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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 22 练 平面向量的概念及其线性运算（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．设 是正方形ABCD的中心，则（ ）
A．向量 ， ， ， 是相等的向量
B．向量 ， ， ， 是平行的向量
C．向量 ， ， ， 是模不全相等的向量
D． ，
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，以及向量的概念，即可得出答案.
【详解】
对于A项， ， 不共线，故A项错误；
对于B项，显然 不平行，且 三点不共线，故B项错误；
对于C项，根据正方形的性质，可知 ， ， ， 的长度相等，故C项错误；
对于D项，根据正方形的性质， 方向相同， 方向相同.
又 ， ， ， 的长度相等，所以 ， ，故D项正确.
故选：D.
2．设如图，在平行四边形 中，下列结论正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由相等向量的定义即可得 ，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC
错误，D正确.
【详解】根据相等向量的概念可得 ，即A错误；
由向量的三角形法则可得 ，即B错误；
易知 ，所以可得 ，即C错误；
由向量的减法法则可得 ，所以D正确；
故选：D
3．化简以下各式:① ；② ；③ ；④ ，结
果为零向量的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法运算即可求解.
【详解】对于①， ,故①正确；
对于②， ,故②错误；
对于③， ，故③正确；
对于④， ,故④正确.故结果为零向量的个数是3.
故选:C.
4．如图所示， 、 、 分别是 的边 、 、 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的减法法则结合相等向量的定义可求得结果.
【详解】因为 、 、 分别是 的边 、 、 的中点，则 且 ，
所以， ， ，
因此， .故选：D.
5．在平行四边形 中， ，则必有（ ）
A． B． 或
C． 为矩形 D． 为正方形
【答案】C
【分析】根据零向量的概念分析判断A、B；根据向量线性运算可得 ，即平行四边形 的
对角线相等，则可判断选项C、D.
【详解】因为在 中，显然 ，则 ，故A、B错误；
因为 ，则 ，
即平行四边形 的对角线长相等，故 为矩形，故C正确；
因为没有确定 是否相等，故无法确定 是否为正方形，故D错误.故选：C.
6．如图，向量 ， ， ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法求解即可.
【详解】依题意，得 ，
故选：C．
7．如图，在 OAB中，P为线段AB上的一点，且 ．若 ，则（ ）
△
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】根据向量减法的几何意义，化简整理即可得出答案.
【详解】因为 ，所以有 ，整理可得 .
故选：A.
8．已知D是 的边BC上的点，且 ，则向量 （ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案.
【详解】由题意作图如下：
由 ，则 ，
.
故选：C.
9．如图，在 中，点 在 的延长线上， ，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】用向量的线性运算把向量 分解成 形式即可得答案.
【详解】∵ ，
∴ ，
故选：B．
10．在△OAB中，P为线段AB上的一点， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】 ,
所以 ，
故选：A
二、多选题
11．下列关于向量的命题正确的是（ ）
A．对任一非零向量 ， 是一个单位向量
B．对任意向量 ， ， 恒成立
C．若 且 ，则
D．在 中，C为边AB上一点，且 ，则
【答案】ABC
【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.【详解】对于A：由于 是非零向量，则 ，可得 是一个单位向量，故A正确；
对于B：根据向量减法的运算法则可得：
当 ， 共线时， （ ， 反向）或 （ ， 同向），
故 ；
当 ， 不共线时，由三角形法则可得 ；
综上所述： ，故B正确；
对于C：根据向量相等的定义可得 ，故C正确；
对于D：由题意可得 ，故D错误；
故选：ABC.
12．下列说法错误的为（ ）
A．共线的两个单位向量相等
B．若 ， ，则
C．若 ，则一定有直线
D．若向量 ， 共线，则点 ， ， ， 不一定在同一直线上
【答案】ABC
【分析】根据共线向量、单位向量的相关概念与性质判断各项的正误.
【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误；
选项B： ，不一定有 ，故B错误；
选项C：直线 与 可能重合，故C错误；
选项D：若向量 ， 共线，则 与 可能平行，此时A，B，C，D四点不共线，故D正确.
故选：ABC.13．已知M为 ABC的重心，D为边BC的中点，则（ ）
△
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据三角形重心的性质及向量的线性运算、基本定理一一判定即可.
【详解】如图，根据向量加法的平行四边形法则，易得 ，故A正确；
由题意得M为线段AD的靠近D点的三等分点，所以 ，
又 ，所以 ，故B正确；
，故C正确；
， ，又 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC
14．下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 与 共线，则 或
C．若 为单位向量，则
D． 是与非零向量 共线的单位向量
【答案】AD【分析】根据向量相等与共线，逐一判断即可.
【详解】依题意，
对于A：若 ，则 ，故A正确；
对于B：若 与 共线，则 ，故B错误；
对于C：若 为单位向量，则 ，方向不一定相同，故C错误；
对于D： 是与非零向量 共线的单位向量，故D正确.
故选：AD.
15．（多选）平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系： ，则下列结论错误的是
（ ）
A．P在CA上，且
B．P在AB上，且
C．P在BC上，且
D．P点为 的重心
【答案】BCD
【分析】利用向量的线性运算化简，即可得到结论.
【详解】由 ，则 ，即 ，得 ，
则有 ，所以 P在CA上，A选项正确，BCD选项错误.
故选：BCD
三、填空题
16．给出以下5个条件：
① ；② ；③ 与 的方向相反；④ 或 ；⑤ 与 都是单位向量．其中能使 成立的是________(填序号)．
【答案】①③④
【分析】根据向量共线的定义即可结合选项求解.
【详解】相等向量一定是共线向量，①能使 成立；
方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使 成立；
或 可知 或 为零向量，零向量与任一向量平行，④能使 成立
，以及 与 都是单位向量只能得到 与 的模长相等，无法确定两个向量的方向，故得不到 ，
故答案为：①③④
17．已知 ， 为非零不共线向量，向量 与 共线，则 ______.
【答案】
【分析】依题意 ， 可以作为平面内的一组基，则 ，根据平面向量基本定理得到方
程组，解得即可.
【详解】因为 ， 为非零不共线向量,所以 ， 可以作为平面内的一组基底,
又向量 与 共线，所以 ，即 ，
所以 ，解得 .
故答案为：
18．设 ， 是两个不共线的向量，关于向量 ， 有① ， ；② ， ；
③ ； ，④ ； ．其中 ， 共线的有________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据向量共线的条件对各选项逐一判断即可.
【详解】① ，共线；② ，共线；
③ ，共线；
④ 和 无法表示成 ，所以不共线.
故答案为：①②③
19．在 中， ，且 ，则 ________．
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】 ， ，
即 ， ， ．
故答案为： .
20．设 ， 是两个不共线的向量，若向量 与 的方向相反，则 __________.
【答案】
【分析】根据向量共线定理可得存在实数 使 ，
从而得到关于 ， 的方程组，进而可求出 .
【详解】由题意可知 与 共线，
所以存在实数 使 ，
因为 ， 不共线，所以 ，解得 或 ，
因为向量 与 的方向相反，即 .
故答案为： .21．在 中， 是 的重心， ，则 ________．
【答案】
【分析】根据三角形重心的性质和向量的线性运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】如图所示，取 的中点 ，连接 ，可得 ，
因为 是 的重心，根据三角形重心的性质，可得 ，
由向量的运算法则，可得 .
故答案为：
22．已知 与 是两个不共线的向量， ，若 三点共线，则实数
_________．
【答案】 或
【分析】根据向量共线运算求解.
【详解】因为 与 是两个不共线的向量，
若 三点共线，则 ，即 ，
可得 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
23．如图，在 中， 为线段 上的一点， ，且 ，则 ______.【答案】2
【分析】根据图形，利用平面向量的运算法则即可.
【详解】由题意，结合图形，根据平面向量的运算法则，由 ，
得 ，即 ，所以 ， .
所以 .
故答案为： .
四、解答题
24．已知点 ， ， 及 .
(1)若点P在第一象限，求t的取值范围；
(2)四边形 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由平面向量的坐标运算，求出 ，利用点P在第一象限，列不等式求得 的取值范围；
（2）利用四边形 是平行四边形时，只需要 ，列方程求出 的值，即可判断四边形 能
否为平行四边形.
【详解】（1） ，
由题意得 ，解得： ，即 的取值范围为 .
（2）若四边形 是平行四边形，只需要 ，即 ，由（1）知， ，而 ，
，方程组无解，故四边形 不能成为平行四边形.
25．已知向量 ， 不共线， ， ， ．
(1)若 ， ，求x，y的值；
(2)若A，P，Q三点共线，求实数t的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的基本定理列方程组来求得 的值.
（2）根据 三点共线列方程来求得 的值.
【详解】（1）当 时， ，
而 ，
所以 ，解得 .
（2） ， ，
由于 三点共线，所以 ，解得 .
26．如图所示，在 中， 为 边上一点，且 ，过 的直线 与直线 相交于 点，
与直线 相交于 点（ ， 两点不重合）.(1)用 ， 表示 ；
(2)若 ， ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；
（2）根据（1）的结论，转化用 ， 表示 ，根据 、 、 三点共线找出等量关系，再利用基本
不等式计算可得；
【详解】（1）因为 ，所以 ，
化简得 ；
（2）因为 ， ， ，
所以 ，由图可知 ，
又因为 、 、 三点共线，所以 ，
所以 ，
当 ，即 时， 取最小值 .
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．下列命题：①若 ，则 ；
②若 ， ，则 ；③ 的充要条件是 且 ；
④若 ， ，则 ；
⑤若 、 、 、 是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件.其中，真命题
的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的概念可判断①；利用相等向量的定义可判断②；利用相等向量的定义以及充分条件、
必要条件的定义可判断③⑤；取 可判断④.
【详解】对于①，因为 ，但 、 的方向不确定，则 、 不一定相等，①错；
对于②，若 ， ，则 ，②对；
对于③， 且 或 ，
所以，所以，“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件，③错；
对于④，取 ，则 、 不一定共线，④错；
对于⑤，若 、 、 、 是不共线的四点，
当 时，则 且 ，此时，四边形 为平行四边形，
当四边形 为平行四边形时，由相等向量的定义可知 ，
所以，若 、 、 、 是不共线的四点，则 是四边形 为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
2．在等腰梯形 中， ， 分别为 的中点， 为 的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即
可.
【详解】因为在等腰梯形 中， ， 分别为 的中点， 为 的中点，
所以可得： ．
故选：B.
3．已知 ， 为两个单位向量，则下列四个命题中正确的是（ ）
A． B．如果 与 平行，那么 与 相等
C． D．如果 与 平行，那么 或
【答案】D
【分析】根据单位向量的定义及向量相等，再利用向量的摸公式及向量平行的定义即可求解.
【详解】对于A，因为 ， 为两个单位向量，当两个向量方向不相同时，两个向量不相等，所以 ，
故A不正确；
对于B，如果 与 平行，则两个向量方向相同时，此时 与 相等，方向相反时，此时 与 不相等，故
B 不正确；
对于C， ，由于不知道向量 与 的夹角，所以无法求
出 的值；故C不正确；
对于D，如果 与 平行，则两个向量方向相同或相反，那么 或 ，故D正确.故选：D.
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． 与 的方向相反 D．若 ，则存在唯一实数λ使得
【答案】B
【分析】由向量的定义，加减法则运算及共线条件进行判断即可.
【详解】对于A：因为向量不能比较大小，所以A错误；对于B：根据向量的加法、减法运算法则， .故B正确；
对于C： 与 的方向相同，故C错误；
对于D：根据向量平行的判定定理，若 且 时，则存在唯一实数λ使得 .故D错误.
故选：B.
5．已知 ，若A、 、 三点共线，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求得t的值，再去求 的值
【详解】由 ，若A、 、 三点共线，可得 ，则
则 ， ，
，则
故选：A
6．已知点 在 的内部， 分别为边 的中点，且 ，则
（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】利用向量的加减法的几何表示运算即可.
【详解】由题意得
，所以 ．
故选：B.
7．在 中， ， ，且CE与AD交于点P，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理得到 ， ，利用 、 分别表示出 ，再根据平面
向量基本定理得到方程组，解得 、 ，再代入计算可得.
【详解】依题意 、 、 三点共线，故 ，
所以
，
、 、 三点共线，故 ，
则
，
所以 ，解得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 .
故选：B.
8．已知点 是 的 边上靠近点 的三等分点，点 是线段 上一点（不包括端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件可推得 ，进而根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案.
【详解】
由题意得： ， .
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
所以， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选：D.
9．设D、E、F分别是 的三边BC、CA、AB上的点，且 ， ， ，则（ ）
A． 与 反向平行 B． 与 同向平行
C． 与 反向平行 D． 与 不共线
【答案】A
【分析】将 、 、 用 和 表示，再根据平面向量的线性运算以及平行的概念判断可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
，
，
，
所以 ，
所以 与 反向平行，故A正确，B错误；
，
所以 与 同向平行，故CD错误.
故选：A
10．已知 所在的平面上的动点 满足 ，则直线 一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】C【分析】由题意可得 ，平行四边形法则知 表示的向量在
三角形角 的平分线上，从而即可得答案.
【详解】解：因为
，
根据平行四边形法则知 表示的向量在三角形角 的平分线上，
而向量 与 共线，
点的轨迹过 的内心.
故选： ．
二、多选题
11．下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量 的相反向量是
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且 ，则
D．若向量 与 满足关系 ，则 与 共线
【答案】ABD
【分析】由相反向量、单位向量、共线向量的定义以及性质判断即可.
【详解】解：A向量 的相反向量是 ，正确：
B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：
C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且 ，则 ，不正确，因为 与 可能方向相
反；
D.若向量 与 满足关系 ，∴ ，则 与 共线，正确.
故选：ABD12．下列有关四边形ABCD的形状判断正确的是（ ）
A．若 ，则四边形ABCD为平行四边形
B．若 ，则四边形ABCD为梯形
C．若 ，且 ，则四边形ABCD为菱形
D．若 ，且 ，则四边形ABCD为正方形
【答案】ABC
【分析】由向量平行与相等的关系确定四边形的边的关系得结论．
【详解】 ，则 且 ，四边形ABCD是平行四边形，A正确；
，则 且 ，四边形ABCD是梯形，B正确；
若 ，四边形ABCD是平行四边形，又 ，即 ，则四边形ABCD为菱形，C正确；
若 ，四边形ABCD是平行四边形， ，即 ，则四边形ABCD为菱形，D错误．
故选：ABC．
13．如图，在边为 的正方形 中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质可判断AB选项；利用平面向量的加法、减法法则以及向
量的模长可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】因为正方形 的边长为 ，对于A选项， ，A错；
对于B选项， ，B对；
对于C选项， ，
所以， ，C对；
对于D选项， ，
所以， ，D错.
故选：BC.
14．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的
距离是重心到垂心的距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知 的外
心为O，重心为G，垂心为H，M为BC的中点，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．O为线段GH的中点 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由条件结合平面向量的数量积运算以及线性运算，对选项逐一判断即可得到结果.
【详解】由三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，有 ，故A选项错误；
由G是三角形ABC的重心可得 ，
所以 ，
故B项正确；
过三角形ABC的外心O分别作AB，AC的垂线，垂足为D，E，
如图，易知D，E分别是AB，AC的中点，
则，
故C项错误；
因为G是三角形ABC的重心，所以有 ，
故 ，
即 ，
又 ，有 ，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
15．下列关于向量的命题，序号正确的是_____.
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量 ，若 ，则 ；
③对于非零向量 ，若 ，则 ；
④对于非零向量 ，若 ，则 与 所在直线一定重合.
【答案】①③
【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③.
【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量 ，若 ，则 和 是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故 不一定等于 ，故②错误；
对于非零向量 ，若 ，则 与 是相等向量或相反向量，故 ，故③正确；
对于非零向量 ，若 ，则 和 是平行向量，也是共线向量，但 与 所在直线不一定重合.
故选：①③
16．已知向量 、 不共线，且 ，若 与 共线，则实数 的值为___________
【答案】 或
【分析】利用向量共线的充要条件以及一元二次方程求解.
【详解】已知向量 、 不共线， ，所以 ，
若 与 共线，则存在实数 ，使 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 或 .
故答案为： 或 .
17．已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ，若A，B，C三点共线，则
________．
【答案】
【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义求出 的坐标，把A，B，C三点共线转化为
，再根据向量相等可得答案.
【详解】由题意可得 ，
∵A，B，C三点共线，∴ ，
∴ ，故有 ，解得 ，或 ，
故答案为： ．
18．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若 ，则 _____
【答案】
【分析】由 可得 ，即可得答案.
【详解】 .
则 三点共线，且 在BA的反向延长线上，如下图所示，则 .
故答案为：
19．点 是线段 上的任意一点（不包括端点 ），对任意点 都有 ，则 的最
小值为______.
【答案】9
【分析】由点 是线段 上一点及向量共线的推论得 ，由基本不等式“1”的妙用求最值即可.
【详解】因为点 是线段 上的任意一点（不包括端点 ），
所以 ， ,
所以 ，
又 ，
所以 ，且 ，所以 ，当且仅当 时等号成立.
故答案为：9
20．设M为 内一点，且 ，则 与 的面积之比为___________．
【答案】
【分析】根据题意结合三点共线的结论确定点 的位置，进而分析运算即可.
【详解】在 取点 ，使得 ，则 ，
可知：点 为 的中点，
可得 ，即 ，
所以 与 的面积之比为 .
故答案为： .
21．在 中， ， ，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于
E，F两点，若 ， （ ， ），则 的最小值为_______________．
【答案】
【分析】以 为基底，求出 的表达式，再利用基本不等式求解.
【详解】如图：由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得 ，
由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，取等号；
故答案为：
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．在 中，角 所对的边分别为 ，点 分别为 所在平面内一点，且有
， ，
， ，则点 分别为 的
（ ）A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推
导即可.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
则 ，
所以 ，则 ，同理可得 ， ，
即 是 三边上高的交点，则 为 的垂心；
由 ，得 ，
设 的中点为 ，则 ，即 ， ， 三点共线，
所以 在 的中线 上，同理可得 在 的其余两边的中线上，
即 是 三边中线的交点，故 为 的重心；
由 ，得 ，即 ，
又 是 的中点，所以 在 的垂直平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 三边垂直平分线的交点，故 是 的外心；
延长 交 于点 ，因为 ， ， 三点共线，则设 （ ），
且 ， ，代入 ，得 ，
即 ①，
又因为 与 共线， 与 、 不共线，
则只能当 且 时，①成立，
即 ，则 ,
由正弦定理得： ，
又 ，则 ，
即 ，又 ，所以 ，
则 是 的角平分线，即点 在 的角平分线上，
同理可得， 在 ， 的垂直平分线上，
即 是 内角平分线的交点，故 是 的内心；
故选：A.
2． 为 所在平面上动点，点 满足 , ,则射线 过 的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】将 变形为 ，因为 和 的模长都是1，根
据平行四边形法则可得，过三角形的内心.
【详解】因为 和 分别是 和 的单位向量
所以 是以 和 为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量
所以 的方向与 的角平分线重合
即射线 过 的内心
故选B
【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题.
3． 中，D为BC中点， ，AD交BE于P点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据D为BC中点，得到 ，因为 三点共线，推导出 ，则
，结合 ， 得到 ，从而得到 ，又 ，
求出 .
【详解】因为D为BC中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 三点共线，所以设 ，
即 ，整理得： ，
令 ，则 ，则 ，
其中 ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，
所以 ，又 ，
解得：
故选：C.
二、多选题
4．有下列说法其中正确的说法为
A．若 ， ，则 ：
B．若 ， ， 分别表示 ， 的面积，则 ；
C．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向；
D．若 ，则存在唯一实数 使得
【答案】BC
【解析】A选项错误，例如 ，推不出 ，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等
于B到AC距离的 ,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为 ，结论正确，D选项
错误，例如 .【详解】A选项错误，例如 ，推不出 ，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为
，所以 ,即 ,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的
距离等于D到AC距离的 ,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到
AC距离的 ，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以
，即夹角为 ，结论正确，D选项错误，例如 . 故选B C.
【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.
5．在 中，点 是线段 上任意一点，点 是线段 的中点，若存在 使
，则 的取值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】令 且 ，根据向量对应线段的位置、数量关系用 表示 ，进而得到m
与 关系，最后求 范围和数量关系，即可得答案.
【详解】令 且 ，而 ，
又 ，则 ，所以 ，则 ， 且 ，
故A、C满足，B、D不满足.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：利用平面向量基本定理得到 与 的线性关系为关键.
三、填空题
6．设经过△ 的重心 的直线与 ， 分别交于 ， 两点.若 ， ， ，
，则 的最小值________________.
【答案】 ；
【解析】应用向量减法在几何中的应用有 ， ，结合三点共线知 ，
即可得 ，结合基本不等式求 的最小值即可
【详解】设 ， ，又 为△ 的重心
∴在△ 中，
∵ ， ，有 ，
∴ ，
又P，Q，G三点共线，知存在实数 ，使得
，可得 ， ，∴ ，当且仅当 时等号成立
故答案为：
【点睛】本题考查了向量线性运算及共线定理的应用，利用基本不等式求最值；首先根据向量减法的三角
形法则将相关线段以向量的形式表示它们之间的关系，再由三点共线定理得到方程组并得到相关参数的数
量关系，最后结合基本不等式求最值
