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专题 24.1 阴影面积
【例题精讲】
【例1】如图，点 、 、 在 上，若 ， ，则图中阴影部分的面积
是
A． B． C． D．
【例2】如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧
交 于点 ，连接 ，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【例3】如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上， ，
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．【题组训练】
1．如图， 是圆 的弦，直径 ，垂足为 ，若 ， ，则四边形
的面积为
A． B． C． D．
2．如图，在 中，直径 ， 切 于 ， 交 于 ，若 ，则图
中阴影部分的面积为
A． B．2 C． D．1
3．如图， ， ， 的半径都是 ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是A． B． C． D．
4．如图，以 为直径，点 为圆心的半圆经过点 ，若 ，则图中阴影部
分的面积是
A． B． C． D．
5．如图，正六边形 的边长为6，以顶点 为圆心， 的长为半径画圆，则图中
阴影部分的面积为
A． B． C． D．
6．如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ， ．如果 ，
，那么图中阴影部分的面积是A． B． C． D．
7．如图，在 中， ，以 为直径的 分别与 ， 交于点 ， ，
过点 作 ，垂足为点 ，若 的半径为 ， ，则阴影部分的面
积为
A． B． C． D．
8．如图，在 中，点 为 的内心， ， ， ．则 的
面积是
A． B． C．2 D．4
9．如图，正方形 的边 ， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分
的面积之差是A． B． C． D．
10．如图， 为 的切线，切点为 ，连接 ， 与 交于点 ， 为 的
直径，连接 ．若 ， 的半径为2，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
12．如图，点 、 、 、 都在边长为1的网格格点上，以 为圆心， 为半径画弧，
弧 经过格点 ，则扇形 的面积是
A． B． C． D．
13．三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点 为扇形的圆心，格点 ， ， 分别
在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形 的面积为A． B． C． D．
14．如图，正六边形 的边长为2，以 为圆心， 的长为半径画弧，得 ，
连接 ， ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
二．填空题（共12小题）
16．如图，在 中，以点 为圆心， 的长为半径的圆恰好与 相切于点 ，交
于点 ，延长 与 相交于点 ．若 的长为 ，则图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 的长为半径
画弧交 于点 ，连接 ，则阴影部分的面积是 （结果保留 ．
18．如图，在扇形 中， ，点 为 的中点， 交 于点 ，以
点 为圆心， 的长为半径作 交 于点 ．若 ，则阴影部分的面积为 ．19．如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，以点 为
圆心作圆心角为 的扇形 ，点 恰在弧 上，则图中阴影部分的面积为 ．
20．如图，将矩形 绕点 沿顺时针方向旋转 到矩形 的位置， ，
，则阴影部分的面积为 ．
21．如图，在半径 为2，圆心角为 的扇形内，以 为直径作半圆，交弦 于点
，连接 ，则图中阴影部分的面积是 ．
22．如图， 是半圆 的直径，点 、 是半圆 的三等分点，若弦 ，则图中阴
影部分的面积为 ．
23．如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，分别以点 ， 为圆心， 长为
半径画弧，分别交 ， 于点 ， ．若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留
24．如图， 是 的直径， 是 的弦，过点 的切线交 的延长线
于点 ，若 ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
25．如图，正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点 和点 ， 的延
长线与 的延长线交于点 ．已知 ，则图中阴影部分的面积为 ．
26．如图，点 ， ， 是 上的点，连接 ， ， ，且 ，过点
作 交 于点 ，连接 ， ，已知 半径为2，则图中阴影面积为 ．
27．如图，将 绕点 顺时针旋转 得到△ ，已知 ， ，则线段扫过的图形（阴影部分）的面积为 ．
三．解答题（共8小题）
28．如图，正六边形 内接于 ， 是 的直径，连接 ，延长 ，过
作 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ，求图中阴影部分的面积．29．如图， 为 的直径，射线 交 于点 ，点 为劣弧 的中点，过点 作
，垂足为 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积．30．如图， 是 的直径， 是 的切线，切点为 ， 交 于点 ，点 是
的中点．
（1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 的半径为2， ， ，求图中阴影部分的面积．31．如图， 是 的直径， ，四边形 是平行四边形， 交 于
点 ，连接 并延长交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 ．32．如图，以 的 边上一点 为圆心的圆，经过 、 两点，且与 边交于点
， 为 的下半圆弧的中点，连接 交 于 ，若 ．
（1）求证： 是 的切线：
（2）若 ， ，求 的半径；
（3）若 ， ，求阴影部分的面积．（结果保留根号）33．如图， 为 的直径， 是 上一点，过点 的直线交 的延长线于点 ，
，垂足为 ， 是 与 的交点， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．34．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式
海伦公式 （其中 ， ， 是三角形的三边长，
， 为三角形的面积），并给出了证明
例如：在 中， ， ， ，那么它的面积可以这样计算：
， ，
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九
韶提出的秦九韶公式等方法解决．
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在 中， ， ，
（1）用海伦公式求 的面积；
（2）求 的内切圆半径 ．
