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21.2 解一元二次方程
考点一．直接降次解一元二次方程
（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为 （或 ）的形式；
②分三种情况降次求解：
（ⅰ）当 时， ， ；（ⅱ）当 时， ；（ⅲ）当 时，方程 无
实数根 ．
考点二．用配方法解一元二次方程
（1）定义：通过配成 完全平方 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：将常数项移到方程等号的右边．
二除：如果二次项系数不是 ，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为 ．
三配：方程两边都加上 一次项系数一半的平方 ，将方程左边配成完全平方的形式．
四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．
（3）配方法解一元二次方程：
①配方后，化为 型的方程，当 时，可用直接开方法求解．
②若 时，方程有两相等的根，即 ，而不是一个根 ．
③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错
误的情况．
考点三．用公式法解一元二次方程（1）一元二次方程根的判别式：
一般地，式子 叫做方程 根的判别式，通常用希腊字母 表示，即
．
①当 >0时，方程 有两个不相等的实数根，即 ．
②当 =0时，方程 有两个相等的实数根，即 ．
③当 <0时，方程 没有实数根．
（2）求根公式：
当 时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一
元二次方程 的求根公式．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；②确定 、 、 的值；③计算 的值；
④当 时，把 、 、 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当 时，方程
没有实数根 ．
考点四．用因式分解法解一元二次方程
（1）当方程缺少一次项时，可考虑用 平方差公式 分解因式．
（2）当方程缺少常数项时，可考虑用 提公因式法 分解因式，且方程一定有一根为 ．
（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作 整体 ，直接因式分解．
考点五．一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ， ．技巧归纳．选择合适的方法解一元二次方程
方法名称 理论依据 适用范围
直接降次法 平方根的意义 形如 或 的一元二
次方程
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程
公式法 配方法 所有一元二次方程
若 ，则 一边为 ，另一边易于分解成两个一次因式的积的
因式分解法
或 一元二次方程
（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配
方法．
（2）如果二次项系数为 ，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方
法．
（3）．涉及两根的代数式的重要变形：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4）
题型一：用配方法解一元二次方程
1．用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．用配方法解下列方程：(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) ； (6) ．
题型二：由判别式判断根的情况
4．关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
5．关于x的一元二次方程x2＋kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
6．关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围（ ）
A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≤﹣1
题型三：估计根的情况判断参数范围
7．若方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
9．关于x的一元二次方程 没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：用公式法解一元二次方程10．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为 ，下列判断一定正确的
是（ ）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝1 D．
11．若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知关于x的一元二次方程 ．
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当 时，用合适的方法求此时该方程的解．
题型五：用因式分解法解一元二次方程
13．已知1和2是关于x的一元二次方程 的两根，则关于x的方程 的根为
（ ）
A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．0和3
14．若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x=3，x=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（ ）
1 2
A． ， B． ，
C． ， D． ，
15．用因式分解法解一元二次方程
(1) ；
(2) ．
题型六：一元二次方程的根与系数的关系16．已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
17．已知关于 的一元二次方程 ，
(1)求证：无论 取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
(2)若 ， 是原方程的两根，且 ，求 的值．
18．关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两根分为 、 ，且 ，求 的值．
一、单选题
19．一元二次方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
20．在用配方法解方程 时，可以将方程转化为 其中所依据的一个数学公式是（ ）
A． B．
C． D．
21．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根22．下列解方程变形正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
23．已知一元二次方程 的两个根分别为 和 ，且 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
24．已知a，b是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A．2026 B．2024 C．2022 D．2020
25．用配方法解方程 ，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
27．按要求解方程．
（1） （直接开方法）
（2） （公式法）
（3） （因式分解）
（4） （配方法）一：选择题
28．设关于 的方程 ，有两个不相等的实数根 ，且 ，那么实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
29．以下关于一元二次方程 的根的说法中，不正确的是（ ）
A．若c＝0，则方程 一定有一根为0；
B．若 ，则方程 一定有两个实数根；
C．若 ，则方程 必有一根为－1；
D．若 ，则方程 必有两个不相等的实数根．
30．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
31．若a≠b，且 则 的值为（ ）
A． B．1 C．.4 D．3
32．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
33．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则 的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
34．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k≥ C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
二、填空题
35．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．36．一元二次方程 的两根为 , ,则 的值为____________ .
37．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x、x，且x2+x2=4，则x2﹣xx+x2的值是_____．
1 2 1 2 1 1 2 2
38．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，那么a＋b的值为________．
39．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣
mn+2m+2015=_____________．
40．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方
程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
41．已知实数 ， 满足条件 ， ，则 ________．
42．关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两
个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是__（填序号）．
三、解答题
43．已知关于x的一元二次方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值．
44．用指定的方法解下列方程：
（1） ；（直接开平方法）
（2） ；（配方法）
（3） ；（公式法）
（4） ．（因式分解法）45．选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
46．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x，x，且|x |=|x|﹣2，求m的值及方程的根．
1 2 1 2
47．已知关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值．
48．用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
49．用适当的方法解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ．50．阅读材料:若 ，求m、n的值.
解: ，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知 ，求 的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值.
（3）若已知 ，求 的值.1．A【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
故选：A．
2．B【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
则 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
3．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】利用配方法求解即可．
（1）解：3x2−5x=2移项得：x2- x= ，配方得：x2- x+ = + ，合并得：（x- ）2= ，解得：x= +
1=2，x= - =- ；
2
（2）解：x2+8x=9配方得：x2+8x +16=9+16，合并得：（x+4）2=25，解得x=1，x=-9；
1 2
（3）解：x2+12x−15=0移项得：x2+12x+36=15+36，配方得：（x+6）2=51解得x=-6＋ ，x=-6-
1 2
（4）解： x2−x−4=0去分母得： ，移项得： ，配方得：x2-4 x+4=16+4，合并得：
（x-2）2=20，解得：x=2＋2 ，x=2－2 ；
1 2
（5）解：2x2+12x+10=0 系数化为1得： ，移项得： ，配方得：x2+6x+9=-5+9，合并得：
（x+3）2=4，解得：x=-1，x=--5；
1 2
（6）解：x2+px+q=0，移项得： ，配方得：x2+px+ =-q+ ，合并得：(x+ )2= ，解得x=
．
【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键．
4．B【分析】先求出根的判别式∆的值，然后根据∆的值判断即可．
【详解】∵根的判别式
∴该一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与
根的关系式解答本题的关键．当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个
相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．
5．C【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求解．
【详解】解：由根的判别式得：Δ=b2-4ac=k2+8＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ=b2-4ac）可以判断方程的根
的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，
方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
6．B【分析】根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义进行解答即可．
【详解】解：∵方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，
∴ 且 ，解得k≥﹣1且k≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握当 >0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两
个相等的实数根； <0时，方程有没有实数根是解题关键．另外一元二次方程还需二次项系数不为0．
7．D【分析】利用一元二次方程根的判别式求出 的取值范围，由此即可得．
【详解】解： 方程 有两个不相等的实数根，
此方程根的判别式 ，
解得 ，
观察四个选项可知，只有选项D符合，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
8．D【分析】根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得： 且 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的
关键．当 时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．
9．A【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：∵一元二次方程 没有实数根，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1） >0 方程有两个不
相等的实数根；（2） =0 方程有两个相等的实数根；（3） <0 方程没有实数根．
10．D【分析】根据一元二次方程的求根公式可得答案．
【详解】解：根据一元二次方程的求根公式可得： ， ，∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴ ，
∴ , ,
∴则 ， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．
11．D【分析】根据 得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，即可得到方程．
【详解】解：根据 得二次项系数a=3，一次项系数b=-2，常数项c=-1，
∴这个一元二次方程是 ，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的求根公式，正确掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
12．(1) ，且
(2) ，
【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根可知， ＞0且 ，即可求解；
（2）将 代入方程，可得 ，用公式法即可求解（方法不唯一）．
（1）解：由题意得: ＞0，即： ， ，解得： ，∵该方
程为一元二次方程，∴ ，∴当 ，且 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：当m＝2时，方程为 ，∵ ＝9＋4×2×2＝25＞0，∴ ，∴ ，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程的解法．
13．A【分析】设 则 为： 则 或 从而可得答案．
【详解】解：设 则 为：∵1和2是关于x的一元二次方程 的两根，
或
或
解得：
即 的根为
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，掌握“整体未知数法解方程”是解本题的关键．
14．B【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=3，
1
x=-5，得到t=3，t=-5，于是得到结论．
2 1 2
【详解】解：设t=y+1，
则原方程可化为at2+bt+c=0，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=3，x=-5，
1 2
∴t=3，t=-5，
1 2
∴y+1=3或y+1=-5，
解得y=2，y=-6．
1 2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
15．(1) ，
(2) ，
【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；
（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．
（1）解： ； ， ，解得： ，
（2）解： ， ， ； ， 解
得： ， ．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．
16．B【分析】根据根与系数关系求出 =3，a=3，再求代数式的值即．【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，
∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值
是解题关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式 ，证明 恒大于0即可得出结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系 ， ，代入即可求出 的值．
（1）
证明：∵ ，
∴无论 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）
解：由题可知， ， ，
∴ ，
解得 ，
经检验m=2有意义．
【点睛】此题考查了一元二次方程中根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程中根的判别式，根与
系数的关系是本题的关键．
18．(1)见解析；
(2)k=7或k=-3．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x+x=k-3，xx=-2k+2，再将它们代入 ，即可
1 2 1 2
求出k的值．
（1）
∵b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）
由根与系数关系得x+x=k-3，xx=-2k+2，
1 2 1 2
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得：k=7或k=-3．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0
方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根；（4）x+x=⇔-
1 2
⇔ ⇔
，x•x= ．
1 2
19．D【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．B【分析】根据配方法解方程的基本步骤去判断依据即可．
【详解】用配方法解方程 时，可以将方程转化为 ，
其中所依据的一个数学公式是 ．
故选：B．【点睛】本题考查了配方法解方程的基本依据,熟练掌握配方的依据是完全平方公式是解题的依据．
21．C【分析】先求一元二次方程根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：∵ ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等
的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
22．C【分析】利用因式分解法求解、直接开平方法变形和配方法变形求解即可判断．
【详解】解：A、若 ，
移项得
则 ，故该选项不符合题意；
B、若
开平方得 ，故该选项不符合题意；
C、若
则
，故该选项符合题意；
D、若
移项得
提公因式得
则x=0或x=-2，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式因式分解法、直接开平方法和配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的
方法是解题的关键．
23．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求得 ，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别为 和 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
24．A【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=3，a+b=−1，将其代入即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，
∴a2+a=3，a+b=−1，
∴b=-a-1，
=2026
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一元二次方程的解
及根与系数的关系是解决本题的关键．
25．B【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】解：
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求
解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
26．（1）k≤ ；（2）k=﹣1．【详解】【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣
1）=﹣8k+5≥0，解之可得；（2）利用根与系数的关系可用k表示出x+x 和xx 的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利
1 2 1 2
用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤ ；
（2）由根与系数的关系可得x+x=2k﹣1，xx=k2+k﹣1，
1 2 1 2
∴x2+x2=（x+x）2﹣2xx=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
1 2 1 2 1 2
∵x2+x2=11，
1 2
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤ ，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一
种经常使用的解题方法.
27．（1）x= ，x= ；（2）x= ，x= ；（3）x=﹣ ，x=1；（4）x=21，x=﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
19【详解】解：（1）
（2）（3）
或
（4）
28．D【分析】根据一元二次方程根的判别式求出a的取值范围，再由根与系数的关系求出a的取值范围，找到公
共解集即可解答．
【详解】解：根据题意得，
，解得
或 ，无解综上，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
29．B【分析】根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、若c＝0，则方程为 ，即 ，
∴方程 一定有一根为0，正确，不符合题意；
B、若 ，则方程为 ，
∵ ，
∴只有当ac≤0时，即 ，方程 有两个实数根，故原说法错误，符合题意；
C、将x＝－1代入方程 可得： ，
∴若 ，则方程 必有一根为－1，正确，不符合题意；
D、∵ac＜0，
∴Δ＝b2−4ac＞0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：Δ＞
0 方程有两个不相等的实数根；Δ＝0 方程有两个相等的实数根，Δ＜0 方程没有实数根． △
3⇔0．B【分析】根据一元二次方程的解⇔法，求出方程的根，然后根据三角形⇔的三边关系判断是否可以构成三角形，
最后计算周长即可。
【详解】解：∵ ，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选：B．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法并明确
构成三角形的条件是解题的关键．
31．B【详解】解：由 得：
∴
又由 可以将a，b看做是方程 的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解．
32．D【分析】根据一元二次方程 根的判别式
进行计算即可．
【详解】解：根据一元二次方程一元二次方程 有两个实数根，
解得： ，
根据二次项系数 可得：
故选D．
【点睛】考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
33．B【详解】解：∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴ ， ，
因此可得2α2=5α+1，
代入2α2+3αβ+5β
=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1
=5× +3×（- ）+1
=12；
故选B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的
关系x+x=- ，x·x= ，然后变形代入即可．
1 2 1 2
34．C【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞ 且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程
有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
35． 且 ．【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义解题即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得 ．
又∵该方程为一元二次方程，
，
且 ．
故答案为： 且 ．
【点睛】本题主要考查根的判别式及一元二次方程的定义，属于基础题，掌握根的判别式及一元二次方程的定义
是解题的关键．
36．2【详解】【分析】根据一元二次方程根的意义可得 +2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得
=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.
【详解】由题意得： +2=0， =2，
∴ =-2， =4，
∴ =-2+4=2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.37．4【分析】根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方
程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得
答案．
【详解】解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x、x，
1 2
∴x+x=2k，x•x=k2﹣k，
1 2 1 2
∵x2+x2=4，
1 2
∴（x+x）2-2xx=4，
1 2 1 2
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x•x=k2﹣k=0，
1 2
∴x2﹣xx+x2=4﹣0=4，
1 1 2 2
故答案为4．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式
△≥0”是解题的关键．
38．±4【详解】∵（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝63，
∴(2a+2b)2-1=63,
∴(2a+2b)2=64,
∴2a+2b=±8,
∴a+b=±4.
故答案为±4.
39．2026【分析】根据一元二次方程根的问题，要能看出来m，n可以看做是一个一元二次方程的解，根据根与系
数的关系求出两个解关系的值，最后代入要求的式子．
【详解】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，
所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，
又n2=n+3，
则2n2-mn+2m+2015
=2（n+3）-mn+2m+2015
=2n+6-mn+2m+2015
=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021
=2+3+2021
=2026．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的问题，以及整体思想，把代数式的值代入已有的式子，最后进行求值．
解决此题的关键是能把m，n看做同一个一元二次方程的根。
40．②③④【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当 满足 时，有 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根之间的关
系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当 或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【详解】①解方程 ，得 ，
，
方程 不是“倍根方程”．故①不正确；
② 是“倍根方程”，且 ，
因此 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
，故②正确；
③ ，
，
，
，
因此 是“倍根方程”，故③正确；
④方程 的根为 ，若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的
意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
41． 【分析】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的
两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个
根，∴a+b＝7，ab＝2，∴ ．故答案为 ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解
题．
42．①③【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x﹣m+1=0根的情况，进而填空．
【详解】解：当m=0时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1=0是一元二次方程， =1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=（2m﹣1）2≥0，方程有两个实
数解，②错误； △
把mx2+x﹣m+1=0分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，所以x=﹣1是方程mx2+x﹣m+1=0的根，③正确；
故答案为①③．
43．（1）证明见解析（2）1或2【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方
程的 的值大于0即可；
（2）△根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，方程的两实根为 ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，
解得，m=1，m=2，
1 2
即m的值是1或2．
44．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．【分析】
（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可；
（2）利用配方法求解即可；
（3）利用求根公式进行求解即可；
（4）先变号，再提公因式进行计算即可．
【详解】解：（1） ，
开平方，得 ，解得 ；
（2） ，
移项，得 ，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得 ，即 ，
开平方，得 ，
解得 ；
（3） ，
，
，即 ；
（4） ，
，
分解因式，得 ，
∴ 或 ，
解得 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关键．
45．(1)x＝0，x＝ ；(2)x＝1，x＝﹣ ．【分析】(1)将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进
1 2 1 2
行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,(2) 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式
分解,再进行解一元一次方程即可求解,
【详解】(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
所以x1＝0,x2＝ ；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣ ．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
46．（1）证明见解析；（2）x=﹣1+ ，x=﹣1﹣ 或【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式
1 2
△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，
方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x+x=- ，x•x= ，表示出两根的关系，得到x，x 异号，然后根据绝
1 2 1 2 1 2
对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.
试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣ ）2+ ，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x•x= =﹣m2≤0，x+x=m﹣3，
1 2 1 2
∴x，x 异号，
1 2
又|x|=|x|﹣2，即|x|﹣|x |=﹣2，
1 2 1 2
若x＞0，x＜0，上式化简得：x+x=﹣2，
1 2 1 2
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x=﹣1+ ，x=﹣1﹣ ，
1 2
若x＜0，x＞0，上式化简得：﹣（x+x）=﹣2，
1 2 1 2
∴x+x=m﹣3=2，即m=5，
1 2
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x=1﹣ ，x=1+ ．
1 2
47．（1） ；（2） 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即 求解即可；
（2）由韦达定理把 和 分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将 变形为
，再代入计算即可解出答案．【详解】（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是 ．
（2）由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当 时，方程有实数根；（2）掌握
根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
48．（1） ； （2） ；（3） ；（4）
．【分析】（1）根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可；
（2）先用提公因式法因式分解，再按ab=0方式解方程即可；
（3）先移项，然后按平方差公式因式分解，即可ab=0方式解方程即可；
（4）把x+3看做一个整体，然后根据十字相乘法因式分解后，按ab=0方式解方程即可．
【详解】解：（1） ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3） ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4） ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
49．（1） ， ；（2） ， ；（3） ， ．【分析】（1）选择求根公式法，
先判断 的值，然后带入求根公式即可；
（2）先对方程进行化简，然后使用因式分解法解方程，即可得到；
（3）用提公因式法进行化简计算即可得到答案.
【详解】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
（2）原方程可变形为 ，
即 ．
∴ ，或 ．
∴ ， ．
（3）移项，得 ．
因式分解，得 ，
即 ．
∴ ，或 ．
∴ ， ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握各种解法是解题的关键．
50．（1）2（2）6（3）7【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数
之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别
为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为
0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c
﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
