专题 35 两个计数原理、排列组合（理科）
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
概率与统计近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第4题,5分 茎叶图计算平均数、中位数、概率
2022年全国乙（文科），第14题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2022年全国乙（理科），第10题,5分 互斥事件、独立事件求概率
2022年全国乙（理科），第13题,5分 计数原理、排列、组合与概率
（1）求平均数；
2022年全国乙（理科），第19题,12分
（2）求相关系数
2022年全国乙（文科），第19题,12分
（3）估算样本量
（1）求概率；
2022年全国甲（文科），第17题,12分
（2）独立性检验
2022年全国甲（文科），第6题,5分 古典概型
（1）求概率；
2022年全国甲（理科），第19题,12分
（2）离散型随机变量的分布列与数学期望
2022年全国甲（理科），第15题,5分 古典概型 立体几何
2022年全国甲（理科），第2题,5分 众数、平均数、中位数比较，求极差、方差、
2022年全国甲（文科），第2题,5分 标准差
2023年全国乙（文科），第9题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国乙（理科），第5题,5分
几何概型 圆环面积
2023年全国乙（文科），第7题,5分
2023年全国乙（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
2023年全国乙（理科），第17题,12分 （1）求样本平均数，方差；
2023年全国乙（文科），第17题,12分 （2）统计新定义
2023年全国甲（文科），第4题,5分 计数原理、排列、组合与概率
2023年全国甲（理科），第6题,5分 条件概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2023年全国甲（理科），第9题,5分 计数原理与排列、组合
（1）离散型随机变量的分布列与数学期望；
2023年全国甲（理科），第19题,12分
（2）独立性检验
（1）求样本平均数；
2023年全国甲（文科），第20题,12分
（2）独立性检验
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.分类计数原理：完成一件事情有几类不同的方式，每类方式有不同的方法，则完成这件事
的方法数就是把每类方式中的方法数相加；
2.分步计数原理：完成一件事情分为几个步骤，每个步骤有若干种方法，则完成这件事的方
法数就是把每一步的方法数相乘；
【备考策略】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题；
3.理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；
4.能解决简单的实际问题.
【命题预测】1.结合实际应用：未来的命题可能会更加注重于理论在实际生活中的应用；
2.原理深化：对于加法原理和乘法原理，可能会进一步探究其背后的数学原理，这可能会涉
及到更深层次的数学概念，如集合、函数等；
3.排列组合与其他数学内容的交叉：排列组合作为计数原理的一个重要部分，可能会与概率
论、数论等其他数学内容形成交叉；
4.计算机科学中的应用：计算机科学中有很多问题可以转化为计数问题；
知识讲解
一、分类加法计数原理
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法,
那么完成这件事共有N= m+ n 种不同的方法.
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法
就可完成这件事；（2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,那么完成这件事共
有N= m× n 种不同的方法.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只是各个步骤都完成了才能完成这
件事；（2）各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏，但有时可以调换各步的顺序.
三、两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种数
分类、相加 分步、相乘
每类方案中的每一种
不同点 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件
方法都能独立完成这
事)
件事
注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.
1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须
满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
与数字相关的计数原理的应用问题,需要遵循“特殊元素、特殊位置优先安排”的原则,涉及组数问题
中有重复数字问题,可以考虑用除法或分类进行求解.
利用两个计数原理解决几何问题的两个基本步骤:
1.要弄清楚几何图形的性质;
2.合理分类将问题简化.
1.解决涂色问题,可以按照颜色的种数分类,也可以按照不同的区域分步完成.
2.涂色、种植问题的解题关注点和关键
(1)关注点:首先分清元素的数目,其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.
(2)关键:对每个区域逐一进行检验,选择下手点,分步处理.
四、排列与组合的概念
名称 定义
排列 从 个不同元
并按照 一定的顺序 排成一列,叫作从 个元素中取出 个元素的一个排列
素 中 取 出
组合 个
作为一组,叫作从 个不同元素中取出 个元素的一个组合
元素
五、排列数与组合数
1.从 个不同元素中取出 个元素的所有 不同排列 的个数，叫作从 个不同元素中取出 个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】元素的排列数，用符号 表示.
2.从 个不同元素中取出 个元素的所有 不同组合 的个数，叫作从 个不同元素中取出 个
元素的组合数，用符号 表示.
六、排列数、组合数的公式及性质
n!
(1) n ( n - 1) ( n - 2 ) … ( n-m+ 1 ) =(n-m)!;
n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
公式
m!
(2)
n!
= ( , ,且 ).特别地
m!(n-m)!
(1)0!= 1
,An
= n ! ;
性质 n
(2)Cm =Cn-m ,Cr
=
Cr-1 +Cr
n n n n-1 n-1
1.正确理解组合数的性质
(1) ：从 个不同元素中取出 个元素的方法数等于取出剩余 个元素的方法数.
(2) ：从 个不同元素中取出 个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素 有
种方法；②含特殊元素A有 种方法.
2.正确辨析“排列”与“组合”
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序，若与顺序有关，则是排列；
若与顺序无关，则是组合.
3.记牢两个常用公式
(1) .
(2) .
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当
插空法
中
定序问题
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
除法处理
间接法 正难则反、等价转化的方法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两类有附加条件的组合问题的解法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含有”,则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关
键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法求解，分类复杂时,可用间接法
求解.
(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问
题的常用方法.
(2)对于相间问题，先考虑不受限制的元素，然后将不相邻的元素插入到这些排好的元素之间及两端的
空隙中.
“特殊”优先原则
一般从以下三种思路考虑:
(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素;
(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置;
(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.
1.对不同元素分组、分配问题的求解策略
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除
以An (n为均分的组数)，避免重复计数.这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形;
n
(2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的组数的
阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个
这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形;
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以
全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形.
2.对于相同元素的“分配”问题,常用方法是“隔板法”.
考点一、分类加法计数原理
1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））如图，将钢琴上的12个键依次记为a，
1
a，…，a .设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称
2 12
ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】根据原位大三和弦满足 ，原位小三和弦满足
从 开始，利用列举法即可解出．
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
原位小三和弦满足： ．
∴ ； ； ； ； ．
故个数之和为10．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
2．（2023届广东省模拟数学试题）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为
我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的
正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（ ）
A．100个 B．125个 C．225个 D．250个
【答案】C
【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由0出现的次数分类求解作答.
【详解】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字
相同，
求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多1个0，取奇数字有 种，取能重复的偶数字有 种，它们排入数位有 种，取偶数字占百位有
种，
不同“回文数”的个数是 个，
最少2个0，取奇数字有 种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有 种，
不同“回文数”的个数是 个，
由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有
个.
3．为有效防范新冠病毒蔓延，国内将有新型冠状肺炎确诊病例地区及其周边划分为封控区､管控区､防范
区.为支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出医护人员共5人，分别派往三个区，每区至少一人，甲､乙主
动申请前往封控区或管控区，且甲､乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．30种
【答案】C
【分析】利用分类加法、分步乘法计数原理，结合排列组合知识进行求解.
【详解】若甲乙和另一人共3人分为一组，则有 种安排方法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若甲乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组两人，
则有 种安排方法，综上：共有12+12=24种安排方法.
4．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4
种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
【答案】A
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，最少
需要3种颜色，即 同色， 同色， 同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色
全部用上，即 ， ， 三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最
后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域有
种染法，共 种染法；
第二类是用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色或
不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共
有 种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为 种．
1．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安
排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求
每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有
种；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有 种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有 种，则共有 种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为 .
2．（2023年河南省模拟卷（中）理科数学（一）试题）有2男2女共4名大学毕业生被分配到 三
个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数
为（ ）
A．12 B．14 C．36 D．72
【答案】B
【分析】根据题意，分 厂只接受1个女生和 厂接受2个女生两类情况，结合 厂的分派方案，利用
分类、分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，可分为两种情况：
①若 厂只接受1个女生，有 种分派方案，
则 厂分派人数可以为 或 ，则有 种分派方案，
由分步计数原理可得，共有 种不同的分派方案；
②若 厂接受2个女生，只有1种分派方案，
则 厂分派人数为 ，则有 种分派方案，
此时共有 种不同的分派方案，
综上，由分类计数原理可得，共有 种不同的分派方案.
3．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户
最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（ ）
A．14 B．12 C．24 D．28
【答案】A
【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.
【详解】解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：
①丁扶贫点最先去，有 种安排方法；
②丁扶贫点安排在中间位置去，有 种安排方法，
综合①②知共有 种安排方法.
4．（2023届山西省模拟数学试题）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花
坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．120种 B．240种 C．420种 D．720种
【答案】C
【分析】先对图中不同的区域命名，再运用分步计数和分类计数的方法从中央开始计数即可.
【详解】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，
有3种不同的选择，再在D中种植，
若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E
有2种不同的选择，
不同的布置方案有 种；
考点二、分步乘法计数原理
1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生
前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
【答案】C
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；按照分步乘法原理，共有 种方法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023届湖南省模拟数学试题）如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有
公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．72 B．56 C．48 D．36
【答案】C
【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.
【详解】将四个区域标记为 ，如下图所示：
第一步涂 ： 种涂法，第二步涂 ： 种涂法，
第三步涂 ： 种涂法，第四步涂 ： 种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有 种着色方法，
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选
读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种.
1．（2023届重庆模拟数学试题）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团
队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不
同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为（ ）
A．36 B．81 C．120 D．180
【答案】D
【分析】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔
离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.
【详解】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有 种不同的选派方案，
再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，
有 种不同的选派方案，
所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有 种.
2．（2023年湖南省调研考试数学试题）甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七
张连号的电影票，若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
【答案】B
【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.
【详解】丙在正中间（4号位）；
甲､乙两人只能坐12，23或56，67号位，
有4种情况，考虑到甲､乙的顺序有 种情况；
剩下的4个位置其余4人坐有 种情况；
故不同的坐法的种数为 .
3．（2023年山东省联考数学试题）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可
供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（ ）
A．48种 B．72种 C．64种 D．256种
【答案】A
【分析】利用分步乘法原理求解即可
【详解】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法，
C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法；
由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则D有2种颜色花卉摆放方法.
故共有 种绿化方案.
4．（2023届河北省一模数学试题）将英文单词“ ”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排
列方法共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．960种
【答案】B
【分析】先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.
【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母，有 种排法，
再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有 种放法，
故字母b不相邻的排列方法共有 （种）.
考点三、两个原理的综合应用
1．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师
必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（ ）种不同的分配方案．
A．18 B．20 C．28 D．34
【答案】D
【分析】首先分类，即本校监考分为1人和2人，在分类的基础上分配或分组.
【详解】根据本校监考人数分为：
本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，
所以总数为： ；
本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，
所以总数为： ，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；
2．（2023届云南省模拟数学试题）如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设
计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供
选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．12 B．24 C．48 D．84
【答案】D
【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后
相加即可求解.
【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：
当种植的鲜花为两种时： 和 相同， 和 相同，共有 种种植方法；
当种植鲜花为三种时： 和 相同或 和 相同，此时共有 种种植方法；
当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有 种种植方法，
综上：则不同的种植方法的种数为 种.
3．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排
在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
【答案】A
【分析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有
(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有 （个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有 （个）
由分类加法计数原理得共有 (个)．
1．有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2，3的小球，将这5个小球放入3个不同的盒子中，
每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（ ）
A．45 B．90 C．24 D．150
【答案】A
【分析】根据3个相同小球的分布进行分类讨论
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】①若3个相同小球在同一个盒子中，则有 中
②若恰有2个相同小球在同一个盒子中，1个在另一个盒子中，
此时先将5个小球分为3组
若为“311”分组有2种，若为“221”分组则有3种
故共 种
③若3个相同小球在3个不同的盒子中，则剩余两个小球都有3种放法，有 种
共 种.
2．将六个数 、 、 、 、 、 将任意次序排成一行，拼成一个 位数，则产生的不同的 位数的个数
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项
是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案.
【详解】将六个数 、 、 、 、 、 将任意次序排成一行，拼成一个 位数，由于首位不能为0，则
有 个，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有 种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有 种，
“20”和“19”都出现2次的排法有 种，
因此满足条件的 位数的个数为： .
3．如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从
给出的5种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种
颜色，每个区域只涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．120 B．240 C．300 D．360
【答案】C
【分析】依题意可以利用3或4种不同的颜色涂色，先选出颜色，再涂色，按照分步、分类计数原理计算
可得；
【详解】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有 种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂
法，
故一共有 种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有 种选法，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有 种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、
④有2种涂色方法，
故共有 种涂色的方法；
综上可得一共有 种涂法；
4．将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（
）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【分析】对C花卉的位置进行分类讨论即可解决.
【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置，
① 当C在位置1时，不同的摆法有 种；
② 当C在位置2时，不同的摆法有 种；
③ 当C在位置3时，不同的摆法有 种；
由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同，
故摆放种数有 .
考点四、排列问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023届广东省模拟数学试题）如图，在两行三列的网格中放入标有数字 的六张卡片，每
格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（ ）
A．96种 B．64种 C．32种 D．16种
【答案】B
【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果.
【详解】根据题意，分3步进行，
第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共
有 种排法；
第二步，排第一步中剩余的一组数，共有 种排法；
第三步，排数字5和6，共有 种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为 .
2．（2023届云南省教学质量监测（五）数学试题）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只
需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不
安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
【答案】D
【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的
排法，即可得出答案.
【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为 ，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为 ，
由间接法可知，满足条件的排法种数为 种.
3．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女
都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．9 B．36 C．54 D．108
【答案】C
【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.
【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的
选派方案有 种，
选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有 种，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有 种.
1．（2023年陕西省模拟理科数学试题）某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高
一，高二学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节
目一定排在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（ ）
A．288 B．72 C．144 D．48
【答案】C
【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即
可.
【详解】先把舞蹈节目排好，共 种，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共 种，
这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），2个歌唱节目排在4个空档上，共
种．
故这7个节目出场的不同编排种数为 种．
2．（2003年普通高等学校春季招生考试数学（文）试题（北京卷））某班新年联欢会原定的5个节目已
排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那
么不同插法的种数为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】D
【分析】由已知，根据题意可使用插空法，将2个新节目有顺序插入5个节目形成的6个空中，直接列式
求解即可.
【详解】因为增加了两个新节目．将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，
所以原来5个节目形成6个空，新增的2个节目插入到6个空中，
共有 种插法.
3．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法
有（ ）．
A．1860种 B．3696种 C．3600种 D．3648种
【答案】D
【分析】采用间接法，先求出没有限制的所有站法，再排除不满足条件的站法可求解.
【详解】7个人从左到右排成一排，共有 种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有
种不同的站法，甲站在最右端有 种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有
种不同的站法.
4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的范围是： ，为纪念祖冲之在圆周
率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，
让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大
于3.14的不同数字的个数为（ ）
A．720 B．1440 C．2280 D．4080
【答案】C
【分析】以间接法去求解这个排列问题简单快捷.
【详解】一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列，可以得到 个不同的数字.
当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14
当前两位数字为11或12时，共可以得到 个不同的数字，
则大于3.14的不同数字的个数为 .
考点五、组合问题
1．（2023年云南省质量监测数学试题）如图，小华从图中 处出发，先到达 处，再前往 处，则小华
从 处到 处可以选择的最短路径有（ ）
A．25条 B．48条 C．150条 D．512条
【答案】C
【分析】利用组合、分步乘法计数原理可得答案.
【详解】从 处到 处的最短路径有 条，从 处到 处的最短路径有 条，则小华从 处到
处可以选择的最短路径有 条．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4
名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有 件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有 ，
所以这2名学生来自不同年级的概率为 .
3．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五
个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用排列组合知识求出每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的情况个
数，以及五人抽取五个礼物的总情况，两者相除即可.
【详解】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是
两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是
两两一对，都拿到对方的情况，由 种情况，综上：共有 种情况，而五人抽五个
礼物总数为 种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为 .
4．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学考试题（海南卷））要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只
能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的
变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重
卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数
学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排
列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以
该重卦恰有3个阳爻的概率为 = ．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组
合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同
元素的排列问题即为组合问题．
6．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；
（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；
（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；
（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？
【答案】（1）256；（2）144；（3）84；（4）18.
【分析】（1）按照分步乘法计数原理进行计算；
（2）先选1个空盒，再把4个小球分成3组，放入3个盒子中；
（3）按照插板法进行计算即可；
（4）先选2个空盒，再按照插板法进行计算.
【详解】（1）每个小球有4种方法，共有 种放法；
（2）先选1个空盒 ，再把4个小球分成3组 ，最后分到3个盒子 ，共有
种放法；
（3）9个空中插入3个板即可， 种放法；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（4）先选2个空盒 ，再3个空中插入1个板即可 ，共有 种放法.
1．（2023年吉林省模拟数学试题）将9个相同的小球放入3个不同的盒子中共有多少种方法（每个盒子
中至少放入一个小球）（ ）
A．28 B．56 C．36 D．84
【答案】A
【分析】采用隔板法求解.
【详解】根据题意可知，采用隔板法，
9个相同的小球形成8个空，在8个空中插入2块隔板，形成3组小球，再放入3个不同的盒子，
共有 种方法．
2．某兴趣小组有5名学生，其中有3名男生和2名女生，现在要从这5名学生中任选2名学生参加活动，
则选中的2名学生的性别相同的概率是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】由题意可知，选中的2名学生的性别相同的概率是： .
【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解
能力.
3．（2023届广东省调研数学试题）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企
业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出
各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.
【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；
当分为3,1,1人时，有 种实习方案，
当分为2,2,1人时，有 种实习方案，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即共有 种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有 种，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为 .
4．有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰
壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志
愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概
型的概率公式求解即可
【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有 种分法，
然后将3个项目全排列，共有 种排法，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为 种，
因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数 种，
所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为 .
5．（2023届广东省模拟数学试题）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4
只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事
件B，求出 ， ，根据条件概率公式 求解即可．
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取
出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则
，
又 ，则 ，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报
展示活动．
(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少种选法？
(2)如果男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？
(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少种选法？
【答案】(1)100；(2)140；(3)
【分析】（1）由组合知识结合分步乘法计数原理求解即可；
（2）先计算10人中选取4人的选法，从中除去男生甲与女生乙都不参加的选法即可；
（3）先计算10人中选取4人的选法，从中除去4人全是男生和4人全是女生的选法即可.
【详解】（1）第一步，从5名男生中选2人，有 种选法；第二步，从5名女生中选2人，有 种选法．
根据分步乘法计数原理，共有 种选法．
（2）从10人中选取4人，有 种选法；男生甲与女生乙都不参加，有 种选法．所以男生甲与女生乙
至少有1人参加，共有 种选法．
（3）从10人中选取4人，有 种选法；4人全是男生，有 种选法；4人全是女生，有 种选法．
所以4人中既有男生又有女生，共有 种选法．
考点六、排列组合的综合应用
1．“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植
树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”
研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少
派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
【答案】B
【分析】根据题意，运用分类讨论思想，结合排列和组合的性质进行求解即可.
【详解】根据题意有两种方式：
第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，
共有 种方法，
第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，
共有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以分派方法的种数为 .
2．（2003年普通高等学校招生考试数学试题（广东卷））如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图
着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种 ．
（以数字作答）
【答案】72
【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色
依次讨论即可.
【详解】按照使用颜色的种类分类，
第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有 (种)，
第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有 (种)
所以共有48+24=72(种).
3．（2023届河南省模拟理科数学试题）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦
九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，
则不同的分配方案有 种．
【答案】240
【分析】先把5名学生分成人数为 的四组, 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述,根据等量分组及
排列计算即可得到.
【详解】先把5名学生分成人数为 的四组,共有 种分法,再把四组学生分给宋元数学
四大家讲述则有 种分法,
所以分配方案有 种.
4．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供4种
颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】72
【分析】根据题意，分4步依次分析区域 、 、 、 、 的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】分4步进行分析：
①，对于区域 ，有4种颜色可选；
②，对于区域 ，与 区域相邻，有3种颜色可选；
③，对于区域 ，与 、 区域相邻，有2种颜色可选；
④，对于区域 、 ，若 与 颜色相同， 区域有2种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有1种颜色可选， 区域有1种颜色可选，
则区域 、 有 种选择，
则不同的涂色方案有 种；
1．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，
丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、
乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．116种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.
【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则
有 种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心
舱即可，则有 种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
2．（2023年甘肃省模拟数学（理）试题）如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供
选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有 种.
【答案】72
【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种
植方案数目，由加法原理计算可得答案
【详解】如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：
①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案 （种），
②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案 （种），
则不同的种植方案共有 （种）.
3．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1
个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 种．
【答案】150
【分析】先分组，在分配，分组问题必须考虑去除重复.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】5个人，分成3组，共有2种分法，即1，1，3和2，2，1，
共有 种，
再分配 种；
4．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色
可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)．
【答案】420
【分析】根据给定图形，按用色多少分成3类，求出每一类的着色方法数，再利用分类加法计数原理求解
作答.
【详解】求不同的着色方法数有3类办法，用5种颜色有 种，
用4种颜色，2，4同色或3，5同色，有 种，
用3种颜色，2，4同色且3，5同色，有 种，
所以不同的着色方法共有 （种）.
【基础过关】
2023年10月04日计数原理
一、单选题
1．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫
苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8
名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排
方法共有（ ）
A．2940种 B．3000种 C．3600种 D．5880种
【答案】A
【分析】分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分
配.
【详解】根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，
故不同的安排方法共有 种；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2022届高三普通高等学校招生全国统一考试数学试题）由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员
被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方
法有（ ）
A．150种 B．90种 C．60种 D．80种
【答案】A
【分析】本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进
行分组，再进行分配（乘以 ），即可求解.
【详解】若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有 （种）；
若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有 （种）；
故共有 种不同的分配方法.
3．（2023届湖南省名校适应性测试数学试题）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举
行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，
每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】C
【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.
【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有 种，
②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有 种，
所以不同的安排方法有 种.
4．书架上层放7本不同的语文书，书架下层放5本不同的数学书，从书架上层和下层各取一本书的取法有
（ ）
A．12种 B．35种 C．7种 D．66种
【答案】B
【分析】由分步乘法原理求解即可
【详解】由题意可得，从书架上层取一本书有7种取法，从书架下层取一本书有5种取法，则分步乘法原
理可得共有 种取法.
5．（2023年江西省联考数学试题）小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种 B．32种 C．34种 D．40种
【答案】C
【分析】分五种情况：8，7，6，5，4步走完楼梯，每一种情况的方法数都求出来再相加即可．
【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有 种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有 种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有 种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
【点睛】方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进
行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满
足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
6．如图．5个完全相同的圆盘用长度相同的线段连接成十字形．将其中两个圆盘染上红色．三个圆盘染上
蓝色．并规定：若一种染色方法经过旋转后与第二种染色方法一致．则认为这两者是同一种染色方法．则
不同的染色方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．10种
【答案】B
【分析】分三类：中心染蓝色，周围两相邻染红色或不相邻染红色(两类)，中心染红色(一类)，结合题意即
可确定染色方法数.
【详解】第一种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘相邻；
第二种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘不相邻；
第三种：中心圆盘染红色，周围圆盘中有一个染红色．
7．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，
则不同的排队方法共有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置
的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有 种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边
有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有 种方法；
安排在甲有3个位置的一侧有 种方法，最后安排其余3人有 种方法，综上，不同的排队方法有：
种.
8．（2023届山东省模拟数学试题）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航
天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、
失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须
安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．60种
【答案】B
【分析】根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测
试的安排方案种数.
【详解】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有 种安
排方法，
此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；
②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有 种选择，超重耐力在第四、第五天有 种选择，剩下两种
测试全排列 ，则有 种安排方法，
此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；
③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有 种选择，超重耐力在第一、第五天有 种选择，剩下两种
测试全排列 ，则有 种安排方法；
故选拔测试的安排方案有 种.
9．（2023届福建省适应性练习卷（省质检）数学试题）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出
了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，
B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救
援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．88 D．100
【答案】D
【分析】由题意可知，若甲去 点，则剩余4人，可只去 两个点，也可分为3组去 3个点.分别
求出安排种法，相加即可得出甲去 点的安排方法.同理，即可得出甲去 点的安排方法，即可得出答案.
【详解】若甲去 点，则剩余4人，可只去 两个点，也可分为3组去 3个点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当剩余4人只去 两个点时，人员分配为 或 ，
此时的分配方法有 ；
当剩余4人分为3组去 3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，
此时的分配方法有 ，
综上可得，甲去 点，不同的安排方法数是 .
同理，甲去 点，不同的安排方法数也是 ，
所以，不同的安排方法数是 .
10．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、
丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名
方法有（ ）
A．54种 B．240种 C．150种 D．60种
【答案】C
【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有 种；
②三组人数为2、2、1，此时有 种.
所以共有60+90=150种.
11．（2023届河北省考前适应性考试数学试题）现将甲乙丙丁四个人全部安排到 市､ 市､ 市三个地区
工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到 市工作的安排种数为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．22
【答案】D
【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可.
【详解】若甲乙两人中的1人到 市工作，有 种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两
组，再进行排列，有 安排种数，故有 种；
若甲乙两人中的1人到 市工作，有 种选择，丙丁中一人到 市工作，有 种选择，其余2人到另外
两个地方工作，有 种选择，故安排种数有 种；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若安排甲乙2人都到 市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有 种，
故总共有12+8+2=22种.
12．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
【答案】D
【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.
【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有 种分配方法，故该选项
错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再
将三组分给甲乙丙三人，有 种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有 种方法，其余分给丙丁每人各1本，有 种方法，所
以不同的分配方法有 种，故该选项错误；
选项D，先将6本书分为2-2-1-1的4组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有 种方法，故
该选项正确.
13．（2023年河南省模拟数学试题）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，
图中正方形 内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给 、
、 、 这 个三角形和“赵爽弦图” 涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区
域）不同色，已知有 种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】依次对区域正方形 、 、 、 、 涂色，讨论 区域与 区
域同色或异色讨论，确定每个区域所涂颜色的种数，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先对正方形 涂色，共有 种颜色可供选择，
然后涂 区域，有 种颜色可供选择，
接下来涂 区域，有 种颜色可供选择，
若 区域与 区域同色，则 区域有 种颜色可供选择；
若 区域与 区域不同色，则 区域有 种颜色可供选择， 区域有 种颜色可供选择.
由计数原理可知，不同的涂色方法种数为 .
14．（2023年四川省模拟数学（理）试题）第31届世界大学生夏季运动会，将于2023年7月28日在成都
举办，是中国西部第一次举办世界性综合运动会．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻译志愿者去参加
A，B，C，D，E，五个场馆的服务工作，每人服务一个场馆且每个场馆需要一人．由于特殊原因甲不去A
场馆，乙不去 场馆，则不同的安排方法有（ ）
A．120种 B．96种
C．78种 D．48种
【答案】C
【分析】先进行5人全排列，再减五考虑将甲去A场馆，乙去B场馆，最后加回甲去A场馆，同时乙去B
场馆，即可.
【详解】先将五人全排列放入五个场馆，共有 种方法，
再考虑将甲去A场馆，其他四个人全排列，共有 种方法，
乙去B场馆，其他四个人全排列，共有 种方法，
而甲去A场馆，同时乙去B场馆，共有 种方法，
所以满足要求的方法有 种.
15．（2023届河北省模拟数学试题）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭
州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且
每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种 B．82种 C．86种 D．90种
【答案】D
【分析】应用分步计数原理先分组再讨论相同预约计算即可.
【详解】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，
首先将4人分成2组，有 种不同的分法，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有 种不同的结果；
若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有 种不同的结果，
所以每个馆恰有2人预约的不同方案有 种 ．
16．（2024届浙江省名校适应性考试数学试题）某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，
学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同
的方案种数是（ ）
A．324 B．364 C．560 D．680
【答案】B
【分析】利用插空法及组合数求闭灯方案数.
【详解】将路灯分2盏(为保证关闭路灯之间至少有两盏亮)、15盏、3盏(需关闭的路灯)，
首先15盏亮的路灯先排成一排，把3盏关掉的路灯插空，而头尾两盏路灯不能关闭，
所以是除头尾之外的14个位置上插入三盏关掉的灯，共 种，
在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏路灯且路灯无差异，保证关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的
路灯，只有1种方法.
综上，共有 种方案数.
17．2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计
好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等
5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安
装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（
）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】先安排甲乙两人，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．
【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有 种情况，
剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有 ，然后分配到参与两个吉祥物的安装，
有 ，
则共有 种.
18．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然
严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一
人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一个地区分3人
两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解．
【详解】解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有 种；
②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有 种．
故满足条件的分法共有 种．
19．（2023届北京市诊断性测试数学（理）试题）若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均
要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）种．
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【分析】利用分步乘法原理、排列组合数以及不均匀分组的方法进行求解.
【详解】第一步，先安排2名男生，有 种排法；
第二步，安排5名女生：
第1种情况，5名女生分两组，一组1人，一组4人，有 种分法，
第2种情况，5名女生分两组，一组2人，一组3人，有 种分法，
所以5名女生分两组去两地参加志愿者活动共有： 种排法，
所以，总共有 种分配方案.故A，B，D错误.
20．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学
与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 ．
【答案】16
【分析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑
其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可
选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．
【详解】根据题意，可分三步进行分析：
（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 种情况；
（2）将这个整体与英语全排列，有 中顺序，排好后，有3个空位；
（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，
安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有 种，
所以不同的排课方法的种数是 种．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21．2021年12月，南昌最美地铁4号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去观洲、人民
公园、新洪城大市场三个地方游览，每人只能去一个地方，人民公园一定要有人去，则不同游览方案的种
数为 .
【答案】65
【分析】利用间接法，利用分步计数原理求出没有限制的方案数，排除没人去人民公园的方案数，即得.
【详解】由题可知没有限制时，每人有3种选择，则4人共有 种，
若没人去人民公园，则每人有2种选择，则4人共有 种，
故人民公园一定要有人去的不同游览方案有 种.
22．（2023年湖北省联考数学试题）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五项不同的工作，
每项工作由一人完成，每人至少完成一项，且E工作只有乙能完成，则不同的安排方式有 种．
【答案】50
【分析】因为E工作只有乙能完成，所以分为两类，①乙只完成E工作②乙不止完成E工作，再利用两个
原理及排列组合的知识即可求得
【详解】由题意可分为两类
（1）若乙只完成E工作，即甲、丙二人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有 种安
排方式
（2）若乙不止完成E工作，即甲、乙、丙三人完成A，B，C，D，四项工作，则一共有
种安排方式;
综上共有 种安排方式.
23．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别
是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、
把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运
筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一
个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有 种.
【答案】126
【分析】按甲收集资料的种数分类讨论，先确定甲收集资料的种数剩下的分成三组分给乙、丙、丁三人收
集.
【详解】据题意，甲可收集1种或2种资料.
第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有 种；
第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有 种.
所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种.
24．（2023年辽宁省模拟数学试题）如图所示的五个区域中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 （用数字
作答）．
【答案】
【分析】利用分步乘法及分类加法计数原理即可求解.
【详解】设这四个颜色分别为 ，先给区域 涂色，有 种涂法；
假设区域 涂的是颜色1，再给区域 涂色，可以是颜色 ,有 种涂法;
假设区域 涂的是颜色 ，再给区域 涂色，可以是颜色 ，有 种涂法;
假设区域 涂的是颜色 ，如果区域 涂的是颜色 ，则区域 可以涂颜色 或颜色 ，有 种涂法;
如果区域 涂的是颜色4,那么区域 可以涂颜色 ，有1种涂法.
所以不同的涂色方法种数为 (种).
25．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））从 位女生， 位男生中选 人参
加科技比赛，且至少有 位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）
【答案】
【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从 人中任选 人的选法种
数减去没有女生的选法种数，即可解出.
【详解】［方法一］：反面考虑
没有女生入选有 种选法，从 名学生中任意选 人有 种选法，
故至少有 位女生入选，则不同的选法共有 种．
故答案为： .
［方法二］：正面考虑
若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有 种；
若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有 种，则不同的选法共有 种．
故答案为： .
【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有 位女生入选”的反面种数，再利用没有限制
的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；
方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．
26．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名
学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是 ．（用具体数字作答）
【答案】10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由题意分两类，丙选择一名男生和一名女生或丙选择两名男子，根据分类计算原理即可求出.
【详解】①丙选择一名男生和一名女生： .
②丙选择两名男子： .
所以不同的安排方法种数是：10种.
27．有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；
(4)全体排成一行，男、女各不相邻；
(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；
(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；
(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.
【分析】(1)采用元素分析法，先安排甲，再排剩余的6个人；
(2)采用位置分析法，先排最左边，再剔除乙在最右边的排法；
(3)采用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列；
(4)采用插空法，先排男生，然后将女生插入其中的四个空位；
(5) 采用插空法,先排女生，然后在空位中插入男生；
(6) 采用定序排列，7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为
N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列；
(7) 与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列；
(8) 从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，再将甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起
共3个元素排成一排.
【详解】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有 种排法，其余6人全
排列，有 种排法，由乘法原理得共有 （种）排法；
（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有 种排法，余下的6个位置全排有 种排法，但应剔除
乙在最右边的排法 种，则符合条件的排法共有 （种）；
（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有
（种）排法；
（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有 （种）排法；
（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有 （种）排法；
（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得 ，所以 （种）；
（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有 （种）排法；
（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有 种排法，甲、乙互换位置，有 种排法，
甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有 种排法，所以共有
（种）排法．
100．（人教B版（2019）选修第二册突围者第三章第一节课时3组合与组合数）（1）把6个相同的小球
放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
【分析】(1)根据条件每个箱子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案；
(2)将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；
(3)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可；
(4)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，再将每一种分法放入4个不同箱子
即可得解.
【详解】（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个
小球，还剩下2个小球，
则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中，
所以共有2种放法；
（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形
成的中间5个空隙中插入3块隔板，
所以不同的放法种数为 ；
（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1
和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为 ；
（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1
和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【能力提升】
1．某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区
至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同
的分配方法总数为（ ）
A．72 B．84 C．90 D．96
【答案】B
【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配
方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方
式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有 种分
配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分为两组，有
种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和剩余的1人共3
人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法，
综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式.
2．（2023年辽宁省模拟数学试题）为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、丙、丁四人练习传
球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一人，往后依
次类推，经过4次传球，球仍回到甲手，则传法总数为（ ）
A．30 B．24 C．21 D．12
【答案】C
【分析】通过4次传球后仍回到甲手得出第四次传球只能传给甲，由此得出限制条件，根据分步乘法即可
计算出传法总数.
【详解】由题意，
四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中的任意一
人，经过4次传球，球仍回到甲手，
∴第1次传球有3种方法，第2次传球分成“在甲手中”和“不在甲手中”两类方法，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第3次传球，球也不一定在甲手中；第4次传球只能在甲手中；
∴当第2次传球后球在甲手中时，
则第3次传球可能为丙或乙或丁，共3种方法；
当第2次传球后球不在甲手中时，有2种方法，
则第3次传球有2种方法.
∴经过4次传球，球仍回到甲的传法总数为：
，
∴球仍回到甲的传法总数为21种.
3．（2023年湖南省联考数学试题）弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧
精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准
备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与
《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A．32种 B．48种
C．56种 D．68种
【答案】D
【分析】利用排列组合分别讨论不排《周易》，排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，排《周易》且
《诗经》与《礼记》只安排一个，三种情况，再利用分类加法计数原理将所有情况相加即可.
【详解】①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，则共有 种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，
在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，
共有 种安排方式；
③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，
先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，
最后将剩下的3种书全排列即可，
共有 种安排方式．
所以共有 种安排方式．
4．西安是世界四大古都之一，历史上先后有十多个王朝在西安建都．图为唐长安（西安古称）城示意图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】城中南北向共有9条街道，东西向有12条街道，被称为“九衢十二条”，整齐的街道把唐长安城划分成了
108坊，各坊有坊墙包围．下列说法错误的是（ ）
A．从延平门进城到安化门出城，最近的不同路线共有15条．
B．甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，若二人选择互不影响，则
二人从同一城门进城的概率为 ．
C．用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色（街道忽略），要求有公共边的两个区域
不能用同一种颜色，共有60种不同的染色方法．
D．若将街道看成直线，则图中矩形 区域中共有不同矩形150个．
【答案】C
【分析】A.由题意利用组合求解判断；B.利用古典概型的概率求解判断；C.如图，分四个位置颜色各不相
同，1与4颜色相同，2与3颜色相同， 1与4颜色相同且2与3颜色相同求解判断； D.将街道看成直线，
先在5条横线中任取两条，再在6条竖线中任取两条，由分步计数原理求解判断.
【详解】A.如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从延平门到安化门，最近路线是上图中从点M到点N，只能横向往右走纵向往下走，所以答案为 ，
故A正确．
B.甲乙二人从安化门、明德门、启夏门这三个城门中随机选一城门进城，因二人选择互不影响，所以两人
进城共有9种不同情况，二人从相同城门进城有3种情况，
所以二人从同一城门进城的概率为 ，故B正确．
C.如图所示：
用四种不同的颜色给长乐、永福、大宁、兴宁四坊染色，若四个位置颜色各不相同有 种染色方法，
若1与4颜色相同有 种染色方法，若2与3颜色相同有 种染色方法，若1与4颜色相同且2
与3颜色相同有 种染色方法，综上共有84种．故C错误．
D.若将街道看成直线，则在矩形 区域网格的5条横线中任取两条，6条竖线中任取两条，即可围出
一个矩形，所以共有矩形 个不同的矩形．故D正确．
5．（2023届湖北省联考数学试题）甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有
三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在 小
区的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，先求得所有情况数，然后求得甲去 的情况数，从而得到甲不去 小区的情况数，再
结合概率公式，即可得到结果.
【详解】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有 种情况，
再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】5人被分为 或
当5人被分为 时，情况数为 ;
当5人被分为 时，情况数为 ；
所以共有 .
由于所求甲不去 ，情况数较多，反向思考，求甲去 的情况数，最后用总数减即可，
当5人被分为 时，且甲去 ，甲若为1，则 ，甲若为3，则
共计 种，
当5人被分为 时，且甲去 ，甲若为1，则 ，甲若为2，则 ，共计
种，所以甲不在 小区的概率为 .
6．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小
华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事
件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数 ，并确定向上或向右各走的步数 ，则最短路
径的走法有 ，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明
经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移
动，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，
所以最短路径条数为 条，错误；
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为
条，正确；
对于③，小明到 的最短路径走法有 条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小
明到老年公寓共有 条，
所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为 ，正确；
对于④，由题意知：事件 的走法有18条即 ，事件 的概率 ，
所以 ，错误.故说法正确的个数是2.
7．（2023年湖南省模拟数学试题）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，
且4不在第四位，则这样的六位数共有 个.
【答案】120
【分析】先排偶数，再使用插空法得到组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为144个，再计算
出这144个六位数中，4在第四位的个数，相减后得到答案.
【详解】先排偶数，有 种方法，3个偶数，共有4个空格，再将奇数插空，共有 种情况，
故组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为 种情况，
若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有 种选择，
第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有 种选择，
剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有 种选择，
则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数种，奇数不相邻，4位于第四位共有 个，
所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，要求奇数不相邻，且4不在第四位的个数共有
个.
8．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4
种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案.
【答案】96
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，最少
需要3种颜色，即 同色， 同色， 同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色
全部用上，即 ， ， 三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最
后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅
用三种颜色染色，
即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域有
种染法，共 种染法；
第二类是用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色或
不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共
有 种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为 种．
【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染
相同的颜色，属于中档题．
9．如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端
点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】264
【分析】按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂A，D，E三点涂法数，再讨论点B，
F，C的涂法数即可.
【详解】计算不同涂色方法数有两类办法：
当涂四色时，先涂A，E，D，有 种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F，
若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有 种涂法，
当涂三色时，先涂A，E，D，有 种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，于是得有
种涂法，
利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为： (种)，
所以不同的涂色方法共有264种.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023年广东省模拟数学试题）某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党
的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D
两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为 ．
【答案】84
【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配
方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，有2种分组方
式，三组人分配到三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有 种分
配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分为两组，有
种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和剩余的1人共3
人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法，
综上共有12＋12＋36＋24＝84种不同的分配方式．
11．用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？
(1)偶数：
(2)左起第二､四位是奇数的偶数；
(3)比21034大的偶数.
【答案】(1) 个；(2) 个；(3) 个；
【分析】（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
（3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算.
【详解】（1）末位是0，有 个，
末位是2或4，有 个，
故满足条件的五位数共有 个.
（2）法一：可分两类，0是末位数，有 个，
2或4是末位数，则 个.
故共在 个.
法二：二、四位从奇数1，3中取，有 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】首位从2，4中取，有 个：余下的排在剩下的两位，有 个；
故共有 个.
（3）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有 个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有 个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有 个；
当末位数字是4，而首位数字是2时，有 个；
当末位数字是4，而首位数字是3时，有 个.
故有 个.
法二：不大于21034的偶数可分为三类：
万位数字为1的偶数，有 个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有 个：还有21034本身.
而由 组成的五位偶数有 个.
故满足条件的五位偶数共有 个.
12．（2023年湖北省质量检测数学试题）（1）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共
有多少种不同的放法?
（2）将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【分析】（1）先将 个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合
分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在 个相同的小球中间所形成的 个空位中插入 块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在 个相同的小球中间所形成的 个空位中插入 块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】解：（1）将 个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为 、 、 或 、 、 ，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为 种；
（2）每个小球有 种方法，由分步乘法计数原理可知，
将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为 种；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在 个相同的小球中间所形成的 个空位中插入 块板即可，
所以，不同的放法种数为 种；
（4）将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将 个相同的小球放入 个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在 个相同的小球中间所形成的 个空位中插入 块板即可，
所以，不同的放法种数为 种.
13．如图，某伞厂生产的太阳伞蓬是由 块相同的区域组成的，用 种颜色分别涂在伞蓬的 个区域内，且
恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?
【答案】
【分析】对 个区域进行编号，任选一组对称区域（如 与 ）同色，可求得 种颜色涂 个区域的不同涂
法种数，再根据对称区域重复染色，即可得出图案的种数.
【详解】如图，对 个区域进行编号，任选一组对称区域（如 与 ）同色，
用 种颜色涂 个区域的不同涂法有 种，
又由于 与 ， 与 ， 与 ， 与 是对称的，即重复染色 次，
故此种图案至多有 （种）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【真题感知】
1．（2023年全国高考甲卷数学（理）试题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、
星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（
）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从
这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数
字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球
和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配
方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排
思想求解.
5．（2020年全国统一高考数学试题（理科）（新课标Ⅱ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，
每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原
理得解.
【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
6．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学
只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
7．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担
任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）.
A．72种 B．84种 C．96种 D．124种
【答案】C
【分析】先分有一名女生和没有女生两种情况选出志愿者，然后再排列.
【详解】第一步，选出的志愿者中没有女生共 种，只有一名女生共 种；
第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有 .
所以，不同的选择方案共有 种.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
