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第 01 讲 一元二次方程
课程标准 学习目标
①一元二次方程的基本概念 1. 掌握一元二次方程的基本概念。
②一元二次方程的一般形式及各项与各项 2. 学会把一元二次方程化成一般形式并判断项与系数
的系数 3. 理解一元二次方程的解，并利用解解决相关问题
③一元二次方程的解
知识点01 一元二次方程的概念
1. 一元二次方程的概念：
只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
题型考点：①根据定义判断方程是否为一元二次方程。②根据二次项系数不为0。未知数的最高次数为2
求未知字母的值。
注意：一定先将一元二次方程化为一般形式在判断是否为一元二次方程。
【即学即练1】
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3＝ 是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【即学即练2】
2．关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣m x+6＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1
【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，
∴|m|+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1．
故选：C．
知识点02 一元二次方程的一般形式
1. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项
系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。
题型考点：①把一元二次方程的其他形式化为一般形式并根据一般形式判断项与项的系数。
【即学即练1】
3．方程2x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（ ）
A．2x2，8x，2 B．﹣2x2，﹣8x，﹣2
C．2x2，﹣8x，﹣2 D．2x2，﹣8x，2
【解答】解：方程整理得：2x2﹣8x﹣2＝0，
则二次项、一次项、常数项分别为2x2，﹣8x，﹣2．
故选：C．
知识点03 一元二次方程的解
1. 一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。
题型考点：将一元二次方程的解带入方程中使方程左右两边成立得到新的方程求字母或式子的值。
【即学即练1】
4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一个解，则a的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵x＝1是方程的解，
∴1+1+2a＝0，
∴a＝﹣1．
故选：B．
【即学即练2】
5．已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式 的值应（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【解答】解：由题意得：3m2﹣m﹣1＝0，
∴3m2﹣m＝1，
∴
＝2（3m2﹣m）+
＝2×1+
＝2+ ，
∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴3＜2+ ＜4，
∴代数式 的值应在3和4之间，
故选：C．
题型01 一元二次方程的定义及根据定义求字母的值
【典例1】
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）
C．x（3x+2）＝5
D．（2x+1）2＝4x2﹣3
【解答】解：A、 中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，故不符合题意；C、x（3x+2）＝5整理得3x2+2x﹣5＝0是一元二次方程，故符合题意；
D、（2x+1）2＝4x2﹣3整理得4x+4＝0不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：C．
【典例2】
若方程kx2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B．k≠0 C．k＜0 D．k为实数
【解答】解：根据题意得：k≠0．
故选：B．
变式1：
若 是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．2或﹣2
【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴m2﹣2＝2，
∴m＝2或m＝﹣2，
故选：D．
变式2：
已知 是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．±2 B．2
C．﹣2 D．以上选项都不对
【解答】解：∵ 是关于x的一元二次方程，
∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故选：C．
题型02 判断一元二次方程的项与项的系数
【典例1】
把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（ ）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
【解答】解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，
移项得，x2﹣2x+6＝0，
所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．
故选：D．题型03 根据一元二次方程的解求值
【典例1】
若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，
∴a+b﹣1＝0，
∴a+b＝1，
∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021，
故选：B．
变式1：
已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则 的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，
∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，
∴原式＝2020a﹣4﹣2019a+ +7
＝a﹣4+ +7
＝ +3
＝ +3
＝2023．
故选：A．
变式2：
若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
【解答】解：由题意得：
把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，
得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，
解得：k＝±3，
∵k﹣3≠0，
∴k≠3，
∴k＝﹣3，
故选：A．1．下列方程中，① 2x2﹣1＝0，② ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④ ，⑤
，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，
（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，
整理得：﹣x﹣6＝﹣3，是一元一次方程，不是一元二次方程，
是分式方程，不是一元二次方程，
所以一元二次方程有2x2﹣1＝0， ，共2个，
故选：B．
2．将方程 2x2﹣1＝3x 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为
（ ）
A．2，1，3 B．2，﹣1，3 C．2，﹣3，﹣1 D．2，﹣3，1
【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：
2x2﹣3x﹣1＝0，则有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故选：C．
3．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．0
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，
解得m ＝3，m ＝﹣3，
1 2
∵m﹣3≠0，
∴m的值为﹣3．
故选：A．
4．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则3a+6b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3．故选：C．
5．对于题目：“先化简再求值： ，其中m是方程x2+3x+1＝0的根．”甲化简的
结果是 ，求值结果是 ；乙化简的结果是 ，求值结果是 ．下列判断正确的是（
）
A．甲的两个结果都正确
B．乙的两个结果都正确
C．甲的化简结果错误，求值结果正确
D．甲的化简结果和乙的求值结果合在一起才是正确答案
【解答】解：
＝
＝
＝
＝ ，
∵m是方程x2+3x+1＝0的根．
∴m2+3m＝﹣1，
∴原式＝ ，
故选：D．
6．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴将a代入方程成立，得：a2﹣2a﹣1＝0，
即：a2﹣2a＝1，
将上式代入 中得： ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
7．若a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，则2023+2a﹣6a2 的值是（ ）A．4046 B．﹣4046 C．﹣2023 D．0
【解答】解：∵a是关于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一个实数根，
∴3a2﹣a﹣2023＝0，
∴3a2﹣a＝2023，
∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．
故选：C．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，则方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必
有一根为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【解答】解：a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可化为：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0
关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一个根为x＝2023，
∴把x﹣1看作是整体未知数，则x﹣1＝2023，
∴x＝2024，
即a（x﹣1）2+bx﹣3＝b有一根为x＝2024．
故选：D．
9．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0的解，则k＝ ．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0得4﹣4k+3k﹣2＝0，
解得k＝2，
即k的值为2．
故答案为：2．
10．若关于x的方程ax2+bx﹣1＝0的一个解为x＝1，则2023﹣a﹣b＝ ．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
即a+b＝1，
所以2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
11．已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的解，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，
∴m3+2m2﹣2m+2022
＝m3+m2+m2﹣2m+2022
＝m（m2+m）+m2﹣2m+2022
＝3m+m2﹣2m+2022
＝m2+m+2022
＝3+2022＝2025，
∴式子m3+2m2﹣2m+2022的值为2025．
12．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，
解得m≠±1．
