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第 05 讲 因式分解法
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的方法，并能够熟练利用因式分解法来解一元
二次方程。
①用因式分解法解一元二次方程
2. 掌握整体法（换元法）并能够熟练用其解方程。
②整体法（换元法）解方程
3. 熟练掌握解一元二次方程的所有方法，在解方程时能够选择
合适的方法解方程。
知识点01 因式分解解一元二次方程
1. 因式分解解一元二次方程的定义：
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于0的形式，在使两个一次式分别等
于0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若 ，则A＝ 0 ，B＝ 0 。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法： ；
②公式法：平方差公式： ；完全平方公式： ；
③十字相乘法：分解 ，若 且 ，则 。
3. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练1】
1．因式分解：2a2b+6ab2＝ 2 a b （ a + 3 b ） ．
【分析】利用提取公因式法即可得结论．
【解答】解：2a2b+6ab2＝2ab（a+3b）．
故答案为：2ab（a+3b）．
2．分解因式：9a2﹣16b2＝ （ 3 a + 4 b ）（ 3 a ﹣ 4 b ） ．
【分析】先把9a2，16b2写成（3a）2，（4b）2，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：9a2﹣16b2
＝（3a）2﹣（4b）2
＝（3a+4b）（3a﹣4b），
故答案为：（3a+4b）（3a﹣4b）．
3．分解因式4x2﹣4x+1＝ （ 2 x ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2分解即可．
【解答】解：4x2﹣4x+1＝（ 2x﹣1）2．
4．分解因式：x2+x﹣12＝ （ x + 4 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可得到结果．
【解答】解：原式＝（x+4）（x﹣3）．
故答案为：（x+4）（x﹣3）
【即学即练2】
5．用因式分解法解下列方程：
（1）x2﹣4x＋3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x＋3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝3，x ＝1；
1 2
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
∴x ＝3，x ＝1．
1 2
6．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x ＝1，x ＝0．
1 2
知识点02 整体法（换元法）解方程
1. 整体法（换元法）解方程：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
例题讲解：【例】解方程 ．
解：设 ，则原方程可化为 ．
解得 ．
当y=1时，即x-1=1，解得x=2；
当y=4时，即x-1=4，解得x=5．
所以原方程的解为x =2，x =5．
1 2
【即学即练1】
7．提出问题：
为解方程x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令x2＝y，于是原方程可转化为y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得y ＝4，
1
y ＝﹣1（不符合要求，舍去）．
2
当y ＝4时，x2＝4，x＝±2．
1
∴原方程的解为x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
【分析】设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出y的值，再代入x2﹣2＝y求出x即可．
【解答】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0，
设x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，
（y﹣6）（y﹣7）＝0，
y﹣6＝0或y﹣7＝0，解得，：y ＝6，y ＝7，
1 2
当 x2﹣2＝6 时， ；
当 x2﹣2＝7 时，x＝±3，
所以原方程的解为x ＝2 ，x ＝﹣2 ，x ＝3，x ＝﹣3．
1 2 3 4
题型01 利用因式分解法解一元二次方程
【典例1】一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（ ）
A．x ＝3，x ＝1 B．x ＝2，x ＝0
1 2 1 2
C．x ＝3，x ＝﹣2 D．x ＝﹣2，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式解方程即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
则x＝0或x﹣2＝0，
解得：x ＝2，x ＝0．
1 2
故选：B．
【变式1】一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝5 B．x ＝2，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝﹣5 D．x ＝﹣2，x ＝﹣3
1 2 1 2
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝1，x ＝5，
1 2
故选：A．
【变式2】方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x ＝2，x ＝1 B．x ＝2，x ＝﹣2
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝2，x ＝﹣1
1 2 1 2
【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣2﹣2x
＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，x﹣2＝0或x﹣2﹣2x＝0，
所以x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
故选：B．
【变式3】解方程
（1） ； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）．
【分析】（1）先移项，然后利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）x（5x+2）＝6（5x+2），
x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（x﹣6）（5x+2）＝0，
x﹣6＝0或5x+2＝0，
∴ ．
【变式4】解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
（2）先移项得到2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或2x﹣2﹣1＝
0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x ＝2，x ＝1；
1 2
（2）x﹣1＝2（x﹣1）2，
2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0，
x﹣1＝0或2x﹣2﹣1＝0，所以x ＝1，x ＝ ．
1 2
题型02 用整体法（换元法）解方程
【典例1】已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝
1 2
0，它的解是（ ）
A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3
【分析】先根据已知方程和方程的解，从而得到方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0中的2x+3相当于第1
个方程中的x，从而得到2x+3＝1和2x+3＝﹣3，解方程即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x ＝1，x ＝﹣3，
1 2
∴方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，
2x+3＝1，2x+3＝﹣3，
2x＝﹣2，2x＝﹣6，
x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
故选：C．
【变式1】已知关于x的一元二次方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程a（x+1
﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2
【分析】根据方程a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，得到x+1＝﹣2，或x+1＝3，即
可求解．
【解答】解：∵a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，
∴a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）中，x+1＝﹣2，或x+1＝3，
解得：x＝﹣3或x＝2，
故选：C．
【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0 的解为 x ＝1，x ＝4，则关于 y 的一元二次方程
1 2
的解为 y ＝ 1 ， y ＝ 7 ．
1 2
【分析】设t＝ ，则原方程可化为at2+6t﹣4＝0，根据关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为
x ＝1，x ＝4，得到t ＝1，t ＝4，于是得到结论．
1 2 1 2
【解答】解：设t＝ ，
则原方程可化为at2+6t﹣4＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2+6x﹣4＝0的解为x ＝1，x ＝4，
1 2
∴t ＝1，t ＝4，
1 2∴ ＝1或 ＝4，
解得y ＝1，y ＝7．
1 2
故答案为：y ＝1，y ＝7．
1 2
【变式3】阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2
﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为y2﹣5y+4＝0．①
解得y ＝1，y ＝4
1 2
当y＝1时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝± ；
当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± ．
∴原方程的解为x ＝ ，x ＝﹣ ，x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2 3 4
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现了 换元
的数学思想．
（2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据换元法可以解答此方程．
【解答】解：（1）由题意可得，
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元、换元；
（2）x4﹣x2﹣12＝0，
令a＝x2，则原方程可化为：a2﹣a﹣12＝0，
解得，a＝﹣3或a＝4，
∴x2＝﹣3（舍去），x2＝4，
解得，x ＝2，x ＝﹣2，
1 2
故原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
【变式4】阅读下列材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝t，则
（x2）2＝t2，原方程化为t2﹣t﹣6＝0①，解①得t ＝﹣2，t ＝3．当t ＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；
1 2 1
当t ＝3时，x2＝3，解得 ；∴原方程的解为 ；
2
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0时，新字母设为t，则t＝ x 2 ﹣ x ，原方程化
为 t 2 ﹣ 4 t ﹣ 1 2 ＝ 0 ，解得t＝ 6 或﹣ 2 ．
（2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0的解．
【分析】（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0，利用因式分解法求解即可．（2）根据t＝6，t＝﹣2，转化为方程x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设t＝x2﹣x，于是原方程变形为t2﹣4t﹣12＝0，
解得t＝6，t＝﹣2，
故答案为：x2﹣x，t2﹣4t﹣12＝0；6或﹣2．
（2）根据题意，得t＝6，t＝﹣2，方程转化为x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，
故x2﹣x﹣6＝0，
解得x ＝3，x ＝﹣2；
1 2
当x2﹣x+2＝0时，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＜0，方程无解，
故原方程的解为x ＝3，x ＝﹣2．
1 2
题型03 利用整体法（换元法）求式子的值
【典例1】若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【分析】先根据平方差公式进行计算，求出（a+b）2＝16，再方程两边开方即可．
【解答】解：（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，
（a+b）2﹣1＝15，
（a+b）2＝16，
开方得：a+b＝±4，
故选：B．
【变式1】已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则x2+y2＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣2或3 D．﹣3或2
【分析】设x2+y2＝a，原方程可化为a2﹣a﹣6＝0，利用因式分解分求出a的值，进而得出x2+y2的值．
【解答】解：（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，
（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0，
设x2+y2＝a，
原方程可化为a2﹣a﹣6＝0，
则（a﹣3）（a+2）＝0，
a﹣3＝0或a+2＝0，
解得a＝3或a＝﹣2（不合题意），
故x2+y2＝3．
故选：B．
【变式2】若实数x满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式3x2+6x+2011的值是 202 3 ．
【分析】设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，解方程求出a，再把所求代数式的前两项提取公
因数3，再把x2+2x的值整体代入，进行计算即可．【解答】解：设x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，
a2﹣2a﹣8＝0，
（a﹣4）（a+2）＝0，
a﹣4＝0，a+2＝0，
a ＝4，a ＝﹣2，
1 2
∴x2+2x的值为4或﹣2，
当x2+2x＝4时，
3x2+6x+2011
＝3（x2+2x）+2011
＝3×4+2011
＝12+2011
＝2023，
∵x2+2x≥﹣1，
代数式3x2+6x+2011的值是2023，
故答案为：2023．
【变式3】若实数x满足2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则x2﹣x+1＝ 3 ．
【分析】首先假设x2﹣x＝y，得出方程等于y2﹣y﹣6＝0，进而求出y即可．
【解答】解：假设x2﹣x＝y，则原方程可化为：2y2﹣y﹣6＝0，
∴（2y+3）（y﹣2）＝0，
∴y ＝ ，y ＝2，
1 2
即x2﹣x＝ 或2．
当x2﹣x＝ 时，x2﹣x+1＝ ，即x2﹣x+ ＝0，Δ＝1﹣10＜0，原方程没有实数根，故不合题意，舍
去；
当x2﹣x＝2时，x2﹣x+1＝3，
故答案为：3．
【变式4】若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，则a+b+4＝ 6 ．
【分析】设y＝a+b，由原方程得到：y2﹣4y+4＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：设y＝a+b，则由原方程得到：y2﹣4y+4＝0，
整理，得（y﹣2）2＝0．
所以y ＝y ＝2．
1 2
所以a+b＝2．
所以a+b+4＝2+4＝6．故答案为：6．
题型04 解含有绝对值的方程
【典例1】阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x ＝5，x ＝﹣2（舍去）；
1 2
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x ＝﹣5，x ＝2（舍去）．
3 4
综上所述，原方程的解是x ＝5，x ＝﹣5．
1 2
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．
【分析】讨论：当x+1≥0，原方程可化为x2﹣（x+1）﹣1＝0，当x+1＜0，原方程可化为x2+（x+1）﹣
1＝0，然后分别利用因式分解法解方程，从而得到满足条件的x的值．
【解答】解：当x+1≥0，即x≥﹣1时，
原方程可化为x2﹣（x+1）﹣1＝0，
即x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
当x+1＜0，即x＜﹣1时，
原方程可化为x2+（x+1）﹣1＝0，
即x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0或x+1＝0，
解得x ＝0（舍去），x ＝﹣1（舍去），
1 2
综上所述，原方程的解是x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
【变式1】阅读下面的例题与解答过程：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当x≥0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x ＝2，x ＝﹣1（舍去）；
1 2
当x＜0时，x2+x﹣2＝0，解得x ＝﹣2，x ＝1（舍去）．
3 4
∴原方程的解是x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一
种重要思想——分类讨论思想．
请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．【分析】（1）当x≥0时，|x|＝x，当x＜0时，|x|＝﹣x．
（2）当x≥1时，|x﹣1|＝x﹣1，当x＜1时，|x﹣1|＝1﹣x．
【解答】解：（1）当x≥0时，x2﹣2x＝0，解得x ＝0，x ＝2；
1 2
当x＜0时，x2+2x＝0，解得x ＝﹣2，x ＝0（舍去）；
3 4
∴原方程的解为x ＝0，x ＝2，x ＝﹣2；
1 2 3
（2）当x≥1时，x2﹣2x﹣4x+4+5＝0，即x2﹣6x+9＝0，解得x ＝x ＝3，
1 2
当x＜1时，x2﹣2x+4x﹣4+5＝0，即x2+2x+1＝0，解得x ＝x ＝﹣1，
3 4
∴原方程组的解为x ＝x ＝3，得x ＝x ＝﹣1．
1 2 3 4
题型05 用合适的方法解一元二次方程
【典例1】用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣3x+2＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣8＝0，
2（x﹣1）2＝8，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x ＝3，x ＝﹣1；
1 2
（2）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
x ＝1，x ＝2．
1 2
【变式1】解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先把方程变形得到（2x+3）2＝25，再把方程两边开方得到2x+3＝±5，然后解两个一次方
程即可；
（2）先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程没有实数解．
【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0，
（2x+3）2＝25，
2x+3＝±5，
所以x ＝1，x ＝﹣4；
1 2
（2）3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×2＝﹣8＜0，
∴方程没有实数解．
【变式2】解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x﹣1＝0； （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）．
【分析】（1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解一元二次方程先移项再提公因式，令每个因式为0，即可作答．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣1＝0，
则x2﹣6x＝1，
那么x2﹣6x+9＝1+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
解得 ，
即 ．
（2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），
3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（3x+2）（x﹣2）＝0，
解得3x+2＝0，x﹣2＝0，
即 ．
【变式3】解一元二次方程：
（1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9．
【分析】（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解
即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0，
移项，得x2﹣6x＝﹣3，
配方，得x2﹣6x+32＝﹣3+32，
（x﹣3）2＝6，
开方，得x﹣3＝± ，
解得：x ＝3+ ，x ＝3﹣ ；
1 2
（2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9，
（2x﹣1）2＝（x+3）2，
开方得：2x﹣1＝±（x+3），
2x﹣1＝x+3或2x﹣1＝﹣（x+3），
解得：x ＝4，x ＝﹣ ．
1 21．方程x2﹣8x＝0的解是（ ）
A．x ＝0 x ＝8 B．x＝8 C．x＝0 D．无解
1 2
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：x（x﹣8）＝0，
x＝0，x﹣8＝0，
x ＝0，x ＝8，
1 2
故选：A．
2．已知一元二次方程的两根分别为x ＝3，x ＝﹣4；则这个方程为（ ）
1 2
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
【解答】解：∵方程两根分别为x ＝3，x ＝﹣4，
1 2
∴x +x ＝3﹣4＝﹣1，x x ＝﹣12，
1 2 1 2
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选：A．
3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个
不对，第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．
【解答】解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第
三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．
所以第一个正确．
故选：A．
4．关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以（x﹣1）得 整理得x2﹣4x＝﹣3 整理得x2﹣4x＝﹣3， 移项得x（x﹣1）﹣3（x
∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣x＝3 3， 配方得x2﹣4x+2＝﹣1， ﹣1）＝0，
∴b2﹣4ac＝28， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝
∴x﹣2＝±1，
0，
∴x＝ ＝2± ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝1，x ＝3
1 2
， ∴x ＝1，x ＝3
1 2
∴x ＝2+ ，x ＝2﹣
1 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解；
乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误；
丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一般的平方；
丁利用解一元二次方程﹣因式分解法，计算正确；
故选：D．
5．关于x的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则x2+x的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
【分析】设x2+x＝t，求出t的值，进而可得出结论．
【解答】解：设x2+x＝t，则此方程可化为t2+2t﹣3＝0，
∴（t﹣1）（t+3）＝0，
∴t﹣1＝0或t+3＝0，
解得t ＝1，t ＝﹣3，
1 2
∴x2+x的值是1或﹣3．
当x2+x＝﹣3时，x2+x+3＝0，
∵Δ＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解，
∴x2+x的值是1．
故选：B．
6．对于实数a，b定义运算“※”为a×b＝a+b2，例如3※2＝3+22＝7，则关于x的方程x※（x+1）＝5的
解是（ ）
A．x＝﹣4 B．x＝﹣1
C．x ＝﹣1，x ＝4 D．x ＝1，x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：由题意，可得：x+（x+1）2＝5，
整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣4．
1 2故选：D．
7．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．﹣11 B．13 C．11或8 D．11和13
【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三
角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x ＝2，x ＝4．
1 2
因为三角形两边的长分别为3和6，所以第三边的长必须大于3，
故周长＝3+6+4＝13．
故选：B．
8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【分析】因式分解法可求x ＝m+2，x ＝m﹣2，再根据x ＝2x +3，可得关于m的方程，解方程可求m
1 2 1 2
的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x ＞x ，
1 2
∴x ＝m+2，x ＝m﹣2，
1 2
∵x ＝2x +3，
1 2
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣2或1
【分析】将x2﹣x看作一个整体，再用换元法解方程求出x2﹣x的值即可．
【解答】解：设x2﹣x＝y，则原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0，
解得y＝﹣2，y＝6；
当y＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故y＝﹣2不合题意，舍
去；
当y＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故y的值为6；
∴x2﹣x+1＝y+1＝6+1＝7．
故选：A．10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为
例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为
（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，
它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方
程 x2﹣4x﹣21＝0 时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S 正确的是
（ ）
A． S＝21+4＝25
B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25
D． S＝21﹣4＝17
【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答．
【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0
x2﹣4x+4＝21+4
（x﹣2）2＝25
正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25，
故选：C．
11．如果3x2+6x﹣8的值与2x2﹣1的值相等，则x＝ ﹣ 7 或 1 ．
【分析】根据题意得到方程3x2+6x﹣8＝2x2﹣1，求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意得：3x2+6x﹣8＝2x2﹣1，
∴x2+6x﹣7＝0，
分解因式得：（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0，x﹣1＝0，
解方程得：x ＝﹣7，x ＝1．
1 2
故答案为：﹣7或1．
12．若实数x满足 ，则 ＝ 3 ．
【分析】利用换元法设x+ ＝t，解t2﹣2t﹣3＝0即可，注意t＞0．
【解答】解；设x+ ＝t，则（x+ ）2＝x2+ +2，x2+ ＝t2﹣2
原方程变为
t2﹣2t﹣3＝0
解得t ＝3，t ＝﹣1（不合题意舍去）
1 2
∴x+ ＝3．
13．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形
的面积是 2 4 或 8 ．
【分析】由x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x＝6时，是等腰三角形；与x
＝10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵x2﹣16x+60＝0，
∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，
解得：x ＝6，x ＝10，
1 2
当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，
∴BD＝4，AD＝ ＝2 ，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×8×2 ＝8 ；
当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC ＝ BC•AC＝ ×8×6＝24．
∴该三角形的面积是：24或8 ．
故答案为：24或8 ．14．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
【分析】先解方程得出x ＝6，x ＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出
1 2
菱形的另一条对角线为 ，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝6，x ＝3，
1 2
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为 ，
∴菱形的面积为 ，
故答案为： ．
15．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣
3，按照这个规定，方程min{x，x﹣1}＝x2﹣3的解为 x ＝ 2 ， x ＝﹣ 1 ．
1 2
【分析】根据题意可得：x﹣1＝x2﹣3从而整理可得：x2﹣x﹣2＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分
解法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵min{x，x﹣1}＝x2﹣3，
∴x﹣1＝x2﹣3，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
故答案为：x ＝2，x ＝﹣1．
1 2
16．选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5＝0（公式法）；
（4）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣ ）2＝ ，然后根据直接开平方法求解；（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；
（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣5x＝﹣1，
x2﹣5x+（ ）2＝﹣1+（ ）2，
（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝± ，
所以x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
所以x ＝2，x ＝3；
1 2
（3）△＝（﹣2 ）2﹣4×2×（﹣5）＝48
x＝ ＝ ＝ ，
所以x ＝ ，x ＝ ；
1 2
（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，
y+2+3y﹣1＝0或y+2﹣3y+1＝0，
所以y ＝﹣ ，y ＝ ．
1 2
17．T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a）
（1）化简T；
（2）若a是方程x2+3x﹣4＝0的一个根，求T的值．
【分析】（1）利用乘法公式进行计算即可；
（2）把x＝a代入已知方程，得到a2+3a＝4，然后代入化简后的T中求值即可．
【解答】解：（1）T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a）
＝a2+6a+9﹣（4﹣a2）
＝a2+6a+9﹣4+a2
＝2a2+6a+5；
（2）∵a是方程x2+3x﹣4＝0的一个根，
∴a2+3a﹣4＝0，即：a2+3a＝4，∴T＝2a2+6a+5＝2（a2+3a）+5＝2×4+5＝13．
18．已知关于x的方程x2+bx+c＝0可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．
下面通过列表探究x2﹣8x+4＝0的变形：
变形 m n p
x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4
（x﹣4）2＝12 4 4 12
（x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3
（x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13
（1）依据表格解答：
①求表格中t的值．
②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系；
（2）记x2+bx+c＝0的两种变形为（x﹣m ）（x﹣n ）＝p 和（x﹣m ）（x﹣n ）＝p （p ≠p ），求
1 1 1 2 2 2 1 2
的值．
【分析】（1）①把x2﹣8x+4＝0两边加上3，然后把方程左边分解因式，从而得到t的值；
②m与n的和等于一次项系数﹣8的相反数；
（2）把（x﹣m ）（x﹣n ）＝p 和（x﹣m ）（x﹣n ）＝p 化为一般式得到m n ﹣p ＝m n ﹣p ，所以
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
p ﹣p ＝m n ﹣m n ，从而得到所求代数式的值．
1 2 1 1 2 2
【解答】解：（1）①x2﹣8x+4＝0，
x2﹣8x+7＝3，
（x﹣1）（t﹣7）＝3，
所以t＝7；
②m+n＝8；
（2）∵（x﹣m ）（x﹣n ）＝p ，
1 1 1
∴x2﹣（m +n ）x+m n ＝p ，
1 1 1 1 1
即x2﹣（m +n ）x+m n ﹣p ＝0，
1 1 1 1 1
同理可得x2﹣（m +n ）x+m n ﹣p ＝0，
2 2 2 2 2
∴c＝m n ﹣p ＝m n ﹣p ，
1 1 1 2 2 2
∴p ﹣p ＝m n ﹣m n ，
1 2 1 1 2 2
∴ ＝1．
19．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次
方程来解．例如：解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y ＝1，y ＝2．
1 2
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x ＝1，x ＝﹣1，x ＝2，x ＝﹣2．
1 2 3 4
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程： ﹣ ＝1．
（3）若实数x满足x2+ ﹣3x﹣ ＝2，求x+ 的值．
【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解
之即可；
（2）设 ＝m，则原方程可化为m﹣ ＝1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得 ＝﹣1、
＝2，解之即可；
（3）设x+ ＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得．
【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，
即（a﹣1）（a﹣9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3；
（2）设 ＝m，则原方程可化为m﹣ ＝1，即m2﹣m﹣2＝0，
∴（m+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
当m＝﹣1时， ＝﹣1，即x2+x+1＝0，由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解；
当m＝2时， ＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣ ，
经检验x＝1和x＝﹣ 都是原分式方程的解；（3）设x+ ＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，
∴（y+1）（y﹣4）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝4，
即x+ ＝﹣1（方程无解，舍去）或x+ ＝4，
故x+ ＝4．
20．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图 1可以得到
（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题：
若x满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2的值．
解：设32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a•b＝100，
∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，
∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【类比应用】
（1）若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 2 0 ；
（2）若x满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值；
【迁移应用】
（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一
直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC +S△BOD ＝54，则一块三角板的面积为 2 2 ．
【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
②令a＝2024﹣x，b＝x﹣2010，从而得到a、b的和，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出
的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∵xy＝8，x+y＝6，
∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，
故答案为：20．
②令a＝2024﹣x，b＝x﹣2010，
∴a+b＝14，
∵（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，
∴a2+b2＝176
∴（a+b）2﹣2ab＝176，
∴ ，
∴（2024﹣x）（x﹣2010）＝10，
（2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为 ，
∴m+n＝14， ，即m2+n2＝108，
∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，
∴mn＝44，
∴ ，
∴一块三角板的面积是22．
故答案为：22．
