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第 01 课 一元二次方程
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学习目标
(1)会设未知数，列一元二次方程.
(2)了解一元二次方程及其根的概念.
(3)能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.
知识精讲
知识点01 一元二次方程的概念
1、对“一元”、“二次”的理解
①一元：方程只有一个未知数；
②二次：未知数的最高次为2；
2、一元二次方程满足的三个条件
①方程必须是整式方程(不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如 不是整式方程)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次为2；
知识点02 一元二次方程的一般形式
1、一元二次方程的一般形式及要求
①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成
的形式， 叫做一元二次方程的一般形式；
②一元二次方程的一般形式的要求：
等式左边为关于x的二次整式，等式右边 等于 0；
2、一元二次方程的项和系数
二次项 一次项
常数项
a为二次项系数 b为一次项系数
3、一元二次方程的特殊形式：【注意】
(1)将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化
为正数；
(2)找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程化为一般形式，再找二次项系数、一次项系数和
常数项，并且要带上前面的符号；
(3)若方程中没有出现一次项 或常数项 ，则该项的系数为0；
知识点03 一元二次方程的根
一元二次方程的根满足两个条件：
(1)根就是未知数的值；
(2)使方程两边相等；
用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。
应用：
1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边是否相等,相等则是,否则不是.
2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值.
知识点04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根
(1)首先观察下表：
已知方程的根 得出等式
x=1
x=
x=2
x=
(2)由上表，根据a、b、c的等式，得出方程的根
已知等式 方程的根
x =1
x =1
x =
x =
x =2
x =2
x =x =
【注意】
①由a、b、c的等式，判断方程的根时，要将a、b、c放在等号的一侧；
②根据一元二次方程的一般式 可知，c的系数为1，故一定要将c的系数化为 ；
③根据一元二次方程的一般式 可知，一次项bx可知，b的系数即为方程的根x；
能力拓展
考法01 一元二次方程的判断
【例题1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0
C． ﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1
【答案】B
【解析】
A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误，
B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确，
C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误，
D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误，
故选B．
【即学即练1】下列哪个方程是一元二次方程( )
A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+ =3 D．x2=2x﹣3
【答案】D
【解析】
A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确；
B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确；
C. x2＋ ＝3是分式方程，故不正确；D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确；
故选：D
【即学即练2】下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A． B． C． =0 D．
【答案】A
【解析】
A、根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确，
B、分母中有未知数，不是整式方程，不选B，
C、二次项系数为a是否为0，不确定，不选C，
D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D．
故选择：A．
考法02 一元二次方程的定义
【例题2】若关于x的方程 是一元二次方程，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案为A
【即学即练1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
【答案】9
【解析】
∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,
∴ 解得
故a=9.
【即学即练2】已知方程 .
(1)当 取何值时是一元二次方程？
(2)当 取何值时是一元一次方程？
【答案】(1) (2) 或－1【解析】
(1) 是一元二次方程，
m+1≠0,m2+1=2，
m=1，
当m=1时,方程 是一元二次方程；
(2) 是一元一次方程，
①m+1≠0,m2+1=1，
m=0；
②m+1=0，解得m=−1；
当m=0或m=−1时,方程 是一元一次方程.
考法03 一元二次方程的一般式
【例题3】填空：
(1)一元二次方程的一般式是 __________．
(2)把一元二次方程 化成一般式是__________．
(3)把一元二次方程 化成一般式是__________．
(4)一元二次方程 的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是
__________．
(5)一元二次方程 的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______．
(6)当 __________ 时，关于 的方程 是一元二次方程．
【答案】
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2) ，(3) ；(4)4，0，-3；(5)3，-5，-5；(6)≠3.
【解析】
解：(1)一元二次方程的一般式是：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)把一元二次方程 化成一般式是： ；
(3)把一元二次方程 化成一般式是： ．
(4)一元二次方程 的二次项的系数是：4，一次项的系数是：0， 常数项是：-3；
(5)一元二次方程 的二次项的系数是：3，一次项的系数是：-5，常数项是：-5．
(6)当m≠3时，关于 的方程 是一元二次方程．
【即学即练1】下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项
系数、一次项系数和常数项
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6)
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析；(5)见解析；(6)见解析.
【解析】
解：(1)未知数最高次数是1，故不是一元二次方程；
(2) 是一元二次方程，一般形式为： ，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项
是：-4；
(3)是分式方程，故不是一元二次方程；
(4)将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程；
(5)方程 中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程；
(6) 是一元二次方程，一般形式为： ，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7.
【即学即练2】方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【解析】
解： 可变形为： ，
∴二次项系数为：2，一次项系数为： ，常数项为： ，
故选D．
【即学即练3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是( )
A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0
【答案】D
【解析】
一元二次方程的一般形式为
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选D．
考法04 一元二次方程的根
【例题4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为( )
A．−2 B．2 C．−4 D．4
【答案】B
【解析】
解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
【即学即练1】如果关于x的一元二次方程 有一个解是0，那么m的值是( )
A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3
【答案】A【解析】
把x=0代入方程 中；
得： ；
解得 或 ；
当 时,原方程二次项系数 ,舍去,
故选A
【即学即练2】若n( )是关于x的方程 的根，则m+n的值为( )
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】D
【解析】
解：∵ 是关于x的方程 的根，
∴ ，即n(n+m+2)=0,
∵
∴n+m+2=0,即m+n=-2,
故选D.
【即学即练3】已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好
有一个相同的实数根 ，则 的值为( )
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【答案】A
【解析】
把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：
(a+b+c)a2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0，
∴(a+b+c)(a2+a+1)=0．
∵a2+a+1=(a+ )2+ ＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．【即学即练4】关于 的方程 必有一个根为( )
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【答案】A
【解析】
解：A、当 是， ，所以方程 必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以B选项错
误；
C、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以C选项错
误；
D、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以D选
项错误.故选：A
【即学即练5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为( )
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【答案】A
【解析】
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选A．
【即学即练6】两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且
，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根
的是( )A． 2020 B． C．-2020 D．
【答案】C
【解析】
∵ ， ，a+c=0
∴ ，
∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，
∴ 是方程 的一个根，
即 是方程 的一个根
故选：C．
考法05 由a、b、c的等式得出方程的根
【例题5】若方程 中， 满足 和 ，则方程的根是( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵ ，
把 代入得： ，
即方程的一个解是 ，
把 代入得： ，
即方程的一个解是 ；故选：A．
【即学即练1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).
(1)若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ；
(2)若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ；
(3)若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ．
【答案】(1)1 (2)-1 (3)-2
【解析】
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
(1)当a+b+c=0时，x=1；
(2)当a-b-c=0时，x=-1；
(3)当4a-2b+c=0时，x=-2.
故答案是：(1)1 (2)-1 (3)-2
考法06 整体代换思想
【例题6】已知整式 的值为6，则整式2x2-5x+6的值为( )
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【解析】
观察题中的两个代数式，可以发现，2x2-5x=2(x2- x)，因此可整体求出式x2- x的值，然后整体代入即可求
出所求的结果．
解答：解：∵x2- x=6
∴2x2-5x+6=2(x2- x)+6
=2×6+6=18，故选C．
【即学即练1】已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为( )
A．1 B． C． 或1 D．2
【答案】A
【解析】∵a是方程 的一个根，
∴
∴
故选A.
【即学即练2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则 的值为( )
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】D
【解析】
原式= = ，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式= =1．
故选D．
【即学即练3】已知x＝﹣1是一元二次方程 的一个根，求 的值．
【答案】﹣1．
【解析】
解：∵x＝﹣1是一元二次方程 的一个根，
．
．【即学即练4】 是方程 的根，则式子 的值为( )
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【答案】B
【解析】
∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m(m2+m)
+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015．
故选B．
考法07 列一元二次方程
【例题1】根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
(1)一个长方形的长比宽多 ，面积是 ，求长方形的长x；
(2)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x；
(3)在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有
x人．
【答案】
(1) ，化为一般形式是 ；
(2) ，化为一般形式是 ；
(3) ，化为一般形式为 ．
【解析】
解：(1)设长方形的长为 ，则宽为 ，
∴ ，
化为一般形式是 ；
(2)依题意得 ，
化为一般形式是 ；
(3)假设参加聚会的有x个小朋友，那么每个小朋友应该送出 件礼物，则x个小朋友共送出 件礼物，可列方程为 ，
化为一般形式为 ．
【即学即练1】根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 .
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 .
(3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长 .
【答案】(1) ;(2) ;(3) .
【解析】
(1)依题意得， ，
化为一元二次方程的一般形式得， .
(2)依题意得， ，
化为一元二次方程的一般形式得， .
(3)依题意得， ，
化为一元二次方程的一般形式得， .
分层提分
题组A 基础过关练
1．若方程(m-1)x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
【答案】C
【解析】
解：根据题意得：解得：m≥0且m≠1．
故选C．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A选项： 时，方程就不是二次方程，故A错误；
B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误；
C选项： 整理得： ，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D选项： 整理得： ，故D错误．
综上所述．
故选：C．
3．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是( )
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】A
【解析】
解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故选A．
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是( )
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
【答案】C
【解析】
解：将x=-1代入方程得， a-b+c=0故答案为C
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是( )
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】A
【解析】
解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．
故选：A．
6．若 是方程 的根，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
是方程 的根，
，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程(a＋2)x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
【答案】A
【解析】
把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2,
又∵a＋2 0，∴a=2，选A.
8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a )必有一个根是( )
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】C【解析】
∵x=-1时，代入方程得a×(-1)2+b×(-1)+c=0，即a-b+c=0
故方程有一个根是x=-1
故选C.
9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
【答案】B
【解析】
2x2＝1-3x化成一元二次方程一般形式是2x2+3x-1＝0，
它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1．
故选B．
10．如果(m+2)x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为( )
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
【答案】B
【解析】
解：由题意得：|m|=2，且m+2≠0，
解得：m=2．
故选：B．
11．下列说法正确的是( )
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
【答案】B
【解析】
A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误；
B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确；
C.该方程的常数项是－1，故此选项错误；
D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误；
故选B.
12．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则 的值为( )
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】
方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
故选B．
题组B 能力提升练
13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
∵2是关于x的一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
14．若关于x的方程 有一个根是1，则 _________．
【答案】1
【解析】
解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
15．若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
【答案】2
【解析】
解：由题意得， ，解得 ，
16．若a是方程 的解，计算： =______.
【答案】0【解析】
∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴
故答案为0．
17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x=－2，x=1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0 的
1 2
解是__________.
【答案】x=-4,x=-1
【解析】
解：∵关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x=-2，x=1，(a，m，b均为常数，a≠0)，
1 2
∴方程a(x+m+2)2+b=0变形为a[(x+2)+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a(x+m+2)2+b=0的解为x=-4，x=-1．
1 2
故答案为x=-4，x=-1．
1 2
18．若关于x的一元二次方程 有一个根为0，则a的值为_________．
【答案】-2
【解析】
解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
(a-2)(a+2)=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为-2．
故答案为：-2．
19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是
_____元(结果用含m的代数式表示)．
【答案】100(1﹣m)2
【解析】
第一次降价后价格为100(1-m)元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100(1-m)(1-m)元，
即100(1-m)2元．故答案为100(1-m)2．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
【答案】-2．
【解析】
设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t，
则t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得(m-1)t=m-1，
如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常数m的值为-2．
故答案为-2．
21．已知 =0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为___________．
【答案】-2
【解析】
已知 =0 是关于 x 的一元二次方程，可得 ，1-k≥0，解得k=-2.
题组C 培优拔尖练
22．某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题：
(1)是否存在 的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 的值；
(2)是否存在 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出 的值，并解此方程．
【答案】(1)1 (2) ， ； ，
【解析】
解：(1)根据一元二次方程的定义，得
解得 ．(2)由题可知，当 即 时，方程为一元一次方程．
此时方程为 ，解得 ；
当 即 时，方程为一元一次方程，
此时方程为 ，解得 ．
23．若m是一元二次方程 的一个实数根．
(1)求a的值；
(2)不解方程，求代数式 的值．
【答案】(1) ；(2)4
【解析】
(1)由于 是关于 的一元二次方程，
所以 ，
解得 ；
(2)由(1)知，该方程为 ，
把 代入，得 ，
所以 ，①
由 ，得 ，
所以 ，②
把①和②代入 ，
得 ，
即 ．
24．一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值．【答案】
【解析】
解：原方程可化为： ax2−(2a−b)x＋a−b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1，
解得：a＝2，b＝1，c＝−2，
∴ ．
25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝ ＋ －2，求 的值.
【答案】0
【解析】
∵a＝ ＋ －2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝ ＝0.
26．试证明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次方程；
【答案】证明见解析.
【解析】
∵a2−8a+20=(a−4)2+4 4，
∴无论a取何值，a2−⩾8a+20 4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程(a2−8a+20)x⩾2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
