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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 09 讲 同角三角函数的基本关系、诱导公式（精讲）
题型目录一览
①“知一求二”问题
②已知 tan α 求 sin α，cos α 齐次式的
值
③sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
④诱导公式化简与求值
⑤诱导公式的应用
一、知识点梳理
一、同角三角函数基本关系
(1)平方关系： ．
(2)商数关系： ；
二、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 ；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 可以实现角 的弦切互化．
2．
二、题型分类精讲
题型 一 “知一求二”问题
策略方法 对sin α，cos α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互
化．
2由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方
关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不
明确时，要进行分类讨论.
【典例1】已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若角 的终边不在坐标轴上，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）设 ，则 （ ）A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）已知 是第四象限角，且 ，则
______．
5．（2023春·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知角 为 的内角， ，则 _________．
三、解答题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的值.
题型二 已知 tan α 求 sin α ， cos α 齐次式的值
策略方法
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一
个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对
于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
【典例1】已知 ，则 （ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·海南海口·校联考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．43．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．－3 B． C．3 D．
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________
7．（2023·高三课时练习）若 ，则 的值为______.
三、解答题
8．（2023·全国·高三专题练习）（1）已知 ，求 和 的值；
（2）已知 ，求 的值.
题型三 sin α±cos α 与 sin αcos α 关系的应用
策略方法 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令
sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负
号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】已知在 中， ，则 （ ）A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西阳泉·统考二模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ______．
6．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 ，则
___________．
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两根．(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知 ( )，求 的值.
题型四 诱导公式化简与求值
策略方法 1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．
【典例1】已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边过点 .
(1)求 的值；
(2)求 的值.
【题型训练】
一、单选题1．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知 为锐角，若 ，则 ________．
三、解答题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 .
(1)化简 .
(2)已知 ，求 的值.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知α是第三象限角，且 .
（1）若cos ，求f（α）的值；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值.
题型五 诱导公式的应用策略方法 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
①分析结构特点，选择恰当公式；
基本思路 ②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式
①化简过程是恒等变换；
化简要求 ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值
的要求出值
【典例1】若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．- D．
2．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．5．（2023·四川雅安·统考三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 __________．
8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知 ，且 ，则 _______．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知0＜β＜ ， ＜α＜ ，cos（ ﹣α）＝ ，sin（ +β）＝ ，
则sin（α+β）＝______
