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第 07 讲 抛物线及其性质
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·校联考二模）已知点 是抛物线 的焦点，点 ，且点 为
抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）若抛物线 （ ）上一点 到焦
点的距离是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点 是抛物线C： 的焦点，点M在抛物
线C上，点 ，且 ，则点M到y轴的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2023·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪
江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线
的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的
最高点的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和抛物线
C分别交于A，B两点，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
6．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线 和直线 ，抛物线 上一
动点 到直线 和 距离之和的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．3
7．（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线 的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且 平
行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若 ，则梯形 的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知过抛物线C： 的焦点 的直线与抛物线C交于A，B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若 ，
为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．4
9．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆
的半径为1，过点 的直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023·河南·统考三模）已知抛物线 的准线为 ，焦点为F，过点F的直线与
抛物线交于 ， 两点，点P在l上的射影为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设 ，则
D．过点 与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
11．（多选题）（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知抛物线 经过点 ，
其焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于点 ， ，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 为抛物线 ： （
）的焦点， 为坐标原点， 为 上一点，且 ，则（ ）
A．
B．
C．直线 的斜率为
D． 的面积为
13．（多选题）（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线 ： 上两动点， 为抛物
线 的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
14．（多选题）（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，
点 为 的准线与 轴的交点，若直线 与 交于 ， 两点，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．存在唯一实数 ，使得直线 与 相切
C．恰有2个实数 ，使得 成立
D．恰有2个实数 ，使得 成立
15．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：从焦点发
出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经
抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于 轴的光线 从点 射入，经过抛物线 上的点
反射，再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A．若 的方程为 ，则
B．若 的方程为 ，且 ，则
C．分别延长 交于点 ，则点 在 的准线上
D．抛物线 在点 处的切线分别与直线 ， 所成角相等
16．（多选题）（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知直线 过抛物线C： 的焦点F，
且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两切线交于点G，设 ，
， ，则下列选项正确的是：（ ）
A．
B．以线段AB为直径的圆与直线 相离C．当 时，
D． 面积的取值范围为
17．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于
不同的两点 ， .若 ，则 .
18．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知点 为抛物线 的焦点，
过点 且倾斜角为 的直线交抛物线 于 两点，若 ，则 .
19．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知 是抛物线 的焦点，P是抛物
线C上一动点，Q是曲线 上一动点，则 的最小值为 ．
20．（2023·甘肃陇南·统考一模）设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上不同的三点，若
， 为坐标原点，则 .
21．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在平面直角坐标系 中，已知直线
（ ），定点 与定直线 ，过P向直线 作垂线，垂足为H．
，若动点P的轨迹为曲线C，且直线 与曲线C相切，则 ．
22．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知 为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点 ，与抛物线 及其准线依次交于 三点（其中点 在 之间），若 .
则 的面积是 .
23．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线 上的动点，Q是圆
上的动点，则 的最大值是 .
24．（2023·福建莆田·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点
的两点（ 为坐标原点），若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为
．
1．（2020•新课标Ⅲ）设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若
，则 的焦点坐标为
A． ， B． ， C． D．2．（2020•北京）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作
于 ，则线段 的垂直平分线
A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，
且与 交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
4．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于
， 两点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
5．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
6．（2023•乙卷）已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为 ．
7．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
8．（2021•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 ，若
则点 的横坐标是 5 ； 的面积为 的 ．
9．（2021•全国）已知抛物线 的焦点为 ，过 倾斜角为 的直线与 交于 ， 两
点，且 ，则 2 ．
10．（2021•上海）已知抛物线 ，若第一象限的 ， 在抛物线上，焦点为 ， ，
， ，求直线 的斜率为 ．
11．（2020•海南）斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则
．
12．（2023•甲卷）设抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ．（1）求 的值；
（2） 为 的焦点， ， 为抛物线上的两点，且 ，求 面积的最小值．
13．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的
轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
14．（2021•乙卷）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2．
（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值．
15．（2020•全国）经过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且
， ， ．求 和 ．
