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第 08 讲 圆锥的认识与计算
课程标准 学习目标
①圆锥的认识 1. 认识圆锥以及相关概念。
②圆锥的侧面积 2. 掌握圆锥的侧面积计算公式并运用。
③圆锥的全面积 3. 掌握圆锥的全面积公式并应用。
知识点01 圆锥的认识
1. 圆锥的认识：
如图，圆锥是由一个 侧面 和一个 底面 构成。顶点C到底面圆上任
意一点的连线是圆锥的 母线 ，如的CA与CB。AB是圆锥 底面直径 ，
顶点C到底面圆心O的距离CO是圆锥的 高 。
2. 圆锥的母线长、高与底面半径的关系：
圆锥的母线长与高与底面半径构成 勾股定理 。
即：如图： 。
题型考点：①利用三者之间的关系计算。
【即学即练1】
1．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长为20cm，求圆锥的高是 。【解答】解：（1）如图所示 ，在Rt△SOA中，
SO＝ ＝10
知识点02 圆锥的侧面展开图与侧面积
1. 圆锥的侧面展开图的认识：
圆锥的侧面展开图是一个 扇形 ，这个扇形的半径等于圆
锥的 母线长 。扇形的弧长等于圆锥底面圆的 周长 。
2. 圆锥的侧面积计算：
方法1：若已知圆锥的母线长为a，底面圆的半径为r，则圆锥的侧面展开图的扇形的半径为 a
，弧长等于底面圆周长等于： ，根据已知弧长与半径可得扇形的面积为：
。
方法2：圆锥的母线长为a，侧面展开图的圆心角为n°。则侧面展开图的扇形面积为：
。
题型考点：①圆锥侧面积的计算。②侧面积公式的应用。
【即学即练1】
2．圆锥的母线长为4，底面半径为3，圆锥的侧面积为 （结果保留 ）．
【解答】解：∵圆锥的母线长为4，底面半径为3，
π
∴该圆锥的侧面积为： ×3×4＝12 ．
故答案为：12 ．
π π
【即学即练2】
π
3．已知圆锥的母线长为8cm，侧面展开图的圆心角为45°，则该圆锥的侧面积为 cm2．
【解答】解：根据题意，该圆锥的侧面积＝ ＝8 （cm2）．
故答案为8 ．
π
【即学即练3】
π
4．如图，圆锥的底面半径OB＝6，高OC＝8，则圆锥的侧面积等于 •【解答】解：∵它的底面半径OB＝6，高OC＝8．
∴BC＝ ＝10，
∴这个圆锥漏斗的侧面积是： rl＝ ×6×10＝60 ．
故答案为：60 ．
π π π
【即学即练4】
π
5．圆锥的侧面积为8 ，母线长为4，则它的底面半径为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
π
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得 ×2 r×4＝8 ，解得r＝2．
故选：A．
π π
【即学即练4】
6．若圆锥的侧面积是15 ，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是 ．
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径是为r，
π
根据题意得 ×2 ×r×5＝15 ，解得r＝3．
即该圆锥底面圆的半径是3．
π π
故答案为3．
知识点03 圆锥的全面积（表面积）计算
1. 圆锥的表面积计算：
圆锥的侧面是一个扇形，底面是一个圆。所以：
圆锥的表面积＝ 圆锥的侧面积 ＋ 圆锥的底面积 。
题型考点：①圆锥的表面积的计算。
【即学即练1】
7．已知圆锥的底面直径为20cm，母线长为90cm，则圆锥的表面积是 cm2．（结果保留 ）
【解答】解：圆锥的表面积＝10 ×90+100 ＝1000 cm2． π
故答案为：1000 ．
π π π
【即学即练2】
π
8．扇形的圆心角为150°，半径为4cm，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm2．【解答】解：∵扇形的圆心角为150°，半径为4cm，
∴扇形的弧长为 ＝ ，
π
∴圆锥的底面周长为 ，
π
∴圆锥的底面半径为 ÷2 ＝ cm，
π π
∴圆锥的表面积为 × ×4+ ×（ ）2＝ cm2．
π π
故答案为 ．
【即学即练3】
9．已知直角三角形ABC的一条直角边AB＝12cm，另一条直角边BC＝5cm，则以AB为轴旋转一周，所得
到的圆锥的表面积是（ ）
A．90 cm2 B．209 cm2 C．155 cm2 D．65 cm2
π π π π
【解答】解：圆锥的表面积＝ ×10 ×13+ ×52＝90 cm2．
故选：A．
π π π
题型01 圆周侧面积的计算
【典例1】
已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
π π π π
【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2 ×4×5＝20 ，
故选：C．
π π
【典例2】
圆锥的高为 ，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆
锥的侧面积是 （结果用含 的式子表示）．
【解答】解：∵圆锥的高为 ，π母线长为3，
∴圆锥底面圆的半径为： ，
∴圆锥底面圆的周长为：2 ．
设展开图（扇形）的圆心角是n°，
π依题意得： ，
解得：n＝120°，
圆锥的侧面积是： ．．
故答案为：120，3 ．
【典例3】
π
已知圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，则圆锥的侧面积为（ ）cm2．
A．130 B．120 C．65 D．60
【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，高线长为12cm，
π π π π
∴圆锥的底面周长＝2 ×5＝10 （cm），母线长＝ ＝13（cm），
π π
∴圆锥的侧面积＝ ×10 ×13＝65 （cm2）．
故选：C．
π π
【典例4】
已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何
体，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．12 B．15 C．20 D．24
【解答】解：∵32+42＝52，
π π π π
∴这个三角形为直角三角形，两直角边为3，4，斜边为5，
∴以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5，
∴ ×2 ×4×5＝20 ．
故选：C．
π π
题型02 圆锥的表面积计算
【典例1】
已知圆锥的母线是3cm，底面半径是1cm，则圆锥的表面积是 cm2．
【解答】解：底面半径为1cm，则底面周长＝2 cm，圆锥的侧面面积＝ ×2 ×3＝3 cm2，底面面积＝
cm2，
π π π
π ∴圆锥的表面积＝3 + ＝4 cm2．
故答案为：4 ．
π π π
【典例2】
π
如图，圆锥的底面直径AB＝6cm，OC＝4cm，则该圆锥的表面积是 2 4 cm2（结果保留 ）．
π π【解答】解：∵AB＝6cm，OC＝4cm，
∴OA＝ ＝3（cm），
∴AC＝ ＝5（cm），
∴圆锥的表面积＝S底+S侧 ＝ r2+ rl＝9 +15 ＝24 （cm2），
故答案为：24 ．
π π π π π
【典例3】
π
如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的
几何体的表面积为 1 4 ．
π
【解答】解：所得到的几何体的表面积为 ×2×3+ ×2×4＝14 ．
故答案为：14 ．
π π π
【典例4】
π
如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出
扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A．4 cm2 B．5 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
π π π π
根据题意，得 ＝ （6﹣x），
π解得x＝4，
所以圆锥的表面积＝S侧+S底 ＝ ×42 + ＝5 （cm2）．
故选：B．
π π π
题型03 底面圆的半径计算
【典例1】
如果圆锥侧面展开图的面积是15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2 R，圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2 R×5＝15 ，
∴R＝3．
π π π
故选：A．
【典例2】
将半径为4，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：设此圆锥底面圆的半径是r，
根据题意，可得 ，
解得 r＝1，
即此圆锥底面圆的半径是1．
故选：A．
【典例3】
如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．4 B．2 C．4 D．2
π π
【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4 ，
∴圆锥的底面半径为4 ÷2 ＝2．
π
故选：B．
π π【典例4】
如图，从一块半径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，那么
这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A． B． C． D．1
【解答】解：连接BC，AO，
由题意，得：∠CAB＝90°，AC＝BC，
∵A，B，C在 O上，
∴BC为 O的直径，AO＝BO＝2，BC⊥AO，
⊙
在Rt△A ⊙ BO中， ，
即扇形的半径为：
扇形的弧长：
设圆锥底面圆半径为r，
则有 ，
∴ ，
故选：C．
题型04 圆锥的高线的计算
【典例1】
已知圆锥的母线长13cm，侧面积65 cm2，则这个圆锥的高是 cm．
π【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得 •2 •r•13＝65 ，
解得r＝5，
π π
所以圆锥的高＝ ＝12（cm）．
故答案为：12．
【典例2】
圆锥的侧面展开图是一个圆心角120°，半径6cm的扇形，则该圆锥的高是（ ）
A．1cm B．2cm C． cm D． cm
【解答】解：∵一圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为6cm的扇形，
∴扇形弧长＝ ＝4 （cm），
∴2 r＝4 ，
π
∴r＝2（cm），
π π
∴圆锥的高＝ ＝4 （cm），
故选：C．
【典例3】
如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65 cm2，扇形的弧长为10 cm，则圆锥的高是（ ）
π π
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm
【解答】解：设母线长为R，由题意得：65 ＝ ×10 ×R，解得R＝13cm．
设圆锥的底面半径为r，则10 ＝2 r，
π π
解得：r＝5，
π π
故圆锥的高为： ＝12
故选：C．
题型05 圆锥的母线长的计算
【典例1】
已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是85 cm2，则圆锥的母线长是（ ）
A．6.5cm B．13cm C．17cm D．26cm
π【解答】解：设圆锥的母线长为Rcm，
则：85 ＝ ×5×R，
解得R＝17，
π π
故选：C．
【典例2】
圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是 ．
【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得：
解得：R＝4，
故答案为：4．
【典例3】
如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB为半径作 A，与正六边形ABCDEF重合的扇形部分恰
好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（ ）
⊙
A． B． C． D．
【解答】解：设正六边形ABCDEF的边长为a，圆锥的底面半径为r，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠BAF＝120°，
根据题意得2 r＝ ，
π
所以 ＝ ，
即该圆锥的底面半径与母线长之比为 ．
故选：C．
1．圆锥的底面半径为3，母线长为5．则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
【解答】解：圆锥的侧面积＝ rl＝ ×3×5＝15 ，
π π π π
π π π故选：C．
2．已知圆锥的底面半径为5cm，高为12cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．60 cm2 B．65 cm2 C．120 cm2 D．130 cm2
【解答】解：由圆锥底面半径r＝5cm，高h＝12cm，
π π π π
根据勾股定理得到母线长l＝ ＝ ＝13（cm），
根据圆锥的侧面积公式： rl＝ ×5×13＝65 （cm2），
故选：B．
π π π
3．某学校组织开展手工制作实践活动，一学生制作的圆锥母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这个圆
锥的侧面展开图的圆心角度数是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【解答】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，
根据题意得， ，
解得n＝120，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
故选：D．
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r＝1 cm，扇形的圆
心角 ＝120°，则该圆锥的母线长l为（ ）
θ
A．1cm B．12cm C．3cm D．6cm
【解答】解：圆锥的底面周长＝2 ×1＝2 cm，
π π
设圆锥的母线长为Rcm，则： ＝2 ，
解得R＝3．
π
故选：C．
5．现有一张圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则
该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，
根据题意得2 r＝ ，
π解得r＝2，
即该圆锥底面圆的半径为2cm．
故选：B．
6．如图，Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm，以BC边所在直线为轴将这个三角形旋转一
周，得到一个圆锥，则这个圆锥的全面积为（ ）
A．65 cm2 B．90 cm2 C．156 cm2 D．300 cm2
【解答 π 】解：圆锥的表面积＝ π ×5×13+ ×52＝90 （cπm2）． π
故选：B．
π π π
7．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为
R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝ r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
【解答】解：扇形的弧长是： ＝ ，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2 r，
π
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： ＝2 r，
即：R＝4r，
π
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
8．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出
扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm
【解答】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，
根据题意得 ＝2 r，
解得r＝2，
π
所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．
故选：C．
9．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的母线 AB＝5米，半径OB＝4米，则圆锥的侧面积
是 平方米（结果保留 ）．
π
【解答】解：∵OB＝4米，AB＝5米，
∴圆锥的底面周长＝2× ×4＝8 米，
π π
∴S扇形 ＝ lr＝ ×8 ×5＝20 米2．
故答案为：20 ．
π π
10．有一直径为2的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC，用此剪下的扇形铁皮围成
π
一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r＝ ．
【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．则∠DAO＝ ×60°＝30°，OD＝ ，
则AD＝ OD＝ ，
∴AB＝ ．
则扇形的弧长是： ＝ ，
π
根据题意得：2 r＝ ，
π π
解得：r＝ ．
故答案为： ．
11．已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为 °．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，侧面展开图的圆心角为n°，
圆锥的侧面积＝ ×2 r×l＝ rl，
圆锥的全面积＝ rl+ r2，
π π
∵圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，
π π
∴ rl：（ rl+ r2）＝3：5，
π π π
∴l＝ r，
∵2 r＝ ＝ ，
解得n＝240，
π
即圆锥侧面展开图的圆心角为240°．
故答案为：240．
12．如图，已知矩形纸片ABCD，AD＝2， ，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形
AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 ．
【解答】解：cos∠BAE＝ ，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，∴圆锥的侧面展开图的弧长为： ＝ ，
π
∴圆锥的底面半径为 ÷2 ＝ ．
13．在半径为 的圆形纸π片中π，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC＝60°， ，AB＝AC，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，
∴ ，AB＝BC＝AC，
∴这个扇形的半径为3．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得 ，
解得 ．
故圆锥底面圆的半径为 ．
14．如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰
三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料
的顶角∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留）
π
【解答】解：（1）根据题意得 •DE＝ ，
π
∴DE＝ AD，
∴ED与母线AD长的比值为 ；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
而AD＝2DE＝10cm，
∴BC＝2AD＝20cm，
∴S阴影部分 ＝S△ABC ﹣S扇形EAF
＝ ×10×20﹣
＝（100﹣25 ）cm2．
答：加工材料
π
剩余部分的面积为（100﹣25 ）cm2．
15．如图，AB是 O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接
π
EO、FO，若D⊙E＝4 ，∠DPA＝45°
（1）求 O的半径．
（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．
⊙
【解答】解：（1）∵弦DE垂直平分半径OA，
∴CE＝DC＝ DE＝2 ，OC＝ OE，
∴∠OEC＝30°，
∴OC＝ ＝2，∴OE＝2OC＝4，
即 O的半径为4；
（2）∵∠DPA＝45°，
⊙
∴∠D＝45°，
∴∠EOF＝2∠D＝90°，
设这个圆锥的底面圆的半径为r，
∴2 r＝ ，解得r＝1，
即这个圆锥的底面圆的半径为1．
π
