文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 33 讲 空间直线、平面的平行（精讲）
题型目录一览
①线面平行Ⅰ—利用三角形中位线
②线面平行Ⅱ—利用平行四边形
③线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理
④线面平行Ⅳ—利用面面平行
⑤面面平行的判定定理
一、知识点梳理
一、直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线 与平面 平行，记作 ∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平
面内的一条直线平行，那么这条
线∥线 直线和这个平面平行（简记为
线∥面 “线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在一个
平面内的所有直线都平行于另一
面∥面 个平面
线∥面
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个
平面平行，经过这条
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直
线∥面 线∥线 线就和交线平行
二、两个平面平行
1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面 和 ，若 ，则 ∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内有两条相
线∥面 交的直线都平行于另一个
平面，那么这两个平面平
面∥面
行（简记为“线面平行
面面平行
线 面 如果两个平面同垂直于一
条直线，那么这两个平面
面∥面
平行 ∥
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
面//面 如果两个平面平行，那
么在一个平面中的所有
线//面
直线都平行于另外一个
平面
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交，那
性质定理 么他们的交线平行（简
记为“面面平行 线面
平行”）
如果两个平面中有一个
面//面
垂直于一条直线，那么
另一个平面也垂直于这
线 面
条直线
【常用结论】
1.证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线 与平面 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
2.证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
二、题型分类精讲
题型 一 线面平行Ⅰ—利用三角形中位线
策略方法
1.可以拿一把直尺放在 位置（与 平齐），如图一；
2.然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，如图二；
3.此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在的位置就
是我们要找的平行线，直尺与 相交于点 ，连接 ，如图三；
4.此时 长度有长有短，连接 并延长刚好交于一点 ，刚好构成 型模型（ 为
中点，则 也为 中点，若 为等分点，则 也为 对应等分点）， ，如图
四．
P P P P
0
E E 0 E E
1
1
2
2
3A D A 3 D A D A D
4
F 4
F F
B C B C
B C B C
图一 图二 图三 图四
【典例1】如图， 垂直于梯形 所在平面， ， 为 的中点， ，
，四边形 为矩形.求证： 平面 ；【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的三棱锥 中，已知 为 的中点， 为 的中点，
为 的中点.证明： 平面 .
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为 中点，证明：
平面
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面 为正方形， E为PB的中点.证明：
平面 .4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中，点D是棱 的中点．求证： ∥
平面 .
5．（2023·全国·高三专题练习）在多面体 中，四边形 是正方形， 为 的中点，求
证：直线 平面 .
题型二 线面平行Ⅱ—利用平行四边形
策略方法
1.可以拿一把直尺放在 位置，如图一；
2.然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，如图二；3.此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在的位置就是
我们要找的平行线，直尺与 相交于点O，连接 ， 如图三；
4.此时 长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接
，刚好构成平行四边形 型模型（ 为 中点，O也为 中点， 为三角形 中
位线）， ，如图四．
P P P P
E O 0 E O E O E
0 1
A 1 D A2 D A D A D
2 3
3 4
B F 4 C B F C B F C B F C
图一 图二 图三 图四
【典例1】如图所示，长方体 中，M、N分别为 、 的中点，判断MN与平面
的位置关系，并证明你的结论．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ，
， 为 的中点.求证： 平面 .2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ，点 为 的中
点．求证： 平面 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面是矩形，E、F分别是 、 的中点.求
证： 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，求证：
平面 .5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ，
， 为棱 的中点. 证明： 平面 .
题型三 线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理
策略方法
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交
线平行
【典例1】如图，已知长方体 中， ， . 为 的中点，平面 交
棱 于点 .求证： ；【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， 为线段 的中点，平面 与棱 相交于点 .
求证： .
2．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥 中，底面 为矩形，平面 与平面 的交线为 ，
求证：直线 平行于平面 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形 为空间四边形 的一个截面，若截面为平行
四边形. 求证： 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，点 是 的中点，点 在 上，平面
与平面 相交于直线 ， ∥ ，证明： 是 的中点．5．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面
， 分别是 ， 的中点.记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且
，点 在棱 上，若直线 平面 ，求 的值
题型四 线面平行Ⅳ—利用面面平行
策略方法
已知平面 平面 ，则平面 里的任意直线均与平面 平行
【典例1】如图，在长方体 中，E，M，N分别是 的中点，求证： 平面
.【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， 为线段 的中点，平面 与棱 相交于点 .
求证： .
2．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥 中，底面 为矩形，平面 与平面 的交线为 ，
求证：直线 平行于平面 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形 为空间四边形 的一个截面，若截面为平行
四边形. 求证： 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，点 是 的中点，点 在 上，平面与平面 相交于直线 ， ∥ ，证明： 是 的中点．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面
， 分别是 ， 的中点.记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且
，点 在棱 上，若直线 平面 ，求 的值
题型 五 面面平行的判定定理策略方法
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条
直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【典例1】如图所示，在三棱柱 中，E，F，G，H分别是AB，AC， ， 的中点．求
证：平面 平面BCHG．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中，E，F分别为棱 的中点.求证：
平面 平面BDF2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中， ， ， 为 的中点．
(1)求证： 平面 .
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说
明理由．
4．（2023·全国·高三专题练习）在圆柱 中，等腰梯形ABCD为底面圆 的内接四边形，且
，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面 平面
ADE．5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 为 所在平面外一点， 、 、 分别为 、
、 的重心．求证：平面 平面 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知 是棱长为3的正方体，点E在 上，点
F在 上，G在 上，且 ，H是 的中点．
(1)求证： 四点共面
(2)求证：平面 平面 ．7．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，
，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接
OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图：在正方体 中，M为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面
∥平面QBC，二面角 与二面角 的大小都是 ， ， ．
证明：平面 ∥平面QAB．
