标为 ，
如图，木条 ，
令3根木条长度和为l，
∴l＝ ．
当2≤x≤3时，y随x的增大而减小，所以当x＝3时，l取得最小值为 ．
即3根木条长度和的最小值为 ．
15．如图，一种手持烟花弹的飞行路径是抛物线y＝a（x﹣20）2+k（a≠0）上的一部分．点燃后在距地面
2米时开始喷射，在达到最大高度18米时绽放．若是哑弹（在空中没有绽放的烟花弹），会继续按原有
的抛物线飞落．在烟花弹的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平
面上）．
（1）求抛物线的解析式（不必写出x的取值范围）；
（2）小明站在窗前的点E处，正好能观赏到烟花绽放的美景，若AE＝11.5米，求烟花绽放点到E点的
距离（结果保留根号）；
（3）若是哑弹，请通过计算说明是否会落在居民楼的外墙AD上？若会，求将烟花弹沿x轴负半轴至少
移动多少米才能避免（结果保留根号）．
【解答】解：（1）依题意，最大高度18米，
∴k＝18，
∴y＝a（x﹣20）2+18，
将点（0，2）代入，得202a+18＝2，
解得：a＝﹣0.04，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.04（x﹣20）2+18；
（2）由题意得OA＝33米，
∴点E（33，11.5），根据（1）得烟花绽放点为（20，18），
∴烟花绽放点到E点的距离为：
＝ ＝ （米）；
（3）当y＝0时，0＝﹣0.04（x﹣20）2+18，
解得x ＝20﹣15 （舍去），x ＝20+15 ，
1 2
∵OA＜20+15 ，
∴哑弹会落在居民楼的外墙AD上，
当OA＞20+15 时，才能避免哑弹落在居民楼的外墙AD上，
∴至少向沿x轴负半轴移动20+15 ﹣33＝（15 ﹣13）米，
即至少向沿x轴负半轴移动（15 ﹣13）米．
