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专题 21.5 矩形的判定
教学目标 1. 掌握矩形的判定方法，能够在题目中选择合适方法判定矩形。
1. 重点
（1）矩形的判定。
教学重难点 2. 难点
（1）熟练的选择合适的判定方法判定矩形；
（2）能够结合矩形的判定与性质，熟练的解决相应的题目。知识点01 矩形的判定
1. 矩形的判定方法：
判定方法 文字语言 数学语言 图形
∵∠ABC=∠BCD=∠CDA
四个角（三个角）都是 直角
直接判定 =∠ADC= 90 °
的四边形是矩形
∴四边形ABCD是矩形
∵ 在 ▱ ABCD 中 ，
有一个角是 直角 的平行四边
∠ABC=90°
平行四边形 形是矩形
∴四边形ABCD是矩形
加特殊性
对角线 相等 的平行四边形是 ∵在 ▱ABCD中，AD=BC
矩形 ∴四边形ABCD是矩形
【即学即练1】
1．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得 ABCD是矩形（ ）
▱ ▱
A．AB＝AD B．∠ABC＝∠BCD C．∠ABD＝∠CBD D．AO⊥BO
【答案】B
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，在 ABCD中，添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（ ）
▱
A．AB⊥BC B．AC＝BD C．∠B＝∠C D．BC＝CD
【答案】D
【解答】解：根据矩形的判定方法逐一判断如下：
A、∵AB⊥BC，
∴ ABCD是矩形，不符合题意；
B、∵AC＝BD，
▱
∴ ABCD是矩形，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
▱
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴ ABCD是矩形，不符合题意；
D、BC＝CD，
▱
∴ ABCD是菱形，符合题意；
故选：D．
▱
【即学即练3】
3．如图，已知 ABCD，过点D作DE⊥BC交CB的延长线于点E，过点C作CF∥DE交AD的延长线于
点F．求证：四边形DECF是矩形．
▱
【答案】见解析．
【解答】证明：已知 ABCD中，AD∥BC，
▱∵CF∥DE交AD的延长线于点F，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DE⊥BC交CB的延长线于点E，
∴∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
【即学即练4】
4．如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，延长AD，CD，分别至点E和点F，且使DE＝AD，DF＝CD，
连接AF，FE，EC．求证：四边形ACEF是矩形．
【答案】见解析．
【解答】证明：由题意可知，DE＝AD，DF＝CD，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴AD+DE＝CD+DF，
∵AE＝AD+DE，CF＝CD+DF，
∴AE＝CF，
∴平行四边形ACEF是矩形．
【即学即练5】
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，过点O作OE⊥AC，交AB于点E，过点A
作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD、DE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝6，∠BAC＝30°，求DE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2❑√21．
【解答】（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
{∠ADO=∠CBO
)
∠DAO=∠BCO ，
OA=OC
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝12，
∴OA＝6，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴AE＝2OE
∵AO2+OE2＝AE2
❑√3
∴OE= OA=2❑√3，
3
∴AE=2OE=4❑√3，
∴DE=❑√AD2+AE2=❑√62+(4❑√3) 2=2❑√21．
题型01 熟悉矩形的判定条件
【典例1】要检测一个四边形是不是矩形，下列方案可行的是（ ）
A．任选三个角并测量角度
B．测量对角线长度
C．测量四条边的长度
D．测量两条对角线是否垂直
【答案】A
【解答】解：A、由三个角为直角得到另外一个角也为直角，故可得到四边形为矩形，正确，符合题意；B、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
C、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
D、测量两条对角线是否垂直，不能检测一个四边形是不是矩形，错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1】在下列条件中，能够判定 ABCD是矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．AC⊥BD D．AB∥CD
▱
【答案】A
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝BC，
▱
∴ ABCD是菱形，故错误；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
▱
∴ ABCD是菱形，故错误；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，不能判定 ABCD是矩形，故错误；
▱
故选：A．
▱
【变式2】如图，四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不
一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2+BC232+42＝AC2＝52，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
故A选项不符合题意；
B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等，
∴四边形ABCD是矩形；
故B选项不符合题意；
C、观察图形可知，∠C＝∠D＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形；
故C选项不符合题意；
D、观察图形可知，AD∥BC，故不能判定四边形ABCD是矩形，
故D选项符合题意．
故选：D．
题型02 添加矩形的判定条件
【典例1】要使如图所示的 ABCD成为矩形，需增加的一个条件可以是（ ）
▱
A．AC＝BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC
【答案】A
【解答】解：A、由AC＝BD，能判定 ABCD是矩形，故符合题意；
B、由AB＝CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
▱
C、由AB∥CD，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
▱
D、由∠ABC＝∠ADC，不能判定 ABCD是矩形，故不符合题意；
▱
故选：A．
▱
【变式1】四边形ABCD对角线互相平分，要使它成为矩形，需添加条件（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个
条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB
【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥AD，
∴BC∥DE，
∴四边形DBCE是平行四边形
A、∵AB＝BE时，AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°时，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵BE⊥AB，AB∥CD，
∴BE⊥CD，
∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
题型03 矩形的判定证明
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，延长BC至点F，延长CB至点E，且BE＝CF，DE＝AF．求证：
平行四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
∵BE＝CF，CF+BC＝BF，BE+BC＝CE，
∴BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
{AB=CD
)
BF=CE ，
AF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS），
∴∠ABF＝∠DCE．
∵∠ABF+∠DCE＝180°，
∴∠ABF＝∠DCE＝90°，
∴ ABCD是矩形．
【变式1】已知：如图，在 ABCD中，M是AD边的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．
▱
▱
【答案】证明见解答．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∵M是AD边的中点，
∴AM＝BM，
在△ABM和△DCM中，
{AM=DM
)
AB=DC ，
MB=MC
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠D＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【变式2】如图，已知 ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．求证：四
边形BECD是矩形．
▱
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∴BE∥CD，∵BE＝AB，
∴BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝DE，
∴BC＝DE，
∴四边形BECD是矩形．
【变式3】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且OB＝2OC，点E、F分别为线段OB、
OD的中点，连接AE、EC、CF、FA，求证：四边形AECF是矩形．
▱
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA，OD＝OB，
∵点E、F分别为线段OB、OD的中点，
∴OB＝2OE，OD＝2OF，
又∵OB＝2OC，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴OA+OC＝OE+OF，
即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形．
题型04 矩形的判定与性质
【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E，点F在边AD上，且DF＝
BE．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若BF平分∠ABC，且BE＝3，AB＝7，求线段BF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）BF的长是2❑√35．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，
∴AB＝AF＝7，
∵AD＝BC，AF＝CE，
∴DF＝BE＝3，
∴AD＝BC＝AF+DF＝10，
∴AE=CF=❑√AB2−BE2=❑√40=2❑√10．
在Rt△BFC中，BF=❑√BC2+CF2=❑√140=2❑√35，即BF的长是2❑√35．
【变式1】如图，点E是 ABCD对角线AC上的点（不与A，C重合），连接BE，过点E作EF⊥BE交
CD于点F．连接BF交AC于点G，BE＝AD，∠FEC＝∠FCE．
▱
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若点E为AC的中点，请直接写出图中和∠EBA相等的角．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠BAE、∠DCA、∠FEC、∠EBF、∠CBF．
【解答】（1）证明：点E是 ABCD对角线AC上的点，BE＝AD，
∴AD＝BC＝BE，
▱
∴∠ECB＝∠CEB，
∵∠FEC＝∠FCE，
∴∠FEC+∠CEB＝∠FCE+∠BCE，
∴∠BEF＝∠BCF，
∵EF⊥BE交CD于点F，
∴∠FEB＝∠BCD＝90°，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵ ABCD是矩形，点E为AC的中点，
▱
▱1
∴BE＝AE＝CE= AC，
2
∴∠EBA＝∠BAE＝∠DCA＝∠FEC，，
∴BE＝CE＝BC，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠EBA＝30°，
∵EF＝CF，BE＝BC，BF＝BF，
∴△EBF△≌CBF（SSS），
1
∴∠EBF＝∠CBF= ∠CBE=30°=∠EBA，
2
即和∠EBA相等的角有∠BAE、∠DCA、∠FEC、∠EBF、∠CBF．
【变式2】如图，在 ABCD中，点O为边AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接AE，
BD，∠BDC＝90°．
▱
（1）求证：四边形ABDE是矩形；
（2）连接OC．若AB=2，BD=2❑√5，求OC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）OC的长为❑√14．
【解答】（1）证明：∵O为AD的中点，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAO＝∠EDO，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴△AOB≌△DOE（ASA），
∴AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝90°，
∴平行四边形ABDE是矩形；
（2）解：如图，过点O作OF⊥DE于点F，∵四边形ABDE是矩形，
1 1
∴DE＝AB＝2，OD= AD，OB＝OE= BE，AD＝BE，
2 2
∴OD＝OE，
∵OF⊥DE，
1
∴DF＝EF= DE＝1，
2
∴OF为△BDE的中位线，
1
∴OF= BD=❑√5，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝2，
∴CF＝CD+DF＝3，
在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC=❑√CF2+OF2=❑√32+(❑√5) 2=❑√14，
即OC的长为❑√14．
【变式3】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为OB延长线上一点，且BE＝OB，F为
OD延长线上一点，且DF＝OD，连接AE，EC，CF，FA．
▱
（1）当OA＝2BO时，求证：四边形AECF是矩形；
5
（2）当AO⊥OE，AO= ，EO＝6时，求四边形AECF的周长．
2
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）26．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OB＝BE，DO＝DF，且OB＝OD，
∴OB+BE＝OD+DF，∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵OA＝2OB，OE＝2OB，
∴OA＝OE，
∴OA+OC＝OE+OF，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）∵四边形AECF是平行四边形，且OA⊥OE，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝FA，
5
在RT△AOE中，OA= ，EO＝6，
2
√ 5 13
由勾股定理得：AE=❑√AO2+OE2=❑( ) 2+62= ，
2 2
∴四边形AECF周长为：AE+EC+CF+FA＝4AE＝26．
故答案为：26．
1．要用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架
的两对角线长就可以判断，其推理依据（ ）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的四个角都是直角
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故D选项符合题意．
故选：D．
2．在 ABCD中，添加下列一个条件，不能判定该四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．BC⊥CD D．AC＝BD
▱
【答案】B
【解答】解：A、在平行四边形中，∠A+∠B＝180°，若∠A＝∠B，则∠A＝90°，故四边形为矩形，不
符合题意；
B、在平行四边形中，∠A＝∠C，无论是否为矩形均成立，因此无法判定为矩形，符合题意；
C、若BC⊥CD，则∠C＝90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定为矩形，不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故AC＝BD可直接判定为矩形，不符合题意；
故选：B．
3．活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测
量方案正确的是（ ）
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【解答】解：∵三个角是直角的四边形是矩形，
∴选项A正确，
故选：A．
4．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A、∵AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定为矩形，故选项A符合题意；
B、∵∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A＝90°，∴平行四边形ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝5，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．在下列条件中，能够判定四
边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝AC B．AB＝AD C．OA＝OB D．AC⊥BD
【答案】C
【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故C选项符合题意，
由AB＝AC无法判断平行四边形ABCD是矩形，故A选项不符合题意，
由AB＝AD，可以判断平行四边形ABCD是菱形，故B选项不符合题意，
由AC⊥BD，可以判断平行四边形ABCD是菱形，故D选项不符合题意，
故选：C．
6．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
【答案】D
【解答】解：如图：
A、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
故选：D．
7．如图，在四边形AOCB中，OA⊥OC，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝3，OC＝12，则四边形AOCB的面积
是（ ）
45❑√3
A． B．45❑√3 C．90❑√3 D．100
2
【答案】A
【解答】解：过B作BH⊥OC于H，
∵∠A＝90°，OA⊥OC，
∴OH＝AB＝3，
又OC＝12，
∴CH＝9，
∵∠C＝30°，BH⊥OC，
∴BC＝2BH，
∵BH2+HC2＝BC2，
∴BH2+92＝（2BH）2，
∴BH=3❑√3（负值舍去），
1 45❑√3
∴四边形AOCB的面积是 ×(3+12)×3❑√3= ，
2 2
故选：A．
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝2AD＝10，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，DE，则线段DE的长是（ ）
A．5❑√3 B．4❑√3 C．2❑√5 D．8
【答案】A
【解答】解：如图，连接DF，
∵BC＝2AD＝10，点F是BC的中点，
∴AD＝BF＝CF＝5，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴EF＝BE＝AE，
∵∠B＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF＝BF＝BE＝5，∠BEF＝60°，
∴AB＝10，
∵AD∥BF，AD＝BF，
∴四边形ADFB是平行四边形，
∴DF＝AB＝10，
∵AD∥BC，∠B＝60°，
∴∠DAE＝120°，
∵AE＝BE＝BF＝AD，
∴∠AED＝∠ADE＝30°，
∴∠DEF＝90°，
∴DE=❑√DF2−EF2=5❑√3，故选：A．
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的动点且EF＝CD，O为EF的中点，OQ⊥AD于点
Q，OP⊥AB于点P，连接PQ．若AB＝4，AD＝6，则PQ的最小值为（ ）
A．❑√13 B．3❑√5−3 C．5 D．2❑√13−2
【答案】D
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接OA，OC，AC，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
由勾股定理得：AC=❑√AB2+BC2=❑√42+62=2❑√13，
∵EF＝CD，O为EF的中点，∠BCD＝90°，
1
∴EF＝CD＝4，OC= EF=2，
2
∴OA≤AC−OC=2❑√13−2，
∵OQ⊥AD，OP⊥AB，
∴四边形APOQ是矩形，
∴OA＝PQ，
∴当点O在AC上时，OA=AC−OC=2❑√13−2最小，即PQ=OA=2❑√13−2最小，
故选：D．
10．已知平面直角坐标系中，有两点A（a，0），B（0，b），且满足b=❑√a−3+❑√3−a+4，P为AB上一
动点（不与 A，B重合），PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF的最小值为
（ ）12
A． B．3 C．4 D．5
5
【答案】A
【解答】解：如图，连接OP，
∵b=❑√a−3+❑√3−a+4，
∴a﹣3≥0，3﹣a≥0，
∴a＝3，
∴b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√32+42=5，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，
∴∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
当OP⊥AB时，OP最小，EF也最小，
OA⋅OB 3×4 12
此时，OP= = = ，
AB 5 5
12
∴EF的最小值为 ，
5
故选：A．
11．如图，在平行四边形ABCD中，增加一个条件后，平行四边形 ABCD就成为矩形，这个条件可以是
∠ ABC ＝ 90 ° （答案不唯一） ．
【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
添加∠ABC＝90°，平行四边形ABCD就成为矩形；故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
1
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，过点A作AE∥BC，且AE= BC，连接
2
CE，则四边形ADCE的面积是 8❑√21 ．
【答案】8❑√21
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC，
1 1
∴CD= BC= ×8=4，AD⊥BC，
2 2
∴∠ADC＝90°，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AD=❑√AC2−CD2=❑√102−42=2❑√21，
1
∵AE= BC=CD，AE∥BC，
2
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形，
∴矩形ADCE的面积=AD×CD=2❑√21×4=8❑√21．
故答案为：8❑√21．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于
F，M为EF的中点，则PM的最小值为 1. 2 ．
【答案】1.2．
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC=❑√AB2+AC2=❑√32+42=5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
1
∴PM= AP，
2
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
3×4
∴当AP⊥BC时，AP= =2.4，
5
∴AP最短时，AP＝2.4，
1
∴当PM最短时，PM= AP＝1.2．
2
故答案为：1.2．
14．如图，在矩形 ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形
ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快 4 s后，四边形ABPQ成为矩形．
【答案】4
【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
15．如图，△ABC中∠B=45°，AB=2❑√6，DE是△ABC的中位线，点P为射线ED上的一个动点（不
与点E重合），作PF∥AC交BC边于点F，连结AP，EF．若在ED延长线上（可以与点D重合）存在
一点P，使得四边形AEFP为矩形，则∠ACB度数的取值范围为 45 ° ≤∠ ACB ≤ 67.5 ° ．
【答案】45°≤∠ACB≤67.5°．
【解答】解：如图1所示，当点F在B处时，
∵四边形AEFP是矩形，
∴BE⊥AC，
∵AE＝CE，
∴AB＝BC，
180°−∠ABC
∴∠ACB＝∠BAC= =67.5°，
2
如图2所示，
当点P在点D处时，
连接AF，
∵四边形AEFP是矩形，
∴PE＝AF＝2OP＝2OE＝2OA＝2OF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴BF＝2OD，CF＝2OE，
∴AF＝BF＝CF，
∴∠BAF＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠FAC，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ACB＝∠FAC＝45°，
∴45°≤∠ACB≤67.5°，
故答案为：45°≤∠ACB≤67.5°．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点E为AD中点，过点A作AF∥BC，交BE的
延长线于点F，连接CF．
求证：四边形ADCF为矩形．【答案】见解析．
【解答】证明：∵点E为AD中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF与△DEB中，
{∠AEF=∠DEB
)
∠AFE=∠DBE ，
AE=DE
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴∠ADC＝90°，AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且
AE＝CF．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若EF＝AD，求证：四边形EGFH是矩形．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH＝DH，
∵AE＝CF，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
（2）如图，连接EF，
∵△AGE≌△CHF，
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵AG＝DH，AB∥CD，
∴四边形AGHD是平行四边形，
∴AD＝GH，
∵EF＝AD，
∴EF＝GH，
∴四边形EGFH是矩形．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，BC的中点．延长ED至点F，使得DF＝ED，连
接AE，AF，BF．
（1）求证：四边形AEBF是矩形．
（2）若AB平分∠FAC，AF＝1，求四边形ACEF的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）❑√3．
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DF＝ED，∴四边形AEBF是平行四边形，
∵AB＝AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴平行四边形AEBF是矩形；
（2）解：∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE∥AC，DE= AC，
2
由（1）可知，四边形AEBF是矩形，
∴AF∥BE，
∴四边形ACEF是平行四边形，∠BAF＝∠ABC，
∴CE＝AF＝1，
∴BC＝2CE＝2，
∵AB平分∠FAC，
∴∠BAF＝∠BAC，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴AC＝BC＝2，
由（1）可知，AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴AE=❑√AC2−CE2=❑√22−12=❑√3，
∴平行四边形ACEF的面积＝CE•AE＝1×❑√3=❑√3．
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，
OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
1
（2）解：由条件可知：AE= AD=5，
2
∵∠EFA＝90°，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF=❑√52−42=3．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝10，
1
∴OE= AB＝5，
2
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG＝OE＝5，
∴BG＝10﹣3﹣5＝2．
故答案为：OE＝5，BG＝2．
20．活动课上，老师给同学们发了一张平行四边形 ABCD的纸片（BD＞AC），要求利用尺规作图，在
BC、AD上各找一点E、F，使四边形AECF为矩形．
（1）某数学小组想出以下两种方法，请选择其中一种作法，证明其正确性．
思路一 思路二
作图步 过点 A作AE⊥BC 于点 E，在 AD上作 AF＝ 连接 AC、BD交于点 O，以点 O为圆心，以
骤 CE．则四边形AECF即为所求． OA为半径画弧，分别交BC、AD边于点E、
F．则四边形AECF为所求．
作图痕
迹
我选择思路 一 ，理由如下：
（2）数学小组将作出的矩形AECF纸片，剪下来，提出了一个新问题：
如图3，点O是矩形AECF对角线AC、EF的交点，过点O作GH⊥EF分别交AF、EC于点G、H，连
接GE、FH，若AE＝6，AF＝8，求四边形GEHF的周长．【答案】（1）思路一：
由作图可知，AD⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）四边形GEHF的周长为25．
【解答】解：（1）思路一：
由作图可知，AD⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）∵四边形AECF是矩形，
∴∠EAF＝90°，OA＝OC，OE＝OF，AF∥CE，
∴∠OAG＝∠OCH，
∵∠AOG＝∠COH，
∴△AOG≌△COH（ASA），
∴OG＝OH，
∴四边形GEHF是平行四边形，
∵GH⊥EF，
∴四边形GEHF是菱形，
∴EG＝GF＝FH＝EH，
设EG＝GF＝FH＝EH＝x，则AG＝8﹣x，
∵AE2+AG2＝EG2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，25
解得：x= ，
4
25
∴EG=GF=FH=EH= ，
4
∴四边形GEHF的周长为25．
