文档内容
第 05 讲 椭圆及其性质
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解椭圆的定义、几何 椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考
图形、标准方程． 2023年I卷II卷第5题，5分 主要考查椭圆定义的运用、椭圆方
（2）掌握椭圆的简单几何性 2023年北京卷第19题，15分 程的求法以及椭圆的简单几何性
质（范围、对称性、顶点、 2023年甲卷（理）第12题，5分 质，尤其是对离心率的求解，更是
离心率）． 2022年甲卷（理）第10题，5分 高考的热点问题，因方法多，试题
（3）掌握椭圆的简单应用． 灵活，在各种题型中均有体现．知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫
做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注意：当 时，点的轨迹是线段；
当 时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称焦点
、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
（ 为切点） （ 为切点）
切线方程
对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为
可得
切点弦所
在的直线
方程
① ，（ 为短轴的端点）
②
焦点三角
形面积
③
焦点三角形中一般要用到的关系是左焦半径： 上焦半径：
焦半径
又焦半径： 下焦半径：
焦半径最大值 ，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦）
设直线与椭圆的两个交点为 ， ， ，
则弦长
弦长公式
（其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式）
【解题方法总结】
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为 ．
（1）
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为 ，距离的最小值为 ．
（2）椭圆的切线
①椭圆 上一点 处的切线方程是 ；
②过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是 ；
③椭圆 与直线 相切的条件是 ．题型一：椭圆的定义与标准方程
例1．（2023·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点 都满足关系式 ，
则椭圆C的标准方程为 .
【答案】
【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为 ， ，
故 ， ，所以椭圆C的标准方程为 .
故答案为： .
例2．（2023·山东青岛·统考三模）已知椭圆 的长轴长为 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点重
合，则椭圆 的标准方程为 ．
【答案】
【解析】抛物线方程化为标准方程得 ，焦点坐标为 ，
∵抛物线焦点与椭圆 的一个焦点重合，∴椭圆焦点在 轴，
设椭圆方程为 ，（ ），
则由焦点坐标和长轴长知 ， ，∴ ，
∴ ，
∴椭圆 的标准方程为 .
故答案为： .
例3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左、右焦点为 ，且
过点 则椭圆标准方程为 ．【答案】
【解析】由题知： ，①
又椭圆经过点 ，
所以 ，②
又 ，③
联立解得： ，
故椭圆的标准方程为： .
故答案为： .
变式1．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E： （ ），F是E的左
焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 ， 的面积为 ，则E的标
准方程为 .
【答案】
【解析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C，如图所示：
由题意知： ，直线AB的斜率为 ，即 ，
所以 ， .
由椭圆的性质知： ， ，则 ，所以 ， ，
则 ，故直线AB的方程为 .联立 ，解得： 或 ，
所以 ，故 ，
则 ，解得： .
又 ，所以 ，即 ，则E的标准方程为 .
故答案为： .
变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在 轴，它与椭圆 有相同离心率且经过点
，则椭圆标准方程为 .
【答案】
【解析】椭圆 的离心率为 ，
设所求椭圆方程为 ，
则 ，从而 ， ，
又 ，∴ ，
∴所求椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
变式3．（2023·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线 有相同焦点，且长轴长为 6 的椭圆
标准方程为 .
【答案】【解析】 即 ，焦点为 ，
椭圆长轴 ，即 ，故短半轴 ，故椭圆方程为 .
故答案为： .
变式4．（2023·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆 ： 的左、
右焦点分别为 ， ，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且 ，且 ，
，则 的标准方程为 .
【答案】
【解析】连接 ，因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
又 ，所以四边形 为矩形，
设
则由题意得 ，解得 ，
则 ，则标准方程为 ，故答案为： .
变式5．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点 ，且与椭圆 有相同的焦点的
椭圆标准方程是 ．
【答案】
【解析】由题意设椭圆的方程为 ， ，
将点 代入， ，
整理可得： ，
解得 或 （舍 ，
所以椭圆的方程为： ，
故答案为： ．
变式6．（2023·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的椭圆叫做“相似
椭圆”.若椭圆 ，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标准方程为 .
【答案】
【解析】∵椭圆E的离心率为 ，
且设椭圆F的标准方程为 ，则 ，
∴椭圆F的 ，即椭圆F的标准方程为 .
故答案为： .
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，左、
1 2
右顶点分别为M，N，过F 的直线l交C于A，B两点（异于M、N）， 的周长为 ，且直线AM
2
与AN的斜率之积为 ，则椭圆C的标准方程为 .
【答案】【解析】由 的周长为 ,可知 ,解得 ,
由直线AM与AN的斜率之积为 ,可得 ，
所以椭圆C的标准方程为 ，
故答案为：
变式8．（2023·高二课时练习）已知椭圆 的焦点在坐标轴上，且经过 和 两点，则
椭圆 的标准方程为 .
【答案】
【解析】设所求椭圆方程为： ( ， ， )将 和 的坐标代入方程得：
，解得 ，
所求椭圆的标准方程为： .
故答案为： .
【解题方法总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出
的方程组，解出 ，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 .
②与椭圆 共焦点的椭圆可设为 .
③与椭圆 有相同离心率的椭圆，可设为 （ ，焦点在 轴上）或
（ ，焦点在 轴上）.
题型二：椭圆方程的充要条件例4．（2023·全国·高三对口高考）若 是任意实数，方程 表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】B
【解析】对于A，当 时，由 得 ，方程表示圆，故A正确；
对于B，当 是第一象限角时， ， 不会是抛物线方程；
当 是第二象限角时， ， 不会是抛物线方程；
当 是第三象限角时， ， 不成立，不会是抛物线方程；
当 是第四象限角时， ， 不会是抛物线方程；
当 的角的终边落在 轴正半轴上时， ， ，得 ，不是抛物线方程；
当 的角的终边落在 轴正半轴上时， ， ，得 ，不是抛物线方程；
当 的角的终边落在 轴负半轴上时， ， ，得 不成立；
当 的角的终边落在 轴负半轴上时， ， ，得 不成立；故B错误；
对于C，当 时，由 ，得 ，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
对于D，当 时，由 ，得 ，方程表示焦点在x轴上的双曲线，故D
正确；
故选：B.
例5．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）已知 ，则方程 所表示的曲线为 ，
则以下命题中正确的是（ ）
A．当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
B．当曲线 表示双曲线时， 的取值范围是
C．当 时，曲线 表示一条直线
D．存在 ，使得曲线 为等轴双曲线
【答案】A
【解析】对于A，当 时， ， ， ，
表示焦点在 轴上的椭圆，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，A正确；对于B，若曲线 表示双曲线，则 ，解得： 或 ，
即实数 的取值范围为 ，B错误；
对于C，当 时，曲线 ，即 ，
即曲线 表示两条直线，C错误；
对于D，若曲线 为等轴双曲线，则 ，解集为 ，
不存在 ，使得曲线 为等轴双曲线，D错误.
故选：A.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 ，其中 ．
现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】因为方程 ，其中 ，
所以当 时，方程为 ，即 是圆的方程，故方程可以
是圆的方程；
当 时，方程为 ，即 是抛物线的方程，故方程可
以是抛物线的方程；
当 时，方程为 ，即 是椭圆的标准方程，故方
程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有 ，这与 矛盾，故方程不
可以是双曲线的标准方程；
所以真命题有3个.
故选：C.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的
（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D【解析】[解法一]
方程 即方程 ，表示椭圆的充分必要条件是 ,
显然“ ， ”是“ ”既不充分也不必要条件，
故“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
[解法二]
当 时，满足“ ， ”，此时题中方程可化为： ,表示的曲线是圆而不是椭
圆，当 时，不满足“ ， ”，只是题中方程可化为： ,表示中心在原
点，半长轴为1，半短轴为 的椭圆，
故：“ ， ”是“方程 表示的曲线为椭圆”的既不充分也不必要条件，
故选：
变式10．（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”
的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 是椭圆，则有：
解得： ，且
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件
故选：C
变式11．（2023·全国·高三专题练习）设 为实数，则曲线 ： 不可能是（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆
【答案】A
【解析】对A：因为曲线C的方程中 都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛
物线，故选项A正确；
对B：当 时，曲线C为双曲线，故选项B错误；
对C：当 时，曲线C为圆，故选项C错误；
对D：当 且 时，曲线C为椭圆，故选项D错误；故选：A.
变式12．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）“ ”是方程“ 表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，则有
因此 且 ，
故“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B
【解题方法总结】
表示椭圆的充要条件为： ；
表示双曲线方程的充要条件为： ；
表示圆方程的充要条件为： .
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例7．（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
， 分别是椭圆 的左、右焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为 ,
所以四边形 是平行四边形.
所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .
故选：C例8．（2023·北京·高三强基计划）如图，过椭圆 的右焦点 作一条直线，交椭圆于A，B两点，
则 的内切圆面积可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】记 的周长为l，面积为S，内切圆半径为r．易知 ．
由于 ，故 ．
设 的内切圆面积为 ，则 ，
于是选项A符合题意．
故选：A.
例9．（2023·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆 为两个焦点， 为椭圆 上一点，
若 的周长为4，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆 的焦距为 ，则 ，的周长为 ，解得 ，
故选：D
变式13．（2023·河南·高三阶段练习）已知 分别为椭圆 的两个焦点，且 的
离心率为 为椭圆 上的一点，则 的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】因为 的离心率为 ，且 ，所以 ，解得 ，则 ，所以
的周长为 .
故选：C
变式14．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为A，上顶点为B，左、
右焦点分别为 ， ，延长 交椭圆E于点P．若点A到直线 的距离为 ， 的周长为
16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，得 ， ， ，则直线 的方程为 ，
所以点A到直线 的距离 ①．
由 的周长为16，得 ，即a+c=8②，
联立①②，解得 ③．因为 ，所以 ④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以 ，
故椭圆E的标准方程为是 .
故选：B．
变式15．（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的直
线 与椭圆 的一个交点为 ，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】椭圆 中， ，由 及椭圆定义得 ，
因此 为等腰三角形，底边上的高 ，
所以 的面积为 .
故选：D
变式16．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆 的两焦点分别为
， 是椭圆 上一点，当 的面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以 ，
所以 ，则当 最大时， 面积最大，
此时点 位于椭圆的上下端点，
则 ，因为 ，所以 ，所以 .
故选：C.
变式17．（2023·河南开封·统考三模）已知点 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 、
，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆 ，得 ， ， .
设 ， ，
∴ ，在 中，由余弦定理可得： ，
可得 ，得 ，
故 .
故选：C.
变式18．（2023·全国·高三专题练习）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在
C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，
即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
变式20．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若椭圆 的离心率为 ，两个焦
点分别为 ， ， 为椭圆 上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接
并延长交 于点 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
如图，连接 ， ，设 到 轴距离为 ， 到 轴距离为 ，
则
设△ 内切圆的半径为 ，则 ，∴
不妨设 ，则 ，
∴ ，
因为椭圆 的离心率为 ，
∴ ，
故选：A.
变式21．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
直线 与椭圆C交于A，B两点，若 ，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【解析】据题意，四边形 是矩形，设 ， ，
则有 ， ，由此可得 ，
所以 的面积是 ，
又 的面积与 的面积相等，所以 的面积等于9.
故选：C．
变式22．（2023·贵州黔西·校考一模）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心
率为 ．P是C上一点，且 ．若 的面积为2，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】设 ， ，由 ， 的面积为2，
可得 ，∴ ①由离心率为 ，可得 ，代入①式，可得 .
故选：B.
变式23．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 为椭圆上一点，且 ，若 关于 平分线的对称点在椭圆 上，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆 的长半轴为 ，则
设 关于 平分线的对称点为Q，
由椭圆对称性及角平分线性质可知P， ，Q三点共线且
又因为 ，所以 是正三角形，
设 ，
由椭圆定义可得 ， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即 ， ，
所以 的面积 .
故选：C.
变式24．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在椭圆中，已知焦距为2，椭圆上
的一点 与两个焦点 的距离的和等于4，且 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由题可知，焦距 ，则 ，又椭圆上的一点 与两个焦点 的距离的和等于4，
即 ，所以 ，
在 中， ，
由余弦定理得： ，
整理得 ，所以 ，则 ，故 的面积
.
故选：D.
变式25．（2023·河北唐山·统考三模）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 为 上异于长
轴端点的任意一点， 的角平分线交线段 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的角平分线交线段 于点 ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ， ，
又因为 ， ，
所以 ，即 ，不妨设 ，如图：
则 ，解得 ，
所以 ，由题意 ， ，所以 ，
故选：D
【解题方法总结】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常
用定义，即 .
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
例10．（2023·湖南·校联考二模）已知 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
【答案】B
【解析】 ，
因为椭圆上的点 满足 ，
当点 为 的延长线与 的交点时， 取得最大值，最大值为 ．
所以 的最大值为16．
故选：B．
例11．（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知 ，P是椭圆 上的任意一点，则
的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
【答案】C
【解析】由题意 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，故 最大值为 .
故选：C
例12．（2023·河南·高三期末）已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， 分
别是椭圆的左、右焦点，若点 在 的平分线上，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，延长 交 的延长线于点 ，
点 在椭圆 上，由椭圆的性质可知 ，
因为 分别是椭圆的左、右焦点，
所以点 的坐标为 、点 的坐标为 ，
因为点 是 的角平分线上的一点，
所以 ，
又 ，则 ,
所以 ，
则 ， ，
又因为点 为线段 的中点，
所以 为 的中位线，
即 ，
当点 在椭圆右顶点时， 取最大值，最大值为6，
当点 在椭圆左顶点时， 取最小值，最小值为2，
当点 在椭圆上顶点或下顶点时， ，
又因为点 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合，
则 的取值范围为 ，
结合函数 函数的性质可得， 的取值范围是 ，
故选：A.
变式26．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 是椭圆 的两个焦点，点
在 上，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，则 ， ，又
，所以当 时， ，当 时， .
故选：C.
变式27．（2023·全国·高三专题练习）若椭圆C： ，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（
）
A．3 B．2＋
C．2 D． ＋1
【答案】A
【解析】由题意知 ，距离的最大值为 ；
故选：A.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，
则 的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【解析】设圆 的圆心为 ，则 ，
设 ，则 ，
所以
，当且仅当 时取得最大值，
所以 ．
故选：B．
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化.
题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
例13．（2023·北京·高三强基计划）设实数x，y满足 ，则 的
最小值为（ ）A． B．
C． D．前三个答案都不对
【答案】C
【解析】点 是椭圆 上的点，设 ，如图．
记题中代数式为M，则 ，
等号当点E，A，P依次共线时取得．
因此所求最小值为 ．
故选：C.
例14．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，A是C上
一点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【解析】
设椭圆的半焦距为 ，则 ， ，如图，连接 ，则 ，
而 ，当且仅当 共线且 在 中间时等号成立，
故 的最大值为 .
故选：A.
例15．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C： 的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：
上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3 B．6
C． D．
【答案】D
【解析】圆M： 的圆心为 ，
设椭圆的左焦点为 ，如下图，由椭圆的定义知， ，
所以 ，所以
，
当且仅当 三点在一条直线上时取等，
， ， ， .
故选：D．
变式29．（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量 满足 ，
若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，则 ，且 ，
不妨设 ，则
，由 ，即 ，
故点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，
∴ ，
则 ，当且仅当点 为 的延长线与椭圆的交点 时等号成立，
，当且仅当点 为 的延长线与椭圆的交点 时等号成立，
即 ，故 .
故选：D.
变式30．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 是 上一点， ，
则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【解析】因为 ，所以 在椭圆 内部，
设椭圆 的右焦点为 ，由椭圆 ，得 ，
由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
当且仅当 是射线 与椭圆的交点时取等号．
故选：C.变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上任意一点，点M、N分别为
和 上的点，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设圆 和圆 的圆心分别为 ,半径分别为 .
则椭圆 的焦点为 .
又 , ， ，
故 ，
当且仅当 分别在 的延长线上时取等号.
此时 最大值为 .
故选：C.
变式32．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上一点，
则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】椭圆上的点P满足 ，
当点P为 的延长线与C的交点时，
达到最大值，最大值为 ．
故选：B
变式33．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 外一点A(5，6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上
动点，点P到l的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3，0)，根据圆锥曲线的统一定义有： ＝e＝
，即 ，所以 ，可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值 ＝ 10．故 的最小值为10．
故选：B．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆 上一动点，定点
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点为 ，则 ，可得 ，
所以 ，
如图所示，当且仅当 ， ， 三点共线（点 在线段 上）时，
此时 取得最小值，
又由椭圆 ，可得 且 ，所以 ，所以 的最小值
为1．
故选：A．
【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如
果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换例16．（2023·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，某同学用两根木条
钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条 的 处钻一个小孔，可以容纳笔尖，
各在一条槽内移动，可以放松移动以保证 与 的长度不变，当 各在一条槽内移动时， 处笔
尖就画出一个椭圆 .已知 ，且 在右顶点时， 恰好在 点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知 与 的长度不变，已知 ，
设 ，则 ，
当 滑动到 位置处时， 点在上顶点或下顶点，则短半轴长 ，
当 在右顶点时， 恰好在 点，则长半轴长 ，
故离心率为 .
故选：D.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭
圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记椭圆的左焦点为 ，连接 ，则
即
所以椭圆 的圆心率的取值范围是 .
故选：A.例18．（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为 ， ，P，Q
为C上两点， ，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ， ， .
在 中得： ，即 .
因此 ， ， ，
在 中得： ，故 ，所以 .
故选：D
变式35．（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，已知圆柱底面半径为2，高为3， 是轴
截面， 分别是母线 上的动点（含端点），过 与轴截面 垂直的平面与圆柱侧面的交线
是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】当 与 接近平行时，交线接近是一个圆，离心率接近0；
当 时，交线是一个长轴最大的椭圆，
此时长轴长为 ，解得 ，
又短半轴长为 ，则焦距的一半为 ，
所以离心率 ，
所以离心率的取值范围是 .
故选：A
变式36．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ， 分别是椭圆 （ ）的左，
右焦点，M，N是椭圆C上两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，设 ，则 ， ， ，
在 中 ，即 ，
， ， ，
， ，
在 中， ，即 ，
， ，又 ， .
故选：C.
变式37．（2023·重庆巴南·统考一模）椭圆 的左右焦点为 ， ，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足 ， ，若四边形 的周长等于 ，则椭圆
C的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以点 为线段 的中点，
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 为线段 的中点，
又因点 为线段 的中点，
所以 且 ， 且 ，
所以四边形 的周长为 ，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以 ，
所以 ，即 ，
故椭圆C的离心率为 .
故选：C.
变式38．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知M，N是椭圆 上
关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于 的点，且 的最大值是 ，则椭圆C的离心率是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知M，N是椭圆 上关于原点O对称的两点，
故,
由椭圆的范围可知 ，
故 的最大值为 ，则 ，
即椭圆C的离心率是 ，
故选：C
方向2：利用 与 建立一次二次方程不等式
变式39．（2023·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆 的左、右焦点分别为
，焦距为 ，若直线 与椭圆 的一个交点为 在 轴上方，满足 ，
则该椭圆的 离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直线 可知：过定点 ，斜率 ，即 ，
则 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，
结合椭圆的定义可得 ，整理得 .
故选：A.变式40．（2023·广东深圳·高三校考阶段练习）已知椭圆E： 的右焦点为 ，左顶点
为 ，若E上的点P满足 轴， ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则直线 ： ，由 ，得 ，即 ，
而 ， ，由 ，得 ，即 ，
有 ，又 ，因此 ，
所以E的离心率为 .
故选：A
变式41．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知 为坐标原点， 是椭圆
上一点 ，F为右焦点.延长 ， 交椭圆 于 ， 两点， ，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的左焦点 ，连接 ， ， ， ，
由椭圆的对称性可知四边形 为平行四边形，因为 ,所以 ，所以可得四边形 为矩形，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，由椭圆的定义可知 ，
， ，
在 中， ，即 ，整理可得： ，
所以可得 ，
在△ 中， ，即 ，
所以离心率 ，
故选：A
变式42．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 分别是 的左顶点和
上顶点， 是 的左焦点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意作出图形，如下图所示：
可知： ， ， ，
在 中可得： ，在 中可得： ，
所以
化简得：
因为 ，所以 ①，
又 ，所以①整理可得： ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故选：C.
变式43．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，
斜率为 的直线经过左焦点 且交 于 两点（点 在第一象限），设△ 的内切圆半径为
的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，由椭圆定义可得 ， ，
设△ 的面积为 ， 的面积为 ，因为 ，
所以 ，即 ①，
设直线 ，则联立椭圆方程与直线，
可得 ，
所以 ②， ③，联立①②③得， ，整理得 ，所以 ．
故选：D
变式44．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为F，B为椭圆上
一点， ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
变式45．（2023·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知椭圆 ， 为其左焦点，直
线 与椭圆 交于点 ， ，且 ．若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为 ，连接 ， ，故四边形 为平行四边形，
设 ， ，则 ， ，
， ，
中， ，
整理得到 ，即 ，故 .
故选：A
方向3：利用最大顶角 满足
变式46．（2023·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 ，
，
点的轨迹是以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆，
又 点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即 ， ，
， ．
故选：A．变式47．（2023·全国·高三专题练习）设 、 是椭圆 的左、右焦点，若椭圆外存在
点 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围______．
【答案】
【解析】设点 ，易知 ， ，则 ，
故点 的轨迹为圆 ，由题意可知，圆 与椭圆 相交，
由图可知 ，即 ，可得 ，又因为 ，故 ．
故答案为： ．
变式48．（2023·北京丰台二中高三阶段练习）已知 ， 分别是某椭圆的两个焦点，若该椭圆上存在点
使得 （ ， 是已知数），则该椭圆离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】根据椭圆的几何意义可知
椭圆的离心率最小值为根据椭圆离心率的取值范围可知
故答案为：
变式49．（2023·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，若椭圆上存在一点 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】由椭圆的定义可知： ，
在△ 中，由余弦定理得：
，
所以 ，
又 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
所以 ， ，解得： .
故答案为：
方向4：坐标法
变式50．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，
（如图），过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】设椭圆 的半焦距为 ，
由题意可得： ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
即 ，且点 在椭圆 上，
则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故选：A.
变式51．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，
离心率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ，由 ，
消去 ，得 ，
注意到 ，则 .于是 ，
同理， . 因此 .
的倾斜角为 ，∴直线的斜率 ，
根据弦长公式，可得 .
由 ，可得 ，故 .
．
故选：A
变式52．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆 的下焦点为 ，右顶点为 ，直线 交椭圆 于另一点 ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，所以 ，
把 代入椭圆 得 ，化简得 ，
则椭圆 的离心率为 .
故选：C.
变式53．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设 是椭圆 的上顶点，
是 上的一个动点．当 运动到下顶点时， 取得最大值，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，因为 ， ，
所以 ， ，
由题意知当 时， 取得最大值，所以 ，可得 ，即 ，则 ．
故选：B．
变式54．（2023·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C： （ ）的左焦点为
，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ，过点 所作直线的倾斜角为 ，所以该直线斜率为 ，所以直线方程可写为 ，联立方程 ，
可得 ， ，
根据韦达定理： ， ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，联立 ，
可得 ， .
故选：C
变式55．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆 的右焦点为 ，过右焦点作倾
斜角为 的直线交椭圆于 两点，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ，过点 做倾斜角为 的直线斜率 ，
直线方程为 ，联立方程 ，
可得 ，
根据韦达定理： ， ，
因为 ，即 ，所以 ，所以 ，
即 ，所以 ，联立 ，
可得 ， .
故选：C.
变式56．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左，右焦点为 ，离
心率为 ，又点 是椭圆 上异于长轴端点的两点，且满足 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ， ，椭圆方程为 ，
因为 ，
所以点 共线，
因为 ，则 ，
设 ，由椭圆的定义得 ，
又因为 ， ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 在上、下顶点处，不妨设 ，
则 ，
联立 ，解得 或 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
故选：C．
变式57．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆 的
左、右焦点， 是 的上顶点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ， ， ，直线 的方程为： ，
由 ，点 在第三象限， ，则 ，
代入直线 方程中得 整理得 ，
则 ，∴椭圆的离心率 .
故选：B.
变式58．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 ，以原
点O为圆心，a为半径作圆O，过点 作圆O的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意， 在圆O外，两条切线的斜率必存在，
令一条切线为 ，另一条切线为 ，所以 ， ，则 ，可得 ，
所以 .
故选：D
变式59．（2023·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知 分别是椭圆
的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为
，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
不妨设 在第一象限，由题意， 的横坐标为 ，
令 ，解得 ，即 .
设 ，又 ， ， ，
由 可得： ，解得 ，
又 在椭圆上，即 ，
整理得 ，解得 .
故选：A
方向5：找几何关系，利用余弦定理
变式60．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ，过坐标原点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 位于第一象限，直线 与椭圆 另交于点 ，且 ，若
， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设椭圆 的左焦点为 ，连接 ，所以四边形 为平行四边形．
设 ，则 ．
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ．
故选：B.
变式61．（2023·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）设点 、 分别为椭圆 ：
的左右焦点，点 ， 在椭圆 上，若 ， ，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ， ，
设 ，
则 ，
则 , ，
∴在 中，由余弦定理得 .
故选：A
变式62．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 、 ，
过 作直线 与椭圆相交于 、 两点， ，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设 ， ，设 ，则 ，
在 中， ，
由椭圆定义可知 ， ，
，解得 ，
所以 ， ，
在 中，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
，，即 0，
解得 ，所以椭圆离心率 .
故选：D.
变式63．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，若椭圆上存在点
P，使得线段 与直线 垂直垂足为Q，若 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设C的右焦点为 ，线段 与直线 垂直，
所以 的斜率为 ，所以 ，
设 ，则 ，故 ，
在 中，由余弦定理得， ，
所以
所以 ，所以 ，
又因为 ，
所以椭圆C的离心率为 .
故选:A．
变式64．（2023·江西南昌·校联考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
直线 经过点 交 于 ， 两点，点 在 上， ， ， ，则 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取 ， 关于 轴的对称点 ， ，连接 ， ， ， ，
由 以及椭圆的对称性及几何知识可得 ，且 关于y轴对称，
则 关于原点对称，则四边形 是平行四边形，
所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 是等边三角形，
又 的周长为 ，
所以 ， ，
中，由余弦定理 ，
得 ，整理得 ，
所以 ，
故选：B.
变式65．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： （）的左，右焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在 中， ，
设 ，由题意知 , ，
由余弦定理得 , ，
由椭圆定义知 ，则离心率 .
故选:C.
方向6：找几何关系，利用正弦定理
变式66．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是
椭圆E上的点， ，且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得： ，
令 ，则 ， ，可得 ，
所以椭圆的离心率为： .
故选：B
变式67．（2023·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F，F，
1 2
且|FF|＝2c，若椭圆上存在点M使得 中， ，则该椭圆离心率的取值范围
1 2
为( )
A．(0， －1) B． C． D．( －1,1)
【答案】D【解析】由正弦定理可得： ,结合题意可得 ，所以
，根据椭圆的定义可得 ，所以 ， ，易
知 .
因为 为椭圆上一点，所以 ，即 ，
整理得 ，所以 ，解得 .故选D.
变式68．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为
和 的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理可得
所以 ，
所以该椭圆的离心率 ，
故选：C．
变式69．（2023·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，若椭圆上存在点 （异于长轴的端点），使得 ，则该椭圆离
心率 的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知，得 ，由正弦定理，得 ，
所以 ．
由椭圆的几何性质，知 ，所以 且 ，
所以 且 ，
即 且 ，
结合 ，可解得 ．
故答案为： .
变式70．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾斜角分别为
和 的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理可得
所以 ，
所以该椭圆的离心率 ，
故选：C．
方向7：利用基本不等式
变式71．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ，
关于原点对你，且满足 ， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，即 ，所以四边形 为矩形， ，
设 ， ，在直角 中， ， ，
得 ，所以 ，令 ，得 ，
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以
所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，
故选：B
变式72．（2023·江苏南京·高三阶段练习）设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，
是椭圆 准线上一点， 的最大值为60°，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
由椭圆的对称性不妨设 为第一象限的点，即 ，
则 ， ，因为 ，
所以，
所以 ，则 ，解得 ，
故选：A.
变式73．（2023·山西运城·高三期末（理））已知点 为椭圆 的左顶点， 为坐标原
点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，则椭圆离心率的最
大值______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设 ， ，
∴
当且仅当 取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即 ，
∴ ，即 ，所以 ，
故椭圆离心率的最大值为 .
故答案为： .
变式74．（2023·全国·高三专题练习）已知F是椭圆 的一个焦点，若直线 与椭
圆相交于A，B两点，且 ，记椭圆的离心率为e，则 的取值范围是___________.
【答案】 ；
【解析】设 为椭圆的另一焦点，如图，连接 ，
根据椭圆和直线的对称性，可得四边形 为平行四边形，
又因为 ，所以 .
在 中， ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 ，故 .
故答案为： .
方向8：利用焦半径的取值范围为 ．
变式75．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为 ，由椭圆的定义可得 ，
解得 ， ，
由题意可得 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以椭圆离心率的取值范围是 ．
故答案为： .
变式76．（2023·广西南宁·二模（理））已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭
圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是______.
【答案】
【解析】设点 的横坐标为 ， ，
则由椭圆的定义可得 ，
，由题意可得 ，
，
， ，
则该椭圆的离心率 的取值范围是 ， ，
故答案为： ， ．
变式77．（2023·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆 上存在一点 ，使得
，其中 分别 是的左、右焦点，则 的离心率的取值范围为______.
【答案】【解析】 ， ，
又 ， ，
解得 ，则 .
故答案为
变式78．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆 的左右焦点为
，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】法一：显然， 是短轴端点时， ，满足 为等腰三角形，因此由对称性，还有四
个点在四个象限内各有一个，
设 是第一象限内使得 为等腰三角形的点，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 (舍去)或 ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
若 ，则 ，又 ，
消去 整理得： ，
解得 或 ， 舍去．所以 ，
所以 ，即 ，
时， ， 是等边三角形， 只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上， 的范围是 ．
法二：①当点 与短轴的顶点重合时， 构成以 为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件
的 ；
②当 构成以 为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一
点 满足 为等腰三角形即可，则 或
当 时，则 ，即 ，则 ，
当 时，则有 ，则 ，
综上所述，椭圆的离心率取值范围是 .
故选：A.
变式79．（2023·陕西西安·统考三模）已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，若
椭圆 上一点Р到焦点 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的半焦距为 ，若椭圆上一点 ，则 ，且 ，
又 ， ，
则
由于 ，所以 ，
于是可得 ， ，所以椭圆C的离心率 .
故选：B.变式80．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆C： 的左､右焦点，B是椭
圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若 的最大值是 的最小值
的 倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】依题意得 ，
设 ，则 ，
由题意知 ，故 ，
又 ，所以当 时， 取得最大值 .
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以当 或 时， 取得最小值，为 ，
又 的最大值是 的最小值的 倍，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得 或 .
又 不满足 ， 满足 ，所以 ，
故选：D.
方向9：利用椭圆第三定义．
变式81．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： （ ），点A，B为长轴的两个端点，
若在椭圆上存在点P，使 ，则椭圆的离心率 的取值范围是______．【答案】
【解析】由题可知 ， ，设 ，
由点P在椭圆上，得 ，
所以 ，
可得 ，
所以 ．
故答案为： .
变式82．（2023·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点， 是椭
圆上异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则直线 ， 斜率之积的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
由直线 与椭圆 交于 两点可知 两点关于原点对称，
所以 且 ，
由题意知： ，两式相减得：
，即 ，
又 ，
由椭圆的离心率的取值范围是 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
故选：D.
变式83．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程 表示椭圆，则实数k的取值
范围是 ；②双曲线 与椭圆 的焦点相同．③M是双曲线 上一点，点
， 分别是双曲线左右焦点，若 ，则 或1．④直线 与椭圆C： 交于
P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为 ，则椭圆C
的离心率为 ．错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①若方程 表示椭圆，则 ，解得 或 ，故①错误；
②双曲线 化成标准方程为 ，焦点坐标为 ，椭圆 的焦点坐标为
，不相同，故②错误；
③双曲线 中 ，
因为M是双曲线 上一点，点 ， 分别是双曲线左右焦点，
所以由双曲线的定义得 ，若 ，则 或1，而双曲线上的点到焦点距离的最小值为 ，所以舍去 ，所以 ，故③错误；
④设 ，因为A是椭圆 上任一点，所以 ，所以 ，
又因为直线 与椭圆C： 交于P，Q两点，所以设 ， ，所以
，
因为直线AP与直线AQ的斜率之积为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，故④正确；
综上，错误的有3个.
故选：B.
变式84．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点，
若点 恰为弦 的中点，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，直线 的斜率为 ，设 ，则 ，且 ，
由 两式相减得： ，于是 ，
解得 ，此时椭圆 ，显然点 在椭圆 内，符合要求，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A
变式85．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，
点 是椭圆 上关于 轴对称的两点.若直线 的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，椭圆 的左顶点为 ，
因为点 是椭圆 上关于 轴对称的两点，可设 ，则 ，
所以 ，可得 ，
又因为 ，即 ，
代入可得 ，所以离心率为 .
故选：D.
【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或不等关系便可求
解出 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
例19．（2023·甘肃陇南·高三统考期中）已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆 的
焦距等于 ，则 ．
【答案】5
【解析】因为双曲线 的一个焦点是 ，
所以 ，得 ，
又椭圆 的焦距等于 ，
所以 ，得 .
故答案为：5例20．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若抛物线 的焦点恰好是椭圆
的右焦点，则 .
【答案】4
【解析】抛物线 的焦点为 ，
椭圆 的右焦点为： ，
所以 ，解得： .
故答案为： .
例21．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为点 、 ，若椭圆上顶
点为点 ，且 为等腰直角三角形，则 .
【答案】8
【解析】椭圆 ，故 ， 为等腰直角三角形，故 ，
故 ，即 ， .
故答案为：
变式86．（2023·四川南充·高三统考期中）已知点 、 ，动点 满足：直线 的斜率
与直线 的斜率之积为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为点 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由 ，可知 ，
所以 ，即 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .变式87．（2023·全国·高三专题练习）若 为椭圆 上的一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，
则 的最大值为 .
【答案】 /
【解析】易知当点 为椭圆与 轴的交点时， 最大，
因为椭圆方程为 ，
所以 ， ，
此时 ， ，
满足 ，
所以 为等腰直角三角形，所以 ．
故答案为：
变式88．（2023·全国·高三专题练习）AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且
，M是AB的中点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题设， ，则P的轨迹是以 为焦点，长轴长为6的椭圆，
若 ， ，则P的轨迹方程为 .
所以 的范围为 ，即 .
故答案为：
变式89．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球 ， ，
使得它们分别与圆锥的侧面和平面 都相切，平面 分别与球 ， 相切于点 ， .数学家
GerminalDandelin利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的交线为椭圆， ， 为此椭圆的两个焦点，这
两个球也被称为Dandelin双球.若球 ， 的半径分别为6和3，球心距离 ，则此椭圆的长轴长
为 .【答案】
【解析】过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球 分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点，
有 ，过 作 于点C，则四边形 是矩形，
于是 ， ，又 ，从而 ，
设直线AB与平面 的交点为P，则有 ， ，
所以椭圆的长轴长 .
故答案为：
变式90．（2023·全国·高三专题练习）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”
遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中
心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）到地面的距离为 ，近地点（长轴端点中
离地面最近的点）到地面的距离为 ，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为 （用 ， ，R表
示）．
【答案】
【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
由题意可知 ， ，
所以 ．所以 ，所以 ．
故答案为： .
【解题方法总结】
标准方程
图形
焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
对称性 关于 轴、 轴和原点对称
性质
顶点 ， ，
轴 长轴长 ，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
题型八：利用第一定义求解轨迹
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭
圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
【答案】 （ ）．
【解析】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
例23．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆 ，圆 ，动圆
与圆 外切并与圆 内切，则圆心 的轨迹方程为
【答案】
【解析】设动圆P的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，
所以 ，
所以点P的轨迹为以 为焦点的椭圆，
则 ，即 ， ，则 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 ，
故答案为：
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足
，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】 .
【解析】设点 ，
由 得点 ，而点P为椭圆 上的任意一点，
于是得 ，整理得： ，所以点M的轨迹方程是 .
故答案为:
变式91．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作
PQ⊥l，垂足为Q，且 · =0．则动点P的轨迹方程为 ；
【答案】
【解析】设 ，则 ，
由 · =0，得 ，
即 ，化简得 ，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为 ．
故答案为：
变式92．（2023·全国·高三专题练习）一个动圆与圆 外切，与圆 内切，
则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设动圆圆心为 ，半径为 ，根据题意知： ， ，
所以 ，所以圆心 的轨迹为椭圆.
其中 ， ，故 ，
因为焦点在 轴上，故圆心轨迹方程为： .
故答案为： .
变式93．（2023·全国·高三对口高考）已知 ，B是圆 （F为圆心）上一动点.
线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
【答案】 ．
【解析】由题意 ， 在线段 的垂直平分线上，则 ，所以 ，又 ，
所以 在以 为焦点，长轴长为2的椭圆上，
， ， ，则 ，
所以轨迹方程为 ．
故答案为： ．
变式94．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ： ，动圆 与圆
外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ，则曲线 的方程为____________.
【答案】 ( )．
【解析】由圆 ，圆 得到 ，半径 ， ，半径 ，
设动圆 的半径为 ，∵圆 在圆 内，∴动圆只能在 内与圆 内切，不能是 在动圆内，即： ，
∵动圆 与圆 外切，∴ ，∵动圆 与圆 内切，∴ ，
∴ ，即 到 和 到 的距离之和为定值，
∴ 是以 、 为焦点的椭圆，且 ， ，所以 ，
∴动圆圆心 的轨迹方程为 ，
又圆 过点 ，椭圆 也过点 ，而点 显然不在圆 上，
所以所求轨迹方程为： .
故答案为： .
变式95．（2023·全国·高三专题练习（理））设F，F 为椭圆 的左、右焦点，A为椭圆上任意
1 2
一点，过焦点F 向∠FAF 的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
1 1 2
【答案】x2＋y2＝4
【解析】由题意，延长FD，FA并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AFD，则|FD|＝|BD|，|FA|＝|AB|，又O为FF
1 2 1 1 1 1 2
的中点，连接OD，则OD∥FB，从而可知|OD|＝ |FB|＝ (|AF|＋|AF|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则
2 2 1 2
x2＋y2＝4.
故答案为：
变式96．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，已知△ABC的两顶点坐标 ， ，圆E是
△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨迹方程为
___________.
【答案】
【解析】由题意结合切线长定理可得 ， ， ，
所以 ，
所以动点C的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆（不在x轴上），
且该椭圆满足 ， ，所以 ，
所以该椭圆方程为 .
故答案为： .
变式97．（2023·全国·高三专题练习）一动圆 与圆 ： 内切，且与圆 ：
外切，则动圆圆心 的轨迹方程是______．
【答案】【解析】由题意，圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
设动圆的圆心 ，半径为 ，
动圆与圆 ： 内切，与圆 ： 外切，
所以 ， ，
所以 ，
所以 的轨迹是以原点为中心，焦点在 轴上的椭圆，且 ， ，
所以 ，
椭圆的方程为 .
故答案为： ．
变式98．（2023·辽宁·沈阳二中高三阶段练习（理））一动圆 与圆 外切，与圆
内切，则动圆圆心 的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】设动圆半径为 ，根据题意知： ， ，故 .
故轨迹为椭圆， ， ，故 ，故轨迹方程为： .
故答案为： .
变式99．（2023·江西宜春·高三阶段练习（文））已知定点 ,直线 相交于点 ，
且它们的斜率之积为 ，则动点 的轨迹方程为_______．
【答案】
【解析】设点 ，
动点 的轨迹方程为
变式100．（2023·广东湛江·一模（理））已知圆 ，点 ，点 为动点，以线段 为直径的圆内切于圆 ，则动点 的轨迹方程是______．
【答案】
【解析】设 的中点为 ，切点为 ，连 ， ，则 三点共线，且 ，
取 关于 轴的对称点 ，连 ，根据中位线的性质有 ．且当 在
时也满足题意.
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为6的椭圆．其中 ， ， ，则动点 的轨迹方程
是 ．
故答案为： ．
【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点
标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；
（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足
焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.
1．（2023•甲卷）已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．
【答案】【解析】椭圆 ， ， 为两个焦点， ，
为原点， 为椭圆上一点， ，
设 ， ，不妨 ，
可得 ， ，即 ，可得 ， ，
，
可得
．
可得 ．
故选： ．
2．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ．若 ，
则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由椭圆 可得 ， ， ，
椭圆 的离心率为 ，
， ， ，
，
或 （舍去）．
故选： ．3．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆 的左焦点和右焦点分别为 和 ，直线 与 交于
点 ， 两点，若△ 面积是△ 面积的两倍，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】记直线 与 轴交于 ，
椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， ，
由△ 面积是△ 的2倍，可得 ，
，解得 或 ，
或 ， 或 ，
联立 可得， ，
直线 与 相交，所以△ ，解得 ，
不符合题意，
故 ．
故选： ．
