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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】
专题6.1平方根专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2022秋•晋江市期中）3的平方根是（ ）
A．±√3 B．±3 C．3 D．√3
【分析】根据平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：3的平方根是±√3，
故选：A．
2．（2022秋•城阳区期中）若x+4是4的一个平方根，则x的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣2或﹣6 C．﹣3 D．±2
【分析】依据平方根的定义得到x+4＝2或x+4＝﹣2，从而可求得x的值．
【解答】解：∵x+4是4的一个平方根，
∴x+4＝2或x+4＝﹣2，
∴解得：x＝﹣2或x＝﹣6．
故选：B．
3．（2022秋•温州校级期中）下列计算结果正确的是（ ）
A．± 2 B． ±2 C． 2 D． 4
√4= √4= √4= √(−4)❑ 2=−
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．±√4=±2，因此选项A不符合题意；
B.√4=2，因此选项B不符合题意；
C.√4=2，因此选项C符合题意；
D. 4，因此选项D不符合题意；
√(−4) 2=
故选：C．
4．（2022春•藁城区校级月考）下列说法：（1）±3是9的平方根；（2）9的平方根是±3；（3）3是9的
平方根；（4）9的平方根是3，其中正确的是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个【分析】根据平方根的定义逐个进行判断即可．
【解答】解：由于9的平方根有两个，是3和﹣3，
因此（1）±3是9的平方根，是正确的；
（2）9的平方根是±3是正确的；
（3）3是9的平方根是正确的；
（4）9的平方根是3是错误的；
综上所述正确的有：（1）（2）（3），共3个，
故选：A．
5．（2022秋•薛城区校级月考）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是（
）
A．± B．a﹣1 C．a2﹣1 D．±
√a−1 √a2−1
【分析】由一个自然数的一个平方根是 a，可得出这个自然数是a2，进而得到与这个自然数相邻的上一
个自然数是a2﹣1，再根据平方根的定义得出答案即可．
【解答】解：∵一个自然数的一个平方根是a，
∴这个自然数是a2，
∴与这个自然数相邻的上一个自然数是a2﹣1，
∴与这个自然数相邻的上一个自然数的平方根是± ，
√a2−1
故选：D．
6．（2022秋•朔城区校级月考）若√10201=101，则−√102.01等于（ ）
A．1.01 B．10.1 C．﹣1.01 D．﹣10.1
【分析】根据“被开方数扩大100倍，其算术平方根就扩大10倍”进行解答即可．
√10201 √10201 101
【解答】解：−√102.01=− =− =− =−10.1，
100 10 10
故选：D．
7．（2022春•新洲区校级月考）若n是正整数，√12n是整数．则n的最小值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．12
【分析】将n从最小的正整数开始，逐个代入计算，直至结果为整数即可．
【解答】解：当n＝1时，√12n=√12=2√3，
当n＝2时，√12n=√24=2√6，
当n＝3时，√12n=√36=6，故选：C．
8．（2021春•武汉月考）一块边长为a厘米的正方形纸片，若沿着边的方向裁出一块面积为120平方厘米
的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，在尽可能节约材料的前提下，a的值可能是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据长宽之比为4：3，设长为4x，宽为3x，根据面积为120平方厘米，列出方程，解出未知
数的值并得到长方形的长和宽，再求出a的值．
【解答】解：设长方形纸片的长为4x厘米，宽为3x厘米，
则有 4x•3x＝120，整理得，12x2＝120，
化简得，x2＝10，
解得，x=±√10（负数舍去）
故长方形纸片的长为4√10厘米，宽为3√10厘米，
由于该长方形纸片是从一块正方形纸片上沿着边的方向剪下来的，故正方形的边长至少是4√10厘米，
，
4√10=√42×10=√160
√144＜√160＜√169，即12＜√160＜13，
且题干中要求“尽可能节约材料”，故正方形的边长应该在满足条件的前提下尽可能取小的数，
故a的值可能是13，
故选：B．
9．（2022秋•兰考县月考）若一个正数的平方根为3a﹣6和10﹣4a，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．√3
【分析】根据平方根的定义，列方程求解即可．
【解答】解：∵一个正数的平方根为3a﹣6和10﹣4a，
∴3a﹣6+10﹣4a＝0，
解得a＝4，
故选：C．
10．（2022秋•铁岭月考）有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的x＝64时，输出的值是（ ）
A．2 B．8 C．√2 D．2√2
【分析】根据流程图、算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：当x＝64时，
∴√64=8，是有理数，
∴√8=2√2，是无理数，
∴输出的值是2√2，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022秋•雁塔区校级期中）±√49= ± 7 ；√16的算术平方根为 2 ．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解决此题．
【解答】解：±√49=±7；
∵√16=4，
∴√16的算术平方根为2．
故答案为：±7，2．
12．（2022秋•深圳校级期中）若|3x−1|+√y−3=0，则xy的算术平方根是 1 ．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负数的性质可得x、y的值，再根据算术平方根的定义即可得出
答案．
【解答】解：∵|3x−1|+√y−3=0，|3x﹣1|≥0，√y−3≥0，
∴3x﹣1＝0，y﹣3＝0，
1
解得x= ，y＝3，
3
1
∴xy= ×3=1，
3
∴xy的算术平方根是√1=1．
故答案为：1．
13．（2022秋•慈溪市期中）已知实数x，y满足|x−4|+√y+5=0，求式子x﹣y的值 9 ．
【分析】根据非负数的性质求出x和y的值，代入计算即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣4＝0，y+5＝0，
解得x＝4，y＝﹣5，
所以：x﹣y＝4﹣（﹣5）＝4+5＝9．
故答案为：9．
14．（2022 秋•昌平区期中）观察下面的规律： √0.03≈0.1732，√0.3≈0.5477，√3≈1.732，
√30≈5.477，√300≈17.32，√3000≈54.77．
（1）√30000≈ 173. 2 ；（2）若√0.5≈0.7071，√5≈2.236，则√0.05≈ 0.223 6 ．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解决此题．
（2）根据二次根式的除法法则解决此题．
【解答】解：（1）∵√3≈1.732，
∴√30000=√3×10000=√3×√10000=100√3≈173.2．
故答案为：173.2．
（2）∵√5≈2.236，
√ 5 1
∴√0.05= =√5÷√100= ×√5=0.1×√5≈0.2236．
100 10
故答案为：0.2236．
15．（2022秋•房山区期中）若实数a，b满足 ，则a+b的值为 4 ．
√a+1+(b−5) 2=0
【分析】根据算术平方根和偶次方的非负数的性质可得a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵ ， ，（b﹣5）2≥0，
√a+1+(b−5) 2=0 √a+1≥0
∴a+1＝0，b﹣5＝0．
解得a＝﹣1，b＝5，
∴a+b＝﹣1+5＝4．
故答案为：4．
16．（2022秋•章丘区期中）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a为 9 ．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中
的一个，然后平方可得a的值．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，
∴2b﹣1+b+4＝0，
∴b＝﹣1．
∴b+4＝﹣1+4＝3，
∴a＝9．
故答案为：9．
17．（2022秋•萧山区期中）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 √7 ；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为√5时，输入的x值为 2 5 ；（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为 0 或 1 ．
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为√5，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝7时，则y=√7；
故答案为：√7；
（2）当y=√5时，（√5）2＝5，52＝25，则x＝25；
故答案为：25；
（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴所有满足要求的x的值为0或1．
故答案为：0或1．
18．（2022秋•苍南县期中）如图，把一张面积为25的正方形纸片剪成五块（其中⑤是一个小正方形），
然后恰好拼成一个长方形，则这个拼成的长方形周长为 1 2√5 ．
【分析】根据拼图可知直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，设未知数，求出直角三角
形的直角边，再根据长方形周长与“直角边”的关系进行计算即可．
【解答】解：由拼图可知，直角三角形的“长直角边”等于“短直角边”的2倍，
设短直角边为x，则长直角边为2x，由题意得，
x2+（2x）2＝25，
解得x=√5或x=−√5（舍去），
拼成的长方形的长为5x，宽为x，
所以周长为（5x+x）×2＝12x＝12√5，故答案为：12√5．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋•莲湖区校级月考）求下列各式中x的值．
（1）9x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝36．
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）移项得，9x2＝25，
25
两边都除以9得，x2= ，
9
5
由平方根的定义得，x＝± ；
3
（2）（x﹣1）2＝36，
由平方根的定义得，x﹣1＝±6，
即x＝7或x＝﹣5．
20．（2022春•鼓楼区期中）一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a．
（1）求ab的值；
（2）求关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解．
【分析】（1）根据平方根的性质进行计算即可；
（2）将原方程化为x2＝4，再根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a，
∴a﹣2+1﹣2a＝0，
解得a＝﹣1，
当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3，
∴b＝9，
∴ab＝﹣9，
答：ab的值为﹣9；
（2）当a＝﹣1时，原方程可变为﹣2x2+5＝﹣3，
即x2＝4，
∴x=±√4=±2，
答：关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解为x＝±2．
21．（2022春•交城县期中）（1）已知±√5是3a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的
平方根；（2）已知正数x的平方根是m和m+n，若m2x+（m+n）2x＝10，求x的值．
【分析】（1）根据题意求出3a﹣1＝5，3a+2b﹣3＝9，解出a，b的值代入a+2b中即可求解；
（2）根据正数有两个平方根可得m2＝x，（m+n）2＝0，再将m2x+（m+n）2x＝10化简即可求解．
【解答】解：（1）∵±√5是3a﹣1的平方根，
∴ ，3a﹣1＝5，
3a−1=(±√5) 2
解得：a＝2，
∵3是3a+2b﹣3的算术平方根，
∴3a+2b﹣3＝9，
解得：b＝3，
当a＝2，b＝3时，
∴a+2b＝8，
∴a+2b的平方根为±2√2；
（2）∵正数x的平方根是m和m+n，
∴m2＝x，（m+n）2＝x，
则方程m2x+（m+n）2x＝10可化为x2+x2＝10，
解得：x=±√5，
∵x为正数，
∴x=√5．
22．（2022秋•李沧区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的
长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计
算说明该学校能否实现这个计划．
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．
∵建一个面积为150m2的长方形花园，
∴2x•x＝150，
∴x2＝75，
∵x＞0，
∴x＝5√3，2x＝10√3，
∵正方形的面积为256m2，
∴正方形的边长为16m，∵10√3＞16，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，学校不能实现这个愿望．
23．（2022春•武昌区期中）（1）如图1，分别把两个边长为1cm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三
角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 √2 cm；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是2 cm2，设圆的周长为C圆 ，正方形的周长为C正 ，则C
圆 ＜ C正 （填“＝”或”＜”或“＞“号） π
（3）如图2，若正方形的面积为400cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为300cm2的
长 方 形 纸 片 ， 使 它 的 长 和 宽 之 比 为 5 ： 4 ， 他 能 裁 出 吗 ？ 请 说 明 理 由 ？
【分析】（1）根据算术平方根的定义求解即可；
（2）分别求出圆的半径，正方形的边长，进而求出圆周长，正方形的周长，比较得出答案；
（3）求出长方形的长、宽以及正方形的边长，比较长方形的长与正方形边长的大小，得出结论．
【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为√2cm，
故答案为：√2；
（2）设圆的半径为rcm，
则 r2＝2 ，
∴rπ=√2，π
∴圆的周长为2π×√2=2√2 （cm），
设正方形的边长为a， π
则a2＝2 ，
∴a=√2ππ，
∴正方形的周长为4a＝4√2π（cm），
∵2 ，4 ，而 ＜4，
√2 =√8π2=√8π×π √2π=√32π=√8π×4
π π∴√8π×π＜√8π×4，
即2√2 ＜4√2π，
也就是πC圆 ＜C正方形 ，
故答案为：＜；
（3）能，理由如下：
设长方形的长为5xcm，则宽为4xcm，由题意可得，
5x•4x＝300，
∴x=√15，
即长为5√15cm，宽为4√15cm，
而面积为400cm2的边长为√400cm，
∵5√15=√375＜√400
∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．
24．（2022•南京模拟）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为 3：1，面积为75 cm2
的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的
正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
【分析】（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则3x⋅x=75，再利用平方根的含义解方程
即可；
（2）设正方形的边长为y，根据题意可得，y2＝75，利用平方根的含义先解方程，再比较5√3−5与3
的大小即可．
【解答】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，
∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，∴y=√75，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：√75−5，
∵√64＜√75＜√81，
即8＜√75＜9，
∴3＜√75−5＜4，
所以她的说法正确．
