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22.2 二次函数与一元二次方程
考点一：二次函数和一元二次方程之间的关系
判别式 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x 一元二次方程ax2+bx+c=0
b2-4ac 轴的交点情况 （a≠0）的根的情况
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于 一元二次方程ax2+bx+c=0有
b2-4ac>0 （x，0），（x，0）两点 _____两__个不相等的实数根
1 2
x，x
1 2
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个
___相等_____的实数根x=x=___
1 2
b2-4ac=0
个公共点（ ，0）
____
抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共 一元二次方程ax2+bx+c=0在实数
b2-4ac<0
点 范围内____无解______
题型一：图像法确定一元二次方程的近似根
1．（2022·浙江湖州·九年级期末）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程
ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
2．（2022·贵州六盘水·九年级）根据下表的对应值，可判断关于x的一元二次方程 必有一个
根满足（ ）
x … 0 0.5 1 …… 1 2.5 3 2.5 1 …
A． B． C． D．
3．（2022·全国·九年级专题练习）小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，她作出如图所示二次函数y＝
ax2+bx+c的图象，并求得一个近似根为x＝﹣4.3，则方程的另一个近似根为（ ）（精确到0.1）
A．x＝4.3 B．x＝3.3 C．x＝2.3 D．x＝1.3
题型二：抛物线与X轴或Y轴的交点
4．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴
的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
5．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线 与抛物线： 关于直线 对称，
则抛物线V与x，y轴的交点为顶点的三角形的面积为（ ）
A．6 B．12 C．21 D．42
6．（2022·四川雅安·九年级专题练习）对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点 B．当 时y随x的增大而增大
C．开口向下 D．与y轴交点坐标为
题型三：已知二次函数的值求自变量的值
7．（2022·全国·九年级）三个方程 的正根分别记为 ，
则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．8．（2022·全国·九年级期中）已知抛物线 经过点 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·福建·厦门市第十一中学二模）平面直角坐标系中，抛物线 （ ）与直线 上
有三个不同的点 ， ， ，如果 ，那么 和 的关系是（ ）
A． B． C． D．
题型四：抛物线与X轴的交点问题
10．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数y＝kx2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－ 且k≠0 B．k＞－
C．k≥－ 且k≠0 D．k≥－
11．（2022·河南·九年级专题练习）二次函数 的图象与x轴交点的情况是（ ）
A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．与m的值有关
12．（2022·天津红桥·三模）已知抛物线y=ax2−2x+1(a≠0)的顶点为P，有下列结论：
①当a<0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；
②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；
③若点P在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则a≥1．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
题型五：由二次函数的图像确定方程根的问题
13．（2022·全国·九年级单元测试）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（
）A．x＝1 B．x＝1或﹣4
C．x＝1，x＝﹣3 D．x＝﹣1，x＝﹣2
1 2 1 2
14．（2022·四川绵阳·九年级期末）如图所示是抛物线 的部分图像，其顶点坐标为 ，且
与x轴的一个交点在点 和 之间，则下列结论：① ；② ；③ ；④一元二
次方程 没有实数根．其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2022·全国·九年级）如图，二次函数 的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为 ，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：① ；② ；③ ；④若关于x
的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型六：图解法解一元二次不等式
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
则不等式ax2+mx+c＞n的解集为( )
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＞﹣1或x＜3
17．（2022·全国·九年级）如图，一次函数y＝kx+b与二次函数y＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当
1 2
y＞y 时x的取值范围是（ ）
1 2A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
18．（2021·全国·九年级课时练习）二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程
ax2+bx+c＝0的根为x＝﹣1、x＝3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的
1 2
说法是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
题型七：由交点确定不等式的解集
19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直
线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是( )A．x＜﹣1或x＞5 B．﹣1＜x＜5 C．﹣3＜x＜7 D．x＜﹣3或x＞7
20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，一次函数y＝kx+n（k≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交
1 2
于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6
21．（2022·全国·九年级阶段练习）已知二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴为直线 ，
与 轴的一个交点为 ．给出下列结论：① ；② ；③图象与 轴的另一个交点为
；④当 时， 随 的增大而减小；⑤不等式 的解集是 ．其中正确结论的个数是
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型八：二次函数与一元二次方程的综合
22．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，已知抛物线 的对称轴为 ，请你解答下列问题：(1)求 的值；
(2)求出抛物线与 轴的交点；
(3)当 随 的增大而减小时 的取值范围是____________；
(4)当 时， 的取值范围是____________
23．（2022·全国·九年级专题练习）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ +bx+c经过（﹣1， +2m+1）、
（0， +2m+2）两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝ +bx+c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设（a， ）、（a+2， ）是抛物线y＝ +bx+c上的两点，请比较 ﹣ 与0的大小，并说明理由．
24．（2022·湖南长沙·九年级期末）抛物线 与直线 交于A，B两点．
(1)求A，B两点坐标；
(2)求△AOB的面积；
(3)直接写出不等式 的解集．一、单选题
25．（2022·安徽淮南·九年级阶段练习）二次函数y＝x2，当1 ≤ y ≤ 9时，自变量x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3 B．-3≤x≤3
C．-3≤x≤-1或1≤x≤3 D．-3≤x≤1或1≤x≤3
26．（2022·全国·九年级专题练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称
轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
27．（2022·陕西·西安爱知初级中学模拟预测）已知抛物线 上有两点A（ ）、B（
），且 ，若 ，则 与 的大小关系（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，有
以下结论：① ；②若t为任意实数，则有 ；③当图象经过点 时，方程
的两根为 ， （ ），则 ，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．329．（2022·河北保定师范附属学校九年级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交
点的坐标为（﹣1，0），其部分图像如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两个根是x
1
＝﹣1，x＝3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．其中结论错误的是（ ）
2
A．① B．② C．③ D．④
30．（2022·湖北武汉·九年级阶段练习）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 、 ．
(1)则b＝ ，c＝ ；
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
(3)根据图象，当y＞0时，x的取值范围是 ．
31．（2022·河南周口·九年级期末）如图，抛物线 与x轴的左交点为A，右交点为B，与y轴的交点
为 ．(1)填空： ________；
(2)点P是y轴上一动点，连接PA，并将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点
D的坐标．
一：选择题
32．（2022·全国·九年级专题练习）若 ， 是方程 （c为常数）两个不相等的实数根，且满足
，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（2022·江苏·九年级专题练习）二次函数 ，其中 ，下列结论：①该函数图象与坐标
轴必有3个交点；②当 时，都有y随x的增大而增大；③若当 时，都有y随x的增大而减小，则
；④该函数图象与直线 的交点不随m的取值变化而变化，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①③④
34．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交
于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；
③abc＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
35．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，抛物线 的对称轴是 ，关于x的方程 的
一个根为 ，则另一个根为（ ）A． B． C． D．0
36．（2022·江苏宿迁·九年级期末）抛物线 的对称轴为直线 ．若关于x的一元二次方程
（t为实数）在 的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（2022·陕西师大附中三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线 ，与y轴交于
点 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．当 时，y随x的增大而减小
38．（2022·山东烟台·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣ ，
且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程
ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
39．（2022·辽宁丹东·一模）如图，抛物线 与 轴相交于点 ，其对称轴为直线 ，结合
图象分析下列结论：
① ；② ；③当 时， 随 的增大而增大；④一元二次方程 的两根分别为
， ；⑤若 ， 为方程 的两个根，则 且 ．其中正确的结论有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
40．（2022·全国·九年级课时练习）对于每个非零自然数n，抛物线 与x轴交于 两
点，以 表示这两点间的距离，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线 ，当 时， ；当 时， ．下列判断：
① ；②若 ，则 ；③已知点 ， 在抛物线 上，当 时，；④若方程 的两实数根为 ， ，则 ．
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共0分)
42．（2022·全国·九年级单元测试）若二次函数y＝ 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 _____．
43．（2022·全国·九年级单元测试）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若它与x
轴一交点为A（3，0），则由图象可知，当函数值y＜0时，x取值范围是________，函数图象的对称轴是直线
_________________．
44．（2022·全国·九年级专题练习）已知抛物线y＝ ﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式 ﹣m﹣
2019的值为 ______．
45．（2022·湖北武汉·九年级期中）如图，点A(2，m)，B(－1，n)是抛物线 上的两点，直线y＝kx＋b经
过A、B两点，不等式 ＞kx＋b的解集为_____________．
46．（2022·吉林·长春高新技术产业开发区慧谷学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣
x2+4x+m与x轴交于点C、D，与y轴交于点A，过点A作AB∥x轴交劰物线于点B．若AB+CD＝6，则四边形
ABCD的面积为 _____．47．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，下列说法：①abc＞0；②x＜0时，
y随x的增大而增大；③ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1，x ＝3；④a+b+c＝0；⑤x＜﹣1或x＞3时，ax2+bx+c＜0，
1
其中正确的序号是_________． ₂
48．（2022·山东泰安·一模）已知抛物线 如图所示，它与 轴的两交点的横坐标分别是 ， ．
对于下列结论：
① ；
②方程 的根是 ， ；
③ ；
④当 时， 随着 的增大而增大．
其中正确的结论是______ 填写结论的序号 ．
三、解答题(共0分)49．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，
经过A，B两点的抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线AB的方程；
(3)若P为线段AB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于M，求线段PM长的最大值．
50．（2022·陕西安康·九年级期末）如图，抛物线 与一次函数 相交于 ， 两点，
与x轴另一交点为B．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)求 的面积．
51．（2022·河南平顶山·九年级期末）抛物线 与轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．且A
点的坐标为 ．
(1)求抛物线的对称轴；(2)当 时，函数值y的取值范围为 ，求n的取值范围；
(3)将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新的函数图象，当新函数的函数值随x的增大而减
小时，请直接写出x的取值范围
52．（2022·贵州贵阳·三模）如图，二次函数 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，点A
的坐标为（–1，0）．
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标；
(2)已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系；
(3)在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点 的坐标．
53．（2022·全国·九年级）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c
经过点A，B．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数
解析式，并求S的最大值．
54．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，直线 ： 与 轴、 轴分别相交于点A、C；
经过点A、C的抛物线C： 与 轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与 轴相交于点E．(1)求抛物线C的对称轴．
(2)将直线 向右平移得到直线 ．
①如图①，直线 与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线 的解析式．
②如图②，直线 与直线BC相交于点F，直线 上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．1．B
【分析】根据表格中自变量与函数的值的变化情况得出当y=0时相应的自变量的取值范围即可．
【详解】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49.
当x＝1.2时，y＝0.04
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2
故选B
【点睛】本题考查了用图像法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可．
2．D
【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算该方程的解．
【详解】解：由表格可知：当x=-1时，ax2+bx+c=1，当x=-1.5时，ax2+bx+c=-1.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是-1.5＜x＜-1，
同理，当x=1时，ax2+bx+c=1，当x=1.5时，ax2+bx+c=-1.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的另一个解x的范围是1＜x＜1.5，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的近似解，本题属于基础题型．
3．C
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4.3，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（2.3，0），
则方程的另一个近似根为x＝2.3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据二次函数图象求方程的近似根，掌握抛物线的对称性是解题的关键．
4．C
【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论．
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），
∴1-6+c=0．∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+5．
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x=-1，x=-5．
1 2
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y=0，通过解一元二次方程
求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
5．D
【分析】先求出抛物线M的顶点坐标为（-1，-4），再根据轴对称的性质求出抛物线V的顶点坐标为（5，-4），
则抛物线V的解析式为 ，再求出抛物线V与坐标轴的交点，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线M的解析式为 ，
∴抛物线M的顶点坐标为（-1，-4），
∵抛物线V与抛物线M关于直线x=2对称，
∴抛物线V的顶点坐标为（5，-4），
∴抛物线V的解析式为 ，
∴抛物线V与x轴的交点坐标为（3，0），（7，0），与y轴的坐标为（0，21），
∴抛物线V与x，y轴的交点为顶点的三角形的面积为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点，正确求出抛物线V的解析式是解题的关键．
6．D
【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情
况，据此求解可得．
【详解】解：令 ， ，
二次函数 的图象与x轴没有交点，故A不符合题意；
∵ ，
∴由 知抛物线开口向上，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，
当 时，y随x的增大而增大，函数有最小值为2，无最大值，故B、C不符合题意；令 ，解得 ，所以函数图象与y轴交点为 ，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数相关性质逐项检验是解决问题的关键．
7．A
【分析】分别设： ， ， ，三个方程的根即为三个二次函
数与直线 的交点，画出图像，即可求解．
【详解】解：设 ， ， ，
将三个函数画在同一个直角坐标系中，如图：
则三个方程 的正根 即为：直线 分别与
在第一象限交点的横坐标，
则由图可知： ．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，二次函数图像画法，熟练掌握二次函数和一元二次方程的
关系以及数形结合的方法是解题的关键．
8．D
【分析】由于点 在抛物线上，可把点 的坐标代入抛物线的解析式，得到 的值，再代入代数式即可求出
值．
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，∴
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把 看成
一个整体并求出其值是解题的关键．
9．C
【分析】假设A、B两点在二次函数图像上，C点在直线上，然后根据题意及根与系数的关系得到 即
进而代入直线解析式求解即可．
【详解】解：假设A、B两点在二次函数图像上，C点在直线上，
由根系关系， ，
，
，
∵ 在直线 上，
，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，掌握二次函数与一次函数的性质，求出 的关系式是解
题的关键．
10．C
【分析】由于二次函数与x轴有交点，故二次函数对应的一元二次方程kx2-7x-7=0中，Δ≥0，解不等式即可求出k
的取值范围，由二次函数定义可知k≠0．
【详解】解：∵二次函数 的图象和x轴有交点，
∴ ，
∴k≥- 且k≠0．故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，不仅要熟悉二次函数与x轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等
式．
11．C
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可
判断．
【详解】解：令 得一元二次方程 ，
∵ ，
∴二次函数 的图象与x轴有两个不同的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当Δ>0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，
二次函数与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数与x轴没有交点；掌握这个知识点是解题的关键．
12．C
【分析】①构建方程组，转化为一元二次方程，利用判别式的值判断即可；
②首先证明a＞1，再证明x=1时，y＜0，可得结论；
③首先证明a＞0，然后根据抛物线对称轴在直线 和直线 之间，结合抛物线顶点在点（0，2）下方且在x
轴上或在x轴上方求解即可．
【详解】解：由 ，消去y得到，ax2-4x-1=0，
∵Δ=16+4a，a＜0，
∴Δ的值可能大于0，
∴抛物线与直线y=2x+2可能有交点，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=4-4a＞0，
∴a＜1，
∵抛物线经过（0，1），且x=1时，y=a-1＜0，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间．故②正确；
当 时，抛物线对称轴为直线 ，
∴此时抛物线顶点P在y轴左侧，不可能在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边
界），
∴ ，∵抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得，a≥1，故③正确，
综上，正确的有②③共2个．
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等
式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13．C
【分析】根据图象可知抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴一个交点坐标为(1,0)，利用抛物线的对称性可求得与x轴
另一交点坐标，而所求的方程其实质上是二次函数解析式中的y=0得出的方程，此时方程的解即为二次函数图象
与x轴交点的横坐标，即可求解．
【详解】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（-3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x=-3，x=1．
1 2
故选：C．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，利用了数形结合的数学思想，其中抛物线与x轴的交点的横坐标即为抛
物线解析式中y=0得到关于x的一元二次方程的解，熟练掌握此性质是解本题的关键．
14．C
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y＞
0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的对
称轴为直线x=- =1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到 =n，则可对③
进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-2有一个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=- =1，即b=-2a，∵a-b+c＞0
∴a-b+c= a+2a+c=3a+c＞0，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ =n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴由图像可得，抛物线与直线y=n-2有两个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-2有两个实数根，所以④错误．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，根据图像求方程的根的情况，掌握二次函数图像与性质是解题
的关键．
15．B
【分析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，
∴
∴ 故①正确；
∵函数图象开口向下，对称轴为 ，函数最大值为4，
∴函数的顶点坐标为（-1，4）
当x=-1时，
∴
∴ ，
∵二次函数 的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴ < <2
∴ <4+a<2
∴ ，故②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴ ，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程 有两个不相等的实数根，
∴
∴ ，故④错误；由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误．
所以，正确的结论是①②③，共3个，
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
16．C
【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，
∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，
即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
17．C
【分析】从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断 时，x的范围．
【详解】解：已知函数图象的两个交点坐标分别为A 和B 两点，
∴当 时，有﹣1＜x＜2；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了利用图象求解的能力，找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断
时，x的范围是解题的关键．
18．D
【分析】根据函数的基本性质：开口方向、与 轴的交点坐标、对称轴等来对①②③④进行判断，从而求解．
【详解】解：①由题意函数的图象开口向下，与 轴的交点大于 ，
， ，函数的对称轴为 ，
，
，
，正确；
②由函数图象知函数与 轴交于点为 、 ，正确；
③由函数图象知，当 ， 随 的增大而减小，正确；
④由函数图象知，当 时， ，正确；
综上所述，①②③④正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查函数的性质，函数的对称轴，函数的增减性及其图象，还考查了一元二次方程与函数的关
系，函数与 轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题．
19．C
【分析】由对称轴公式得直线x 2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣
4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用二次函数的性质和不等式的性质可得结果．
【详解】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴ 2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax+c，
∵与x轴右交点为(5,0)，
∴25a﹣20a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，
∴ax2﹣4ax﹣21a＞0，
∵a＜0，
∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），
y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，
当x2﹣4x﹣21＝0时，
（x﹣7)(x+3)＝0，
∴x＝7，x＝﹣3，
1 2
y＝x2﹣4x﹣21的图像如图，∴x的取值范围是﹣3＜x＜7，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数与不等式．解本题的关键是掌握二次函数的性质和不等式性质．
20．A
【分析】根据一次函数与二次函数的交点的横坐标结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵一次函数y＝kx+n（k≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，
1 2
2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点求不等式的解集问题，数形结合是解题的关键．
21．C
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故①错误；
②当 时， ，由图象可知当 时， ，
∴ ，故②正确；
③ 关于直线x=1的对称点为 ，故③正确；
④当 时，由图象可知y先随x的增大而增大，再随x的增大而减小，故④错误；
⑤由图象及③可知，抛物线与x轴的交点为 ， ，
∴当 时， 可 ，故⑤错误；
综上，有②，③是正确的，故有2个正确的，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a，b，c的关系是正确判断的关键．
22．(1)-1(2)抛物线与 轴交点坐标为( ，0)，( ，0)
(3)
(4)
【分析】(1)利用抛物线的对称轴方程求得m的值即可；
(2)令y= 0，然后解方程x2 - 2x- 1= 0得抛物线与x轴的交点；
(3)根据二次函数的性质求解；
(4)结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴ ．
（2）由 得抛物线解析式为 ， 令 ，得 ，解得： ， ．∴抛
物线与 轴交点坐标为( ，0)，( ，0)．
（3）如图所示，
当y随x的增大而减小时x的取值范围是x < 1，故答案是： x < 1．
（4）如图所示，∵抛物线与x轴交点坐标为(1 + ， 0)， (1- ， 0)，抛物线开口向上，∴当y<0时，x的取
值范围是抛物线与x轴交点坐标为(1 + ， 0)，(1- ， 0)．∴当 时， 的取值范围是：1- 3时抛物线在直线上方．
∴不等式 的解集为x<-2或x>3．∴不等式 的解集为x<-2或x>3．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内三角形
面积的求法．
25．C
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当1≤ y ≤9时，自变量x的取值范围．
【详解】解：∵ y＝x2，
∴ 该函数图像开口向上，对称轴为直线x＝0，
当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵ 当y＝1时，x＝±1；当y＝9时，x＝±3，
∴ 当1≤y≤9时，自变量x的取值范围是-3≤x≤-1或1≤x≤3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数
的性质解答．
26．D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=- =1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴ （m为任意实数），
∴ ，
∵a＜0，
∴ （m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵- =1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，∴-1＜a＜﹣ ，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
27．A
【分析】解：根据 ，得出 ，再根据
得出 ，根据 得到 ，从而判断出 ，最终得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数和不等式的性质，解题的关键是将 进行因式分解．
28．D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到 ，利用抛物线与y轴的交点位置
得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数 与
直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x=-3，x=1，则可对③进行判断．
1 2
【详解】∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ 时，y有最小值，
∴ （t为任意实数），即 ，所以②正确；
∵图象经过点 时，代入解析式可得 ，
方程 可化为 ，消a可得方程的两根为 ， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴二次函数 与直线 的另一个交点为 ，
， 代入可得 ，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物
线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号
时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于
（0，c）．
29．B
【分析】利用抛物线开口方向以及与 轴的交点情况可对①进行判断；与对称轴的位置结合开口方向，则可对②
进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，则可对③进行判断；根据抛物线在
轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
，
，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线 ，，
，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
而点 关于直线 的对称点的坐标为 ，
方程 的两个根是 ， ，所以③正确；
当 时， ，所以④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握对于二次函数 ，二次项
系数 决定抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数
和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即 ，
对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴交点位置，抛物线与 轴交于 ；抛物线与 轴交点个数由△决定：
△ 时，抛物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△ 时，
抛物线与 轴没有交点．
30．(1)2，3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将点 、 代入函数的解析式可得关于 的方程组，解方程组即可得；
（2）将求得的二次函数配方后即可确定顶点坐标，令 即可求得 值，从而确定其与 轴的交点坐标，根据对
称性得出抛物线与 轴的另一交点坐标，然后根据五点法画出函数图象即可；
（3）利用图象，找出抛物线位于 轴上方时， 的取值范围即可．
（1）
解：将点 、 代入 得： ，
解得 ，
故答案为：2，3．
（2）
解：由（1）可知， ，其顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
则此抛物线与 轴的另一交点坐标为 ，即为 ，
令 ，则 ，即此抛物线与 轴的交点坐标 ，
利用五点法画出函数图象如下：
（3）
解：由函数图象可知，当 时， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、画二次函数的图象、求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和函
数图象法是解题关键．
31．(1)
(2) 或
【分析】（1）把点 坐标代入解析式即可；
（2）设点 为 ，过点 作 轴于点 ，根据旋转的性质和三角形全等的判定证明 ，
从而得到点 ，再把 的坐标代入抛物线解析式解得 即可．
(1)
解：将 代入 得：
，
，
故答案为： ；
(2)解：由（1）知， ，
令 ，则 ，
解得： ， ，
， ，
设点 为 ，
过点 作 轴于点 ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点 ，
点 在抛物线上，
，
整理得： ，
解得： ， ，
或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等的判定和性质、函数图象的交点的求法，综合性强．解题的关键是证明 ．
32．C
【分析】利用一元二次方程根的判别式可得 ，然后设 ，根据抛物线与x轴的交点可得当x=1时，
y＞0，即可求解．
【详解】解：∵ ， 是方程 （c为常数）两个不相等的实数根，
∴ ，解得： ，
设 ，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵ ，
∴当x=1时，y＞0，
∴ ，解得： ，
∴c的取值范围是 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，抛物线与x轴的交点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
33．C
【分析】先把二次函数化为一般式，求得对称轴及方程根的判别式，再根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为 ，开口向上，
，
①该函数图象与坐标轴必有2个交点，故①错误；
②当x> 时，都有y随x的增大而增大，故②错误；
③若当x0，∴b<0，
∴abc>0，
故结论①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)，
∴9a−3b+c=0，
，
∴b=2a，
∴c=-3a，
∴3a+c=0，
故结论②不正确；
∵当x<−1时，y随x的增大而增大；当−10，
∴ ，
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(1,0)，
∴ax2+bx+c=0的两根是−3和1，
∴ ， ，
∴ 即为：-3x2+2x+1=0，解得 ， ；
故结论④正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−3,0)和(1,0)，
∴y=ax2+bx+c=a(x+3)(x−1)，
∵m，n(m1，
故结论⑤正确；
故正确的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解决本题的关
键．40．D
【分析】将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和．
【详解】解：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x2- ，y=x2- ，y=x2- ，…；分别解得
x=1，x= =x，x= ，x= ，
1 2 3 4 5
∴AB= ，AB= ，AB= ，…，A B =
1 1 2 2 3 3 2009 2009
∴AB+AB+…+A B =
1 1 2 2 2009 2009
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，实数运算相关的规律，正确求出每个对应的抛物线与x轴的
交点从而得出规律是解题的关键．
41．C
【分析】利用根的判别式可判断①；把 ，代入，得到不等式，即可判断②；求得抛物线的对称轴为直线
x=b，利用二次函数的性质即可判断③；利用根与系数的关系即可判断④．
【详解】解：∵a= >0，开口向上，且当 时， ；当 时， ，
∴抛物线 与x轴有两个不同的交点，
∴ ，
∴ ；故①正确；
∵当 时， ，
∴ -b+c<0，即b> +c，
∵c>1，
∴b> ，故②正确；
抛物线 的对称轴为直线x=b，且开口向上，
当x1时，b> ，
∴则x+x>3，但当c<1时，则b未必大于 ，则x+x>3的结论不成立，
1 2 1 2
故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系等知识，解题的关键是读
懂题意，灵活运用所学知识解决问题．
42．k≥﹣1
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题得到△= ≥0，然后解不等式即可．
【详解】解：∵二次函数y＝ 的图象与x轴有交点，
∴ ，
解得k≥﹣1，
故答案为：k≥﹣1．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，把二次函数与x轴的交点问题转化为关于x的一元二次方程问题是解题
的关键．
43．
【分析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），然后观察函数图象，找出抛物线在x轴
下方的部分所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵ 的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故答案为：﹣1＜x＜3，x=1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，利用轴对称性求出另一个和x轴交点的坐标是解题的关键．
44．
【分析】把点的坐标代入解析式，得到m的等式，变形代入计算即可．
【详解】将（m，0）代入函数解析式y＝ ﹣x﹣1得， ﹣m﹣1＝0，∴ ﹣m＝1，
∴ ﹣m﹣2019＝1﹣2019＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标，代数式的求值，熟练掌握抛物线与点的关系是解题的关键．
45． 或
【分析】根据点A、B的坐标，再找出抛物线图象在直线上方的部分的x的取值范围即可得解．
【详解】解：∵点A（2，m），B（﹣1，n）是抛物线 上的两点，
∴当x＜﹣1或x＞2时，抛物线图象在直线上方，
故不等式 ＞kx+b的解集为x＜﹣1或x＞2．
故答案为：x＜﹣1或x＞2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据图象的上下方关系确定不等式的解集与x的取值范围是解题的关键，
数形结合是数学中的重要思想之一．
46．9
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得AB长度，由抛物线的对称性可得点D，C的坐标，从而可
得m的值，由四边形ABCD的面积为 （AB+CD）•OA求解．
【详解】解：∵y＝﹣x2+4x+m，
∴抛物线对称轴为直线x 2，
∴AB＝4，
∵AB+CD＝6，
∴CD＝6﹣4＝2，
∴由抛物线的对称性可得点D坐标为（1，0），点C坐标为（3，0），
将（1，0）代入y＝﹣x2+4x+m得0＝﹣1+4+m，
解得m＝﹣3，
∴OA＝3，
∴四边形ABCD的面积为 （AB+CD）•OA 6×3＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，二次函数图象与系数的关系．
47．②③⑤
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与 轴的交点坐标，即可判断①，根据对称轴的位置以及开口方向即可判断②，根据对称轴以及抛物线与 轴的交点坐标结合函数图象即可判断③与⑤，令 即可判断④，进而
即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得当x＜1时，y随x增大而增大，
∴当x＜0时，y随x增大而增大，
∴②正确．
∵抛物线经过点（﹣1，0），抛物线对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过点（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为x＝﹣1，x ＝3，③正确．
1
由图象可得当x＝1时，y＝a+b+c₂＞0，
∴④错误．
∵抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），抛物线开口向下，
∴当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，
∴⑤正确．
故答案为：②③⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
48．②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴，以及与 轴的交点即可判断 ；根据抛物线与 轴的交点即可判断 ；根
据图形即可判断 ；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断 ．
【详解】解： 抛物线开口向下、顶点在 轴右侧、抛物线与 轴交于正半轴，
， ， ，
，故 错误；
抛物线 与 轴的两交点的横坐标分别是 ， ．
方程 的根是 ， ，故 正确；
当 时， ，
，故 正确；抛物线 与 轴的两交点的横坐标分别是 ， ，
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线开口向下，
当 时， 随着 的增大而增大，故 正确；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、
抛物线与 轴的交点抛物线与 轴交点的个数确定．
49．(1) ；
(2) ；
(3)当 时，PM取最大值，最大值为 ．
【分析】（1）根据 分别交 轴于 ，得点 的坐标，把点 、点 的坐标代入 ，即可；
（2） 分别交 轴于 ，得 点，把 点的坐标代入 ，解出 ，即可；
（3）设 点的坐标为 ，得 点的坐标为 ，得 的代数式；根据二次函数的性质，得
的最大值，即可．
（1）
∵ 分别交 轴于
∴
∴
∴
把 、 代入 得
解得
∴抛物线的解析式为： ．（2）
分别交 轴于
∴
解得 ，
∴
把 代入
∴
∴
∴
∴直线AB的方程为： ．
（3）
∵点 点在 上，点 在 上
∴设 点的坐标为 ， 点的坐标为
∴
∴
∴
∵
∴当 时，有最大值
∴ 最大值为： ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析
式，函数的最值．
50．(1)
(2)
【分析】（1）先将A、C坐标代入 求出m、n，再利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；（2）先求出点B坐标，进而求得AB，再利用三角形的面积公式求解即可．
（1）解：把 代入 得： ，解得： ，把 代入 得： ，解得： ，
∴ ， ，把 ， 代入 得： ，解得： ，∴抛物线的函
数解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ，解得： ， ，∴ ，∴ ，∴
．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求抛物线函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、
一次函数图像上点的坐标特征、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答关键．
51．(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）将A（0，0）代入，再结合点A在点B的左侧，即可求解；
（2）由图象可求解；
（3）由题意结合图像直接回答即可．
（1）∵经过点 ∴ ∴ ，∵点A在点B的左侧且 ，∴对称轴 ∴ ，
∴ ，∴对称轴为直线 ；
（2）∵ 的顶点为 ∵ ，∴ ；
（3）由题意得：当新函数的函数值随x的增大而减小时， x的取值范围为： 或
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
52．(1)( ， )
(2) 轴
(3)（0，1）
【分析】（1）把二次函数的解析式化为顶点式即可求解；（2）把点D（m，m＋1）的坐标代入 求得 的值，令 求得点C的坐标，由此可判断CD与x
轴的位置关系；
（3）先确定点D关于直线BC的对称点 的位置在 轴，然后利用对称性即可求解．
(1)
∵ ,
∴二次函数图象的顶点坐标为( ， )；
(2)
∵第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，
∴ ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴D（3，4）；
当 时，代入 得 ，
∴C（0，4），
∴ 轴；
(3)
对于 ，
令 ，则 ，解得 ， ，
∴A（－1，0），B（－4，0）；
又∵C（0，4），
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∵点D关于直线BC的对称点为 ，
∴ 在 轴上，如图所示，则
∴ ，
∴ 的坐标为（0，1）．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质以及点关于直线的对称性，理解题意是解题的关键．
53．(1)
(2)
【分析】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据 得到S
关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．
(1)
∵直线y＝-x+n与x轴交于点A(3,0)，
∴0＝-3+n，
∴n＝3，
∴直线解析式为：y＝-x+3，当x＝0时，y＝3，
∴点B(0,3)，
∵抛物线y＝-x2+bx+c经过点A，B，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ；
(2)
如图，过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为(m,-m2+2m+3)，
∵点D在直线AB上，
∴点D的坐标为（m,-m+3），
∴PD＝-m2+2m+3-(-m+3)＝-m2+3m，
在y＝-x2+2x+3中．令y＝0，则-x2+2x+3＝0，
解得x＝-1，x＝3，
1 2
∴点C的坐标为(-1,0)，
∴S＝S ABC+S ABP ，
△ △
∴当m= 时，S最大，最大值为 ．
【点睛】本题是一次函数和二次函数的综合，考查了二次函数在几何问题中的应用、待定系数法求解抛物线解析
式、二次函数的最值、抛物线与坐标轴交点的坐标等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
54．(1)对称轴为直线x=2
(2)①y=-3x+2；②存在，M（6，—8）或点M为（ ， ）
【分析】（1）先解得直线 ： 与 轴、 轴分别相交于点A、C的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）①由三角形三边关系可证明当点P到达点Q时，PB+PC=QB+QC=BC的值最小，转化为解一元二次方程
，得到点B坐标为（6，0），再利用待定系数法求得直线的解析式，最后利用平移变换的性质解
答；
②分两种情况讨论，当AM为边时，AM=AC时，□ACFM是菱形，或当AM为对角线时，结合AC=AF时，□ACMF
是菱形，再转化为解一元二次方程即可解答．
（1）
解：在 中，令y=0，
即－3x－6=0，x=－2， 得A（－2，0）．令x=0，得y=－6，得C（0，－6）．
将点A、C的坐标代入抛物线C的表达式，得：
，解得 ．
，其对称轴为直线x=2．
（2）
①如图①，连接BC交DE于点Q，
则PB+PC BC． 当点P到达点Q时，
PB+PC=QB+QC=BC的值最小．
令y=0，即 ，
解得 ．
∴点B坐标为（6，0）．
设直线BC的表达式为 y=kx+h，则：
，解得 ．∴
当x=2时，y=2－6=－4．
∴点Q即点P的坐标为（2，-4）．
由将直线l：y=-3x-6向右平移得到直线 ，
可设直线 的表达式为y=-3x+h．
1
则 -4=-3×2+h，
1
∴h=2． 即y=-3x+2．
1
②存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形．
方法一：
如图②，当AM为边时，过点A作AM//CB交
于点M．
∵FM//CA，
∴当FM=CA时，以点A、C、F、M为顶点的
四边形ACFM是平行四边形．
当AM=AC时，□ACFM是菱形．由AM∥CB和直线CB： ，设直线AM的表达式为y=x+ n
则 0=-2+n．，即n=2．
∴y=x+2．
设点M（m，m+2），由AM=AC得， ，
∴ ， （舍去）．
∴点M为（ ， ）．
如图，若AM为对角线时，连接AF，过点C作CM//AF交 于点M．
∵FM∥AC，∴当FM=AC时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACMF是平行四边形
当AC=AF时，□ACMF是菱形． 由点F在直线 上，可设点F（p，p-6）
则 ，
∴ ， （舍去）
∴点F的坐标为（4，-2），
由将直线 向右平移得到直线 ，设直线 （即FM所在直线）的解析式为y=-3x+ h
∴-2=-3×4+ h，即h=10，
∴y=-3x+ 10
设点M（m，-3m+10），由CM=AC得， ，
∴ ， （舍去）．
∴点M为（6，-8）．
方法二：
如图②，若AM为边时，过点A作AM∥CB交 于点M．
∵FM//CA，
∴当FM=CA时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACFM是平行四边形．
当CA=CF时，□ACFM是菱形．
过点F作FH⊥CO于H，则CH= ．
， ，
∴ ，∴ ， （舍去），
∴F（ ， ）．
∵FM//CA且FM=CA，
∴可将CA先向右平移 单位、再向上平移 单位得到FM，
即可将点A（－2，0）先向右平移 单位、再向上平移 单位得到点M．
故点M的坐标为（ -2， ）．
若AM为对角线时，连接AF，过点C作CM∥AF交 于点M．
∵FM//AC，
∴当FM=AC时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACFM是平行四边形．
当AC=AF时，□ACMF是菱形．
， ，
，∴ ， （舍去），
∴点F的坐标为（4，—2）
∵FM//AC且FM=AC，
∴可将AC先向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到FM，
即可将点C（0，-6）先向右平移6单位、再向下平移2单位得到点M．
∴点M的坐标为（6，-8）．
