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专题 07 二次函数与一元二次方程和不等式
【思维导图】
◎考试题型1 抛物线与x轴的交点情况
二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.
3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x 、x ，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0
1 2
的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；
③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数 (a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
例．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，抛物线 的对称轴是 ，关于x的方程
的一个根为 ，则另一个根为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线 的对称轴是 ，求出 ，设 的另一根为m，利用根与系数
的关系可得： ，即可求出m．
【详解】
解：∵抛物线 的对称轴是 ，
∴ ，即 ，
设 的另一根为m，
利用根与系数的关系可得： ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一
元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质．
变式1．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线 与x轴的一个交点是 ，另一个
交点是B，则AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
将 代入抛物线 中求出a的值，然后令 求出点B的坐标，即可求
出AB的值．
【详解】
抛物线 与x轴的一个交点是 ，
，即 ，
抛物线为： ，
令 ，求出 ，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与x轴交点问题，两点之间的距离，正确理解y=0时，一元二次方程的解与函数图象与
x轴交点坐标之间的联系是解题的关键．
变式2．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x -2 -1 0 6
y 0 4 6 1
下列结论不正确的是（ ）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数 的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】
解：由题意得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线 ，该函数的最大值为 ，故A、B、D说法正确，不符合题
意；
令 ，则 ，
解得 或 ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
变式3．（2022·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系内，抛物线 与 轴的一个交点是
，另一交点为 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C【解析】
【分析】
根据点A在抛物线上，先求出a的值，进而求出B的坐标，即可求解．
【详解】
解：∵抛物线 与 轴的一个交点是
∴0=a+4a+2
∴a=
∴
当y=0时， ，
解得
∴B（5，0）
∴AB=5-（-1）=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，两点间距离公式，准确理解抛物线与坐标轴的交点和方程的关系是解
题的关键．
◎考试题型2 抛物线与y轴的交点情况
图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。
例．（2022·辽宁葫芦岛·九年级期末）抛物线 与 轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令 ，可求得 ，据此求解即可．
【详解】
解：令 ，得： ，∴与 轴的交点坐标为（0，-3），
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数坐标轴的交点的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
变式1．（2022·广东广州·九年级期末）函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（1，0） C．（0，﹣2） D．（0，2）
【答案】C
【解析】
【分析】
函数图象与y轴的交点即令x=0，即可解题．
【详解】
解：令x=0，
y＝x2+x﹣2=-2
即函数y＝x2+x﹣2的图象与y轴的交点坐标是（0，-2）
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象与坐标轴的交点，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式2．（2021·河南·许昌市建安区教学研究室九年级期中）若抛物线 与x轴交于点A、B，
与y轴交于点C，则 的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
先令y=0得一元二次方程并求解可得点A，B的坐标，令x=0得y的值从而可得点C坐标，进一步由三角形
面积公式可得结论．
【详解】
解：对于
令y=0，得
解得， ，∴
∴
令x=0，则y=-3
∴
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
变式3．（2021·安徽·合肥市庐阳中学九年级阶段练习）抛物线 与 轴交点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求图象与y轴的交点坐标，令x＝0，求y即可．
【详解】
当 时， ，
抛物线 与 轴交点的坐标是 ．
故选C
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图象的特点．
◎考试题型3已知函数值求自变量的值
只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值
例．（2022·辽宁鞍山·九年级期末）二次函数 图象经过点 ，且图象对称轴为直线
，则方程 的解为（ ）A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的对称性结合题意，可知该二次函数的图象必经过点(3，-1)，即可直接得出
的解为 ， ．
【详解】
∵二次函数 的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线x=2，
∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)．
∴ 的解为 ， ．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象的对称性，一元二次方程和二次函数的关系．根据二次函数图象的对称性求出该二
次函数必经过的另一个点的坐标是解答本题的关键．
变式1．（2021·全国·九年级课时练习）根据下表中的对应值：
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
-1.01 -0.64 -0.25 0.16 0.59
判断方程 的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴为 ，根据a=1>0，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据表格确定函数值的符号， y=0时，有0.50，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
根据表格x=0.5，y=-0.25<0，x=0.6时，y=0.16>0，
∴y=0时，有0.50 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
例．（2022·河北石家庄·九年级期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，则
方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）A．x＝1 B．x＝1或﹣4
C．x＝1，x＝﹣3 D．x＝﹣1，x＝﹣2
1 2 1 2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可知抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴一个交点坐标为(1,0)，利用抛物线的对称性可求得与x轴
另一交点坐标，而所求的方程其实质上是二次函数解析式中的y=0得出的方程，此时方程的解即为二次函
数图象与x轴交点的横坐标，即可求解．
【详解】
解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（-3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x=-3，x=1．
1 2
故选：C．
【点睛】
此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的数学思想，其中抛物线与x轴的交点的横坐标即为抛
物线解析式中y=0得到关于x的一元二次方程的解，熟练掌握此性质是解本题的关键．
变式1．（2022·天津南开·模拟预测）抛物线 （a，b，c为常数）开口向下且过点
，下列结论：① ；② ；③ ；④若方程
有两个不相等的实数根，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线开口向下，可得a＜0，再根据题意得到抛物线的对称轴为直线 ，从而得到b＜0，
再由当x=0时，y=c＞0，可得①正确；根据当x=-2时，y＜0，即 ，可得②正确；再由当x=-1
时，y＞0，可得 ，再得到 ，可得③正确；根据方程 有两个不相等的实数根，可得函数 与直线 有两个交点，可得④正确，即可求解．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线过点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴b＜0，
如图，
当x=0时，y=c＞0，
∴ ，故①正确；
当x=-2时，y＜0，即 ，故②正确；
当x=-1时，y＞0，即 ，
∵a＜0， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，
∴ ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴函数 与直线 有两个交点，即∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴抛物线 与直线 有两个交点，
∴抛物线的顶点的纵坐标 ，
∵a＜0，
∴ ，故④正确，
∴正确的有4个．
故选：A
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b
联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y>0，下方的点对应的
y<0．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数 的顶点为(1，5)，那么关于x的一元
二次方程 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
【详解】
解：∵抛物线的 的顶点坐标为（1，5）
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，正确理解抛物线 与x轴必定有两个不同的交点，
则关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根是解题的关键．
变式3．（2021·浙江·杭州市建兰中学一模）已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有
三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
首先在坐标系中画出已知函数 的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的
x值恰好有三个的k值．
【详解】
解：函数 的图象如图：
根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，
∴k＝3．故选：D．
【点睛】
此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找
交点的问题．
◎考试题型5 图像法确定一元二次方程的近似根
例．（2022·河南南阳·九年级期末）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可
以判断方程 ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
y＝ax2+bx+c 1 3.5 7
A．0＜x＜0.5 B．0.5＜x＜1
C．1＜x＜1.5 D．1.5＜x＜2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二次函数和一元二次方程的性质．
【详解】
解：观察表格可知：当x=0.5时，y=-0.5；当x=1时，y=1，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
变式1．（2021·河南周口·九年级期中）如表，是二次函数 的自变量x与函数值y的几组对应值．
那么方程 的一个近似解是（ ）
x 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1.49 -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【答案】C【解析】
【分析】
由表格可得抛物线与 轴的一个交点在 和 之间且距离 较近，进而求解．
【详解】
解：由表格可得 时， ， 时， ，
的一个解在1.1与1.2之间，
，
的一个近似解是1.2，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．
变式2．（2022·全国·九年级专题练习）观察下列表格，估计一元二次方程 的正数解在
（ ）
－1 0 1 2 3 4
－ 1
－7 －1 5 23
5 3
A．－1和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间
【答案】C
【解析】
【分析】
令 x2＋3x－5根据 ﹣1和 5时的函数值，即可得到答案．
【详解】
解：令 x2＋3x－5，
当 时， ，
当 时， ，
x2＋3x－5=0的一个正数x的取值范围为1＜x＜2，
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数的与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题关键．
变式3．（2022·贵州六盘水·九年级学业考试）根据下表的对应值，可判断关于x的一元二次方程必有一个根满足（ ）
x … 0 0.5 1 …
… 1 2.5 3 2.5 1 …
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据ax2+bx+c的符号即可估算该方程的解．
【详解】
解：由表格可知：当x=-1时，ax2+bx+c=1，当x=-1.5时，ax2+bx+c=-1.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是-1.5＜x＜-1，
同理，当x=1时，ax2+bx+c=1，当x=1.5时，ax2+bx+c=-1.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的另一个解x的范围是1＜x＜1.5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．
二次函数与不等式（组）
◎考试题型6
1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
例．（2022·全国·九年级课时练习）函数 图象如图，一元二次方程 有实数根，
则m最大值为（ ）
A．-3 B．-5 C．3 D．9【答案】C
【解析】
【分析】
求m最大值转化为二次函数 的图象与直线y＝﹣m有交点，解不等式得解．
【详解】
解：∵一元二次方程 有实数根，
∴二次函数 的图象与直线y＝﹣m有交点，
由图象得，﹣m≥﹣3，
解得m≤3，
∴m的最大值为3，
故答案选：C．
【点睛】
本题考查的是利用函数图像解不等式，把最值问题转化为两个函数图像有交点的问是解答此题的关键．
变式1．（2022·全国·九年级课时练习）若A（﹣ ，y）、B（﹣ ，y）、C（ ，y）为二次函数y＝
1 2 3
﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y、y、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 2 1 3
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出二次函数的开口方向和对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性即可解答．
【详解】
解：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，
∴A（﹣ ，y）与点（ ，y）关于直线x＝﹣2对称，
1 1
∵﹣2＜﹣ ＜ ＜ ，
∴y＜y＜y，
3 1 2
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 与x轴交于两点 ， ，则x为
（ ）时， ．
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 可得抛物线开口向上，根据与 轴的交点坐标即可判断，当点位于交点两侧时，函数值大于0，
即可求解
【详解】
解：∵抛物线 与x轴交于两点 ， ，
∴当 或 时，
故选：B
【点睛】
本题考查了根据二次函数与 轴的交点求不等式的解集，理解抛物线的图象的性质是解题的关键．
变式3．（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，已知函数 与 的图象交于 、
两点，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
结合图象进行分析可知：在A，B之间的部分所对应的x的值都满足 ，所以x的取值范围是 ．
【详解】解：已知两函数图象交于 、 两点，
∴当有 时，有 ．
故选：D．
【点睛】
本题考查利用交点确定不等式的解集，关键要学会结合图象进行分析，找出x的取值范围．
