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专题 35 导数中双变量与极值点偏移必刷 100 题
类型一:极值点偏移问题1-25题
1．（1）设 ，且 ，证明： ；
（2）若函数 ，且m为非零实数，若存在 ，且 ，使得
，证明 ： ．
2．已知函数 有且仅有两个极值点 ， 且 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
3．已知函数 （ 为自然对数的底数）， 为 的导函数．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若存在不相等的实数 ， ，使得 ，证明： ．
4．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
5．已知函数 ，其中 ，且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，求证： .
6．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
7．已知函数 ．若函数 存在三个零点，分别记为 ， ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）证明： ．
8．已知函数 （ ，且 ）为单调减函数， 的导函数 的最大值不小于0．
（1）求 的值；
（2）若 ，求证： ．
9．已知函数 ( )．
（1）求函数 的单调性；
（2）设函数 满足 ，若函数 有两个不同的零点 、 且 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
10．已知函数 有两个相异零点 ．
（1）求a的取值范围．
（2）求证： ．
11．已知函数 ．
（1）讨论 在其定义域内的单调性；
（2）若 ，且 ，其中 ，求证： ．12．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数 ， ，满足 ，求证： ．
13．设函数 ， .
（1）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，当 时，求证： .
14．已知函数 .其中 为常数.
（1）若函数 在定义域内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， 是函数 的两个不同的零点，求证： .
15．已知函数 ， ，其中 .（1）若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围.
（2）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： .
16．已知f（x）＝m e2x﹣2x（x+1） ex，其中e为自然对数的底数，且函数f（x）恰有两个极值点x，x.
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：3＜xx﹣（x+x）＜8.
1 2 1 2
17．已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，且 ，证明： .
18．已知函数 在 内有两个极值点x，x（x＜
1 2 1
x），其中a为常数.
2
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x+x＞2.
1 219．已知函数 有两个不同的零点 ， .
（1）求a的范围；
（2）证明： .
20．已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，求证： .
21．已知函数 有两个极值点 .
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ；
（III）求证： .
22．已知 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）设 ，且 ，求证： .23．函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
24．已知函数 有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是 的两个零点，证明： .
1 2
25．已知函数 .
（1）证明： 在 上为增函数；
（2）若 ， ，证明： .类型二:消元解决双变量问题26-100题
26．设函数 ，
（1）求 的单调区间；
（2）设 ，求证： ，恒有 .
（3）若 ，函数 有两个零点 ，求证 .27．已知函数 .
（1）函数 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围：
（2）求证：当 时， ；
（3）若 有两个不同的零点 ，求证： .
28．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ,当 时，满足 ，求证： ．
29．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，其中 ，求证： .
30．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若 ，设 为 的导函数，若函数 有两个不同的零点 ，求证： ．
31．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
32．已知函数 .
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明： .
33．已知函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且 .（1）求实数a的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
34．已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x、x，试证明xx＞e2．
1 2 1 2
35．已知函数 ， .
（1）若 存在单调递增区间，求 的取值范围；
（2）若 ， 与为 的两个不同极值点，证明： .
36．已知函数 存在两个零点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .37．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， （ ），证明： .
38．已知函数 ， .
（1）已知函数 在区间 上单调，求实数m的取值范围；
（2）设 ，若 ， ， ，求整数m的最小值.（参考数据：
， ）
39．已知函数 ， .
（1）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
（2）设g(x)=f(x)+（a+1）x，证明：当-1
