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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 33 讲 空间直线、平面的平行（精讲）
题型目录一览
①线面平行Ⅰ—利用三角形中位线
②线面平行Ⅱ—利用平行四边形
③线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理
④线面平行Ⅳ—利用面面平行
⑤面面平行的判定定理
一、知识点梳理
一、直线和平面平行
1．定义
直线与平面没有公共点，则称此直线 与平面 平行，记作 ∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平
面内的一条直线平行，那么这条
线∥线 直线和这个平面平行（简记为
线∥面 “线线平行 线面平行
如果两个平面平行，那么在一个
平面内的所有直线都平行于另一
面∥面 个平面
线∥面
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个
平面平行，经过这条
直线的平面和这个平
面相交，那么这条直
线∥面 线∥线 线就和交线平行
二、两个平面平行
1．定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面 和 ，若 ，则 ∥
2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内有两条相
线∥面 交的直线都平行于另一个
平面，那么这两个平面平
面∥面
行（简记为“线面平行
面面平行
线 面 如果两个平面同垂直于一
条直线，那么这两个平面
面∥面
平行 ∥
3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言 图形语言 符号语言
面//面 如果两个平面平行，那
么在一个平面中的所有
线//面
直线都平行于另外一个
平面
如果两个平行平面同时
和第三个平面相交，那
性质定理 么他们的交线平行（简
记为“面面平行 线面
平行”）
如果两个平面中有一个
面//面
垂直于一条直线，那么
另一个平面也垂直于这
线 面
条直线
【常用结论】
1.证明直线与平面平行的常用方法：
①利用定义，证明直线 与平面 没有公共点，一般结合反证法证明；
②利用线面平行的判定定理，即线线平行 线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；
③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；
2.证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用两个平面垂直于同一条直线；
④证明两个平面同时平行于第三个平面．
3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
二、题型分类精讲
题型 一 线面平行Ⅰ—利用三角形中位线
策略方法
1.可以拿一把直尺放在 位置（与 平齐），如图一；
2.然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，如图二；
3.此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在的位置就
是我们要找的平行线，直尺与 相交于点 ，连接 ，如图三；
4.此时 长度有长有短，连接 并延长刚好交于一点 ，刚好构成 型模型（ 为
中点，则 也为 中点，若 为等分点，则 也为 对应等分点）， ，如图
四．
P P
P P
0 E E 0 E E
1
1
2
2
3A D A D A A D
3 D
4
F 4
F F
B C B C
B C B C
图一 图二 图三 图四
【典例1】如图， 垂直于梯形 所在平面， ， 为 的中点， ，
，四边形 为矩形.求证： 平面 ；【答案】证明见解析
【分析】可先由中位线证明两线平行，再证明线面平行.
【详解】令 交 于 ,连接 ,
四边形 为矩形，
为 中点，
又 为 的中点，
，
又 平面 ， 平面 .
平面
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的三棱锥 中，已知 为 的中点， 为 的中点，
为 的中点.证明： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】利用线面平行判定定理即可证得 平面 .【详解】因为 是 的中位线，所以 .
因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 为 中点，证明：
平面
【答案】证明见解析
【分析】作出辅助线，得到线线平行，证明线面平行.
【详解】证明：设 ，连接 ，
因为 分别为 中点，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面 为正方形， E为PB的中点.证明：
平面 .【答案】证明见解析
【分析】作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行.
【详解】连接 ，交 于 ，连接 ，
因为底面 为正方形，所以 为 的中点，
因为E为PB的中点，所以 是 的中位线，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中，点D是棱 的中点．求证： ∥
平面 .
【答案】证明见解析
【分析】连接 交 于点O，连接 ，则 是 的中位线，所以 ∥ ，再利用线面平行的判断定理即可得证.
【详解】证明：连接 交 于点O，连接 ，
由于四边形 为矩形，所以O为 的中点，又D是棱 的中点，
故在 中， 是 的中位线，因此 ∥ ，
平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
5．（2023·全国·高三专题练习）在多面体 中，四边形 是正方形， 为 的中点，求
证：直线 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行.
【详解】连接 ，设 ，因为四边形 是正方形，
所以 为 的中点，连接 ，因为 分别为 的中点，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以直线 平面 .
题型二 线面平行Ⅱ—利用平行四边形
策略方法
1.可以拿一把直尺放在 位置，如图一；
2.然后把直尺平行往平面 方向移动，直到直尺第一次落在平面 内停止，如图二；
3.此时刚好经过点 （这里熟练后可以直接凭数感直接找到点 ），此时直尺所在的位置就是
我们要找的平行线，直尺与 相交于点O，连接 ， 如图三；
4.此时 长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接
，刚好构成平行四边形 型模型（ 为 中点，O也为 中点， 为三角形 中
位线）， ，如图四．P P P P
E O 0 E O E O E
0 1
A 1 D A2 D A D A D
2 3
3 4
B F 4 C B F C B F C B F C
图一 图二 图三 图四
【典例1】如图所示，长方体 中，M、N分别为 、 的中点，判断MN与平面
的位置关系，并证明你的结论．
【答案】平行关系，证明过程详见解析
【分析】作 的中点为 ，可证四边形 为平行四边形，从而得到 平面 ．
【详解】 平面 ．
证明如下：
如图，取 的中点 ，连接 ．
由正方体 可得 ，∵ ， ，所以
∴四边形 为平行四边形．∴ ．
又∵ 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心
投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已
知平面平行.
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体 中，四边形 是正方形， ，
， 为 的中点.求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】构造平行四边形，通过线线平行证明线面平行.
【详解】证明：连接 .因为 为 的中点， ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， ，点 为 的中
点．求证： 平面 .【答案】证明见解析
【分析】根据题意可取 中点 ，根据边长关系可证明四边形 为平行四边形，由线面平行的判定
定理即可证明.
【详解】取 中点 ，连接 ，如下图所示：
因为点 为 的中点，所以 且 ，
又因为 且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形．所以 ．
又 平面 平面 ，
所以 平面 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 的底面是矩形，E、F分别是 、 的中点.求
证： 平面 .
【答案】证明见解析【分析】取PC的中点G，可证 ， ，可得四边形AEGF为平行四边形，即 ，得
证.
【详解】取 的中点G，连接 ， ，
因为F为 的中点，
所以 ， ，
因为 ， ，又E为 的中点，所以 ， ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ，且 平面 ，
因此 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，求证：
平面 .
【答案】证明见解析
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，进而可得 ，从而利用线面平行的判断定理即可证明.
【详解】证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为在直三棱柱 中，E，F分别是 ， 的中点，
所以 且 ，又 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ，
， 为棱 的中点. 证明： 平面 .
【答案】证明见解析【分析】根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，
则 为 的中位线，∴
由题知 ，
∴ ，
所以四边形 为平行四边形，∴ ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 。
题型三 线面平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理
策略方法
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交
线平行
【典例1】如图，已知长方体 中， ， . 为 的中点，平面 交
棱 于点 .求证： ；
【答案】证明见解析
【分析】由面面平行的性质可得 平面 ，再由线面平行的性质即可证结论.【详解】由长方体的性质知：平面 平面 ，又 面 ，
面 ，又平面 平面 ，且 面 ，
.
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ，
， 为线段 的中点，平面 与棱 相交于点 .
求证： .
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行的判定定理以及性质定理得出结果.
【详解】因为 为线段 的中点，所以 ．
又因为 ，所以 ．
在梯形 中， ，
所以四边形 为平行四边形．所以 ．
又因为 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥 中，底面 为矩形，平面 与平面 的交线为 ，
求证：直线 平行于平面 .【答案】证明见解析
【分析】根据矩形的性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可.
【详解】因为底面 是矩形，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 直线 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，四边形 为空间四边形 的一个截面，若截面为平行
四边形. 求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】根据线面平行的判定定理以及性质定理进行证明即可.
【详解】∵四边形 为平行四边形，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .
又∵ 平面 ，平面 ∩平面 ，
∴ ，又∵ 平面EFGH， 平面EFGH，
∴ 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，点 是 的中点，点 在 上，平面
与平面 相交于直线 ， ∥ ，证明： 是 的中点．
【答案】证明见解析
【分析】由线线平行证线面平行，再用性质定理证明线线平行即可.
【详解】因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ∥ ，
又因为点 是 的中点，
所以点 是 的中点.
5．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 的点，直线 平面
， 分别是 ， 的中点.记平面 与平面 的交线为 ，求证：直线 平面
【答案】证明见解析
【分析】先通过 可得出 平面 ，再利用线面平行的性质即可证明.
【详解】因为 分别是 的中点，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，平面 与平面 的交线为 ，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面PAC.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，且
，点 在棱 上，若直线 平面 ，求 的值
【答案】1∶2【分析】连接 与 交于点 ，连接 ，进而根据线面平行性质定理得 .
【详解】解：连接 与 交于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∽ ， ，
又∵ 平面 ， 平面 ，且平面 平面
∴
，即
题型四 线面平行Ⅳ—利用面面平行
策略方法
已知平面 平面 ，则平面 里的任意直线均与平面 平行
【典例1】如图，在长方体 中，E，M，N分别是 的中点，求证： 平面
.
【答案】证明见解析
【分析】取CD的中点K可得 ， ，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可得平面 平面 ，再由面面平行的性质定理可得答案.
【详解】如图，取CD的中点K，连接MK，NK，
∵M，K分别是AE，CD的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又∵ 是 的中点，K分别是CD的中点，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面MNK， 平面MNK，
，∴平面 平面 ，
又 平面MNK，∴ 平面 .
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形，
， ， ， ， ， 分别是线段 ， 的中点，求证： 平面
【答案】证明见解析.
【分析】取 中点 ，连 ， ，根据给定条件，结合线面平行的判定，面面平行的判定、性质推
理作答.
【详解】取 中点 ，连 ， ，如图，因 是 的中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，
在梯形 中， ， 是线段 的中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ，而 平面 ， ，则平面 平面 ，又 平面
，
所以 平面 ．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图， 是边长为 的等边三角形，四边形 为菱形，平面
平面 ， ， ， ．求证： 平面
【答案】证明见解析
【分析】根据线线平行可证明线面平行，根据线面平行进一步证明面面平行，根据平面与平面平行的性质
可证明线面平行.
【详解】因为四边形 为菱形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
，所以，平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 .
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 为菱形， ，求证： 平面【答案】证明见解析
【分析】由题意先证明平面 平面 ，再根据面面平行的性质定理证明 平面 .
【详解】证明：因为四边形 为菱形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ,
所以平面 平面 ，
因为 平面 ， 平面 .
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中， ，F，M，N分别为 的中
点，求证： //平面 .
【答案】证明见解析.
【分析】取 的中点G，连接 ，利用面面平行的判定与性质即可推理作答.
【详解】取 的中点G，连接 ，如图，因M是 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，因此 平面 ，
又F为 的中点， ，即有 ，因N为 的中点，G为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ，因此 平面 ，又 ， 平面 ，
于是得平面 平面 ，而 平面 ，
所以 平面 .
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 中， ， 分别是线段 ， 的中点，
证明： 平面
【答案】证明见解析
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，证明 平面 ， 平面 ，通过面面平行的判
定定理可得平面 平面 ，最后得到 平面
【详解】取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ，又 平面 ，
所以 平面
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．求证： 平面 ；
【答案】证明见解析
【分析】利用面面平行的判定定理及性质定理即可证得.
【详解】取 的中点为 ，连接 ，
由三棱柱 可得四边形 为平行四边形，
，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
，则 ，同理可得 平面 ，而 ， 平面 ，故平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为棱 、
的中点，证明：直线 平面
【答案】证明见解析
【分析】利用平行关系，转化为证明面面平行，即可证明线面平行.
【详解】证明：取 的中点 ，连接 、 、 ，
在正方体 中， 且 ，
、 分别为 、 的中点，则 且 ，
故四边形 为平行四边形，则 且 ，
又因为 且 ，则 且 ，
故四边形 为平行四边形，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
、 分别为 、 的中点，则 ，则 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ，所以，平面 平面 ，
平面 ， 平面 .
题型 五 面面平行的判定定理
策略方法
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条
直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【典例1】如图所示，在三棱柱 中，E，F，G，H分别是AB，AC， ， 的中点．求
证：平面 平面BCHG．【答案】证明见解析
【分析】证明 ，进而证明出 平面BCHG，再证明 ，得到 平面BCHG，从而
证明面面平行.
【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴ ．
∵ 平面BCHG， 平面BCHG，
∴ 平面BCHG．
∵ ，且
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ 平面BCHG， 平面BCHG，
∴ 平面BCHG．
∵ ，
∴平面 平面BCHG．
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中，E，F分别为棱 的中点.求证：
平面 平面BDF【答案】证明见解析
【分析】根据 ，可证明 平面 ；又 ，可得 平面 .进而根据线面平行证
明面面平行.
【详解】证明：在正方体 中，E，F分别为棱 的中点，
所以 .
因为 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以
又 平面BDF， 平面BDF，
所以 平面 .
同理， ，又 平面BDF， 平面BDF，
所以 平面 .
又 ， 平面 ，
所以平面 平面
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， ， 分别为线段 ， 的中点．(1)求证： 平面 ．
(2)在线段 上是否存在一点 ，使平面 平面 请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）根据中位线的性质可得 A，再根据线面平行的判定可得 B即可；
（2）取 的中点 ，连接 ，根据中位线的性质判定即可
【详解】（1）证明：因为 ， 分别为线段 的中点所以 A.因为 ，所以
B.又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）取 的中点 ，连接 ， 因为 为 的中点所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得， 平面 ，又因为 ， ， 平面 ，所以平面 平面
故在线段 上存在一点 ，使平面 平面 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中， ， ， 为 的中点．(1)求证： 平面 .
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）利用构造平行四边形的方法证明线线平行，结合线面平行判定定理，从而得线面平行；
（2）点 为线段 的中点，再利用面面平行判定定理证明，即可证明平面 平面 ．
【详解】（1）证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
因为 为 的中点，
所以 ， ．
又 ， ，
所以 ， ．
因此四边形 是平行四边形，
所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
因此 平面 ．
（2）解：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，
所以又 ，所以 ．
又 ，所以四边形 为平行四边形，
因此 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
由（1）可知 平面 ．
因为 ，故平面 平面 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）在圆柱 中，等腰梯形ABCD为底面圆 的内接四边形，且
，矩形ABFE是该圆柱的轴截面，CG为圆柱的一条母线．求证：平面 平面
ADE．
【答案】证明见解析
【分析】根据线线平行可得线面平行即可求证面面平行.
【详解】在圆柱 中， ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
连接 ，因为等腰梯形 为底面圆 的内接四边形， ，故 ，
则 为正三角形，故 ，则 ，
平面 ， 平面 ，故 平面 ；
又 平面 ，
故平面 平面 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 为 所在平面外一点， 、 、 分别为 、
、 的重心．求证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析
【分析】在平面 内找两条相交直线 分别平行于平面 ，由面面平行的判定定理可得.
【详解】如图
记 的中点分别为 ；连接 ；连接 ；
因为 分别为 、 的重心，
所以 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
同理 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知 是棱长为3的正方体，点E在 上，点
F在 上，G在 上，且 ，H是 的中点．
(1)求证： 四点共面
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）在 上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，可证明四边形 、四边形CNEB是平
行四边形，可得 ，CN BE，则 ，即可证明结论；
（2）利用数据可证明HG FB， ，利用线面平行的判定定理可得到HG 平面 ， 平
面 ，然后利用面面平行的判定定理即可得证
【详解】（1）在 上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，则AE＝DN＝1，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN AD，且EN＝AD，
又BC AD，且AD＝BC，所以EN BC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN BE，
所以 ，
所以 四点共面；
（2）因为H是 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以HG FB，
因为HG 平面 ，FB 平面 ，所以HG 平面 ，
因为所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面
所以平面 平面
7．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，
，AC与BD交于点O， 底面ABCD， ，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接
OE，OF，EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
【分析】（1）根据中位线定理和面面垂直的判定即可求解；
（2）根据等体积法即可求解.
【详解】（1）因为底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O
所以O为AC中点，
点E是棱PA的中点，F分别是棱PB的中点，
所以OE为三角形 的中位线，OF为三角形 的中位线，
所以 , ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，而 , 平面 ， 平面 ，
平面 平面PCD.
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形， ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
因为 底面ABCD，
底面ABCD， 底面ABCD，
所以 ， ，
所以 和 均为直角三角形，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
根据体积相等法可知 ，
所以 ，
所以 .
，
故三棱锥 的体积为 .
8．（2023·全国·高三专题练习）如图：在正方体 中，M为 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明 可证明结论；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，通过证明 平面 结合 平面 可证
明结论.
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.
∵ 为正方体，底面 为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为 的中点，在 中，OM是 的中位线，所以 .
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，
∵N为 的中点，M为 的中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
由（1）知 平面 ，又∵ ，
∴平面 平面 .
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，在八面体 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面
∥平面QBC，二面角 与二面角 的大小都是 ， ， ．
证明：平面 ∥平面QAB．
【答案】证明见解析
【分析】根据垂直关系分析可知 ， ，建系，利用空间向量可得 ∥ ，根据题
意结合线面、面面平行分析证明.
【详解】因为 为正方形，所以 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，则 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，
又因为平面 ∥平面QBC， ∥ ，
所以 平面 ，且 平面 ，则 ，
所以 为二面角 的平面角，即 ，如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，即 ，所以 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
又因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以平面 ∥平面QAB．
