文档文本内容
专题 35 导数中双变量与极值点偏移必刷 100 题
类型一:极值点偏移问题1-25题
1．（1）设 ，且 ，证明： ；
（2）若函数 ，且m为非零实数，若存在 ，且 ，使得
，证明 ： ．
2．已知函数 有且仅有两个极值点 ， 且 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
3．已知函数 （ 为自然对数的底数）， 为 的导函数．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若存在不相等的实数 ， ，使得 ，证明： ．
4．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
5．已知函数 ，其中 ，且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，求证： .
6．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
7．已知函数 ．若函数 存在三个零点，分别记为 ， ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）证明： ．
8．已知函数 （ ，且 ）为单调减函数， 的导函数 的最大值不小于0．
（1）求 的值；
（2）若 ，求证： ．
9．已知函数 ( )．
（1）求函数 的单调性；
（2）设函数 满足 ，若函数 有两个不同的零点 、 且 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
10．已知函数 有两个相异零点 ．
（1）求a的取值范围．
（2）求证： ．
11．已知函数 ．
（1）讨论 在其定义域内的单调性；
（2）若 ，且 ，其中 ，求证： ．12．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数 ， ，满足 ，求证： ．
13．设函数 ， .
（1）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，当 时，求证： .
14．已知函数 .其中 为常数.
（1）若函数 在定义域内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， 是函数 的两个不同的零点，求证： .
15．已知函数 ， ，其中 .（1）若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围.
（2）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： .
16．已知f（x）＝m e2x﹣2x（x+1） ex，其中e为自然对数的底数，且函数f（x）恰有两个极值点x，x.
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：3＜xx﹣（x+x）＜8.
1 2 1 2
17．已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，且 ，证明： .
18．已知函数 在 内有两个极值点x，x（x＜
1 2 1
x），其中a为常数.
2
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x+x＞2.
1 219．已知函数 有两个不同的零点 ， .
（1）求a的范围；
（2）证明： .
20．已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，求证： .
21．已知函数 有两个极值点 .
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ；
（III）求证： .
22．已知 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）设 ，且 ，求证： .23．函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
24．已知函数 有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是 的两个零点，证明： .
1 2
25．已知函数 .
（1）证明： 在 上为增函数；
（2）若 ， ，证明： .类型二:消元解决双变量问题26-100题
26．设函数 ，
（1）求 的单调区间；
（2）设 ，求证： ，恒有 .
（3）若 ，函数 有两个零点 ，求证 .27．已知函数 .
（1）函数 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围：
（2）求证：当 时， ；
（3）若 有两个不同的零点 ，求证： .
28．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ,当 时，满足 ，求证： ．
29．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，其中 ，求证： .
30．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若 ，设 为 的导函数，若函数 有两个不同的零点 ，求证： ．
31．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
32．已知函数 .
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明： .
33．已知函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且 .（1）求实数a的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
34．已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x、x，试证明xx＞e2．
1 2 1 2
35．已知函数 ， .
（1）若 存在单调递增区间，求 的取值范围；
（2）若 ， 与为 的两个不同极值点，证明： .
36．已知函数 存在两个零点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .37．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， （ ），证明： .
38．已知函数 ， .
（1）已知函数 在区间 上单调，求实数m的取值范围；
（2）设 ，若 ， ， ，求整数m的最小值.（参考数据：
， ）
39．已知函数 ， .
（1）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
（2）设g(x)=f(x)+（a+1）x，证明：当-1<a<0时，在区间（a，0）上任取不等的两数m和n，总有
.
40．已知函数 ．（1）当 ， 时，求 的单调区间；
（2）当 时，若函数 有两个不同的极值点 ， ，且不等式 有解，求实
数 的取值范围；
（3）设 ，若 有两个相异零点 ， ，求证： ．
41．已知函数 ．
（1）当 时，若函数 恰有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当 ， 时，对任意 ，有 成立，求实数b的取值范围．
42．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）实数 ， 满足 ，求 的最大值．
43．已知函数 ， ．
（1）曲线 在 处的切线方程；
（2）设函数 ．①若 在定义域上恒成立，求a的取值范围；
②若函数 有两个极值点为 ， ，证明： ．
44．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个相异零点 ，求证： .
45．已知函数 ， ，若函数 的图象与函数 的图
象的一个公共点 的横坐标为 且两函数图象在点 处的切线斜率之和为 .
（1）求 的值；
（2）对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
46．已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .47．已知函数 .
（1）求函数 在定义域内的最值.
（2）当 时，若 有两个不同的零点 ， ，求证： .
48．已知 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）已知函数 有两个极值点 （ ），若 恒成立，试求 的取值范围.
49．已知函数 （ ）.
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 恰有两个极值点 ， （ ），且 ，求 的最大值.
50．已知函数 有两个零点 ， .
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： .51．已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性：
（2）若函数 恰有两个极值点 ，且 ，求 的最大值.
52．已知函数 ， .
（1）讨论 的零点个数；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 ，证明： .
53．已知函 （ ）有两个极值点 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）当 时，证明： ．
54．已知函数（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的最大值．
55．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ， ， .
56．设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有两个实根，设为 ， （ ），证明： ．
57．已知 ，
（1）求 在 处的切线方程及极值
（2）若不等式 对任意 成立，求 的最大整数解．
（3） 的两个零点为 ，且 为 的唯一极值点，求证：
58．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求证： .
59．已知函数 有最小值M，且 .
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）当 取得最大值时，设 ， 有两个零点为 ，证明：
.
60．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，对于任意 ，证明： .61．已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）已如函数 ，若 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
62．已知函数 ( 为常数).
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）当 时，设 的两个极值点 ， ，求 的最小值.
63．已知函数 （ ）， .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）当 时，若函数 有两个极值点 ， （ ），求证： .
64．已知函数 ， 为 的导数.（1）设函数 ，求 的单调区间；
（2）若 有两个极值点 ，
①求实数a的取值范围；
②证明：当 时， .
65．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知 为函数 的两个极值点，求 的最大值．
66．已知函数 (a R)．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ， 为函数 的两个极值点，证明： ．67．已知函数 .
（Ⅰ）设函数 ，当 时，证明：当 时， ；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 使 有两个不同的零点 ，证明： .
68．已知函数 .
（1）求函数 的最大值；
（2）若关于 的方程 有两个不等实数根 ，证明： .
69．已知函数 在 和 时取极值，且 .
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的取值范围.70．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）函数 有两个不同的极值点 ，求 的取值范围.
71．已知函数 若关于 的方程 有两个正实数根 且 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
72．已知函数 有两个零点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）记 的两个零点分别为 ， ，求证： ( 为自然对数的底数).
73．已知函数 ．
（1）若 ， ，试证明：当 时， ；
（2）若对任意 ， 均有两个极值点 ， ．
①求 应满足的条件；②当 时，证明： ．
74．已知函数 ， .
（1）求 的最小值；
（2）设函数 ，讨论 的单调性；
（3）设函数 ，若函数 的图像与 的图像有 ， 两个不同的
交点，证明： .
75．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调递减区间；
（2）若对任意 ，总存在不相等的正实数 ， ，恒有 成立，求 的取值范围.
76．已知函数 ， .（1）求函数 的极值；
（2）若存在 ， ，且当 时， ，当 时，求证： .
77．设函数 ( )．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 且方程 ， 在 上有两个不相等的实数根 ， ，求证： ．
78．已知函数 （ 为常数）.
（1）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；
（2）若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的范围.
79．已知函数 .
（Ⅰ）若 在 处的切线方程为 ，求a的值；
（Ⅱ）若 ， ，都有 恒成立，求实数a的取值范围.80．（1）已知 ，求证： ；
（2）若 ，求证： .
81．已知函数 .
（1）求曲线 上一点 处的切线的方程；
（2）设函数 的两个极值点为 ，求 的最小值.
82．已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小值；
（2）若 是 的切线，求实数k的值；
（3）若 与 的图象有两个不同交点A( ， )，B( ， )，求证： ．
83．设函数 ， ，其中 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 且方程 在 ，上有两个不相等的实数根 ， ，求证 .84．已知函数 ， 为 的导函数.
（1）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；
（2）当 时，求证：对任意的 且 ，有 .
85．已知函数 ， ，设 ．
（1）若 ，求 的最大值；
（2）若 有两个不同的零点 ， ，求证： .
86．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，函数 有三个不同的零点 ， ， ，求证： ．
87．已知函数 ， ．其中 ， 为常数．
（1）若函数 在定义域内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；（2）已知 ， 是函数 的两个不同的零点，求证： ．
88．已知函数 ．
（1）若 时，函数 有最大值为-1，求b的值；
（2）若 时，设 ， 为 的两个不同的极值点，证明： ；
（3）设 ， 为 的两个不同零点，证明 ．
89．已知函数 有两个零点 ， .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
90．已知函数 ，曲线 在点 处切线与直线 垂直．
（1）试比较 与 的大小，并说明理由；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ．91．已知函数 （ ）.
（1）若 是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若 ，若函数 有两个极值点 ， （ ），求 的取值范围.
92．已知函数 .（其中 为自然对数的底数，）
（1）若 恒成立，求证： ；
（2）若 的两个零点为 ， 且 ，求 的取值范围.
93．已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；
（2）若方程 有两个不同的根，求实数a的取值范围；
（3）如果 ，且 ，求证： .
94．已知实数 ，设函数 .
（1）当 ， 时，证明： ；（2）若 有两个极值点 ，证明： .
95．已知函数 ，其中 ， ，e为自然对数的底数.
(1)若 ，且当 时， 总成立，求实数a的取值范围；
(2)若 ，且 存在两个极值点 ， ，求证：
96．已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 存在两个零点 ，证明： ．
97．已知函数 有两个极值点.
（1）求实数 的范围；
（2）设函数 的两个极值点分别为 ， ，且 ，求实数 的取值范围.98．已知函数 的最大值为 ，且曲线 在x＝0处的切线与直线 平行
（其中e为自然对数的底数）．
（1）求实数a，b的值；
（2）如果 ，且 ，求证： ．
99．已知函数 ，曲线 在函数零点处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，若有 成立，求证： .
100．已知函数 ， .
（1）若函数 存在两个极值，求 的取值范围；并证明：函数 存在唯一零点.
（2）若存在实数 ， ，使 ，且 ，求 的取值范围.
