文档内容
专题 35 两个计数原理、排列组合（理科）
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.分类计数原理：完成一件事情有几类不同的方式，每类方式有不同的方法，则完成这件事
的方法数就是把每类方式中的方法数相加；
2.分步计数原理：完成一件事情分为几个步骤，每个步骤有若干种方法，则完成这件事的方
法数就是把每一步的方法数相乘；
【备考策略】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题；
3.理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
4.能解决简单的实际问题.
【命题预测】1.结合实际应用：未来的命题可能会更加注重于理论在实际生活中的应用；
2.原理深化：对于加法原理和乘法原理，可能会进一步探究其背后的数学原理，这可能会涉
及到更深层次的数学概念，如集合、函数等；
3.排列组合与其他数学内容的交叉：排列组合作为计数原理的一个重要部分，可能会与概率
论、数论等其他数学内容形成交叉；
4.计算机科学中的应用：计算机科学中有很多问题可以转化为计数问题；
知识讲解
一、分类加法计数原理
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法,
那么完成这件事共有N= m+ n 种不同的方法.
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法
就可完成这件事；（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,那么完成这件事共
有N= m× n 种不同的方法.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只是各个步骤都完成了才能完成这
件事；（2）各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏，但有时可以调换各步的顺序.
三、两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种
不同点 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件
方法都能独立完成这
事)
件事
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.
1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须
满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
与数字相关的计数原理的应用问题,需要遵循“特殊元素、特殊位置优先安排”的原则,涉及组数问题
中有重复数字问题,可以考虑用除法或分类进行求解.
利用两个计数原理解决几何问题的两个基本步骤:
1.要弄清楚几何图形的性质;
2.合理分类将问题简化.
1.解决涂色问题,可以按照颜色的种数分类,也可以按照不同的区域分步完成.
2.涂色、种植问题的解题关注点和关键
(1)关注点:首先分清元素的数目,其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.
(2)关键:对每个区域逐一进行检验,选择下手点,分步处理.
四、排列与组合的概念
名称 定义
排列 从 个不同元
并按照 一定的顺序 排成一列,叫作从 个元素中取出 个元素的一个排列
素 中 取 出
组合 个
作为一组,叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合
元素
五、排列数与组合数
1.从 个不同元素中取出 个元素的所有 不同排列 的个数，叫作从 个不同元素中取出 个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】元素的排列数，用符号 表示.
2.从 个不同元素中取出 个元素的所有 不同组合 的个数，叫作从 个不同元素中取出 个
元素的组合数，用符号 表示.
六、排列数、组合数的公式及性质
n!
(1) n ( n - 1) ( n - 2 ) … ( n-m+ 1 ) =(n-m)!;
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
公式
m!
(2)
n!
= ( , ,且 ).特别地
m!(n-m)!
(1)0!= 1
,An
= n ! ;
性质 n
(2)Cm =Cn-m ,Cr
=
Cr-1 +Cr
n n n n-1 n-1
1.正确理解组合数的性质
(1) ：从 个不同元素中取出 个元素的方法数等于取出剩余 个元素的方法数.
(2) ：从 个不同元素中取出 个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素 有
种方法；②含特殊元素A有 种方法.
2.正确辨析“排列”与“组合”
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序，若与顺序有关，则是排列；
若与顺序无关，则是组合.
3.记牢两个常用公式
(1) .
(2) .
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当
插空法
中
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
除法处理
间接法 正难则反、等价转化的方法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两类有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含有”,则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关
键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法求解，分类复杂时,可用间接法
求解.
(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问
题的常用方法.
(2)对于相间问题，先考虑不受限制的元素，然后将不相邻的元素插入到这些排好的元素之间及两端的
空隙中.
“特殊”优先原则
一般从以下三种思路考虑:
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素;
(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置;
(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
1.对不同元素分组、分配问题的求解策略
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除
以An (n为均分的组数)，避免重复计数.这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形;
n
(2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的组数的
阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个
这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形;
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以
全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形.
2.对于相同元素的“分配”问题,常用方法是“隔板法”.
考点一、分类加法计数原理
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a，
1
a，…，a .设1≤i
