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专题21.2 一元二次方程的判别式、根与系数（专项训
练）
1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
3．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2√2
5．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值
范围（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
6．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
7．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
8．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
9．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
10．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
11．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角
三角形的面积.
12．设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-113．若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．已知 x ,x 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两个根，且 x +x =3,x ⋅x =1
1 2 1 2 1 2
，则a，b的值分别是（ ）
A．a=−3,b=1 B．a=3,b=1
3 3
C．a=− ,b=−1 D．a=− ,b=1
2 2
m+n
15．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为
mm
．
16．已知m，n为一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，则 (m−2)(n−2) 的
值为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，则x2+x 2
1 2 1 2
的值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
1 1
18．已知x ,x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
19．已知 x ,x 是关于x的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实
1 2
1 1
数根，且满足
+ =1
，则m的值为（ ）
x x
1 2
A．−3 或1 B．−1 或3 C．−1 D．3
20．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 .
21．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（ ）
A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013
22．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x ， x .
1 2
（1）求实数m的取值范围；（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
23．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x，x 满足x2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
24．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
1 1
（2）若方程的两实数根分别为 x ,x ,且满足 + =2 ,求 k 的值.
1 2 x x
1 2
专题21.2 一元二次方程的判别式、根与系数（专项训
练）（解析）1．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解答】解：∵根的判别式Δ=(−1) 2−4×(−1)=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
2．下列关于x的一元二次方程，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+kx﹣1＝0 B．x2+kx+1＝0 C．x2+x﹣k＝0 D．x2+x+k＝0
【答案】A
【解答】解：A、△＝k2﹣4×1×（﹣1）＝k2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合
题意；
B、△＝k2﹣4×1×1＝k2﹣4，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合
题意；
C、△＝12﹣4×1×（﹣k）＝1+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，
不符合题意；
D、△＝12﹣4×1×k＝1﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合
题意.
故答案为：A.
3．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵b+c=5，
∴c=5-b，
∴3x2+bx+b-5＝0 ，
∴△=b2-4ac=b2-4×3×(b-5)
=b2-12b+60
=(b-6)2+24>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.
4．若一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±4 D．±2√2
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，
∴△=m2－4×4=0，
解得：m=±4，
故答案为：C．
5．关于x的一元二次方程mx2+（2m﹣4）x+（m﹣2）＝0有两个实数根，则m的取值
范围（ ）
A．m≥2 B．m≤2 C．m≥2且m≠0 D．m≤2且m≠0
【答案】D
【解答】解：根据题意得m≠0且Δ=（2m-4）2-4m×（m-2）≥0，
解得m≤2且m≠0，
故答案为：D．
6．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
【答案】B
【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B
7．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
【答案】B
【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
8．若关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，则 a 应满足( )
A．a≤1 B．a≤1 且 a≠0
C．a≥−1 且 a≠0 D．a≥1
【答案】B
【解答】解：∵ 关于 x的一元二次方程 ax2−2x+1=0 有实数根，
∴b2-4ac≥0且a≠0
∴4-4a≥0
解之：a≤1
∴a的取值范围是a≤1且a≠0.
故答案为：B.
9．已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根．
（1）求a的取值范围；．
（2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根．
1
【答案】（1） a>- 且a≠0 （2）-3.
3
【解答】（1）解：由题意得：a≠0，△=4+12a>0，
1
解得a>- 且a≠0.
3
（2）解：由题意得：a+2-3=0，
解得：a=1，
∴x2+2x-3=0，
(x-1)(x+3)=0，
解得x=1或-3，
∴另一个实数根为：-3.
10．已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于3，求m的取值范围．
【答案】（1）略 （2）m<−3．
【解答】（1）证明：∵△=b2−4ac
=(m+2) 2−4×2m
=(m−2) 2，
∵无论m取何值时，(m−2) 2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
（2）解：∵原方程可化为(x+2)(x+m)=0，
∴x =−2，x =−m，
1 2
∵该方程有一个根大于3，
∴−m>3．
∴m<−3．
11．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角
三角形的面积.
3
【答案】（1）略 （2） 或√2.
2
【解答】（1）证明：x2−(m+2)x+(2m−1)=0，
其中：a=1，b=−(m+2)，c=2m−1，
∴Δ=b2−4ac=[−(m+2)] 2−4×1×(2m−1)=(m−2) 2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，(m−2) 2+4>0，
即Δ>0，
∴关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得：将x=1代入方程可得：
12−(m+2)+(2m−1)=0，解得m=2，
∴方程为x2−4x+3=0，
解得：x =1或x =3，
1 2
∴方程的另一个根为x=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
1 3
该直角三角形的面积为： ×1×3= ；
2 2
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为√32−12=2√2，
1
则该直角三角形的面积为 ×1×2√2=√2；
2
3
综上可得，该直角三角形的面积为 或√2
2
12．设 α,β 是一元二次方程 x2+2x−1=0 的两个根，则 αβ 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-2 D．-1
【答案】D
【解答】解：∵ α,β 是一元二次方程 ，
∴αβ=−1 .
故答案为：D.
13．若一元二次方程x2− 5x+k =0的一根为2，则另一个根为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：设方程的另一根为t，
根据题意得2＋t＝5，
解得t＝3.
故答案为：A.
14．已知 x ,x 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两个根，且 x +x =3,x ⋅x =1
1 2 1 2 1 2
，则a，b的值分别是（ ）
A．a=−3,b=1 B．a=3,b=13 3
C．a=− ,b=−1 D．a=− ,b=1
2 2
【答案】D
【解答】解： ∵ x2+2ax+b=0 ，
∴x +x =−2a=3，x ⋅x =b=1 ，
1 2 1 2
3
解得a=- ，b=1.
2
故答案为：D.
m+n
15．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为
mm
．
【答案】-2
【解答】解：根据题意得m+n=4，mn=-2，
4
所以原式= =-2．
−2
故答案为：-2
16．已知m，n为一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，则 (m−2)(n−2) 的
值为（ ）
A．-7 B．7 C．-2 D．2
【答案】A
【解答】解：∵m，n是一元二次方程 x2−4x−3=0 的两个实数根，
∴m＋n＝4，mn＝-3，
∴(m−2)(n−2)=−3−2×4+4=−7 ，
故答案为：A．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，则x2+x 2
1 2 1 2
的值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：根据根与系数的关系得x+x ＝3，xx＝1，
1 2 1 2
所以x2+x 2＝（x+x ）2﹣2xx＝32﹣2×1＝7．
1 2 1 2 1 2
故答案为：B．1 1
18．已知x ,x 是方程x2−x−1=0的根，则 + 的值是（ ）
1 2 x x
1 2
A．1 B．-1 C．±1 D．0
【答案】B
【解答】解：∵x 与x 是方程x2−x−1=0的根，
1 2
∴x +x =1,x ⋅x =−1 ，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=−1.
x x x x
1 2 1 2
故答案为：B.
19．已知 x ,x 是关于x的一元二次方程 x2−(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实
1 2
1 1
数根，且满足
+ =1
，则m的值为（ ）
x x
1 2
A．−3 或1 B．−1 或3 C．−1 D．3
【答案】D
【解答】解：根据题意得： x +x =2m+3,x ⋅x =m2 ，且 Δ>0 ，
1 2 1 2
∴(2m+3) 2−4m2>0 ，
3
解得： m>− ，
4
1 1
∵
+ =1
，
x x
1 2
x +x 2m+3
∴
1 2=1
，即
=1
，
x x m2
1 2
解得： m=3 或 m=−1 ，
∴m的值为3.
故答案为：D.
20．设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为 .
【答案】2020
【解答】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，b
∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝− ＝−1，
a
∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝2020.
故答案为：2020.
21．设α、β是方程x2+x+2012=0的两个实数根，则α2+2α+β的值为（ ）
A．-2014 B．2014 C．2013 D．-2013
【答案】D
【解答】解：∵a是方程的根
∴a2+a+2012=0
∴a2=-a-2012
∴a2+2a+β=-a-2012+2a+β=a+β-2012
∵a和β是方程的两个实数根
∴a+β=-1
∴a+β-2012=-1-2012=-2013
故答案为：D.
22．已知关于x的一元二次方程 x2+(2m−3)x+m2=0 有两个实数根 x ， x .
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 x +x =6−x x ，求m的值.
1 2 1 2
3
【答案】（1） m≤ （2）m=−1
4
【解答】（1）解：因为一元二次方程有两个实数根，
所以 Δ=b2−4ac=(2m−3) 2−4m2≥0
∴4m2−12m+9−4m2≥0
∴−12m≥−9
3
∴m≤
4
3
即实数m的取值范围为 m≤ ；
4
b c
（2）解： ∵x +x =− =3−2m,x ⋅x = =m2 ， x +x =6−x x
1 2 a 1 2 a 1 2 1 2
∴3−2m=6−m2∴m2−2m−3=0
∴(m−3)(m+1)=0
∴m=3 （舍去）或 m=−1∴m=−1
23．已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x，x 满足x2+x 2=10，求k的值．
1 2 1 2
【答案】（1）k≤5 （2）4
【解答】（1）解：△=(−4) 2−4(k−1)
=−4k+20
由于方程有实数根，所以根的判别式△≥0，则
−4k+20≥0
解得k≤5
（2）解：由一元二次方程根与系数关系得x +x =4,x x =k−1
1 2 1 2
而x2+x2=(x +x ) 2−2x x =42−2(k−1)=10
1 2 1 2 1 2
解得k=4
由于k=4≤5符合题意，所以k的值为4．
24．已知关于 x 的一元二次方程 x2+(k−1)x−k=0
（1）求证：不论 k 为何实数,方程总有实数根;
1 1
（2）若方程的两实数根分别为 x ,x ,且满足 + =2 ,求 k 的值.
1 2 x x
1 2
【答案】（1）略 （2）k=-1.
【解答】（1）证明： ∵Δ=(k−1) 2+4k=k2−2k+1+4k=(k+1) 2 ,
∵(k+1) 2 ⩾0,∴Δ≥0,
∴无论 k 取何值, 该方程总有实数根
（2）解：∵一元二次方程x2+(k-1)x-k=0的两个根为x，x，
1 2
∴x+x =-（k-1）=1-k，xx=-k，
1 2 1 2
1 1
+
∵ =2，
x x
1 21 1 x +x 1−k
∴ + = 1 2= =2，
x x x x −k
1 2 1 2
∴整理，解得：k=-1.
